Podstawy Analiza zależności Statystyka opisowa STATYSTYKA. Stanisław Jaworski. Katedra Ekonometrii i Informatyki Zakład Statystyki
|
|
- Maksymilian Chmielewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawy Analiza zależności Statystyka opisowa STATYSTYKA Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Informatyki Zakład Statystyki
2 Podstawy Analiza zależności Statystyka opisowa Wprowadzenie Wstęp Statystyka Populacja, próba, cecha Wymagane wiadomości Dystrybuanta Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa Pytania
3 Podstawy Analiza zależności Statystyka opisowa Estymacja parametrów Estymacja punktowa Definicja Przykłady Estymacja przedziałowa Definicje Jedna populacja Dwie populacje Pytania
4 Podstawy Analiza zależności Statystyka opisowa Weryfikacja hipotez statystycznych Podstawowe pojęcia Hipoteza, test, statystyka Rodzaje błędów Porównanie z normą Porównanie średniej Porównanie zróżnicowania Porównanie frakcji Porównanie dwóch populacji Porównanie średnich Porównanie frakcji Test Wilcoxona Porównanie z rozkładem Test Chi-kwadrat zgodności Pytania
5 Podstawy Analiza zależności Statystyka opisowa Analiza korelacji, regresja Badanie zależności między dwiema cechami losowymi Wprowadzenie Weryfikacja niezależności cech Opis ilościowy, estymacja Badanie zależności między cechą losową a deterministyczną Model, opis ilościowy Weryfikacja niezależności cech Obszar ufności, Predykcja
6 Podstawy Analiza zależności Statystyka opisowa Testy nieparametryczne na niezależność Test Chi-kwadrat Wprowadzenie Oznaczenia Hipoteza oraz jej weryfikacja
7 Podstawy Analiza zależności Statystyka opisowa Elementy statystyki opisowej Dynamika zjawisk Indeksy agregatowe Analiza danych Szereg rozdzielczy Mierniki położenia i rozproszenia Koncentracja
8 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Cz eść I Wprowadzenie
9 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Statystyka Statystyka Nauka poświęcona metodom badania (analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu obserwowanych cech ilościowych i jakościowych oraz przedstawianiu wyników w postaci zestawień tabelarycznych, wykresów, itp.; posługuje się rachunkiem prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna Dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie znajomości własności ich części.
10 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Populacja, próba, cecha Populacja. Zbiór obiektów z wyróżnioną cechą (cechami).obiektami mogą być przedmioty lub wartości cechy Próba. Wybrana część populacji podlegająca badaniu. Próba powinna stanowić reprezentację populacji w tym sensie, że częstości występowania w próbie każdej z badanych cech nie powinny się znacznie różnić od częstości występowania tych cech w populacji Cecha losowa. Wielkość losowa charakteryzująca obiekty danej populacji.
11 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Populacja, próba, cecha Populacja. Zbiór obiektów z wyróżnioną cechą (cechami).obiektami mogą być przedmioty lub wartości cechy Próba. Wybrana część populacji podlegająca badaniu. Próba powinna stanowić reprezentację populacji w tym sensie, że częstości występowania w próbie każdej z badanych cech nie powinny się znacznie różnić od częstości występowania tych cech w populacji Cecha losowa. Wielkość losowa charakteryzująca obiekty danej populacji.
12 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Populacja, próba, cecha Populacja. Zbiór obiektów z wyróżnioną cechą (cechami).obiektami mogą być przedmioty lub wartości cechy Próba. Wybrana część populacji podlegająca badaniu. Próba powinna stanowić reprezentację populacji w tym sensie, że częstości występowania w próbie każdej z badanych cech nie powinny się znacznie różnić od częstości występowania tych cech w populacji Cecha losowa. Wielkość losowa charakteryzująca obiekty danej populacji.
13 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Populacja, próba, cecha Rodzaje cech Cecha niemierzalna zwana też jakościową przyjmuje wartości nie będące liczbami (np. kolor, płeć,smakowitość) Cecha mierzalna zwana też ilościową przyjmuje pewne wartości liczbowe (np. długość, wytrzymałość, ciężar) Cecha (mierzalna) skokowa zwana też dyskretną nie przyjmuje wartości pośrednich (np. ilość bakterii, ilość pracowników, ilość pasażerów, ). Cecha (mierzalna) ciągła przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego (np. wzrost, waga, plon,czas obsługi)
14 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Populacja, próba, cecha Rodzaje cech Cecha niemierzalna zwana też jakościową przyjmuje wartości nie będące liczbami (np. kolor, płeć,smakowitość) Cecha mierzalna zwana też ilościową przyjmuje pewne wartości liczbowe (np. długość, wytrzymałość, ciężar) Cecha (mierzalna) skokowa zwana też dyskretną nie przyjmuje wartości pośrednich (np. ilość bakterii, ilość pracowników, ilość pasażerów, ). Cecha (mierzalna) ciągła przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego (np. wzrost, waga, plon,czas obsługi)
15 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Populacja, próba, cecha Rodzaje cech Cecha niemierzalna zwana też jakościową przyjmuje wartości nie będące liczbami (np. kolor, płeć,smakowitość) Cecha mierzalna zwana też ilościową przyjmuje pewne wartości liczbowe (np. długość, wytrzymałość, ciężar) Cecha (mierzalna) skokowa zwana też dyskretną nie przyjmuje wartości pośrednich (np. ilość bakterii, ilość pracowników, ilość pasażerów, ). Cecha (mierzalna) ciągła przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego (np. wzrost, waga, plon,czas obsługi)
16 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Populacja, próba, cecha Rodzaje cech Cecha niemierzalna zwana też jakościową przyjmuje wartości nie będące liczbami (np. kolor, płeć,smakowitość) Cecha mierzalna zwana też ilościową przyjmuje pewne wartości liczbowe (np. długość, wytrzymałość, ciężar) Cecha (mierzalna) skokowa zwana też dyskretną nie przyjmuje wartości pośrednich (np. ilość bakterii, ilość pracowników, ilość pasażerów, ). Cecha (mierzalna) ciągła przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego (np. wzrost, waga, plon,czas obsługi)
17 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Dystrybuanta Dystrybuanta F jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych R wzorem F (x) = P{X x}, x R. Najważniejsze własności dystrybuanty 1. 0 F (x) 1 2. F ( ) = 0, F ( ) = 1 3. dystrybuanta jest funkcją niemalejącą 4. P{a < X b} = F (b) F (a)
18 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy (X D(p)), jeżeli z dodatnimi prawdopodobieństwami przyjmuje jedynie dwie wartości x 1 i x 2: P(X = x 2) = p, P(X = x 1) = 1 p, 0 < p < 1. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (X B(n, p)), jeżeli P{X = k} = ( n k ) p k (1 p) n k, k = 0, 1,..., n.
19 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa Schemat Bernoulliego. Wykonujemy dwuwynikowe doświadczenie. Wyniki nazywane są umownie sukces oraz porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p (porażki 1 p). Doświadczenie wykonujemy w sposób niezależny n krotnie. Niech zmienną losową X będzie ilość sukcesów. Zmienna losowa X ma rozkład B(n, p).
20 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa Rozkład normalny N(µ, σ 2 ). Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej µ i wariancji σ 2, jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem f µ,σ 2(x) = 1 σ x µ e ( σ ) 2, < x <. 2π Prawo trzech sigm P{ X µ < σ} = P{ X µ < 2σ} = P{ X µ < 3σ} =
21 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa Rozkład N(0, 1) standardowy rozkład normalny
22 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa Rozkład N(2, 1)
23 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa Rozkład N(0, 2)
24 Wstęp Wymagane wiadomości Pytania Pytania Jaka jest różnica między cechą skokową i ciągłą podać przykłady każdej z nich. Wymienić typy cech i podać po jednym przykładzie. Podać znane nazwy rozkładów cech i jakiego typu są to cechy. Podać dwa przykłady cech o rozkładzie dwumianowym. Podać dwa przykłady cech o rozkładzie normalnym. Zmienna losowa ma rozkład N(20, 4). Ile wynosi P{X (16, 24)}? Omówić pojęcie populacji w badaniach statystycznych. Co to jest próba reprezentatywna? Jakie są zasady pobierania prób reprezentatywnych? Co to jest wnioskowanie statystyczne? Populacja i próba: wymienić przynajmniej dwie zasadnicze różnice.
25 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Cz eść II Estymacja parametrów
26 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Definicja Niech X 1, X 2,..., X n oznacza próbę z populacji oraz θ parametr charakteryzujący tę populację. Na podstawie próby chcemy oszacować (przybliżyć) wartość parametru θ. Estymator punktowy jest funkcją próby. Przybliża wartość parametru θ: ˆθ = ˆθ(X 1, X 2,..., X n)
27 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Przykłady Estymacja punktowa parametrów cechy X N(µ, σ 2 ) Estymator średniej średnia arytmetyczna X = 1 n n X i = i=1 X1 + + Xn n Estymator wariancji wariancja próbkowa S 2 = 1 n 1 n (X i X ) 2 i=1 Estymator odchylenia standardowego S = S 2
28 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Przykłady Estymacja punktowa parametru p cechy X D(p) Niech n oznacza liczbę obiektów wylosowanych z populacji, wśród których znalazło się k obiektów, które posiadają wyróżnioną właściwość. Przyjmując, że p oznacza prawdopodobieństwo wylosowania z populacji obiektu o wyróżnionej właściwości mamy: ˆp = k n Uwaga. Przyjmując dla i = 1, 2,..., n, że P(X i = 1) = p = 1 P(X i = 0), mamy ˆp = X.
29 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Definicje Przedział ufności (estymator przedziałowy) jest przedziałem o końcach zależnych od próby, który z pewnym z góry zadanym prawdopodobieństwem 1 α pokrywa nieznaną wartość parametru θ: P{θ (θ(x 1,..., X n), θ(x 1,..., X n))} = 1 α. Poziom ufności jest to ustalone prawdopodobieństwo 1 α.
30 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Jedna populacja Populacja z wyróżnioną cechą X Przedział ufności dla średniej µ w rozkładzie normalnym N(µ, σ 2 ) Wariancja σ 2 jest nieznana Poziom ufności: 1 α ( X t(α; n 1) S n, X + t(α; n 1) S n )
31 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Jedna populacja t(α; ν) jest stablicowaną wartością krytyczną rozkładu t (t Studenta) z ν stopniami swobody. Dwustronne wartości krytyczne Rozkładu t Studenta α ν
32 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Jedna populacja Przykład. Na podstawie próby 1.1, 1.2, 0.8, 0.9, 1.2, 1.3, 1.0, 0.7, 0.8, 1.0 oszacować wartość średnią µ rozkładu obserwowanej cechy X N(µ, σ 2 ), na poziomie ufności 1 α = x = = (xi x) 2 = ( ) ( ) 2 = 0.36 s 2 = = 0.04, s = s 2 = 0.2
33 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Jedna populacja t(0.05; 9) = t(0.05; 9) s n = = 0.14 (1 0.14, ) = (0.86, 1.14) Wniosek. Średnia wartość cechy jest jakąś liczbą z przedziału (0.86, 1.14). Zaufanie do tego wniosku wynosi 95%.
34 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Jedna populacja Przedział ufności dla wariancji w rozkładzie normalnym Średnia µ jest nieznana Poziom ufności: 1 α (X i X ) 2 (X i X ) 2 i χ 2 ( α ; n 1), i χ 2 (1 α ; n 1) 2
35 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Jedna populacja χ 2 (α; ν) jest stablicowaną wartością krytyczną rozkładu chi kwadrat z ν stopniami swobody. Wartości krytyczne χ 2 (α; r) ν α
36 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Jedna populacja Przykład. Na podstawie próby 1.1, 1.2, 0.8, 0.9, 1.2, 1.3, 1.0, 0.7, 0.8, 1.0 oszacować zróżnicowanie rozkładu obserwowanej cechy x = = (x i x) 2 = ( ) ( ) 2 = 0.36 i s 2 = = 0.04, s = s 2 = 0.2
37 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Jedna populacja Poziom ufności 1 α = 0.95, czyli α = χ 2 ( α 2 ; n 1) = χ2 (0.025; 9) = χ 2 (1 α 2 ; n 1) = χ2 (0.975; 9) = ( ) , 0.36 = (0.019, 0.133) Wniosek. Wariancja cechy jest liczbą z przedziału (0.019, 0.133). Zaufanie do tego wniosku wynosi 95%.
38 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Jedna populacja Estymacja prawdopodobieństwa sukcesu Przedział przybliżony ( ) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp u 1 α 2, ˆp + u 1 α n 2 n Kwantyle u α rozkładu normalnego N(0, 1) α Na przykład u = 1.96
39 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Dwie populacje Populacja 1, cecha X 1 Populacja 2, cecha X 2 Próby: X 11,..., X 1n1 ; X 21,..., X 2n2 Oznaczenia s 2 e = X i = 1 n i n i j=1 X ij, s 2 i = n i j=1 n 1 (X 1j X 1) 2 + n 2 (X 2j X 2) 2 j=1 j=1 n 1 + n 2 2 (X ij X i) 2 n i 1, s 2 r = s 2 e ( ) n 1 n 2
40 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Dwie populacje Ocena różnicy między średnimi µ 1 µ 2 Ocena punktowa: X1 X 2 Założenia: 1. X 1 N(µ 1, σ 2 1), X 2 N(µ 2, σ 2 2) 2. X 1, X 2 są niezależne 3. σ 2 1 = σ 2 2 Przedział ufności (poziom ufności 1 α) ( X 1 X 2 t(α; n 1 + n 2 2)s r, X 1 X 2 + t(α; n 1 + n 2 2)s r )
41 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Dwie populacje Przykład. Z dwóch populacji pobrano próby: 60, 62, 65, 63, 60 oraz 58, 53, 57, 56, 61. Ocenić różnicę średnich. x 1 = 62, 5 (x 1i x 1) 2 = 18, x 2 = 57, i=1 s 2 r = ( ) 5 5 (x 2i x 2) 2 = 34 i=1 = 2.6 t(0.05; 8) = ; t(0.05; 8)s r = 3.72 ( , ) = (1.28, 8.72) Wniosek. Różnica średnich jest liczbą z przedziału (1.28, 8.72)
42 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Dwie populacje Ocena różnicy frakcji p 1 p 2 Założenia: X 1 D(p 1), X 2 D(p 2) Cechy X 1, X 2 są niezależne Próba 1: X 11, X 12,..., X 1n1 (X 1i = 0 lub 1) Próba 2: X 21, X 22,..., X 2n2 (X 2i = 0 lub 1) k 1 = n 1 i=1 X1i k 2 = n 2 i=1 X2i
43 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Dwie populacje Ocena punktowa: ˆp 1 ˆp 2 = k 1 n 1 k 2 n 2 Przybliżony przedział ufności (poziom ufności 1 α) ˆp 1 ˆp 2 ± u 1 α 2 ˆp1(1 ˆp 1) n 1 + ˆp2(1 ˆp2) n 2
44 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Dwie populacje Iloraz frakcji: p 1 p 2 (ryzyko względne) ln( ˆp1 ˆp 2 ) ± u 1 α 2 1 ˆp ˆp2 n 1ˆp 1 n 2ˆp 2 Przykład: Porównanie lekarstw ze względu na odsetek osób, które nie reagują na podany lek p 1 p 2 p 1 p 2 p 1/p
45 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Dwie populacje Rozkład prawdopodobieństwa oraz dane Y Y X p 11 p 12 X n 11 n 12 p 21 p 22 n 21 n 22 Iloraz szans θ = p 11/p 12 p 21 /p 22 Estymator ilorazu szans ˆθ = ˆp 11/ˆp 12 ˆp 21 /ˆp 22 = n 11n 22 n 12 n 21 Przedział ufności dla ln(θ) ln(ˆθ) ± u 1 α 2 1 n n n n 22
46 Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Pytania Pytania Co to jest estymator? Co to znaczy, że estymator jest precyzyjny? Podać przynajmniej dwa różne oszacowania średniej wartości cechy? Co to jest przedział ufności? Co to jest poziom ufności? Jaka jest interpretacja poziomu ufności? Od jakich czynników i jak zależy długość przedziału ufności? Czy prowadzący doświadczenie może mieć wpływ na długość przedziału ufności? Na podstawie badań uzyskano dla średniej następujący przedział ufności (2, 13). Czy można uznać, że średnia w populacji jest równa 7 i dlaczego?
47 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Cz eść III Weryfikacja hipotez statystycznych
48 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Hipoteza, test, statystyka Hipoteza statystyczna dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu prawdopodobieństwa cechy (oznaczenie H 0). Testem hipotezy statystycznej nazywamy postępowanie mające na celu odrzucenie lub nie odrzucenie hipotezy statystycznej. Statystyką testową nazywamy funkcję próby na podstawie której wnioskuje się o odrzuceniu lub nie hipotezy statystycznej.
49 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Rodzaje błędów Błędem I rodzaju nazywamy błąd wnioskowania polegający na odrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa. Błędem II rodzaju nazywamy błąd wnioskowania polegający na nieodrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona fałszywa. Decyzja o hipotezie Hipoteza nie odrzucić odrzucić prawdziwa prawidłowa błędna fałszywa błędna prawidłowa
50 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Rodzaje błędów Błąd I rodzaju kontroluje się przez zadanie małej wartości dla poziomu istotności. Poziom istotności jest to górne ograniczenie prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju. Błędu II rodzaju nie można kontrolować w taki sposób, jak błąd I rodzaju. W praktyce nie wiadomo, ile dokładnie wynosi prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu.
51 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Porównanie średniej Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane Test Studenta (poziom istotności α) H 0 : µ = µ 0 Próba: X 1,..., X n Statystyka testowa Wartość krytyczna t(α; n 1) t emp = X µ 0 n. S Jeżeli t emp > t(α; n 1), to hipotezę odrzucamy.
52 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Porównanie średniej Przykład. W biochemicznym doświadczeniu badano czas życia komórek w pewnym środowisku. Dokonano ośmiu pomiarów uzyskując wyniki (w godzinach): 4.7, 5.3, 4.0, 3.8, 6.2, 5.5, 4.5, 6.0. Czy można uznać, że średni czas życia komórek w badanym środowisku wynosi 4 godziny? Cecha X czas życia komórki (X N(µ, σ 2 )) H 0 : µ = 4 Test Studenta; poziom istotności α = 0.05 x = 5, s = , t emp = , t(0.05, 7) = Weryfikacja: Ponieważ t emp > t(0.05, 7), odrzucamy hipotezę Wniosek: średni czas życia komórek w badanym środowisku nie wynosi 4 godziny.
53 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Porównanie zróżnicowania Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane H 0 : σ 2 = σ 2 0 Statystyka chi kwadrat (poziom istotności α) Próba: X 1,..., X n Statystyka testowa χ 2 emp = (X i X ) 2 i σ0 2 Wartości krytyczne χ 2 (1 α 2 ; n 1), χ2 ( α 2 ; n 1) Jeżeli χ 2 emp < χ 2 (1 α ; n 1) lub 2 χ2 emp > χ 2 ( α ; n 1) to hipotezę 2 H 0 : σ 2 = σ0 2 odrzucamy.
54 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Porównanie frakcji Cecha X D(p) p nie jest znane Statystyka testowa H 0 : p = p 0 u emp = ˆp p0 p 0 (1 p 0 ) n Wartość krytyczna: u 1 α 2 Jeżeli u emp > u 1 α 2, to hipotezę odrzucamy.
55 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Porównanie frakcji Przykład. Dziesięć lat temu odsetek dzieci chorych na astmę wynosił 4%. Czy odsetek ten uległ zmianie, jeżeli w próbie dwustu dzieci rozpoznano osiemnaście przypadków astmy? Niech X oznacza liczbę przypadków astmy wśród wylosowanych dzieci. Możemy założyć, że X B(200, p), gdzie p oznacza prawdopodobieństwo wylosowania dziecka chorego na astmę. Cel: Zweryfikować hipotezę H 0 : p = 0.04 Zadaję poziom istotności α = Wyznaczam ˆp = 0.09, u emp = (1 0.04) 200 Ponieważ u emp > u 0.975, hipotezę odrzucamy. = 2.887, u = 1.96 Wniosek: Odsetek dzieci chorych na astmę uległ zmianie.
56 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Porównanie średnich Cecha X 1 ma rozkład normalny N(µ 1, σ 2 1) Cecha X 2 ma rozkład normalny N(µ 2, σ 2 2) Średnia µ 1 oraz wariancja σ 2 1 są nieznane Średnia µ 2 oraz wariancja σ 2 2 są nieznane σ 2 1 = σ 2 2 test t Studenta H 0 : µ 1 = µ 2 t emp = X 1 X 2 S r Wartość krytyczna t(α; n 1 + n 2 2) Jeżeli t emp > t(α; n 1 + n 2 2), to hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 odrzucamy
57 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Porównanie frakcji Cecha X 1 ma rozkład dwupunktowy D(p 1) Cecha X 2 ma rozkład dwupunktowy D(p 2) Statystyka testowa H 0 : p 1 = p 2 ˆp 1 ˆp 2 u emp = ˆp(1 ˆp)( 1 n n 2 ) gdzie ˆp 1 = k1, ˆp 2 = k2 (k1 + k2), ˆp = n 1 n 2 (n 1 + n 2) Jeżeli u emp u 1 α/2, to hipotezę H 0 : p 1 = p 2 odrzucamy
58 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Wprowadzenie Przykład. Wybrano pięciu pacjentów, którzy w równym stopniu cierpieli na pewną chorobę. Trzech z nich wybrano losowo do grupy eksperymentalnej i poddano nowej kuracji. Po pewnym czasie wszystkich sklasyfikowano w zależności od stopnia zaawansowania choroby. Pacjent, którego sklasyfikowano jako najciężej chorego, otrzymał rangę 1, drugi w kolejności rangę 2 i analogicznie pozostali.
59 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Wprowadzenie Przykład. Wybrano pięciu pacjentów, którzy w równym stopniu cierpieli na pewną chorobę. Trzech z nich wybrano losowo do grupy eksperymentalnej i poddano nowej kuracji. Po pewnym czasie wszystkich sklasyfikowano w zależności od stopnia zaawansowania choroby. Pacjent, którego sklasyfikowano jako najciężej chorego, otrzymał rangę 1, drugi w kolejności rangę 2 i analogicznie pozostali.
60 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Wprowadzenie Przykład. Wybrano pięciu pacjentów, którzy w równym stopniu cierpieli na pewną chorobę. Trzech z nich wybrano losowo do grupy eksperymentalnej i poddano nowej kuracji. Po pewnym czasie wszystkich sklasyfikowano w zależności od stopnia zaawansowania choroby. Pacjent, którego sklasyfikowano jako najciężej chorego, otrzymał rangę 1, drugi w kolejności rangę 2 i analogicznie pozostali.
61 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Wszystkie możliwe układy rang Eksperymentalna (3,4,5) (2,4,5) (1,4,5) (2,3,5) (1,3,5) Kontrolna (1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) Eksperymentalna (2,3,4) (1,3,4) (1,2,4) (1,2,3) (1,2,5) Kontrolna (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (3,4) Prawdopodobieństwo każdego układu, przy założeniu, że nowa kuracja nie ma efektu, wynosi ( ) 5 = Informacja, że pacjenci cierpią w równym stopniu na pewną chorobą nie wpływa na to prawdopodobieństwo.
62 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Wszystkie możliwe układy rang Eksperymentalna (3,4,5) (2,4,5) (1,4,5) (2,3,5) (1,3,5) Kontrolna (1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) Eksperymentalna (2,3,4) (1,3,4) (1,2,4) (1,2,3) (1,2,5) Kontrolna (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (3,4) Prawdopodobieństwo każdego układu, przy założeniu, że nowa kuracja nie ma efektu, wynosi ( ) 5 = Informacja, że pacjenci cierpią w równym stopniu na pewną chorobą nie wpływa na to prawdopodobieństwo.
63 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Wszystkie możliwe układy rang Eksperymentalna (3,4,5) (2,4,5) (1,4,5) (2,3,5) (1,3,5) Kontrolna (1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) Eksperymentalna (2,3,4) (1,3,4) (1,2,4) (1,2,3) (1,2,5) Kontrolna (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (3,4) Prawdopodobieństwo każdego układu, przy założeniu, że nowa kuracja nie ma efektu, wynosi ( ) 5 = Informacja, że pacjenci cierpią w równym stopniu na pewną chorobą nie wpływa na to prawdopodobieństwo.
64 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Ogólnie. Przypuśćmy, że mamy danych N obiektów. Spośród nich wybieramy losowo n do grupy eksperymentalnej. Pozostałych N n obiektów trafia do grupy kontrolnej. Niech S 1 < S 2 <... < S n będą rangami grupy eksperymentalnej. Wówczas ( ) N P H (S 1 = s 1, S 2 = s 2,..., S n = s n) = 1/, n gdzie P H ( ) oznacza prawdopodobieństwo przy założeniu, że hipoteza H : brak efektu grupy, jest prawdziwa.
65 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Test Wilcoxona W celu zbadania wpływu czynnika (na przykład efektu nowej kuracji) rozdzielamy losowo N obiektów do dwóch grup: n do eksperymantalnej, N n do kontrolnej. Po zakończeniu badań nadajemy obiektom rangi. Niech S 1 < S 2 <... < S n będą oznaczać rangi grupy eksperymentalnej. Hipotezę o braku wpływu czynnika odrzucimy na korzyść alternatywy, że jest efekt pozytywny, jeżeli rangi tej grupy okażą się istotnie duże, tzn. gdy W s := S 1 + S S n c, gdzie c jest wartością krytyczną wyznaczoną z równania (α poziom istotności) P H (W s c) = α
66 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Dla przykładu o pacjentach wyznaczymy rozkład zmiennej losowej W s oraz wartość c dla α = 0.1 (S 1, S 2, S 3) (3,4,5) (2,4,5) (1,4,5) (2,3,5) (1,3,5) W s (S 1, S 2, S 3) (2,3,4) (1,3,4) (1,2,4) (1,2,3) (1,2,5) W s w P H (W s = w) P H (W s 12) = P H (W s = 12) = 0.1 Zatem hipotezę H odrzucamy tylko wtedy, gdy W s = 12.
67 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Statystyka Manna-Withneya Niech X 1, X 2,..., X m będzie próbą kontrolną oraz Y 1, Y 2,..., Y n próbą eksperymentalną. Niech W XY liczba par (X i, Y j) dla których zachodzi X i < Y j Wówczas zachodzi W XY = W s 1 n(n + 1) 2 Statystykę W XY nazywamy statystyką Manna-Withneya
68 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Przykład. Chcemy sprawdzić czy zniechęcanie negatywnie wpływa na wynik testu Spośród dziesięciu ochotników losujemy pięciu i przydzielamy do grupy kontrolnej. Pozostałych do grupy eksperymentalnej. Każdej osobie dajemy test A do rozwiązania i po dwóch tygodniach test B. Grupę eksperymentalną krytykujemy przy rozwiązywaniu testu B. Obserwujemy różnicę: wynik A-wynik B.
69 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Przykład. Chcemy sprawdzić czy zniechęcanie negatywnie wpływa na wynik testu Spośród dziesięciu ochotników losujemy pięciu i przydzielamy do grupy kontrolnej. Pozostałych do grupy eksperymentalnej. Każdej osobie dajemy test A do rozwiązania i po dwóch tygodniach test B. Grupę eksperymentalną krytykujemy przy rozwiązywaniu testu B. Obserwujemy różnicę: wynik A-wynik B.
70 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Przykład. Chcemy sprawdzić czy zniechęcanie negatywnie wpływa na wynik testu Spośród dziesięciu ochotników losujemy pięciu i przydzielamy do grupy kontrolnej. Pozostałych do grupy eksperymentalnej. Każdej osobie dajemy test A do rozwiązania i po dwóch tygodniach test B. Grupę eksperymentalną krytykujemy przy rozwiązywaniu testu B. Obserwujemy różnicę: wynik A-wynik B.
71 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Przykład. Chcemy sprawdzić czy zniechęcanie negatywnie wpływa na wynik testu Spośród dziesięciu ochotników losujemy pięciu i przydzielamy do grupy kontrolnej. Pozostałych do grupy eksperymentalnej. Każdej osobie dajemy test A do rozwiązania i po dwóch tygodniach test B. Grupę eksperymentalną krytykujemy przy rozwiązywaniu testu B. Obserwujemy różnicę: wynik A-wynik B.
72 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Wyniki Rangi Eksperymentalna Kontrolna Eksperymentalna Kontrolna Implementacja w pakiecie R eksperymentalna< c(5, 0, 16, 2, 9) kontrolna< c(6, -5, -6, 1, 4) wilcox.test(eksperymentalna,kontrolna,alternative= greater,exact=true)
73 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Wydruk z R Wilcoxon rank sum test data: eksperymentalna and kontrolna W = 19, p-value = alternative hypothesis: true location shift is greater than 0 Sprawdzić, że wartość statystyki W w procedurze wilcox.test jest wartością statystyki Manna Whithney a
74 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Przybliżenie rozkładem normalnym z poprawką na ciągłość: E(W s) = 1 2 n(n + 1); D2 (W s) = 1 mn(n + 1) 12 P(W s c) Φ ( c 1 n(n + 1) + ) mn(n + 1)/12
75 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Powiązania Przykład X 1 X 2 Y 1 X 3 Y 2 Y 3 Obserwacje Rangi Rangi połówkowe S1 S2 R1 S3 R2 R3 W s = S 1 + S 2 + S 3 (s1, s2, s3 ) (1.5,1.5,3) (1.5,1.5,5) (1.5,3,5) (1.5,5,5) (3,5,5) (5,5,5) P(s1, s2, s3 ) 1/20 3/20 6/20 6/20 3/20 1/20 P(W s 13) = 3/20 + 1/20 = 4/20 = 0.2 e = 3, d 1 = 2, d 2 = 1, d 3 = 3
76 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Przybliżenie rozkładem normalnym E(W s ) = 1 2 n(n + 1); D2 (W s ) = 1 12 mn(n + 1) 1 12 Rozkład statystyki W s E(W D(Ws ) s ) mn e (di 3 d i) i=1 N(N 1) zbiega do standardowego rozkładu ( normalnego, ) gdy m, n dążą do nieskończoności oraz max di i=1,...,e jest oddzielone od jedynki, gdy N N
77 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Alternatywa dwustronna Za pomocą prezentowanego testu Wilcoxona porównywaliśmy nowy zabieg ze standardowym. Porównanie to jest obciążone na korzyść zabiegu standardowego, tzn. prawdopodobieństwo decyzji na korzyść zabiegu standardowego (w sytuacji, gdy nie ma różnic między standardowym a nowym) wynosi 1 α (zwykle 0.9 lub więcej) Naszym celem jest teraz podjęcie decyzji, czy dwa zabiegi w ogóle się różnią. W tej sytuacji rozważane zabiegi odgrywają symetryczną rolę
78 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Alternatywa dwustronna Za pomocą prezentowanego testu Wilcoxona porównywaliśmy nowy zabieg ze standardowym. Porównanie to jest obciążone na korzyść zabiegu standardowego, tzn. prawdopodobieństwo decyzji na korzyść zabiegu standardowego (w sytuacji, gdy nie ma różnic między standardowym a nowym) wynosi 1 α (zwykle 0.9 lub więcej) Naszym celem jest teraz podjęcie decyzji, czy dwa zabiegi w ogóle się różnią. W tej sytuacji rozważane zabiegi odgrywają symetryczną rolę
79 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Mamy dwa zabiegi: A oraz B. N = m + n obiektów dzielimy losowo na dwie grupy. Na grupie o liczności m stosujemy zabieg A, a na grupie o liczności n zabieg B. Niech W A oraz W B oznaczają odpowiednie sumy rang. Hipotezę H o braku różnic między zabiegami odrzucamy wtedy, gdy wartość statystyki W B jest zbyt duża lub zbyt mała: Dobieramy c tak, aby P H ( W B 1 n(n + 1) c) = α 2 lub równoważnie P( W XY 1 mn c) = α 2 Interpretacja α: Prawdopodobieństwo błędnego uznania różnicy między zabiegami.
80 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Wybór lepszego zabiegu Dwa zabiegi są nowe. Chcemy podjąć decyzję, który zabieg jest lepszy. Nie chcemy jednak faworyzować jednego z niech. Wybieramy B, Wybieramy A, Zawieszamy decyzję, jeżeli W B 1 n(n + 1) + c 2 jeżeli W B 1 n(n + 1) c 2 jeżeli W B 1 n(n + 1) < c 2 Wybór c: α = P H (W B 1 2 n(n + 1) c) = P H(W B 1 n(n + 1) + c) 2 Interpretacja α: Maksymalne prawdopodobieństwo błędnego wyboru gorszego zabiegu.
81 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Porównywano dwie diety. W tym celu siedmiu szczurom przydzielono dietę A oraz pięciu dietę B (losowo). Obserwowano ubytek wagi. Po siedmiu tygodniach uzyskano wyniki: A B W B = = 28 Ponieważ 28 jest mniejsze od 1 n(n + 1) = 32.5, dane faworyzują A 2 Poziom krytyczny: P[W B 28] = P[W XY 13] = 0.265
82 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Model populacyjny N = n + m obiektów losujemy z populacji, n przydzielamy do grupy eksperymentalnej, m do kontrolnej. Przydział jest losowy. Wynik obiektu eksperymentalnego oznaczamy przez Y, a wynik obiektu kontrolnego przez X. Zatem X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o dystrybuantach odpowiednio F oraz G: F (x) = P(X x), G(y) = P(Y y) Hipotezę o tym, że zabieg eksperymentalny nie ma wpływu zapisujemy w formie: H : F = G
83 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Twierdzenie Niech X 1,..., X m; Y 1,..., Y n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym ciągłym rozkładzie F. Niech S 1 <... < S n oznaczają rangi Y ów przy wspólnym rangowaniu wszystkich N = n + m obiektów. Wtedy P H (S 1 = s 1,..., S n = s n) = 1 ( N n) dla każdego (s 1,..., s n) N n : 1 s 1 <... < s n N
84 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Wilcoxona Modele Model losowy do porównania dwóch zabiegów. Mamy N danych obiektów. Przydzielamy losowo m do grupy kontrolnej (grupa pod działaniem pierwszego zabiegu) oraz m do grupy eksperymentalnej (grupa pod działaniem drugiego zabiegu). Model populacyjny (porównanie dwóch zabiegów). W sposób całkowicie losowy wybieramy z populacji N obiektów. Również losowo przydzielamy m do grupy kontrolnej oraz m do grupy eksperymentalnej. Porównanie dwóch atrybutów lub dwóch podpopulacji poprzez losowanie z każdej podpopulacji. W sposób całkowicie losowy wybieramy m obiektów z pierwszej podpopulacji (wyznaczonej przez pierwszy atrybut) oraz n obiektów z drugiej podpopulacji (wyznaczonej przez drugi atrybut) Porównanie dwóch atrybutów lub dwóch podpopulacji poprzez losowanie z całej populacji. W sposób całkowicie losowy wybieramy z populacji N obiektów. Okazuje się, że m obiektów należy do pierwszej podpopulacji, a pozostałych n do drugiej.
85 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Chi-kwadrat zgodności Postać danych (próba) Klasa Liczebność 1 n 1 2 n 2.. k n k Oznaczenia F ustalony rozkład prawdopodobieństwa k ni t = Npi t, N = n i, i=1 p t i = P F {X przyjęła wartość z klasy i}
86 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Chi-kwadrat zgodności Hipoteza Statystyka testowa χ 2 emp = H 0 : X F k (n i ni t ) 2 Wartość krytyczna χ 2 (α; k u 1) (u jest liczbą nieznanych parametrów hipotetycznego rozkładu F ) i=1 n t i Wniosek. Jeżeli χ 2 emp > χ 2 (α; k u 1), to hipotezę H 0 odrzucamy
87 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Chi-kwadrat zgodności Przykład. Pracodawca przypuszcza, że liczba pracowników nieobecnych w różne dni tygodnia nie jest taka sama. Chcemy to sprawdzić na podstawie danych Dzień tygodnia Liczba nieobecnych Poniedziałek 200 Wtorek 160 Środa 140 Czwartek 140 Piątek 100
88 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Chi-kwadrat zgodności Cecha X dzień nieobecności pracownika H 0 : X ma rozkład Pon Wtk Śro Czw Ptk 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 Szereg rozdzielczy ma k = 5 klas. Hipotetyczny rozkład jest całkowicie określony w hipotezie, czyli u = 0 Wartość krytyczna χ 2 (α; k u 1) = χ 2 (0.05; 5 0 1) =
89 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Test Chi-kwadrat zgodności Wyznaczenie wartości statystyki χ 2 emp Klasa n i pi t ni t (n i ni t )2 /ni t ( ) Poniedziałek 200 1/5 148 = ( ) Wtorek 160 1/5 148 = ( ) Środa 140 1/5 148 = ( ) Czwartek 140 1/5 148 = ( ) Piątek 100 1/5 148 = χ 2 emp = Ponieważ χ 2 emp > χ 2 (0.05; 4), więc odrzucamy hipotezę H 0 Wniosek: Odrzucamy hipotezę o równomiernym rozkładzie nieobecności w tygodniu. Zatem przypuszczenie pracodawcy można uznać za uzasadnione
90 Podstawowe pojęcia Porównanie z normą Porównanie dwóch populacji Porównanie z rozkładem Pytania Pytania Co to jest hipoteza statystyczna? Podać przykład hipotezy statystycznej oraz przykład hipotezy, która nie jest statystyczna. Co rozumiemy pod pojęciem testu statystycznego? Jaki błąd wnioskowania nazywamy błędem I rodzaju? Co to jest poziom istotności? Jaka jest interpretacja poziomu istotności? Co to jest błąd II rodzaju? Zinterpretować wniosek: odrzucono weryfikowaną hipotezę na poziomie istotności Jakie założenia muszą być spełnione, by hipotezę dotyczącą różnicy między średnimi dwóch populacji można było weryfikować testem Studenta? Jak można te założenia sprawdzić? Jakim testem można zweryfikować hipotezę H 0 : µ = µ 0.
91 Korelacja prosta Regresja Cz eść IV Analiza korelacji, regresja
92 Korelacja prosta Regresja Wprowadzenie Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) Czy cechy X oraz Y są zależne? Opis ilościowy zależności. Wnioski. Zakładamy, że łączny rozkład cech X, Y jest normalny. Założenie to oznacza, że przypuszczalna zależność między X i Y ma charakter liniowy
93 Korelacja prosta Regresja Weryfikacja niezależności cech Test współczynnika korelacji Pearsona H 0 : ϱ = 0 (Cechy X, Y są niezależne) Statystyka testowa (X i X )(Y i Ȳ ) i R = (X i X ) 2 (Y j Ȳ ) 2 i i Wartość krytyczna: r(α, n) Hipotezę odrzucamy, jeżeli R > r(α, n).
94 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja Przy założeniu, że łączny rozkład cech X, Y jest normalny, średnia wartość cechy Y zależy liniowo od wartości cechy X : E(Y X = x) = β 0 + β 1x Funkcję f (x) = β 0 + β 1x nazywamy liniową funkcją regresji. Na podstawie par obserwacji (x i, y i), i = 1, 2,..., n, szacujemy parametry β 0 oraz β 1. Oszacowane parametry oznaczamy przez ˆβ 0 oraz ˆβ 1.
95 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy takich parametrów β 0, β 1, które minimalizują sumę kwadratów reszt, n tzn. ε 2 i, gdzie reszty i=1 ε i = y i (β 0 + β 1x i), i = 1, 1,..., n Tak znalezione parametry wyrażają się wzorami: (x i x)(y i ȳ) i ˆβ 1 =, (x i x) 2 ˆβ0 = ȳ ˆβ 1 x i
96 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja ε 4 > 0 ε 3 <0 Minimalizujemy sumę kwadratów reszt: i ε2 i =Min!
97 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja Ocena przedziałowa parametrów funkcji regresji Przedziały ufności (poziom ufności (1 α)) β 1 ( ˆβ 1 t(α; n 2)S β1, ˆβ 1 + t(α; n 2)S β1 ) gdzie β 0 ( ˆβ 0 t(α; n 2)S β0, ˆβ 0 + t(α; n 2)S β0 ) Sβ 2 S 2 1 = (X i X ), S 2 S 2 (X i X ) 2 2 β 0 = (X i X i + X 2 ) 2 n i (Y j Ȳ )2 ˆβ 1 (X i X )(Y i Ȳ ) S 2 i i = n 2 i = vary (1 R2 ) n 2
98 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja Przykład. Badano czy w pewnej grupie społecznej istnieje zależność między miesięcznymi wydatkami na produkty tytoniowe (X ) oraz alkoholowe (Y ). W tym celu wylosowano osiem rodzin uzyskując następujące wyniki: X Y Populacja. Rodziny w badanej grupie społecznej Cechy. X miesięczne wydatki na produkty tytoniowe Y miesięczne wydatki na produkty alkoholowe Założenie. Cechy X oraz Y mają łączny rozkład normalny
99 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja Zadajemy poziom istotności α = 0.05 Rachunki. x = 63.88, ȳ = 36.50, (x i x) 2 = , i H 0 : ϱ = 0 (nie ma zależności między X i Y ) (y j ȳ) 2 = (x i x)(y i ȳ) i R = (x i x) = 2 (y j ȳ) 2 i j Wartość krytyczna r(0.05, 8) = j (x i x)(y i ȳ) = i = 0.85
100 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja Wnioskowanie. Ponieważ R > r(0.05, 8), odrzucamy hipotezę zerową. Stwierdzamy, że między miesięcznymi wydatkami na produkty tytoniowe oraz alkoholowe istnieje zależność o charakterze liniowym (ϱ 0 ). Chcemy znaleźć analityczną postać tej zależności
101 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja ˆβ 1 = = 0.67 ˆβ 0 = = 6.18 t(0.05; 6)S β1 = 0.41 Oszacowana zależność przeciętne miesięczne wydatki na produkty alkoholowe = 0.67 miesięczne wydatki na prod. tytoniowe 6.18
102 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja Rysunek: Regresja Y względem X
103 Korelacja prosta Regresja Opis ilościowy, estymacja Interpretacja współczynnika kierunkowego oszacowanej funkcji regresji: Jeżeli jakieś rodziny wydają, w stosunku do innych rodzin, o złotówkę więcej na produkty tytoniowe, to tym samym na alkohol wydają średnio o około 67 groszy więcej; błąd statystyczny tej oceny wynosi 41 groszy: β 1 ( ; ).
104 Korelacja prosta Regresja Model, opis ilościowy Y zmienna zależna (objaśniana) X zmienna niezależna (objaśniająca) (Y 1, x 1), (Y 2, x 2),, (Y n, x n) próba Model. Y i = β 0 + β 1x i + ɛ i, i = 1,..., n Zakładamy, że ɛ i, i = 1,..., n, są niezależnymi zmienymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym N(0, σ 2 )
105 Korelacja prosta Regresja Model, opis ilościowy Estymacja punktowa. (x i x)(y i Ȳ ) i ˆβ 1 =, (x i x) 2 ˆβ0 = Ȳ ˆβ 1 x i Estymacja przedziałowa. β 1 ( ˆβ 1 t(α; n 2)S β1, ˆβ 1 + t(α; n 2)S β1 ) β 0 ( ˆβ 0 t(α; n 2)S β0, ˆβ 0 + t(α; n 2)S β0 ) Interpretacja oceny parametru β 1. Jeżeli wartość x zmiennej niezależnej zwiększymy o jednostkę, to średnia wartość cechy Y zmieni się o około ˆβ 1 jednostek, a dokładniej zmieni się o wartość z przedziału ˆβ 1 ± t(α; n 2)S β1.
106 Korelacja prosta Regresja Weryfikacja niezależności cech H 0 : β 1 = 0 (Y nie zależy od X ) Statystyka testowa F emp = ˆβ 2 1 S 2 β 1 = ˆβ 1 (x i x)(y i Ȳ ) i S 2 Hipotezę odrzucamy, jeżeli F emp > F (α; 1, n 2). F (α; 1, n 2) jest wartością krytyczną rozkładu F.
107 Korelacja prosta Regresja Obszar ufności, Predykcja Obszar ufności dla prostej regresji umożliwia nam wnioskowanie o wartościach średnich zmiennej Y jednocześnie dla wielu wybranych wartości zmiennej X. gdzie f (x) (ˆf (x) t(α; n 2)S Y ; ˆf (x) + t(α; n 2)S Y ) ˆf (x) = ˆβ 0 + ˆβ 1x SY 2 = S 2 1 n + (x x)2 (x i x) 2 i
108 Korelacja prosta Regresja Obszar ufności, Predykcja Rysunek: Obszar ufności
109 Korelacja prosta Regresja Obszar ufności, Predykcja Obszar predykcji umożliwia nam wnioskowanie o wartościach zmiennej Y jednocześnie dla wielu wybranych wartości zmiennej X. Y (x) (ˆf (x) t(α; n 2)S Y (x) ; ˆf (x) + t(α; n 2)S Y (x) ) gdzie Y (x) oznacza wartość zmiennej Y dla wybranej wartości x zmiennej X oraz S 2 Y (x) = S n + (x x)2 (x i x) 2 i
110 Korelacja prosta Regresja Obszar ufności, Predykcja Rysunek: Obszar predykcji
111 Test Chi-kwadrat Cz eść V Testy nieparametryczne na niezależność
112 Test Chi-kwadrat Wprowadzenie Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y. Obiekt (X, Y ) Cechy X oraz Y są dowolnego typu. Wartości obu cech są podzielone na klasy. Test nie służy do badania kierunku powiązania cech Zaleca się, aby próba była na tyle duża, aby liczebności teoretyczne poszczególnych klas były równe co najmniej 5
113 Test Chi-kwadrat Oznaczenia Klasy Klasy cechy X cechy Y m 1 n 11 n n 1m 2 n 21 n n 2m.... k n k1 n k2... n km nij t = n i n j, N = k m N i=1 j=1 nij, ni = m j=1 nij, n j = k i=1 nij
114 Test Chi-kwadrat Hipoteza oraz jej weryfikacja Hipoteza H 0 : Cechy X, Y są niezależne α poziom istotności Statystyka testowa χ 2 emp = k m (n ij nij) t 2 n t i=1 j=1 ij Jeżeli χ 2 emp > χ 2 (α; (k 1)(m 1)), to hipotezę H 0 odrzucamy
115 Test Chi-kwadrat Hipoteza oraz jej weryfikacja Przykład. Badano związek pomiędzy wykształceniem (X ) a zarobkami (Y ). H 0: cechy X oraz Y są niezależne Test chi kwadrat niezależności (α = 0.05) Zbadano łącznie N = 950 osób Tabela obserwacji n ij podstawowe średnie wyższe ponad wyższe
116 Test Chi-kwadrat Hipoteza oraz jej weryfikacja Liczebności brzegowe: n 1 = = 202 n 2 = 158, n 3 = 190, n 4 = 183, n 5 = 217 n 1 = = 200 n 2 = 248, n 3 = 254, n 4 = 248. Liczebności teoretyczne: n t 11 = n t 43 = n1 n 1 N n4 n 3 N = = = =
117 Test Chi-kwadrat Hipoteza oraz jej weryfikacja Tabela liczbności teoretycznych n t ij podstawowe średnie wyższe ponad wyższe Wyznaczenie (n ij n t ij) 2 /n t ij dla wszystkich dwudziestu kombinacji i, j. (n 11 n t 11) 2 n t 11 = ( ) =
118 Test Chi-kwadrat Hipoteza oraz jej weryfikacja Tabela wartości (n ij n t ij )2 n t ij podstawowe średnie wyższe ponad wyższe Wartość statystyki testowej jest sumą wartości podanych w powyższej tabeli χ 2 emp =
119 Test Chi-kwadrat Hipoteza oraz jej weryfikacja W tablicach znajdujemy wartość krytyczną zmiennej losowej o rozkładzie chi kwadrat na poziomie istotności α = 0.05 oraz dla (4 1)(5 1) = 12 stopni swobody: χ 2 (0.05; 12) = Ponieważ χ 2 emp > χ 2 (0.05; 12), więc stwierdzamy, że istnieje zależność między wykształceniem i zarobkami.
120 Dynamika zjawisk Analiza danych Cz eść VI Elementy statystyki opisowej
121 Dynamika zjawisk Analiza danych Indeksy agregatowe OZNACZENIA Ilość Cena jednostkowa artykułu Rok 0 Rok 1 Rok 0 Rok 1 1 q 10 q 11 p 10 p 11 2 q 20 q 21 p 20 p k q k0 q 1k p k0 p 1k
122 Dynamika zjawisk Analiza danych Indeksy agregatowe OZNACZENIA Numer Wartość Wartość Wartość Wartość 1 q 10p 10 q 11p 11 q 10p 11 q 11p 10 2 q 20p 20 q 21p 21 q 20p 21 q 21p k q k0 p k0 q k1 p k1 q k0 p k1 q k1 p k0 Suma w 00 w 11 w 01 w 10..
123 Dynamika zjawisk Analiza danych Indeksy agregatowe Indeksy agregatowe Indeks zmian wartości I w = w 11/w 00 Indeks Laspayresa zmian ilości I L q = w 10/w 00 Indeks Laspayresa zmian cen I L p = w 01/w 00 Indeks Paaschego zmian ilości I P q = w 11/w 01 Indeks Paaschego zmian cen Ip P = w 11/w 10 Indeks Fishera zmian ilości Iq F = Iq L Iq P Indeks Fishera zmian cen I F p = I L p I P p
124 Dynamika zjawisk Analiza danych Szereg rozdzielczy SZEREG ROZDZIELCZY: opisuje rozkład wartości badanej cechy (np. cechy X ) Przedział klasowy Liczebność Liczebność skumulowana x 0 x 1 n 1 n (1) = n 1 x 1 x 2 n 2 n (2) = n 1 + n 2... x k 1 x k n k n (k) = n 1 + n n k (= n) Dla liczby p takiej, 0 p 1 niech x p, n p, h p oznaczają początek, liczebność i długość przedziału zawierającego obserwację o numerze p n oraz niech n (p) oznacza liczebność skumulowaną przedziału poprzedzającego przedział o początku x p. Niech ẋ i oznacza środek i tego przedziału.
125 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia Mierniki położenia opisują poziom badanej cechy, tzn. w sposób syntetyczny charakteryzują wartości przyjmowane przez badaną cechę. Mierniki położenia średnia x 1 n k i=1 ẋini mediana Me ( x h 0.5 n n ) n (0.5) dolny kwartyl Q 1 ( x h 0.25 n n ) n (0.25) górny kwartyl Q 3 ( x h n n ) n (0.75) dominanta (moda) D x D + h D n D n D 1 2n D n D+1 n D 1 minimum Min x 0 maksimum Max x k
126 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia Mierniki rozproszenia opisują zróżnicowanie cechy, tzn. w sposób syntetyczny opisują zróżnicowanie wartości przyjmowanych przez badaną cechę Mierniki rozproszenia rozstęp R Max Min wariancja S 2 1 k n 1 i=1 ni(ẋi x)2 odchylenie standardowe S = S 2 1 n 1 k i=1 ni(ẋi x)2 odchylenie przeciętne d odchylenie ćwiartkowe Q współczynnik zmienności V 1 k n i=1 ni ẋi x Q 3 Q 1 2 S x 100%
127 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia Przykład
128 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia i x i 1 x i ẋ i n i n (i) SUMA 1000
129 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia Mierniki położenia średnia x = mediana Me ( ) = dolny kwartyl Q ( ) = górny kwartyl Q ( ) = dominanta (moda) D minimum Min 0 maksimum Max =127.78
130 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia Mierniki rozproszenia R = = 300 S 2 = 1 ( 155( ) ( ) ( ) 2) = S = = V = % = 99.1%
131 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia Jeżeli rozkład wartości cechy X jest podobny do rozkładu normalnego, to w przybliżeniu 70% wartości tej cechy zawiera się w przedziale ( x S, x + S) spełnia nierówność (o ile x > 0) x x x 100% < V gdzie x wartość cechy X.
132 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia Wielobok liczebności: {(ẋ i, n i) : i = 1, 2,... k}
133 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia Wielobok skumulowanej liczebności: { ( ẋ i, n (i) ) : i = 1, 2,... k}
134 Dynamika zjawisk Analiza danych Mierniki położenia i rozproszenia Dodatkowe wyliczenia i ẋ i n i n (i) n (i) /n w i w (i) w (i) /w gdzie w i = n iẋ i, w (i) = w 1 + w w i oraz w = i wi
135 Dynamika zjawisk Analiza danych Koncentracja Krzywa koncentracji (Lorenza): {( n (i), w (i) n w ) : i = 0,..., k} Krzywa koncentracji obrazuje nierównomierność rozdziału ogólnej sumy wartości cechy pomiędzy poszczególne jednostki zbiorowości
136 Dynamika zjawisk Analiza danych Koncentracja Oś X : skumulowany odsetek dłużników Oś Y : skumulowany odsetek sumy pożyczek Brak koncentracji: n (i) n = w (i), dla i = 1,..., k. w
137 Dynamika zjawisk Analiza danych Koncentracja Współczynnik koncentracji Giniego G = a a + b
Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ
Test F- nedecora W praktyce często mamy do czynienia z kilkoma niezaleŝnymi testami, słuŝącymi do weryfikacji tej samej hipotezy, prowadzącymi do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej na róŝnych poziomach
Bardziej szczegółowoSTA T T A YSTYKA Korelacja
STATYSTYKA Korelacja Pojęcie korelacji Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi. Charakteryzując korelację dwóch cech podajemy dwa czynniki: kierunek oraz
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych
Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności
Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności Badanie normalności rozkładu Shapiro-Wilka: jest on najbardziej zalecanym testem normalności rozkładu. Jednak wskazane jest, aby
Bardziej szczegółowoStatystyki opisowe. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Statystyki opisowe 1 / 57
Statystyki opisowe Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Statystyki opisowe 1 / 57 Struktura 1 Miary tendencji centralnej Średnia arytmetyczna Wartość modalna Mediana 2 Miary rozproszenia Roztęp Wariancja
Bardziej szczegółowoWyklad 1. Analiza danych za pomocą pakietu SAS. Obiekty i zmienne. Rodzaje zmiennych
Bioinformatyka - rozwój oferty edukacyjnej Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu
Bardziej szczegółowoZakład Ubezpieczeń Społecznych Departament Statystyki i Prognoz Aktuarialnych
Zakład Ubezpieczeń Społecznych Departament Statystyki i Prognoz Aktuarialnych Struktura wysokości emerytur i rent wypłacanych przez ZUS po waloryzacji w marcu 2011 roku. Warszawa 2011 I. Badana populacja
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 2 Zbiory rozmyte logika rozmyta Rozmywanie, wnioskowanie, baza reguł, wyostrzanie
Ćwiczenie nr 2 Zbiory rozmyte logika rozmyta Rozmywanie, wnioskowanie, baza reguł, wyostrzanie 1. Wprowadzenie W wielu zagadnieniach dotyczących sterowania procesami technologicznymi niezbędne jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Estymacja przedziałowa Statystyka w medycynie Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Populacja, próba, wnioskowanie Statystyka jest nauką o wnioskowaniu, nauką o uogólnianiu polegającym na przechodzeniu
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Bardziej szczegółowoPodstawowe testy statystyczne
Podstawowe testy statystyczne Statystyka w medycynie Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Testy statystyczne Zasadniczą domeną statystyki jest weryfikacja hipotez statystycznych, czyli pewnych przypuszczeń
Bardziej szczegółowoI. LOGICZNE STRUKTURY DRZEWIASTE
I LOGICZNE STRUKTURY DRZEWIASTE Analizując dany problem uzyskuje się zadanie projektowe w postaci pewnego zbioru danych Metoda morfologiczna, która została opracowana w latach 1938-1948 przez amerykańskiego
Bardziej szczegółowoRegresja i korelacja. Statystyka w medycynie. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Regresja i korelacja Statystyka w medycynie Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Regresja i korelacja Dla każdej jednostki (obiektu) mamy wartości dwóch zmiennych losowych: x i y. Chcemy zbadać
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.
Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych
PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowoTEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań
Poziom nauczania: Gimnazjum, klasa II Przedmiot: Matematyka Dział: Równania i układy równań Czas trwania: 45 minut Wykonała: Joanna Klimeczko TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań Liczba punktów za
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoE k o n o m e t r i a S t r o n a 1
E k o n o m e t r i a S t r o n a Liniowy model ekonometryczny Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny (model regresji wielorakiej) można zapisać w postaci: y = α + α x + α x +... + α x + ε, t =,,...,
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych)
ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) Zadanie 1 Zapytano 180 osób (w tym 120 mężczyzn) o to czy rozpoczynają dzień od wypicia kawy czy też może preferują herbatę.
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 2. Działania na zbiorach
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 2. Działania na zbiorach 1 Suma zbiorów Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Definicja 2.1. (suma zbiorów) Suma zbiorów
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych
Bardziej szczegółowoAUTOR MAGDALENA LACH
PRZEMYSŁY KREATYWNE W POLSCE ANALIZA LICZEBNOŚCI AUTOR MAGDALENA LACH WARSZAWA, 2014 Wstęp Celem raportu jest przedstawienie zmian liczby podmiotów sektora kreatywnego na obszarze Polski w latach 2009
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoPodejmowanie decyzji. Piotr Wachowiak
Podejmowanie decyzji Co to jest sytuacja decyzyjna? Jest to sytuacja, kiedy następuje odchylenie stanu istniejącego od stanu pożądanego. Rozwiązanie problemu decyzyjnego polega na odpowiedzeniu na pytanie:
Bardziej szczegółowoZagadnienia transportowe
Mieczysław Połoński Zakład Technologii i Organizacji Robót Inżynieryjnych Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW Zagadnienia transportowe Z m punktów odprawy ma być wysłany jednorodny produkt
Bardziej szczegółowoTesty nieparametryczne
Testy nieparametryczne Statystyka w medycynie Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne nie dotyczą poszczególnych parametrów rozkładu, ale istoty rozkładów
Bardziej szczegółowoMatematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 1 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Granice funkcji Zadanie 1 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (1) Zadanie
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 2 Testy logiczne służące sprawdzeniu jakości danych uczestników projektów współfinansowanych z EFS
Załącznik nr 2 Testy logiczne służące sprawdzeniu jakości danych projektów współfinansowanych z EFS W załączniku zawarto podstawowe testy logiczne pozwalające zweryfikować jakość i spójność danych monitorowanych
Bardziej szczegółowoNazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Nazwa jednostki prowadzącej przedmiot / moduł: WMF Instytut Matematyki
Wypełnia kierownik studiów Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Nazwa jednostki prowadzącej przedmiot / moduł: WMF Instytut Matematyki Nazwa studiów podyplomowych: Studia podyplomowe
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 9. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 2017/2018 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 9 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY Dla dowolnej liczby a > 0, liczby
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem
Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania
Bardziej szczegółowoBLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f() = przy = zakładając, że przyrost zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f() w punkcie
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
TYPY GRAFÓW c.d. Graf nazywamy dwudzielnym, jeśli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory, tak że żadne dwa wierzchołki należące do tego samego podzbioru nie są sąsiednie. G
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoDokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem
Analiza I Potrzebujesz pomocy? Wypełnij formularz Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem różnicującym oglądalność w TV meczów piłkarskich. W tym celu zastosujemy test
Bardziej szczegółowoMetody analizy funkcji przeżycia
Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy
Bardziej szczegółowoZadania z parametrem
Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu
Bardziej szczegółowoZadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
Bardziej szczegółowoPacjenci w SPZZOD w latach 2000-2015
Pacjenci w SPZZOD w latach 2000-2015 W latach 2000 2015 ogółem hospitalizowano 3152 osoby. Zestawienie obejmuje również Zakład Pielęgnacyjno Opiekuńczy, który funkcjonował do 2012 roku. Aktualnie w SPZZOD
Bardziej szczegółowoObjaśnienia wartości, przyjętych do Projektu Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Golina na lata 2012-2015
Załącznik Nr 2 do Uchwały Nr XIX/75/2011 Rady Miejskiej w Golinie z dnia 29 grudnia 2011 r. Objaśnienia wartości, przyjętych do Projektu Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Golina na lata 2012-2015
Bardziej szczegółowoLOGISTYKA DYSTRYBUCJI ćwiczenia 5 ZAPASY ROZPROSZONE ZARZĄDZANIE ZAPASAMI WIELU LOKALIZACJI
1 LOGISTYKA DYSTRYBUCJI ćwiczenia 5 ZAPASY ROZPROSZONE ZARZĄDZANIE ZAPASAMI WIELU LOKALIZACJI AUTOR: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI 2 LITERATURA Piotr Cyplik, Danuta Głowacka-Fertsch, Marek Fertsch Logistyka przedsiębiorstw
Bardziej szczegółowoPomiary geofizyczne w otworach
Pomiary geofizyczne w otworach Profilowanie w geofizyce otworowej oznacza rejestrację zmian fizycznego parametru z głębokością. Badania geofizyki otworowej, wykonywane dla potrzeb geologicznego rozpoznania
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka
Bardziej szczegółowoOgólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
Bardziej szczegółowoMetodologia badań psychologicznych. Lucyna Golińska. Wykład 11. eksp
Metodologia badań psychologicznych Lucyna Golińska S P O Ł E C Z N A A K A D E M I A N AU K Wykład 11. eksp Warunki poprawności 1. Randomizacja to selekcja osób do grup eksperymentalnej i kontrolnej (
Bardziej szczegółowoZmiany dotyczące zasiłku macierzyńskiego od 19 grudnia 2006 r.
Zmiany dotyczące zasiłku macierzyńskiego od 19 grudnia 2006 r. W dniu 19 grudnia 2006 r. wchodzą w życie przepisy ustawy z dnia 16 listopada 2006 r. o zmianie ustawy Kodeks pracy oraz ustawy o świadczeniach
Bardziej szczegółowos n = a k (2) lim s n = S, to szereg (1) nazywamy zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Szeregi liczbowe Definicja Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie a n = a + a 2 + a 3 + () Liczby a n, n =, 2,... nazywamy wyrazami szeregu. Natomiast sumę n s n = a k (2) nazywamy n-tą sumą częściową
Bardziej szczegółowoKONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań
KONKURSY MATEMATYCZNE Treść zadań Wskazówka: w każdym zadaniu należy wskazać JEDNĄ dobrą odpowiedź. Zadanie 1 Wlewamy 1000 litrów wody do rurki w najwyższym punkcie systemu rurek jak na rysunku. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, 24 czerwca 2013 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Rozwiąż następujące zagadnienie programowania liniowego: Zminimalizować 2x 1 x 2 +x 3 +x 4, przy ograniczeniach x 1 x 2 + 2x 3 = 2 x 2 3x 3 = 6 x 1 + x 3 + x 4 =
Bardziej szczegółowoWarszawska Giełda Towarowa S.A.
KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna 2015/2016
Statystyka matematyczna 2015/2016 nazwa przedmiotu SYLABUS B. Informacje szczegółowe Elementy składowe Opis sylabusu Nazwa przedmiotu Statystyka matematyczna Kod przedmiotu 0600-FS2-2SM Nazwa jednostki
Bardziej szczegółowoI.1.1. Technik mechanizacji rolnictwa 311[22]
I.1.1. Technik mechanizacji rolnictwa 311[22] Do egzaminu zostało zgłoszonych: 1 253 Przystąpiło łącznie: 1 079 przystąpiło: 1 016 przystąpiło: ETAP PISEMNY ETAP PRAKTYCZNY zdało: 942 (92,7%) zdało: 482
Bardziej szczegółowoWiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)
Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 17.09.2007 Biomatematyka
Biomatematyka Badamy wpływ dwóch czynników mutagennych na DNA. W tym celu podczas każdej replikacji nić DNA poddawana jest na przemian działaniu pierwszego i drugiego czynnika wywołującego mutacje. Wiemy,
Bardziej szczegółowoRAPORT Z 1 BADANIA POZIOMU SATYSFAKCJI KLIENTÓW URZĘDU MIEJSKIEGO W KOLUSZKACH
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego RAPORT Z 1 BADANIA POZIOMU SATYSFAKCJI KLIENTÓW URZĘDU MIEJSKIEGO W KOLUSZKACH Opracował: Bohdan Turowski,
Bardziej szczegółowo40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA
ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia
Bardziej szczegółowoPRZETWORNIK NAPIĘCIE - CZĘSTOTLIWOŚĆ W UKŁADZIE ILORAZOWYM
PRZETWORNIK NAPIĘCIE - CZĘSTOTLIWOŚĆ W UKŁADZIE ILORAZOWYM dr inż. Eligiusz Pawłowski Politechnika Lubelska, Wydział Elektryczny, ul. Nadbystrzycka 38 A, 20-618 LUBLIN E-mail: elekp@elektron.pol.lublin.pl
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623
Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu
Bardziej szczegółowoDE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15
DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 Wykonawcy ubiegający się o udzielenie zamówienia Dotyczy: postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego na Usługę druku książek, nr postępowania
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 5
Ad przykład: Stonoga LEKCJA 5 SPNE: każdy gracz zaakceptuje propozycje przyjęcia dowolnej sumy w każdym okresie (czyli każdy gracz wierze, że rywal skończy grę w następnym kroku) Interpretacja gry Stonoga:
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Statystyka opisowa Nazwa przedmiotu USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW. dr Agnieszka Krzętowska
KARTA PRZEDMIOTU Kod przedmiotu E/O/SOP w języku polskim Statystyka opisowa Nazwa przedmiotu w języku angielskim Statistics USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma studiów Poziom
Bardziej szczegółowoPrzykłady wybranych fragmentów prac egzaminacyjnych z komentarzami Technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01]
Przykłady wybranych fragmentów prac egzaminacyjnych z komentarzami Technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01] 1 2 3 4 5 6 Efektem rozwiązania zadania egzaminacyjnego przez zdającego była praca 7 egzaminacyjna,
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA SERWISOWA. Wprowadzenie nowego filtra paliwa PN 874060 w silnikach ROTAX typ 912 is oraz 912 is Sport OPCJONALNY
Wprowadzenie nowego filtra paliwa PN 874060 w silnikach ROTAX typ 912 is oraz 912 is Sport ATA System: Układ paliwowy OPCJONALNY 1) Zastosowanie Aby osiągnąć zadowalające efekty, procedury zawarte w niniejszym
Bardziej szczegółowoOFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój
Bardziej szczegółowoTWIERDZENIE PITAGORASA
PODSTAWY > Figury płaskie (2) TWIERDZENIE PITAGORASA Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkąta prostokątnego, to znaczy takiego, który ma jeden kąt prosty. W trójkącie prostokątnym boki, które tworzą kąt
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoAutomatyka. Etymologicznie automatyka pochodzi od grec.
Automatyka Etymologicznie automatyka pochodzi od grec. : samoczynny. Automatyka to: dyscyplina naukowa zajmująca się podstawami teoretycznymi, dział techniki zajmujący się praktyczną realizacją urządzeń
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA II SYLABUS A. Informacje ogólne
EKONOMETRIA II SYLABUS A. Informacje ogólne Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod Język Rodzaj Rok studiów /semestr Wymagania wstępne (tzw. sekwencyjny system zajęć
Bardziej szczegółowoOdpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem
Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest
Bardziej szczegółowoPolska-Warszawa: Usługi w zakresie doradztwa prawnego i reprezentacji prawnej 2015/S 181-327894
1/5 Niniejsze ogłoszenie w witrynie TED: http://ted.europa.eu/udl?uri=ted:notice:327894-2015:text:pl:html Polska-Warszawa: Usługi w zakresie doradztwa prawnego i reprezentacji prawnej 2015/S 181-327894
Bardziej szczegółowo- o zmianie o Krajowym Rejestrze Sądowym
Warszawa, dnia 28 sierpnia, 2012 rok Grupa Posłów na Sejm RP Klubu Poselskiego Ruch Palikota Szanowna Pani Ewa Kopacz Marszałek Sejmu Rzeczypospolitej Polskiej Na podstawie art. 118 ust. 1 Konstytucji
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3
Bardziej szczegółowoZadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I
Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta Pieniężny Pomiar Korzyści z Handlu Możesz kupić tyle benzyny ile chcesz, po cenie 2zł za litr. Jaka jest najwyższa cena, jaką zapłacisz za 1 litr benzyny?
Bardziej szczegółowoRZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie
RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada
Bardziej szczegółowoMatematyka dla liceum/funkcja liniowa
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoEfektywność nauczania w Gimnazjum w Lutyni
Efektywność nauczania w Gimnazjum w Lutyni Efektywność nauczania w danej szkole często utożsamiana jest z jej wynikami egzaminacyjnymi. Gdyby wszystkie szkoły w Polsce pracowały z uczniami o tym samym
Bardziej szczegółowoObjaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017
Załącznik Nr 2 do uchwały Nr V/33/11 Rady Gminy Wilczyn z dnia 21 lutego 2011 r. w sprawie uchwalenia Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej
Bardziej szczegółowoPRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG
PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG WYPŁACALNOŚCI (MB) Próg rentowności (BP) i margines bezpieczeństwa Przychody Przychody Koszty Koszty całkowite Koszty stałe Koszty zmienne BP Q MB Produkcja gdzie: BP próg rentowności
Bardziej szczegółowoLosy zawodowe absolwentów Uniwersytetu Jagiellońskiego studia licencjackie, rocznik 2010/2011. Biuro Karier UJ
Losy zawodowe absolwentów Uniwersytetu Jagiellońskiego studia licencjackie, rocznik 2010/2011 Biuro Karier UJ Raporty z badań losów zawodowych absolwentów (roczniki 2007/2008, 2008/2009, 2009/2010), realizowanych
Bardziej szczegółowo'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE SPOSOBY SPRAWDZANIA POSTĘPÓW UCZNIÓW WARUNKI I TRYB UZYSKANIA WYŻSZEJ NIŻ PRZEWIDYWANA OCENY ŚRÓDROCZNEJ I ROCZNEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE SPOSOBY SPRAWDZANIA POSTĘPÓW UCZNIÓW WARUNKI I TRYB UZYSKANIA WYŻSZEJ NIŻ PRZEWIDYWANA OCENY ŚRÓDROCZNEJ I ROCZNEJ Anna Gutt- Kołodziej ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI Podczas pracy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY DZIAŁANIA UKŁADÓW CYFROWYCH
PODSTAWY DZIAŁANIA UKŁADÓW CYFROWYCH Podstawy działania układów cyfrowych Obecnie telekomunikacja i elektronika zostały zdominowane przez układy cyfrowe i przez cyfrowy sposób przetwarzania sygnałów. Cyfrowe
Bardziej szczegółowoUSTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity)
Dz.U.98.21.94 1998.09.01 zm. Dz.U.98.113.717 art. 5 1999.01.01 zm. Dz.U.98.106.668 art. 31 2000.01.01 zm. Dz.U.99.99.1152 art. 1 2000.04.06 zm. Dz.U.00.19.239 art. 2 2001.01.01 zm. Dz.U.00.43.489 art.
Bardziej szczegółowoRegulamin w konkurencjach solowych
sezon 2016-2017 Regulamin w konkurencjach solowych SENIORZY Program krótki : dozwolona jest muzyka wokalna - czas trwania programu krótkiego 2:40 (+/- 10 sek.) Ogólne: Wycofanie dodatkowych 30 sek. przed
Bardziej szczegółowoPODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3
PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!
Bardziej szczegółowoTEST dla stanowisk robotniczych sprawdzający wiedzę z zakresu bhp
TEST dla stanowisk robotniczych sprawdzający wiedzę z zakresu bhp 1. Informacja o pracownikach wyznaczonych do udzielania pierwszej pomocy oraz o pracownikach wyznaczonych do wykonywania działań w zakresie
Bardziej szczegółowoTemat: Liczby. Pojęcia związane z liczbami i zbiorami. Zaokrąglanie i szacowanie wyników.
Spotkanie 6 Temat: Liczby. Pojęcia związane z liczbami i zbiorami. Zaokrąglanie i szacowanie wyników. Plan zajęć. Zbiory liczbowe N, C, W, NW, R. Jak omówić zbiory liczbowe N naturalne palce, nie ujemne
Bardziej szczegółowoCałka potrójna. Całka potrójna po prostopadłoscianie. f (x i, y i, z i ) x i y i z i. (1)
Całka potrójna Całka potrójna po prostopadłoscianie Rozważmy prostopadłościan = {(x, y, z) R 2 : a x b, c y d, p z q}, gdzie a, b, c, d, p, q R, oraz funkcję trzech zmiennych f : R ograniczoną w tym prostopadłościanie.
Bardziej szczegółowoEksperyment,,efekt przełomu roku
Eksperyment,,efekt przełomu roku Zapowiedź Kluczowe pytanie: czy średnia procentowa zmiana kursów akcji wybranych 11 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (i umieszczonych już
Bardziej szczegółowoKonspekt lekcji otwartej
Konspekt lekcji otwartej Przedmiot: Temat lekcji: informatyka Modelowanie i symulacja komputerowa prawidłowości w świecie liczb losowych Klasa: 2 g Data zajęć: 21.12.2004. Nauczyciel: Roman Wyrwas Czas
Bardziej szczegółowoI.1.1. Technik organizacji usług gastronomicznych 341[07]
I.1.1. Technik organizacji usług gastronomicznych 341[07] Do egzaminu zostało zgłoszonych: 4 334 Przystąpiło łącznie: 4 049 przystąpiło: 4 000 przystąpiło: 3 972 ETAP PISEMNY ETAP PRAKTYCZNY zdało: 3 631
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,
Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowo