Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Transkrypt

1 Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba Przedmowa Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach, a pozostała część jest przeznaczona dla gimnazjalistów oraz osób starszych które chcą sobie przypomnieć wszystko na ich temat. Prawie wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione na chłopski rozum z zachowaniem poprawności matematycznej. Pełną wersję tego opracowania znajdziesz tu: Opracowanie Przypuśćmy, że chcesz obliczyć jakim procentem liczby 12 jest liczba 6. Bez obliczeń wiesz, że 6 to 50% liczby 12. W zadaniach które będziesz rozwiązywać, trzeba to jednak wyliczyć. Nie wolno zgadywać. No i pytanie jak to zrobić? Sposób 1: Układasz równanie wynikające bezpośrednio z treści zadania: z użyciem symbolu % bez używania symbolu % z liczby ż 12 = 6 12 = 6 /: 12 = 6 12 = 1 2 = Symbol % nie wyszedł w wyniku końcowym, bo był napisany w pierwszej linijce. = 50% Sposób 2: Skoro wiesz, że ma Ci wyjść wynik 50% czyli, więc zauważasz, że dzieląc liczbę 6 przez 12 dostaniesz ty- le ile potrzebujesz, czyli. Układasz więc działanie: i je obliczasz: % Jeśli dysponujesz kalkulatorem, obliczenie wyniku możesz zrobić w taki sposób: 6 100% = 0,5 100% = 50% 12 Przypominam, że przy mnożeniu przez 100 przecinek przesuwa się o 2 miejsca w prawo. Wersja z dnia: Procenty strona 1

2 Jak widać, szybszy jest sposób 2. Jest z nim tylko jeden problem. Otóż niektórym osobom sprawia kłopot ustalenie którą z dwóch liczb napisać nad kreską ułamkową a którą pod nią. Można to łatwo ominąć: jeśli chcesz otrzymać wynik mniejszy od 100%, to nad kreską ułamkową napisz mniejszą z dwóch liczb jeśli chcesz otrzymać wynik większy od 100%, to nad kreską ułamkową napisz większą z dwóch liczb Sposób 3: Wypisujesz dane w odpowiedni sposób i układasz jedną z dwóch proporcji: z użyciem symbolu % bez używania symbolu % 100% 12 % 6 To są dane na podstawie których będzie ułożona proporcja. 100% 12 6 To są dane które posłużą do ułożenia proporcji. = % To jest poprawnie ułożona proporcja do tego zadania. = To jest poprawnie ułożona proporcja. = Powyższa proporcja po odpowiednich skróceniach. = Skrócono liczbę 12 z liczbą 6. 2 = 100 /: 2 2 = 100% /: 2 = 50 Symbol % nie wyszedł w wyniku końcowym, bo był wypisany w danych. = 50% Symbol % wyszedł w wyniku końcowym, bo nie był napisany w danych. Zadanie: Jakim procentem liczby 16 jest liczba 10? Analiza treści zadania Skoro liczba 10 jest mniejsza od liczby 16, więc oczekujesz wyniku mniejszego od 100%. Zatem nad kreską ułamkową musisz napisać liczbę 10, a pod nią liczbę 16. By otrzymać wynik w procentach, musisz zapisany ułamek zamienić na procenty. Najszybciej zrobisz to mnożąc go przez 100%. bez układania proporcji z układaniem proporcji 100% = = 8 = 500% /: 8 To są dane które posłużą do ułożenia proporcji. To jest poprawnie ułożona proporcja. Skrócono liczbę 16 z liczbą 10. = 62,5% Odp. Liczba 10 stanowi 62,5% liczby 16. Wynik wyszedł mniejszy od 100%, bo 10 < 16. Wersja z dnia: Procenty strona 2

3 Zadanie: Jakim procentem liczby 16 jest liczba 18? Analiza treści zadania Skoro liczba 18 jest większa od liczby 16, więc oczekujesz wyniku większego od 100%. Zatem nad kreską ułamkową musisz napisać liczbę 18, a pod nią liczbę 16. By otrzymać wynik w procentach, musisz zapisany ułamek zamienić na procenty. Najszybciej zrobisz to mnożąc go przez 100%. bez układania proporcji z układaniem proporcji 100% = = 8 = 900% /: 8 To są dane które posłużą do ułożenia proporcji. To jest poprawnie ułożona proporcja. Skrócono liczbę 16 z liczbą 18. = 112,5% Odp. Liczba 18 stanowi 112,5% liczby 16. Wynik wyszedł większy od 100%, bo 18 > 16. Jakim procentem liczby 20 jest liczba a) 5 b) 8 c) 12 d) 14,5 e) 20 [Odp. a) 25%, b) 40%, c) 60%, d) 72,5%; e) 100%.] Jakim procentem liczby 20 jest liczba a) 25 b) 38 c) 42 d) 62,5 e) 100 [Odp. a) 125%, b) 190%, c) 210%, d) 312,5%; e) 500%.] Jakim procentem liczby 15 jest liczba a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 [Odp. a) 33,(3)%, b) 66,(6)%, c) 100%, d) 133,(3)%; e) 166,(6)%.] Jakim procentem liczby 7 jest liczba 3? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 42,86%.] Jakim procentem liczby 7 jest liczba 19? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 271,43%.] Jakim procentem liczby 23,5 jest liczba 14,1? [Odp. 60%.] Jaki procent 375 cm stanowi 15 cm? [Odp.: 4%.] Jakim procentem 4 m jest 15 cm? [Podpowiedź. Zamień 4 m na centymetry. Odp.: 3,75%.] Jakim procentem 7 kg jest 14 dag? [Podpowiedź. Zamień 7 kg na dekagramy. Odp.: 2%.] Jaki procent wszystkich kółek stanowią kółka zielone? Jakim procentem sumy kółek pomarańczowych i niebieskich jest liczba kółek zielonych? [Odp. 25%, 33,(3)%.] Diagram kołowy podzielono na 24 równe części. Kolorem żółtym zamalowano 2 sąsiadujące ze sobą kawałki, czerwonym 3, zielonym 4, niebieskim 6, zaś pomarańczowym 9. Jakie wartości procentowe przedstawia ten diagram kołowy? [O diagramach kołowych możesz przeczytać na stronie Błąd! Nie zdefiniowano zakładki..] [Odp.: 8,(3)%; 12,5%; 16,(6)%; 25%; 37,5%.] Przez 6 dni kwietnia padał śnieg. Jaki procent kwietnia stanowią dni w których padał śnieg? [Podpowiedź. Ile dni ma kwiecień? Odp. 20%.] Filip na 70 rzutów do kosza trafił tylko 14 razy. Jaką procentową skuteczność miał Filip? [Odp. 20%.] Na początku 2009 roku Państwowa Inspekcja Handlowa poinformowała, że na 1800 skontrolowanych stacji benzynowych w Polsce, 140 sprzedawało paliwo złej jakości. Jaki procent skontrolowanych stacji benzynowych stanowiły stacje sprzedające paliwo złej jakości? [Odp. 7,(7)%.] Klasa liczy 24 uczniów, w tym 15 dziewczyn. Jaki procent uczniów tej klasy stanowią chłopcy? [Odp. 37,5%.] Wersja z dnia: Procenty strona 3

4 Klasa liczy 30 uczniów. Jeden z uczniów tej klasy wyprawił w domu swoje urodziny na które zaprosił całą swoją klasę. Na przyjęcie przyszło tylko 12 osób z jego klasy. Jaki procent całej klasy stanowią osoby które nie przyszły na przyjęcie urodzinowe? [Podpowiedź. Ile osób z jego klasy zostało zaproszonych? Odp. 56,(6)%.] W gimnazjum powiatowym uczy się 520 uczniów. 442 uczniów tego gimnazjum nigdy nie było poza granicami Polski. Jaki procent uczniów tego gimnazjum stanowią uczniowie którzy byli choć raz poza granicami Polski? [Podpowiedź. Ile uczniów tego gimnazjum było choć raz poza granicami Polski? Odp. 15%.] Na kurs języka rosyjskiego zapisało się 60 osób. Wśród nich było 24 mężczyzn. Jaki procent wszystkich słuchaczy stanowiły kobiety? [Podpowiedź. Ile kobiet zapisało się na ten kurs? Odp. 60%.] Podstawa trójkąta ma długość 8 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę 5 cm. Bok kwadratu jest równy 6 cm. Jaki procent pola trójkąta stanowi pole kwadratu? [Odp. 180%.] Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę 4 cm. Bok kwadratu jest równy długości ramienia tego trójkąta. Jaki procent pola kwadratu stanowi pole trójkąta? [Podpowiedź. Wykorzystaj tw. Pitagorasa do wyliczenia długości ramienia trójkąta lub dopatrz się trójkąta egipskiego. Odp. 48%.] Jaki procent pola kwadratu stanowi pole trójkąta równobocznego zbudowanego na boku tego kwadratu? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 25 3% 43,30%.] Jakim procentem liczby 15 jest suma jej wszystkich dzielników dodatnich? [Odp. 160%.] Po zakończeniu suszenia grzybów z 25 kg zrobiło się 2,25 kg grzybów suszonych. Jakim procentem masy świeżych grzybów była masa wody która wyparowała? [Odp. 91%.] W pewnej szkole uczy tylko 6 nauczycieli. Zapytano uczniów jednej klasy, którego nauczyciela lubią najbardziej. Przedstaw poniższe wyniki za pomocą procentowego wykresu kolumnowego. nauczyciel 1 nauczyciel 2 nauczyciel 3 nauczyciel 4 nauczyciel 5 nauczyciel 6 uczeń 1 nie tak nie nie nie nie uczeń 2 nie nie nie nie tak nie uczeń 3 tak nie nie nie tak nie uczeń 4 nie tak tak nie tak nie uczeń 5 nie nie nie nie nie nie uczeń 6 nie nie nie nie nie nie uczeń 7 tak nie nie nie tak nie uczeń 8 nie nie nie nie nie tak uczeń 9 nie tak nie nie tak nie uczeń 10 nie tak nie nie tak nie Uzupełnij poniższą tabelkę. kino 1 kino 2 kino 3 kino 4 liczba dorosłych liczba dzieci liczba widzów 800 procent widzów jaki stanowią osoby dorosłe 60% procent widzów jaki stanowią dzieci 33,(3)% Wersja z dnia: Procenty strona 4

5 Zadanie: Ile kopert wystarczy dorysować do rysunku obok, aby stanowiły one 35% wszystkich figur? [Tekst napisany jasnoszarym kolorem można wykonać w myślach.] podejście rozumowe 35% = = 7 20 więc na każde 20 figur musi przypadać dokładnie 7 kopert. Ponieważ figur jest 16, a koperty są 3, więc dorysowując 4 koperty liczba figur zwiększy na 20, a liczba kopert na 7. Zatem odpowiedzią jest, że trzeba dorysować 4 koperty. podejście wyliczeniowe ę ę = 7 20 = 35% = 7(16 + ) = = = 52 /: 13 = 4 Odp. Należy dorysować 4 koperty. Zadanie: Ile kopert i ile słoneczek wystarczy dorysować do rysunku obok, aby koperty stanowiły 35,5% wszystkich figur? 35,5% =, = = podejście rozumowe Powyższy ułamek oznacza, że na każde 200 figur musi przypadać dokładnie 71 kopert. Zatem należy dorysować 68 kopert (co zwiększy liczbę figur na 84) i 116 słoneczek (co da w sumie oczekiwane 200 figur). liczba kopert jaką trzeba dorysować liczba słoneczek jaką trzeba dorysować podejście wyliczeniowe ę ę ł = 35,5% = Dwa ułamki są sobie równe, jeśli ich liczniki są sobie równe oraz ich mianowniki są sobie równe. 3 + = 71 = = = 200 = 116 Odp. Należy dorysować 68 kopert i 116 słoneczek. Narysuj 5 kopert i 8 słoneczek. Ile wystarczy dorysować kopert i słoneczek, aby słoneczka stanowiły 18% wszystkich figur? [Odp. k = 36, s = 1.] Wersja z dnia: Procenty strona 5

6 Zadanie: Tata Roberta uzbierał w lesie 15 kg grzybów. Gdy je ususzył ich masa spadła do 1,5 kg. Ile procent wody zawierały grzyby przywiezione przez tatę Roberta, jeśli po ususzeniu było w nich tylko 8% wody? rysunek poglądowy (wykres warstwowy) obliczenia Obliczamy ile wyparowało wody podczas suszenia. 15 kg 1,5 kg = 13,5 kg Obliczamy ile wody jest w suszonych grzybach. 8% z 1,5 kg = 0,08 1,5 kg = 0,12 kg Obliczamy ile wody było w przywiezionych grzybach. 13,5 kg + 0,12 kg = 13,62 kg Obliczamy jakim procentem masy wszystkich grzybów jest powyżej obliczona masa wody. 13,62 kg 15 kg 1362% 100% = = 90,8% 15 Odp.: Grzyby przywiezione przez tatę Roberta zawierały 90,8% wody. Fabryka wyprodukowała nagrywarek DVD z czego 24% było wadliwych. W ilu wadliwych nagrywarkach należy usunąć wadę fabryczną by wadliwe nagrywarki stanowiły mniej niż 6% wyprodukowanych nagrywarek? [Podpowiedź. Wykonaj wykres warstwowy podobny do tego, który jest w powyższym zadaniu o grzybach. Ile było wadliwych sztuk? Jeśli ich ilość zmniejszymy o x, to otrzymany wynik musi być mniejszy od ilu? Ułóż nierówność i rozwiąż ją. Odp. Co najmniej szt.] Zadanie: W hucie stopiono ze sobą miedź, cynę, cynk i ołów otrzymując tzw. spiż ważący 8 ton. W otrzymanym stopie jest 880 kg cyny. Ołów stanowi 62,5% cynku, zaś cynk 8% całego stopu. Jaki jest procentowy udział miedzi w tym stopie? rysunek poglądowy (wykres warstwowy) obliczenia Obliczamy ile jest cynku. 8% z 8 t = 0, kg = 640 kg Obliczamy ile jest ołowiu. 62,5% z 640 kg = 0, kg = 400 kg Obliczamy ile jest miedzi kg 880 kg 640 kg 400 kg = 6080 kg ł łó Obliczamy jakim procentem masy całego stopu jest masa miedzi. Powyżej skrócono zera, jednostki oraz liczbę 608 z 8 (przez 8). Odp.: Miedź stanowi 76% całego stopu. Wersja z dnia: Procenty strona 6

7 W hucie stopiono ze sobą miedź i cynk otrzymując mosiądz. Miedź stanowi 400% cynku. Ile procent stopu stanowi cynk? [Podpowiedź. Ustal ile waży cały stop (suma masy miedzi i cynku). Odp. 20%.] Topiąc ze sobą 1840 kg miedzi oraz cynę otrzymano brąz. Cyna stanowi 8% tego stopu. Ile kilogramów miedzi należy dodać do tego stopu, by zawartość cyny w tym stopie spadła do 5%? [Podpowiedź. Jaki procent stopu stanowi miedź? Ile waży cały stop, skoro miedzi jest 1840 kg? Jeśli dodamy y miedzi, to ile będzie ważyć nowy stop? Jakim procentem nowego stopu będzie miedź? Odp kg.] Wersja z dnia: Procenty strona 7