2a a a + 5 = 27 6a + 9 = % 18 = = 54

Transkrypt

1 Wojewódzki Konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych od klas IV województwa pomorskiego, rok szkolny 2017/2018 Etap II - rejonowy W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każde inne poprawne rozwiązanie zadania uczeń otrzymuje maksymalną liczbę punktów. Do kolejnego etapu kwalifikuje się uczeń, który uzyskał co najmniej 14 punktów. Zadanie 1 [0 2] Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 27. Wyznacz liczbę o 200% większą od sumy najmniejszej i największej z tych trzech liczb. rzykładowe rozwiązanie x, y, z trzy kolejne liczby nieparzyste x = 2a + 1; aεc y = 2a + 3; aεc z = 2a + 5; aεc 2a a a + 5 = 27 6a + 9 = 27 6a = 18 a = 3 x = 7, y = 9, z = 11 x + z = % 18 = = 54 Odpowiedź: Liczba o 200% większa od sumy najmniejszej i największej z tych liczb to 54. poprawnie obliczy sumę największej i najmniejszej z tych liczb (18). poprawnie obliczy liczbę o 200% większą od sumy największej i najmniejszej z tych liczb (54). Zadanie 2 [0 2] Oblicz miarę kąta wypukłego utworzonego przez wskazówki zegara o godzinie 20:25. rzykładowe rozwiązanie = ,5 = 102, Odpowiedź: 102,5. zastosuje poprawną metodę obliczenia miary kąta wypukłego utworzonego przez wskazówki zegara o godzinie 20:25. poprawnie obliczy miarę kąta wypukłego utworzonego przez wskazówki zegara o godzinie 20:25 (102,5 ). Uwaga! Jeżeli uczeń poprawnie obliczy miarę kąta wklęsłego utworzonego przez wskazówki zegara o godzinie 20:25 to otrzymuje 2 punkty.

2 Zadanie 3 [0 2] Aby obliczyć 4 pewnej liczby, wystarczy odjąć od niej 4 1. Oblicz, ile trzeba odjąć od tej liczby, 5 2 aby otrzymać 2 tej liczby. 9 rzykładowe rozwiązanie Niech x oznacza szukaną liczbę x 4,5 = 4 5 x 5x 22,5 = 4x x = 22, = 5 22,5 5 = 17,5 Odpowiedź: Aby otrzymać 2 szukanej liczby, wystarczy odjąć od niej 17,5. 9 poprawnie wyznaczy liczbę 22,5. poprawnie obliczy 2 liczby 22,5 (5) i poda poprawną odpowiedź (17,5). 9 Zadanie 4 [0 2] Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest ona sumą wszystkich swoich dzielników właściwych, czyli dzielników mniejszych od tej liczby. Znajdź liczbę doskonałą podzielną przez 4, która posiada dokładnie pięć dzielników właściwych. rzykładowe rozwiązanie: x szukana liczba Dzielniki właściwe liczby x: 1,2,4, x 2, x x 2 + x 4 = x Odpowiedź: Ta liczba to = x poprawnie wypisze wszystkie dzielniki właściwe szukanej liczby w postaci wyrażeń algebraicznych. poprawnie wyznaczy szukaną liczbę (28).

3 Zadanie 5 [0 1] iłka i lalka ważą razem 61 dag, miś i lalka ważą razem 54 dag, a piłka i miś ważą razem 55 dag. Oblicz, ile waży każda z tych trzech zabawek. rzykładowe rozwiązanie Sposób 1 Zauważmy, że dwie identyczne piłki, dwie identyczne lalki i dwa identyczne misie ważą razem = 170. onadto dwie identyczne piłki i dwie identyczne lalki ważą razem 2 61 = 122. Stąd dwa identyczne misie ważą łącznie = 48, czyli jeden miś waży 48: 2 = 24. Rozumując podobnie otrzymujemy, że jedna piłka waży 31 dag, zaś jedna lalka waży 30 dag. Sposób 2 Niech p, l, m oznaczają odpowiednio masę piłki, lalki i misia. p + l = 61 m + l = 54 p + m = 55 p + m + 2l = l = 115 l = 30 p = 31 m = 24 Odpowiedź: iłka waży 31 dag, lalka 30 dag, miś 24 dag. poprawnie obliczy, ile waży każda z zabawek.

4 Zadanie 6 [0 3] Każda z dziewczynek: Ania, Zosia i Marysia wycięła z kartonu jeden kwadrat. Kwadrat Zosi ma bok o 10 cm dłuższy od boku kwadratu Ani, a kwadrat Marysi ma bok o 1 cm krótszy od boku kwadratu Ani. Okazało się, że pole kwadratu Zosi jest o 600 cm 2 większe od pola kwadratu Ani. Oblicz, o ile procent pole kwadratu Marysi jest mniejsze od pola kwadratu Ani. rzykładowe rozwiązanie Niech a oznacza długość boku kwadratu Ani. 10 a a 10 ole kwadratu Marysi: 10(a + 10) + 10a = 600 a a = 60 a = 25 (25 1) 2 = 24 2 = = 49 ole kwadratu Marysi jest o = 7,84 % mniejsze od pola kwadratu Ani. Odpowiedź: ole kwadratu Marysi jest o 7,84 % mniejsze od pola kwadratu Ani. poprawnie wyznaczy długość boku kwadratu Ani (a = 25). poprawnie obliczy, o ile pole kwadratu Marysi jest mniejsze od pola kwadratu Ani (49). Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy: poprawnie obliczy, o ile procent pole kwadratu Marysi jest mniejsze od pola kwadratu Ani (7,84 %).

5 Zadanie 7 [0 3] Oceń prawdziwość zdań. Otocz kółkiem, jeśli zdanie jest prawdziwe lub, jeśli zdanie jest fałszywe. Suma dowolnej liczby dwucyfrowej i dowolnej liczby trzycyfrowej jest zawsze liczbą trzycyfrową. W każdym trójkącie istnieje kąt, który ma miarę równą co najmniej 60 o. Wartość liczbowa wyrażenia 3x ( 4x + 2) + ( 6x 1) + x ( 4x + 2) + ( 6x 1) + 3 dla x = 2018 jest równa = 2018 Banknot o nominale 20 zł można rozmienić na siedem monet, z których każda ma nominał 1 zł lub 5 zł. Suma liczby przeciwnej do liczby a = 3 2 i liczby b, która stanowi 75% liczby 2 3 jest równa 0, Odpowiedź: Suma dowolnej liczby dwucyfrowej i dowolnej liczby trzycyfrowej jest zawsze liczbą trzycyfrową. W każdym trójkącie istnieje kąt, który ma miarę równą co najmniej 60 o. Wartość liczbowa wyrażenia 3x ( 4x + 2) + ( 6x 1) + x ( 4x + 2) + ( 6x 1) + 3 dla x = 2018 jest równa = 2018 Banknot o nominale 20 zł można rozmienić na siedem monet, z których każda ma nominał 1 zł lub 5 zł. Suma liczby przeciwnej do liczby a = 3 2 i liczby b, która stanowi 75% liczby 2 3 jest równa 0, udzieli jednej lub dwóch poprawnych odpowiedzi. udzieli trzech lub czterech poprawnych odpowiedzi. Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy: udzieli pięciu lub sześciu poprawnych odpowiedzi.

6 Zadanie 8 [0 2] Różnica dwóch ułamków dziesiętnych jest równa 19,35. Jeżeli w dziesiętnym zapisie jednego z tych ułamków przesuniemy przecinek o jedno miejsce w prawo, to otrzymamy dziesiętny zapis drugiego ułamka. Wyznacz te ułamki dziesiętne. rzykładowe rozwiązanie Niech x i y oznaczają odpowiednio większy i mniejszy z szukanych ułamków. Odpowiedź: 2,15 i 21,5. x y = 19,35 10y y = 19,35 9y = 19,35 y = 2,15 x = 21,5 zauważy, że jeden z ułamków jest 9 razy większy od drugiego. prawidłowo wyznaczy oba ułamki dziesiętne.

7 Zadanie 9 [0 3] rzekątna prostokąta ABCD ma długość 50 cm. unkt E jest środkiem boku AB. Oblicz pole prostokąta ABCD wiedząc, że odległość punktu E od przekątnej DB (długość odcinka E) jest równa 12 cm. rzykładowe rozwiązanie Sposób 1 DEB = 1 2 DB E = 300 = 1 EB AD 2 DAB = 1 AB AD = EB AD = Odpowiedź: ole prostokąta ABCD jest równe 1200 cm 2. Sposób 2 Trójkąty ABD i BE są podobne (cecha kkk), zatem 12 = AD. EB 50 Stąd EB AD = = 600, czyli ABCD = 2 EB AD = 1200 Odpowiedź: ole prostokąta ABCD jest równe 1200 cm 2. zauważy, że pole prostokąta ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DEB lub zauważy trójkąty podobne. poprawnie obliczy pole trójkąta DEB (300 cm 2 ) lub ułoży poprawną proporcję pozwalającą policzyć EB AD Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy: poprawnie obliczy pole prostokąta ABCD (1200 cm 2 ).