wrzesieñ/paÿdziernik/2008 nr 34 Czasopismo dla nauczycieli szkó³ œrednich cena 7 z³ ISSN

Transkrypt

1 nr 34 wrzesieñ/paÿdziernik/008 Czasopismo dla nauczycieli szkó³ œrednich cena 7 z³ ISSN

2 ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1 Chcesz czy nie chcesz, musisz zdawać Powoli dociera do nas, nauczycieli, fakt, że już niedługo wszyscy uczniowie będą zdawać maturę z matematyki. Nawet ci najgorsi. Mamy tylko niewiele ponad rok, by dotarło to także do uczniów. Czy zaglądali już Państwo do nowej wersji informatora CKE o maturze w 010 roku? Nie? W takim razie nie wiedzą Państwo, że na maturze ponad połowa zadań to będą zadania testowe (zadania zamknięte, jak mówią uczeni w piśmie). W artykule Zuzanny Mikołajskiej znajdą Państwo inne ważne informacje o maturze 010. A w dziale Temat numeru jest jeszcze kilka artykułów o nauczaniu nie tylko tych, którzy chcą się uczyć, ale także tych, którzy muszą. Od tego numeru rozpoczynamy dwa nowe cykle: Trzynaście ksiąg i Listy z Antwerpii. W Trzynastu księgach Agnieszka Piecewska-Łoś będzie opowiadać o tym, co można znaleźć w najsłynniejszym dziele matematycznym wszechczasów, to znaczy w Elementach Euklidesa. Listy z Antwerpii pisać do nas będzie Jacek Lech, który od sierpnia zatrudnił się w belgijskiej szkole. Kto przed kilku laty czytał jego listy z Ameryki, ten wie, że na pewno warto czytać także te z Belgii. Na koniec zostawiłem jeszcze jedną nowość. Matematykę w Szkole można nabyć także w wersji elektronicznej. Szczegóły znajdują się na stronie internetowej Już teraz można kupić numer bieżący i wszystkie numery, począwszy od 19. Niedługo w ofercie znajdzie się także reszta numerów z ubiegłych lat.

3 Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413 tel fax Dział sprzedaży: tel Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich skr. poczt Gdańsk 5 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Małgorzata Domian Agnieszka Frączyk Aleksandra Golecka-Mazur Jacek Lech Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Rafał Szczawiński / Pracownia Ilustracje: Sławomir Kilian SPIS TREŚCI EDUKACJA 3 Zuzanna Mikołajska Obowiązkowa matura Nauczanie w Europie. Jak długo trzeba chodzić do szkoły 6 Jacek Lech Listy z Antwerpii TEMAT NUMERU MATEMATYKA DLA WSZYSTKICH 9 Kinga Recelska Plan dla humanistów 11 Adam Wojaczek Przygotowanie uczniów do matury 14 Agnieszka Mańkowska-Ciesielska O pożytkach z hospitacji 17 Katarzyna Kochanek Efektywnie i efektownie 1 Marcin Braun Bezwzględna dla uczniów NAUCZANIE MATEMATYKI 4 Michał Kremzer Kąty w ostrosłupie 5 Marcin Braun Przez karty do pochodnej 8 Janusz Karkut Kilka zastosowań pewnej sumy 30 Waldemar Karpiński Ciekawe sekwencje liczb 31 Agnieszka Piecewska-Łoś Trzynaście ksiąg. Mit o ścisłości 34 Edward Zych Śladami Euklidesa. Pole czworokąta 36 Dorota Jankowska Konkurs drużynowy MATERIAŁY 40 Anna Sajko Zadania przygotowawcze 4 Aneta Góra Moduł 60 stopni 44 Jerzy Janowicz VI Bolesławiecki Konkurs Matematyczny ZOSTATNIEJŁAWKI 46 Coś trzeba wiedzieć Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Joanna Szyller Zdjęcie na okładce: Natalia Liliańska Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 100 egz.

4 EDUKACJA 3 Zuzanna Mikołajska OBOWIĄZKOWA MATURA 010 CKE opublikowała właśnie nową wersję informatora o maturze w 010 roku. Niemal nic się nie zmieniło w egzaminie dla zakresu rozszerzonego, za to dla zakresu podstawowego zmian jest bardzo dużo. A właśnie ten zakres jest istotny dla tych uczniów, którzy najbardziej się boją obowiązkowej matury z matematyki. Przed ubiegłoroczną maturą mieliśmy spore zamieszanie. Jeszcze poprzedni minister edukacji wprowadził nowe podstawy programowe (także w klasie maturalnej!) i CKE musiała w trybie awaryjnym ogłosić, że przez dwa lata na maturze obowiązuje część wspólna starej i nowej podstawy. Od 010 roku obowiązują już standardy egzaminacyjne wprowadzone z nową podstawą. Pech (?) chce, że będzie to akurat pierwszy rok obowiązkowej matury z matematyki. Będziemy musieli jeszcze raz uważnie przeczytać standardy wymagań egzaminacyjnych. Zmiany związane z nową podstawą to jedyne zmiany, które w 010 roku dotkną zakres rozszerzony. Za to w zakresie podstawowym rewolucja nie ogranicza się tylko do wprowadzenia obowiązku zdawania matematyki. Inna struktura arkusza Przede wszystkim zapowiedziano, że zmieni się struktura arkusza. Zaplanowano trzy rodzaje zadań. Będą to głównie zadania testowe (zamknięte) ma ich być od 0 do 30, każde za 1 punkt. Dwa pozostałe rodzaje to: zadania krótkiej odpowiedzi (za punkty) oraz zadania rozszerzonej odpowiedzi (za 4, 5 lub 6 punktów). Zadań krótkiej odpowiedzi ma być od 5 do 10, a zadań rozszerzonej odpowiedzi od 3 do 5. Czym się różnią od siebie te trzy rodzaje zadań, właściwie nie wyjaśniono. Trzeba się tego domyślać z ich nazwy i zadań zamieszczonych w przykładowych arkuszach. Do tej kwestii jeszcze wrócę pod koniec artykułu. Wiemy zatem, że zadań w arkuszu będzie co najmniej 8, ale nie więcej niż 45. To dużo, znacznie więcej niż teraz. Oczywiście można argumentować, że sporo jest zadań testowych, więc nie trzeba na ich rozwiązanie dużo czasu. Niestety, zadania podane jako przykład w informatorze to zadania bardzo podobne do tych, które pojawiały się na poprzednich maturach, a nawet na starych maturach (zob. ramka). Zad. 5. (1 pkt) Liczby: 1, 3,x 11, w podanej kolejności, są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa A. 5 B. 9 C. 16 D. 0 Zad. 5. (1 pkt) Ze zbioru liczb {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy A. p<0, 3 B. p =0, 3 C. p = 1 3 D. p> 1 3

5 4 EDUKACJA Ich rozwiązanie tylko pozornie polega jedynie na wskazaniu jednej z czterech możliwości. Aby to rozumnie zrobić, i tak trzeba najpierw rozwiązać tradycyjne, często wcale nie najprostsze zadanie maturalne. Na szczęście wydłużono też czas pisania matury do 170 minut (trudno odgadnąć, dlaczego nie do pełnych trzech godzin). Tak jak dotychczas, za cały arkusz będzie można zdobyć 50 punktów, więc aby zdać maturę, czyli zdobyć 30% punktów, trzeba nazbierać 15 punktów. Zatem maturę z dużym zapasem będzie można zdać, rozwiązując tylko zadania testowe (w sumie co najmniej 0 punktów). Kryteria oceniania Zadania testowe będą sprawdzane zapewne automatycznie, tak jak na egzaminie gimnazjalnym. Nie potrzeba więc do nich zatrudniać żadnego egzaminatora, co pozwoli uzyskać sporo oszczędności. Żeby jeszcze ktoś wpadł na pomysł, by jeden egzaminator oceniał jedno zadanie w dużej liczbie prac, a nie wiele zadań w mniejszej liczbie prac. Znajdziemy też w informatorze próbę opisu kryteriów oceniania, jednak na tyle ogólną, że wciąż pozostaje wiele wątpliwości. Rozwiać te wątpliwości ma zapewne przykładowa ocena zadania 31 (s. 45 Informatora ), która jest dość szczegółowa. Wygląda na to, że nastąpi całkowita zmiana podejścia. Ma już nie być przyznawania punktów za byle co, to znaczy za poprawne wprawdzie zapisy lub rysunki, które jednak w żaden sposób nie zbliżają ucznia do właściwego rozwiązania zadania. Trochę szkoda, że do przedstawienia tego nowego wzorca oceniania wybrano zadanie, które jest wręcz karykaturalnym przykładem zadań matematycznych znienawidzonych przez pokolenia maturzystów humanistów (zadanie o pociągach zmierzających z miasta A do miasta B). A zupełnie fatalnie, że we wzorcowym rozwiązaniu korzysta się z metod wyraźnie wykraczających poza podstawę programową dla zakresu podstawowego (układ dwóch równań drugiego stopnia). Krótka odpowiedź -dużowątpliwości Najbardziej tajemniczo przedstawia się kwestia oceniania zadań krótkiej odpowiedzi. Nazwa i forma zapisu tych zadań sugerują, że będzie oceniana sama odpowiedź. Jednak w jednym z przykładowych arkuszy wśród zadań krótkiej odpowiedzi znalazło się zadanie na dowodzenie (zadanie 8 na s. 43 Informatora ). Tutaj żadnej krótkiej odpowiedzi nie da się udzielić i poza niską punktacją (i tym, że jest na dowodzenie) zadanie nie różni się od zadań rozszerzonej odpowiedzi. Zresztą podobne zadanie na dowodzenie w drugim arkuszu (zadanie 9 na s. 66) jest umieszczone właśnie wśród zadań rozszerzonej odpowiedzi i można za nie otrzymać 5 punktów. Patrząc na przedstawione w arkuszu zadania, odnoszę wrażenie, że ich autorzy sami jeszcze nie są pewni, jaką funkcję mają spełniać zadania krótkiej odpowiedzi. To wygląda tak, jakby zadania układano, nie zastanawiając się, do którego z trzech rodzajów mają trafić. Ciąg dalszy nastąpi Do tej pory opisałam tylko techniczną stronę obowiązkowej matury z matematyki, nie wdając się w treść zadań. A jest o czym pisać. Wyraźnie widać, że zmienił się sposób przygotowania arkuszy maturalnych. Zmienił się ich styl, dobór tematyki i rodzajów zadań, poziom trudności. O tym wszystkim napiszę w następnym numerze Matematyki wszkole.

6 8 NAUCZANIE MATEMATYKI Janusz Karkut KILKA ZASTOSOWAŃ PEWNEJ SUMY W rozdziale 3. swojej książki 1 G. Polya podaje zasłyszaną w dzieciństwie wersję opowieści o odkryciu, którego dokonał mały Gauss. Zadanie, które przedstawił uczniom nauczyciel szkoły podstawowej, w nadziei na chwilę spokoju, było następujące: dodać do siebie 1,, 3 i tak dalej aż do 0. Był niemile zaskoczony, gdy mały Gauss już po chwili położył przed nim tabliczkę i rzekł: Oto wynik. Na tabliczce widniała jedna liczba: 10. Jak mały Gauss uzyskał ten wynik? Oczywiste, że nie poznamy odpowiedzi na to pytanie, ale być może jego sposób polegał na tworzeniu par liczb o takiej samej sumie, tak jak czynimy to dzisiaj. Wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych S = n(n+1) jest dość powszechnie wykorzystywany w różnych zadaniach (w tym kon- kursowych), dlatego warto zapoznać z nim uczniów już w starszych klasach gimnazjum. Warto też uwzględnić takie zadania, które rozwiążemy szybciej licząc sumy metodą Gaussa. Oto kilka propozycji. Zadanie 1 Jaka jest największa liczba naturalna n taka, że średnia arytmetyczna wszystkich liczb naturalnych od 1 do n jest mniejsza od 008? Przypominając pojęcie średniej arytmetycznej, napiszemy: n(n+1) n = n +1 Dalej mamy: n+1 < 008, n<4015. Największą liczbą naturalną, która spełnia tę nierów- ność, jest liczba n = Zadanie W ilu miejscach trzeba zmienić znak + na znak w sumie , aby jako wynik sumowania otrzymać liczbę 007? Zauważmy, że suma S = = = 5050 jest liczbą parzystą. Zmieniając w podany niżej sposób znak stojący przed liczbą oznaczoną przez i otrzymujemy zawsze i = S i, czyli liczbę parzystą! Żadna więc zmiana znaków nie pozwala na otrzymanie liczby nieparzystej 007. Zadanie 3 Znajdź sumę liczb nieparzystych i niepodzielnych przez 7, zawartych pomiędzy 0 a Liczb nieparzystych zawartych w podanym przedziale jest Liczb nieparzystych będących wielokrotnością liczby 7 jest w tym przedziale 14.

7 NAUCZANIE MATEMATYKI 9 Stosując teraz metodę Gaussa, obliczymy szukaną wartość, odejmując od sumy wszystkich liczb nieparzystych sumę wszystkich nieparzystych wielokrotności liczby 7: ( ). Ponieważ = = = oraz = = = 30 75, więc otrzymujemy: = Suma liczb z zadanego przedziału, nieparzystych i niepodzielnych przez 7, wynosi Zadanie 4 Dany jest zbiór A = {1,, 3,...,008}. Ile jest takich podzbiorów zbioru A, których suma elementów wynosi ? Zauważmy, że suma wszystkich elementów zbioru A wynosi = Suma elementów podzbioru zbioru A będzie równa wtedy i tylko wtedy, gdy suma elementów jego dopełnienia będzie równa 6. Takimi podzbiorami są jedynie zbiory: {1,, 3}, {1, 5}, {, 4}, {6}. Oznacza to, że są cztery podzbiory zbioru A, których suma elementów wynosi Zadanie 5 Liczby zwane trójkątnymi można zapisać n(n+1) w postaci, gdzie n =1,, 3... Początkowymi liczbami trójkątnymi są więc: 1, 3, 6, 10, 15,... Znajdź wszystkie pary (a, b), gdzie a<b, takich liczb trójkątnych, dla których b a = 008. Niech a i b będą szukanymi liczbami trójkątnymi. Wówczas a = x(x+1), b = y(y+1), x<y. Zgodnie z warunkami zadania: b a = y(y+1) x(x+1) = 008. Po przekształceniach mamy następujące równanie: (y x)(y + x +1)= 51. Ponieważ interesują nas rozwiązania tego równania w zbiorze liczb naturalnych, trzeba rozpatrzyć następujące przypadki (y x<y+ x +1): y x y + x z których tylko pierwszy i ostatni dadzą rozwiązanie. W pierwszym przypadku mamy: { { y x =1 x = 007 y + x +1= 51 y = 008 { a = b = Drugie rozwiązanie jest następujące: { y x = y + x + 1 = 51 { x = 117 y = 133 { a = 6903 b = 8911 W kilku powyższych przykładach celowo użyłem liczby 008. Taki mamy przecież rok! Ach, te lata... Liczba 007 dzieli się przez 9, 008 dzieli się przez 8, 009 dzieli się przez 7, a 010 dzieli się przez 6. Czy łatwo jest znaleźć analogiczną sekwencję, która zdarzy się po roku 007? Powyższe przykłady sygnalizują liczne możliwości zastosowań wzoru na sumę kolejnych liczb naturalnych i myślę, że mogą być inspiracją do dalszych samodzielnych poszukiwań. 1 G. Polya, Odkrycie matematyczne. O rozumieniu, uczeniu się i nauczaniu rozwiązywania zadań, WNT, Warszawa 1975, s

8