ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1

Transkrypt

1

2 ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1 Idzie jeszcze nowsze Nauczyciele doskonale wiedzą, że w ostatniej klasie liceum naprawdę uczą się danego przedmiotu tylko ci, którzy go zdają na maturze. Co więcej, uczniowie wiedzą, że na lekcji przedmiotu, którego nie zdają na maturze, mogą robić co chcą, byle nie przeszkadzali nauczyciel się nimi nie interesuje. W ten sposób jest marnowany czas uczniów i nauczycieli. Pani minister ogłosiła właśnie projekt reformy programowej, która w szkołach ponadgimnazjalnych jest także reformą organizacji pracy. Czy takie propozycje zmian pomogą zwalczyć opisaną wyżej fikcję? Nie wiem. Ale wiem, że nauczyciele zrażeni nieustannymi reformami nie chcą nawet o tym dyskutować. Udział w zaproponowanej przez MEN dyskusji na temat nauczania matematyki w liceum i technikum zapowiedziało zaledwie 30 osób, w tym sześciu uczniów! Nauczycieli matematyki jest w tych szkołach kilkanaście tysięcy. W kolejnych numerach Matematyki w Szkole będziemy szczegółowo pisać o nowych propozycjach ministerstwa. W tym numerze możecie Państwo znaleźć ich ogólny opis w artykule zamieszczonym na s O obecnie obowiązującej podstawie programowej można przeczytać w artykułach Danuty Zaremby (s. 3 5) i Marcina Brauna (s. 5 6). A gdy już będą Państwo mieli dość tych reform, proponuję przeczytać pozostałe artykuły, szczególnie te z działu temat numeru. Tym razem proponujemy kilka pomysłów do wykorzystania na lekcjach o ciągach.

3 Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413 tel fax Dział sprzedaży: tel Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Małgorzata Domian Aleksandra Golecka-Mazur Joanna Kniter Jacek Lech Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Rafał Szczawiński / Pracownia Ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Joanna Szyller SPIS TREŚCI EDUKACJA 3 Danuta Zaremba O podstawie programowej 5 Dominika Szpic-Siwińska O zdarzeniach przy herbatce 7 Marcin Karpiński Liceum i technikum po nowemu TEMAT NUMERU CIĄGI 9 Marcin Braun Czy ciąg to funkcja? 11 Tomasz Malec Ciąg liniowy i ciąg wykładniczy 13 Weronika Przepiórczewska Nierachunkowa granica 15 Grażyna Miłosz Sumy ciągów 16 Michał Szurek Ciągi rekurencyjne 19 Michał Szurek Modelowanie chaosu NAUCZANIE MATEMATYKI 21 Janusz Karkut Układy symetryczne 24 Paweł Soboń Od wysokości do paradoksu 26 Nikodem Misterski Badania operacyjne 29 Michał Sejfried Trójkąty zaprzyjaźnione 30 Mariusz Dynek Funkcja wielomianowa w programie Excel 34 Mirosława Goljasz, Edward Zych Śladami Euklidesa. Pola figur podobnych 36 Sprawdzamy czas 37 Stanisław Wojtan Gdzie tkwi błąd? 38 Adrian Pająk Ożywić wielomiany 41 Agnieszka Piecewska-Łoś...i tu się żegnamy 42 List od Czytelnika MATERIAŁY 43 Klasówki semestralne ZOSTATNIEJŁAWKI 46 Analiza przypadku Zdjęcie na okładce: Leszek Jakubowski Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 1200 egz.

4 EDUKACJA 7 Marcin Karpiński LICEUM I TECHNIKUM PO NOWEMU Ministerstwo przygotowuje nie tylko nowe podstawy programowe, ale także spore zmiany w organizacji pracy szkół. Najwięcej ma się zmienić w liceach i technikach. Opublikowane już ponad miesiąc temu projekty zmian podstaw programowych 1 wszystkich przedmiotów nie wzbudziły właściwie większej dyskusji. Wyjątkiem była awantura o listę lektur, która i tak szybko się skończyła, bo jej uczestnicy (dziennikarze i politycy) wcale tej listy nie przeczytali iniemieliochotyjejczytać. Gorzej, że nie przeczytali także projektu innych proponowanych zmian. Tam naprawdę są rzeczy, o których warto wiedzieć i dyskutować, a teraz przyszły takie czasy, że bez dziennikarzy nie ma dyskusji. Co nas czeka? Jeśli wejdą w życie reformy przygotowywane przez ministerstwo, to w liceach i technikach sporo się zmieni. Ma być tak: w pierwszej klasie uczniowie uczą się podobnie jak dotychczas (ale według nowych podstaw programowych), a od drugiej klasy będą mieli znacznie więcej godzin przedmiotów, których chcą się uczyć na poziomie rozszerzonym. Ta możliwość ma być zapewniona także uczniom techników. Ponieważ suma godzin lekcji w tygodniu ma pozostać taka sama, więc odbędzie się to kosztem zmniejszenia liczby przedmiotów, których będzie się uczył uczeń drugiej i trzeciej klasy (a w technikum także czwartej). Nie oznacza to jednak, że po pierwszej klasie uczeń, który będzie miał matematykę rozszerzoną, wogóleniebędziesięjużuczyłprzedmiotów humanistycznych, np. historii. Pojawią się dwa nowe przedmioty do wyboru (moduły) o nieustalonej jeszcze nazwie: jeden z nich ma zawierać treści humanistyczne (w tym mieści się też historia), drugi treści z zakresu nauk przyrodniczych. Przedmioty te mają dopełniać wykształcenie ucznia, co oznacza, że dla tych, którzy zechcą się uczyć matematyki na poziomie rozszerzonym, będzie przeznaczony przedmiot humanistyczny. Moduł to przedmiot obowiązkowy, z którego uczeń otrzymuje ocenę. Podstawy programowe będą podawać obszerny zestaw treści takiego modułu. Spośród nich szkoła wybierze te, z których zbuduje przedmiot (lub kilka przedmiotów) w zależności od możliwości i zainteresowań nauczycieli uczących takiego przedmiotu. Szkoła może zaoferować jako moduł zupełnie standardowy przedmiot (np. astronomia dla humanistów, historia starożytna, genetyka) albo przedmiot mniej standardowy (grafika komputerowa, warsztaty dziennikarskie, historia filmu). Na następnej stronie podaję przykładowy zestaw przedmiotów dla ucznia, który interesuje się przedmiotami ścisłymi. Trzeba też pamiętać, że każdy uczeń liceum i technikum będzie się uczył od pierwszej do ostatniej klasy języka polskiego,

5 8 EDUKACJA języka obcego i matematyki, bo z tych przedmiotów będzie musiał zdać maturę przynajmniej na poziomie podstawowym. Przykładowy zestaw przedmiotów dla ucznia drugiej klasy liceum j. polski (zakres podstawowy, 4 godziny) j. angielski (zakres rozszerzony, 4 godziny) j. niemiecki (zakres podstawowy, 2 godziny) historia starożytna (moduł, 3 godziny) matematyka (zakres rozszerzony, 6 godzin) fizyka (zakres rozszerzony, 4 godziny) wf. (3 godziny) Co się zmieni w podstawach programowych matematyki? W zakresie podstawowym niewiele. Warto zwrócić uwagę, że zrezygnowano z równań wyższych stopni, zostały tylko równania kwadratowe i nie wymaga się operowania własnościami logarytmów. Trygonometria jest ograniczona tylko do kątów ostrych. Więcej zmian jest w zakresie rozszerzonym. Wróciły granice i pochodne, a także zdarzenia niezależne i próby Bernoulliego. Ciągle nie wymaga się umiejętności posługiwania się indukcją matematyczną i nie ma logiki formalnej. religia (2 godziny) Zmiany programowe Oprócz tych zmian organizacyjnych przygotowano też nowe podstawy programowe. Od września 2007 roku mamy co prawda nową podstawę programową z matematyki, ale potrzebna będzie jeszcze jedna zmiana w końcu zakres rozszerzony ma mieć więcej godzin. Roboczy projekt nowej podstawy także można już przeczytać na wspomnianej stronie internetowej i warto to zrobić, bo ostateczna wersja ma być gotowa dopiero w połowie czerwca, jest więc jeszcze trochę czasu, by zgłosić swoje uwagi. Niestety, narzekać każdy lubi, ale uwagi do nowej podstawy z matematyki przekazało ministerstwu zaledwie 30 osób (w tym kilkoro uczniów). Przede wszystkim nowe podstawy są zapisane w inny sposób. Jest to połączenie podstaw i standardów egzaminacyjnych. Twórcy tego dokumentu mówią, że jest zapisany w języku wymagań, co ma oznaczać, że jest to spis tego, czego powinniśmy wymagać od przeciętnego ucznia po skończeniu liceum lub technikum. Nie ma to być spis tego, czego się uczy w szkole, ale tego, czego się uczniowie nauczyli. To olbrzymia różnica. Kiedy te zmiany? Oczywiście, jak przy wszystkich projektach, nie ma pewności, czy te propozycje zostaną wprowadzone w życie. Cały pakiet proponowanych zmian ma się rozpocząć we wrześniu 2009 roku od klasy pierwszej szkoły podstawowej (już z sześciolatkami) i klasy pierwszej gimnazjum. Proponowane zmiany mają być wprowadzone w pierwszych klasach liceów i techników dopiero za cztery lata, we wrześniu Jest więc dużo czasu nie tylko na przygotowanie szkół do tej rewolucji, ale przede wszystkim na przygotowanie nowych podręczników. 1 Przedstawione do konsultacji projekty można znaleźć na stronie internetowej gramowa.men.gov.pl. Tam też można zgłosić swoje uwagi.

6 TEMAT NUMERU 13 Weronika Przepiórczewska NIERACHUNKOWA GRANICA Na swoich lekcjach stosuję dwa ćwiczenia, które mają na celu ukształtowanie intuicji pojęcia granicy ciągu. Uważam, że można spróbować kształtować je na przykładach ciągów, które nie są określone wzorami. Wprawdzie wzory ciągów, które będą przedmiotem moich ćwiczeń, można stosunkowo łatwo zapisać, ale właśnie ich brak pozwala na oderwanie się od rachunkowego rozumienia granicy. Ćwiczenie 1 Rozważmy ciąg wielokątów foremnych opisanych na okręgu o promieniu 1. Pierwszym wielokątem w tym ciągu jest trójkąt równoboczny, wielokąt o najmniejszej możliwej liczbie boków, a każda następna ma o jeden bok więcej (patrz rysunek). Zastanów się, jak w kolejnych wielokątach zmienia się: obwód, pole, miara kąta wewnętrznego, długość boku, suma miar kątów wewnętrznych, reszta z dzielenia liczby boków przez 2. Uczniowie zwykle po krótkiej dyskusji zauważają, że: obwody kolejnych wielokątów są coraz bliższe długości okręgu, a więc liczbie 2π, pola są coraz bliższe polu koła o promieniu 1, czyli liczbie π, miary kątów wewnętrznych są coraz większe i coraz bliższe 180, długości boków maleją, są coraz bliższe 0, suma kątów wewnętrznych rośnie nieograniczenie, jest coraz większa i większa, reszty z dzielenia są na przemian liczbami 1 i 0. Nauczyciel może pierwszą obserwację sformułować na przykład tak: W ciągu wielokątów (w n ), zwiększając n, czyli rozważając kolejne, coraz dalsze wielokąty, możemy obwód wielokąta zbliżyć dowolnie blisko do liczby 2π. Czylijeślin będziemy zwiększać w nieskończoność, to obwód będzie nieskończenie bliski 2π. Mówimy wtedy, że granicą ciągu obwodów jest liczba 2π. Jeśliciąg obwodów oznaczymy (l n ), to ostatnie zdanie możemy zapisać symbolicznie w następujący sposób: lim l n =2π Podobnie, jeśli ciąg pól, miar kątów wewnętrznych (w radianach), długości boków i sum miar kątów wewnętrznych oznaczymy odpowiednio (p n ), (k n )(b n ), (s n ), to

7 14 TEMAT NUMERU wyniki wcześniejszych obserwacji możemy zapisać następująco: lim p n = π, lim b n =0, lim k n = π, lim s n =+. O pierwszych trzech ciągach mówimy, że są zbieżne, o ostatnim, że jest rozbieżny do plus nieskończoności. W wypadku ciągu reszt z dzielenia (r n )nie ma takiej liczby, do której dążyłyby jego wyrazy i wtedy mówimy, że granica tego ciągu (lim r n ) nie istnieje, a ciąg jest rozbieżny. Ćwiczenie 2 Poniżej przedstawiono pewne reguły zaznaczania punktów na osi liczbowej i kilka pierwszych punktów zaznaczonych według tych reguł. Zastanów się w każdym z tych przypadków, do jakiego punktu zbliżałyby się zaznaczane punkty, gdyby ten proces kontynuować w nieskończoność. a) Zaznacz środek przedziału 0, 2. Każdy następny zaznaczony punkt ma być środkiem odcinka, którego końcami są punkt 0 i poprzednio zaznaczony punkt. b) Zaznacz środek przedziału 0, 2. Każdy następny zaznaczony punkt ma być środkiem odcinka, którego końcami są punkt poprzednio zaznaczony i punkt 2. c) Zaznacz środek przedziału 0, 1. Każdy następny zaznaczony punkt ma być położony po przeciwnej stronie punktu 1 niż poprzedni punkt, w odległości o połowę mniejszej od punktu 1 niż poprzedni punkt. d) Zaznacz punkt 1. Każdy następny zaznaczony punkt ma być położony dwa razy dalej od punktu 0 niż poprzedni punkt. e) Zaznacz punkt 1. Każdy następny zaznaczony punkt ma być położony po przeciwnej stronie punktu 0 niż poprzedni punkt, w odległości od punktu 0 dwa razy większej niż poprzedni punkt. I tym razem obserwacje poczynione przez uczniów nauczyciel może podsumować stwierdzeniem, że na przykład w wypadku ciągu liczb odpowiadającym punktom zaznaczonym w przypadku a) mówimy, że granicą tego ciągu jest liczba 0 i zapisujemy ten fakt następująco: lim a n =0. Podobnie można zapisać pozostałe wnioski dotyczące odpowiednio przypadków b), c), d) i e): lim b n =2, lim c n =1, lim d n =+, lim e n nie istnieje. Przyznaję, że w niektórych klasach można pominąć te wstępne ćwiczenia i rozpocząć od omówienia przykładów wykresów ciągów zamieszczonych w podręczniku Matematyka II z serii M+ (s ). Takie przedstawienie jest zwykle dosyć przekonujące dla uczniów. Widzą oni punkty wykresu zbiegające do pewnej prostej równoległej do osi x albo takie, które takiej cechy nie mają. Wykresy dają też dobrą ilustrację różnych rodzajów rozbieżności.

8 NAUCZANIE MATEMATYKI 21 Janusz Karkut UKŁADY SYMETRYCZNE W nowej Podstawie programowej z matematyki ograniczono hasła programowe. Czy spowoduje to, że nauczymy się wszyscy uczyć porządnie i głęboko na ograniczonych treściach? Czy da to możliwość szerszego omówienia na przykład układów równań? Być może. Mając taką nadzieję, chciałbym przedstawić krótko kilka sposobów rozwiązywania układów równań symetrycznych, opartych na znajomości równania kwadratowego i wzorów skróconego mnożenia. Na początek kilka uwag. Wyrażenie: W (x, y) =x 2 + y 2 6xy +4 jest przykładem wielomianu symetrycznego zmiennych x i y: zastępującx przez y oraz y przez x, dostajemy: W (y,x)=y 2 + x 2 6yx +4=W (x, y) Pewne układy równań nazywamy układami symetrycznymi, gdyżtworząjerównania symetryczne. Układami takimi są np.: { 5x +5y =7 x 3 + y 3 =9, { x 2 + y 2 3x 3y =0 xy +7=0. Zauważmy, że jeśli rozwiązaniem układu symetrycznego jest para liczb (a, b), to również para (b, a) jest jego rozwiązaniem. I jeszcze jedno. Zakładam, że uczeń wie, że jeśli równanie kwadratowe ma rozwiązania rzeczywiste α i β, to można to równanie przedstawić w postaci x 2 (α + β)x + αβ =0. Oznaczając α + β = s, αβ = p, mamy: x 2 sx + p =0. Układy symetryczne drugiego stopnia 1) Najprostszym układem symetrycznym drugiego stopnia jest układ postaci: xy = p o którym będziemy mówić, że jest to układ symetryczny podstawowy. Znając sumę s iiloczynp, wyznaczymy x i y, rozwiązując równanie kwadratowe t 2 st + p =0, które będziemy nazywać równaniem stowarzyszonym z danym układem. Istnienie i liczba rozwiązań układu zależą od znaku wyróżnika równania stowarzyszonego: jeśli > 0, to równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste t 1 i t 2, a więc układ ma też dwa różne rozwiązania, którymi są pary uporządkowane (t 1,t 2 ), (t 2,t 1 ), jeśli = 0, to rozwiązaniem równania jest t 1 = t 2, czyli rozwiązaniem układu jest para (t 1,t 1 ), jeśli < 0, to układ jest sprzeczny. Przykład Rozwiąż układ równań: { x + y =8 xy = 33. Napiszmy równanie stowarzyszone i rozwiążmy je: t 2 8t 33 = 0 t 1 = 3 t 2 =11 Układ ten ma więc dwa rozwiązania symetryczne: { x = 3 y =11 i { x =11 y = 3,

9 22 NAUCZANIE MATEMATYKI które zapiszemy w postaci par uporządkowanych: ( 3, 11), (11, 3). 2) Innym typem układu symetrycznego drugiego stopnia jest układ postaci: x 2 + y 2 = r 2, który możemy zapisać w postaci układu symetrycznego podstawowego na podstawie wzoru (1) x 2 + y 2 =(x + y) 2 2xy, zwanego pierwszym wzorem Waringa. Stosując wzór Waringa do drugiego równania układu, mamy: s 2 2xy = r 2 2xy = r 2 s 2 xy = s2 r 2 2 Przykład Rozwiąż układ równań: { x + y =1 x 2 + y 2 =13. Przekształcimy dany układ na układ symetryczny podstawowy, stosując pierwszy wzór Waringa: { x + y =1 (x + y) 2 2xy =13 { x + y =1 1 2xy =13 { x + y =1 2xy =12 { x + y =1 xy = 6 Równaniem stowarzyszonym układu jest równanie t 2 t 6 = 0, rozwiązując je otrzymujemy: t 1 = 2, t 2 =3. Dany układ ma więc dwa rozwiązania symetryczne, które zapiszemy w postaci par uporządkowanych: ( 2, 3), (3, 2). Układy symetryczne wyższych stopni Są to układy typu: x m + y m = a (m>2) { xy = p x m + y m (m 2) = a Każdy z nich można sprowadzić do układu symetrycznego podstawowego drugiego stopnia, przekształcając drugie równanie x m + y m = a za pomocą dalszych wzorów Waringa: (2) x 3 + y 3 =(x + y) 3 3xy(x + y) (3) x 4 + y 4 =(x + y) 4 4xy(x + y) 2 +2x 2 y 2 Pokażemy to na przykładach. Przykład Rozwiąż układ równań: { x + y =4 x 3 + y 3 =28. Stosując drugi wzór Waringa do drugiego równania, mamy: { x + y =4 (x + y) 3 3xy(x + y) =28 { x + y = xy =28 { x + y =4 12xy = 36 { x + y =4 xy =3 Otrzymaliśmy układ symetryczny podstawowy o równaniu stowarzyszonym t 2 4t +3=0. Zatem: t 1 =1, t 2 =3. Rozwiązanie tworzą więc następujące pary uporządkowane: (1, 3), (3, 1). Przykład Rozwiąż układ równań: x 2 + y 2 =13.

10 NAUCZANIE MATEMATYKI 23 Na podstawie pierwszego wzoru Waringa możemy napisać: (x + y) 2 2xy =13 (x + y) 2 +12=13 (x + y) 2 =1 Z równania drugiego mamy: x + y = ±1. Ponieważ suma x + y przyjmuje dwie wartości, więc otrzymujemy dwa układy symetryczne: a) b) x + y =1 x + y = 1 t 2 + t 6=0 t 1 = 3, t 2 =2 ( 3, 2), (2, 3) t 2 t 6=0 t 1 = 2, t 2 =3 ( 2, 3), (3, 2) Układ ma cztery rozwiązania: ( 3, 2), (2, 3), ( 2, 3), (3, 2). Układy,,prawie symetryczne Niektóre układy dają się sprytnie przekształcić tak, że otrzymujemy układy symetryczne. Przykład Rozwiąż układ równań: { 2x +3y =7 xy =2 Układ przekształcamy do postaci: { 2x +3y =7 (2x) (3y) =12 Otrzymaliśmy układ symetryczny o niewiadomych 2x i 3y. Równaniem stowarzyszonym drugiego układu jest równanie t 2 7t +12=0. Zatemt 1 =3, t 2 =4. { { 2x =3 2x =4 Rozwiązaniami są zatem następujące pary: 3y =4 3y =3 x = 3 { Ostatecznie otrzymujemy: 2 x =2 y = 4 y =1 3 Układ ma więc następujące rozwiązania: ( 3 2, 4 ), (2, 1). 3 W wielu przypadkach symetrię algebraiczną można potwierdzić symetrią geometryczną, sporządzając stosowne wykresy. Na koniec zachęcam do rozwiązania następujących układów: 1) { x + y = a + b { x y =1 x 2 + y 2 = a 2 + b 2 2) xy =6 { x + y =3 3) x 4 + y 4 =17 Uwaga. Przykład ze strony 21 pochodzi z podręcznika dla pierwszej klasy liceum z serii M+ (zakres podstawowy z rozszerzeniem, zadanie 5a, s. 124).

11