nr 54 marzec/kwiecieñ/2010 Czasopismo dla nauczycieli matematyki cena 8 z³ ISSN Koœci Efrona Chain sudoku Dzielenie w geometrii

Transkrypt

1 oklad 1-4 ML nr 41 marzec/kwiecieñ/2010 nr 54 Czasopismo dla nauczycieli matematyki cena 8 z³ ISSN Koœci Efrona Chain sudoku Dzielenie w geometrii

2 Doświadczenie Matematyka to w powszechnej opinii nauka zajmująca się pojęciami abstrakcyjnymi. Jednak nawet na poziomie uniwersyteckim nie musi to być prawdą. Przecież wiele dziedzin matematyki rozwinęło się na zamówienie fizyki doświadczalnej. A już na pewno nie jest prawdą, że na lekcjach matematyki do abstrakcyjnych pojęć powinniśmy zawsze dochodzić drogą abstrakcyjnego rozumowania. Także na matematyce uczniowie powinni planować eksperymenty, oglądać modele i wyciągać wnioski z przeprowadzonych doświadczeń. Jak przygotować takie zajęcia? Można się tego dowiedzieć z artykułów zamieszczonych w Temacie numeru. Doświadczenia matematyczne w szkole podstawowej opisuje Marcin Braun w artykule na stronach 10 13, a Lidia Pawlusińska pokazuje, jak to zrobić w gimnazjum (s ). Doświadczalną matematykę na poziomie szkoły ponadgimnazjalnej prezentuje w swoim artykule Stefan Turnau (s ). Wszystkim Czytelnikom, niezależnie od typu szkoły, w której uczą, polecam tekst na stronach Porównano w nim płace i pensum nauczycieli w krajach europejskich. Dane są naprawdę zaskakujące. Od tego numeru otrzymują Państwo Matematykę w Szkole w nowej wersji. Jest grubsza i kolorowa oraz zawiera teksty dla nauczycieli matematyki ze wszystkich typów szkół. Aby łatwo było znaleźć artykuł związany z danym poziomem nauczania, wprowadziliśmy specjalne oznaczenia, które są objaśnione na dole tej strony. Oznaczenia artykułów: szkoła podstawowa gimnazjum szkoła ponadgimnazjalna Na przykład: artykuł przeznaczony dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów artykuł przeznaczony dla nauczycieli gimnazjów i szkół ponadgimnazjalnych (ms54) str. 2

3 SPIS TREŚCI EDUKACJA Jacek Lech Listy z Antwerpii 4 Aleksandra Golec Listy z Wisconsin 6 Dorota Natyw Nauczyciele w Europie 8 TEMAT NUMERU MATEMATYKA DOŚWIADCZALNA Marcin Braun Doświadczenia w klasach IV VI 10 Agnieszka Dyrka Klocki Reko 13 Kazimierz Skurzyński Zapomniany dialog 15 Lidia Pawlusińska Własności ekierki 19 Stefan Turnau Stereometria matematyka brył 22 Marcin Braun Kości Efrona 26 NAUCZANIE MATEMATYKI Michał Kremzer Nietypowe ostrosłupy 29 Aneta Góra Chain sudoku 30 Katarzyna Kroplewska, Marta Szymańska Odczytywanie czasu 32 Paweł Soboń Dzielenie w geometrii 35 Książki nadesłane 38 List od Czytelnika 39 Janusz Karkut Koza w roli głównej 40 Agnieszka Piecewska-Łoś Trzynaście ksiąg. Pola bez wzorów 42 Marzena Filipowicz-Chomko, Edward Zych Śladami Euklidesa. Przekroje ośmiościanu 44 MATEMATYK WYCHOWAWCĄ Ilona Poćwierz-Marciniak Matura i co dalej? 47 MATERIAŁY Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Wielkie możliwości kartoników. Ułamki zwykłe i dziesiętne 51 Jolanta Wojtoń Karty pracy dla słabych uczniów, cz Adam Wojaczek Zestawy maturalne arkusz 4 59 ZOSTATNIEJŁAWKI Praworządni 62 KONKURS. Pokropek 64

4 E D U K A C J A 19 WŁASNOŚCI EKIERKI Lidia Pawlusińska W trzeciej klasie gimnazjum omawiam związki miarowe w trójkątach o kątach 30, 60, 90 oraz 45, 45, 90. Żeby urozmaicić lekcję na ten temat, przygotowuję dla moich uczniów karty pracy. Na lekcji potrzebne są ekierki (proszę wcześniej, żeby każdy uczeń przyniósł z domu kilka ekierek), kątomierze i kalkulatory. Podzieliłam uczniów na trzy-, czteroosobowe grupy. Każda grupa otrzymała osiem ekierek (po cztery każdego rodzaju) oraz kartę pracy (patrz następne strony). Po 15 minutach uczniowie przedstawili wyniki swojej pracy. Oto pytania pomocnicze, które może zadać nauczyciel: Jak pogrupowaliście ekierki? Jakie miary mają kąty w badanych trójkątach (ekierkach)? Jaką zależność dostrzegliście między długościami boków w trójkącie o kątach 30, 60 i 90? Jaką zależność dostrzegliście między długościami boków w trójkącie prostokątnym równoramiennym? Po omówieniu kart pracy uczniowie, stosując twierdzenie Pitagorasa, obliczyli długości trzeciego boku w dwóch wybranych ekierkach (każda innego typu). Potem swoje pomiary porównali z wynikami obliczeń. W drugiej części lekcji wyznaczaliśmy wzór na długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym oraz korzystając z własności trójkąta równobocznego, związek między długościami boków w trójkącie o kątach 30, 60 i 90. Oto polecenia dla uczniów: Jaki foremny wielokąt możesz ułożyć z dwóch ekierek o kątach 45, 45 i 90, a jaki z dwóch ekierek o kątch 30, 60 i 90? Narysuj kwadrat o boku długości a i zaznacz jego przekątną. Wyznacz długość tej przekątnej. Jaka jest zależność między długościami boków w powstałym trójkącie prostokątnym równoramiennym? Zapisz swoje spostrzeżenia. Narysuj trójkąt równoboczny o boku długości a. Poprowadź w nim wysokość i wyznacz jej długość. Jaka jest zależność między długościami boków w powstałym trójkącie prostokątnym? Zapisz swoje spostrzeżenia. Na zakończenie lekcji zapisaliśmy, że w trójkątach o kątach 45, 45 i 90 oraz w trójkątach o kątach 30, 60 i 90 wystarczy znać długość jednego z boków, żeby obliczyć długości dwóch pozostałych. Karty pracy nauczyciel może zebrać i ocenić. Plik z materiałami potrzebnymi do przeprowadzenia lekcji znajduje się na stronie

5 40 NAUCZANIE MATEMATYKI KOZA W ROLI GŁÓWNEJ Janusz Karkut Koza jest bohaterką wielu zadań konkursowych. Tutaj przedstawię kilka takich zadań z kozą w roli głównej, które można rozwiązywać z całą klasą w gimnazjum lub w szkole średniej. Żeby rozwiązać ostatnie zadanie, trzeba znać funkcje trygonometryczne (wystarczy znajomość na poziomie podstawowym). Zadanie 1 Kozę uwiązano na sznurku o długości 12 m wrogup kwadratowego domku o boku długości6m.domekjestotoczonyłąką.oblicz pole powierzchni łąki dostępnej dla kozy. Wynik podaj w metrach kwadratowych z dokładnością do całości. Rozwiązanie Odcinek AB o długości 4 m przedstawia przeszkodę, której koza nie może przeskoczyć, zaś kwadrat przedstawia budkę o boku długości 2 m. Oblicz największą powierzchnię łąki, na której koza może skubać trawę. Wynik podaj w metrach kwadratowych z dokładnością do całości. Rozwiązanie Posługując się poniższym rysunkiem, możemy obliczyć, że maksymalne pole powierzchni łąki dostępnej dla kozy wynosi: P = P 1 + P 2 + P 3 + P 4 P = 1 4 π π π π 22 = =16π 50 m 2 Korzystając z rysunku, możemy obliczyć, że pole powierzchni łąki dostępnej dla kozy wynosi: P = 3 4 π π 62 = 126π 396 m 2 Zadanie 2 Koza K jest uwiązana w punkcie A na sznurku o długości 6 m. Rzut z góry przedstawiono na rysunku. Zadanie 3 Rolnik uwiązał kozę na dwóch sznurkach. Każdy ma długość 5 m i jest przymocowany do innego palika, a paliki są od siebie od-

6 NAUCZANIE MATEMATYKI 41 dalone też o 5 m. Oblicz powierzchnię, po której może się poruszać koza. Wynik podaj w metrach kwadratowych z dokładnością do części dziesiątych. Rozwiązanie Na poniższym rysunku paliki są umieszczone w punktach A i B. Zadanie 4 Rolnik przywiązał kozę do dwóch palików, podobnie jak w poprzednim zadaniu. Jednak tym razem paliki są oddalone od siebie o 6 m, a sznurki mają długość po 5 m. Oblicz powierzchnię, po której może się poruszać koza. Przyjmij π = =3,14. Wynik podaj z dokładnością do części dziesiątych metra kwadratowego. Rozwiązanie Jeśli oba sznurki są naprężone, to koza znajdzie się w punkcie C, któryjestwierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC oboku 5 m lub w punkcie D, w którym sytuacja jest analogiczna. Obliczmy najpierw pole jednego odcinka koła o promieniu 5 m i kącie środkowym 60.Odpolawycinkawystarczy odjąć pole trójkąta równobocznego ABC. Pole odcinka: π = 25 ( ) π Pole całego obszaru, na którym koza może skubać trawę, jest równe sumie pól dwóch trójkątów równobocznych i czterech pól odcinków koła: ( π 3 ) 3 30,7m 2 2 Tym razem szukane pole to suma pól dwóch przystających odcinków koła. Pole jednego odcinka możemy obliczyć odejmując pole trójkąta ACD od pola wycinka ACD. Trójkąt ACD jest równoramienny, jego boki mają długości 5, 5 i 8 m, a wysokość opuszczona na najdłuższy bok ma długość równą 3 m. Miarę kąta α można obliczyć, korzystając z dowolnej funkcji trygonometrycznej w trójkącie prostokątnym: tg α = 4 3 α 53,13 2α 106,26 P =2 (P ) wycacd P ΔACD ( 106, 26 2 π ) ,34 m 2

7 KONKURS Pora na następne zadanie konkursowe. Na odpowiedzi czekamy do końca maja. Można je przysyłać pocztą zwykłą lub internetową. Przypominamy, że łamigłówkę mogą Państwo rozwiązać także na naszej stronie internetowej Pokropek Na planszy należy narysować wielokąt składający się z odcinków łączących sąsiednie kropki, pamiętając o następujących zasadach: odcinki muszą być równoległe do brzegów diagramu liczby znajdujące się w polach informują o tym, ile odcinków przylega do danego pola, pole, które jest puste, może być otoczone dowolną liczbą odcinków (od 0 do 4). Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli matematyki Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413 tel Dział sprzedaży: tel fax prenumerata@gwo.pl Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli matematyki skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Rozstrzygnięcie konkursu Spośród wielu osób, które przysłały prawidłowe rozwiązanie Kuromasu, wylosowaliśmy Sonię Olszok z Lisowa, Magdalenę Andrzejewską z Rawicza i Iwonę Topczewską z miejscowości Wyszki. Panie otrzymują książkę Analfabetyzm matematyczny ijegoskutkiautorstwa J.A. Paulosa. Serdecznie gratulujemy! Marcin Braun Małgorzata Domian Agnieszka Frączyk Jacek Lech Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Sławomir Kilian Ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Agnieszka Frączyk Na okładce znajduje się zdjęcie nagrodzone w konkursie Zdjęcie na okładkę w kategorii Czas i kalendarz. Zdjęcie na okładce: Katarzyna Zalewska Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 4500 egz.

8 oklad 1-4 ML nr 41 marzec/kwiecieñ/2010 nr 54 Czasopismo dla nauczycieli matematyki cena 8 z³ ISSN Koœci Efrona Chain sudoku Dzielenie w geometrii