ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1

Transkrypt

1

2 ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1 Matura w innych krajach Po wyroku Trybunału Konstytucyjnego nie wiemy, jak będzie wyglądać matura w Polsce. Możemy więc się dla relaksu przyjrzeć, jak ten egzamin wygląda w innych krajach. Już na pierwszy rzut oka widać, że uczniowie mogą zdawać matematykę na wielu poziomach (czasem znacznie więcej niż dwóch). Są kraje, w których uczeń wybiera nie tylko jeden z wielu poziomów egzaminu, ale też dział matematyki, z którego chce zdawać na wyższym poziomie. Dbanie o wysoki poziom nauczania matematyki nie musi polegać na tym, że się wszystkim podnosi poprzeczkę. Wystarczy, że o macierzach, całkach i równaniach różniczkowych będą się uczyć tylko ci, którzy zamierzają zostać inżynierami lub chcą studiować przedmioty ścisłe. W artykułach z działu Temat numeru Matura w różnych krajach (strony 5 16) znajdziecie Państwo zadania maturalne z matur angielskich, amerykańskich i niemieckich (więcej takich zadań na naszej stronie internetowej). Może część z nich będziecie mogli wykorzystać na lekcjach. Niby wszyscy wiemy, że uczymy nie tylko po to, by przygotować uczniów do egzaminu, ale też, że powinniśmy ich wychowywać. Ale jak to robić? Programy wychowawcze są dość sztuczne i nie dają nauczycielowi wskazówek dotyczących tego, co konkretnie poza pogadankami ma robić. Warto więc się przyjrzeć temu, jak to robią inni. Jak przemyślany może być system działań wychowawczych szkoły i jak dokładnie nauczyciel może być poinformowany, co ma robić, kiedy i jak sprawdzać wyniki działań swoich i ucznia. Pisze o tym Małgorzata Skodowska w artykule W czym pomaga program CAS?. Mam nadzieję, że przynajmniej z części tych pomysłów uda się skorzystać w Państwa szkołach.

3 Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413 tel fax Dział sprzedaży: tel Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Małgorzata Domian Aleksandra Golecka-Mazur Joanna Kniter Jacek Lech Anna Szczepińska Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Rafał Szczawiński / Pracownia Ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Joanna Szyller SPIS TREŚCI EDUKACJA 3 Marcin Karpiński Jakoś to będzie? TEMAT NUMERU MATURA W RÓŻNYCH KRAJACH 5 Bernadetta Wieżyńska Matura po angielsku 9 Wiktoria Libertyn Amerykański egzamin maturalny 11 Joanna Rot Matura w Niemczech 14 Grażyna Miłosz Matura międzynarodowa NAUCZANIE MATEMATYKI 17 Małgorzata Skodowska W czym pomaga program CAS? 20 Jerzy Janowicz O podzielności 21 Adam Wojaczek Zadania nie tylko dla techników, cd. 24 Aneta Góra Kakuro 26 Adrian Pająk Internetowy ciąg 28 Mam pomysł 29 Zofia Dam Kiedy warto przybliżać? 31 Marcin Braun Odpowiedź na polemikę? 31 Janusz Karkut Wyjść ze schematu 34 Paweł Soboń Niezwykłe trójkąty, cd. 36 Który strzelał lepiej? 37 Andrzej Dąbrowski Wartości typowe 41 Agnieszka Piecewska-Łoś Królowa królowej (cd.) MATERIAŁY 43 Adam Miziołek Zestaw zadań maturalnych ZOSTATNIEJŁAWKI 46 Tak się nie robi! Zdjęcie na okładce: Leszek Jakubowski Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 2000 egz.

4 EDUKACJA 3 Marcin Karpiński JAKOŚ TO BĘDZIE? Trybunał Konstytucyjny uznał rozporządzenie ministra w sprawie matur za niezgodne z konstytucją. Projektowana zmiana podstawy programowej utknęła w gąszczu ministerialnych departamentów. Jak uczyć, gdy nie wiadomo, do jakiej matury przygotowujemy? Niezgodny z konstytucją jest przepis o zaliczeniu matury nawet wówczas, gdy jednego z obowiązkowych egzaminów się nie zdało. O tym fragmencie orzeczenia trybunału mówiono najwięcej, ale jeszcze kilka innych elementów rozporządzenia należy wycofać. Nielegalne są przepisy o przeliczaniu wyników zakresu podstawowego na rozszerzony (lub odwrotnie) oraz o możliwości zdawania wyłącznie egzaminu na poziomie rozszerzonym. Minister oznajmił, że jeśli nie będzie mógł powrócić do zakwestionowanych przez trybunał pomysłów, to nigdy nie wprowadzi obowiązkowej matury z matematyki. Tyle, że już ją wprowadził, bo akurat tego punktu rozporządzenia Trybunał Konstytucyjny nie zakwestionował. Jakby tego było mało, ciągle nie wiadomo, co się dzieje z zapowiadaną zmianą podstawy programowej. A proponowane zmiany są istotne. W końcu warto by wiedzieć nie tylko, czy będzie obowiązkowa matura, ale także czego mamy uczyć, by do tej matury przygotować, a czego nie uczyć, bo na maturze już tego nie będzie. Same absurdy Szczersze przyznam, że zupełnie nie rozumiem argumentów, które stoją za decyzjami ministra. Podobno cały bój o amnestię maturalną wynika z troski o to, by zbyt duży odsetek maturzystów nie oblał matematyki. Minister jest przekonany, że po wprowadzeniu obowiązkowej matematyki obleje ją 60% zdających. Dlaczego mieliby oblać? Przecież to zależy wyłącznie od tego, jak zostaną ułożone zadania egzaminacyjne. Doskonale wie o tym CKE przecież zdarzało się do tej pory, że egzaminy w dwóch kolejnych latach z tego samego przedmiotu miały zupełnie różny poziom trudności. W jednym roku oblewało 3% zdających, a w następnym 23%. Także po wprowadzeniu obowiązkowej matematyki można by ułożyć takie zadania, by zdało tylu uczniów, ilu zechciałby przepuścić minister. Trzeba tylko umieć to robić i wiedzieć, do czego służy standaryzacja. Warto przypomnieć, że pierwszy próbny egzamin nowej matury z matematyki zaliczyło 80% zdających, a pisali wszyscy, ponieważ wówczas matematyka miała być przedmiotem obowiązkowym. Nie rozumiem także, dlaczego się uparcie powtarza, że aby wprowadzić obowiązkową maturę z matematyki, trzeba koniecznie zmienić podstawę programową na mniej wymagającą. Być może rzeczywiście trzeba zmienić podstawę, ale przecież nie dlatego, że przy obowiązującej teraz nie da się ułożyć dostępnego dla wszystkich zestawu zadań. Co więcej, nawet gdyby podstawę okroić tylko do tematów gimnazjalnych, zawsze można by ułożyć zadania, których nawet najzdolniejsi maturzyści nie będą umieli rozwiązać.

5 4 EDUKACJA Zatem wystarczy, by CKE opracowała porządne, profesjonalne procedury układania i testowania zadań maturalnych, a cel urzędników zostanie osiągnięty zda tylu, ilu trzeba. Podstawę programową zapewne trzeba poprawić z innego powodu. Matematyce przydzielono tak mało godzin, że nauczyciele nie są w stanie porządnie zrealizować programu. Skoro minister nie chce dać więcej godzin, trzeba okroić podstawę. Jak tu uczyć? Wyraźnie widać, że niepewnie w tej sytuacji czuje się nawet CKE. Trybunał Konstytucyjny zezwolił, aby w tym roku obowiązywał jeszcze zakwestionowany przepis o rozdzieleniu egzaminu w zakresie rozszerzonym od egzaminu podstawowego. Przypominam, że tomiałabyćgłębszazmiananiżtylkoproste rozdzielenie. Wskazywałoby na to choćby wydłużenie czasu egzaminu o 30 minut. Centralna Komisja Egzaminacyjna przygotowała aneks do informatora maturalnego po to, by nauczyciele i uczniowie wiedzieli, czym się różni nowa forma egzaminu od starej. Z tego dokumentu wynika, że niczym. Znalazły się w nim bowiem zadania z poprzednich matur i matur próbnych. Skoro tak, to pewnie trzeba uczyć przynajmniej w ostatniej klasie tak jak poprzednio. Jak uczyć pozostałe klasy, nie wiadomo.

6 TEMAT NUMERU 9 Wiktoria Libertyn AMERYKAŃSKI EGZAMIN MATURALNY Egzamin dojrzałości w Stanach Zjednoczonych to SAT. Można zdawać albo tylko prostszą wersję: SAT Reasoning Test (dawniej SAT I), albo i prostszą, i trudniejszą. Ta druga to SAT Subject Test (dawniej SAT II). SAT Reasoning Test SAT I ma charakter egzaminu ogólnego i trzeba go zdać, żeby się dostać na wyższą uczelnię. Składa się z dziesięciu sekcji, ale tylko dziewięć ma wpływ na wynik egzaminu. Jedna sekcja służy do oceny poziomu egzaminu. SAT I sprawdza biegłość w rozumowaniu matematycznym (3 sekcje), biegłość językową (5 sekcji), umiejętność pisania eseju (1 sekcja). Dodatkowa, dziesiąta sekcja może być językowa lub matematyczna. Cały egzamin trwa 3 godziny i 45 minut. W części matematycznej uczniowie muszą się wykazać znajomością następujących zagadnień: liczby i operacje na nich, algebra i funkcje, planimetria, geometria analityczna, stereometria, trygonometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Trzy matematyczne sekcje są zorganizowane w następujący sposób (we wszystkich zadaniach zamkniętych wybiera się jedną odpowiedź z pięciu możliwych): 1 sekcja 25 minut, 8 zadań zamkniętych i 10 zadań otwartych, 2 sekcja 25 minut, 20 zadań zamkniętych, 3 sekcja 20 minut, 16 zadań zamkniętych. Za każdą dobrą odpowiedź można otrzymać 1 punkt, za brak odpowiedzi 0 punktów, za błędną traci się 1 4 punktu. Egzamin ma u polskich uczniów opinię dość prostego. Czasami mówi się, że jest na poziomie egzaminu gimnazjalnego,

7 10 TEMAT NUMERU choć te opinie są chyba jednak przesadzone. Zadania nie tylko sprawdzają znajomość pojęć matematycznych czy sprawność rachunkową, ale wymagają też ogólnej biegłości w rozumowaniu. Oto jeden taki przykład: Zadanie Wszyscy bracia Kaja potrafią pływać. Jeżeli powyższe zdanie jest prawdziwe, to które z poniższych zdań także musi być prawdziwe? A. Jeżeli Fred nie umie pływać, to nie jest bratem Kaja. B. Jeżeli Dawid umie pływać, to nie jest bratem Kaja. C. Jeżeli Walter umie pływać, to jest bratem Kaja. D. Jeżeli Piotr jest bratem Kaja, to nie umie pływać. E. Jeżeli Marek nie jest bratem Kaja, to nie umie pływać. Przetłumaczone zadania z sekcji matematycznych z biuletynu na rok 2006/2007 można znaleźć na stronie Test, są takie same, jak te obowiązujące na egzaminie SAT Reasoning Test, tylko są rozszerzone o niektóre zagadnienia. Na przykład w dziale statystyka i prawdopodobieństwo na pierwszym poziomie egzaminu dodatkowo wymaga się znajomości regresji liniowej, a na drugim poziomie także regresji kwadratowej i wykładniczej. Każdy z dwóch poziomów trwa godzinę i składa się z 50 zadań zamkniętych (jest 5 odpowiedzi, z których wybiera się jedną). Zasady oceniania są takie same, jak w wypadku egzaminu SAT I. Kalkulatory Zarówno na egzaminie SAT I, jak i na obu poziomach SAT II można używać kalkulatorów, nawet tych graficznych. To uczeń decyduje o tym, jakiego kalkulatora chce używać na egzaminie. Nie używając kalkulatora, można rozwiązać wszystkie zadania na egzaminie SAT I, około połowę zadań na pierwszym poziomie egzaminu SAT II i trochę mniej niż połowę zadań z drugiego poziomu egzaminu SAT II. Kto przygotowuje maturę Wszystkie trzy egzaminy przygotowuje niezależna organizacja College Board zrzeszająca kilka tysięcy szkół, wyższych uczelni i organizacji edukacyjnych. Została założona w 1900 roku. Jak można zdawać SAT? SAT Subject Test Zdanie tego egzaminu to warunek przyjęcia na niektóre wyższe uczelnie. Matematykę można zdawać na jednym z dwóch poziomów. Działy, które muszą opanować uczniowie przystępujący do egzaminu SAT Subject Egzamin można zdawać sześć razy w roku w wielu krajach. W Polsce można go zdawać w Gdańskim Liceum Autonomicznym i w The American School of Warsaw. Jeżeli uczeń nie jest zadowolony z wyniku, może go poprawiać dowolną liczbę razy. Tegoroczna opłata za zdawanie egzaminu SAT Reasoning Test w Polsce to 63,50 dolarów, a egzaminu SAT Subject Test 48 dolarów.

8 20 NAUCZANIE MATEMATYKI Jerzy Janowicz O PODZIELNOŚCI Na lekcjach poświęconych wielomianom mówimy o ich podzielności. Można przy tej okazji w zdolniejszych klasach wspomnieć też o podzielności liczb. Zadanie Każdą liczbę naturalną można potraktować jako wartość wielomianu W (x) o współczynnikach będących kolejnymi jej cyframi obliczoną dla x = 10. Na przykład 4296 = W (10), gdzie W (x) =4x 3 +2x 2 +9x +6. Wykaż, że liczba naturalna n = W (10) dzieli się przez liczbę naturalną k jedynie wówczas, gdy W (10 k) dzieli się przez k. Wykorzystaj ten fakt do sformułowania kilku cech podzielności. Rozwiązanie Z twierdzenia Bézout mamy: W (x) =(x a) Q(x)+W (a), czyli w szczególności W (10) = (10 a) Q(10) + W (a). Przyjmijmy, że a =10 k. Wówczas mamy W (10) = k Q(10) + W (10 k). Zatem W (10) dzieli się przez k jedynie wtedy, gdy W (10 k) dzieli się przez k. To pozwala sformułować cechy podzielności. Podzielność przez 9 Tworząc odpowiedni wielomian, badamy jego wartość dla liczby 10 9 = 1. Na przykład n = W (x) =4x 5 +7x 4 +9x 3 +3x 2 +3x +5 W (1)= =31 Ponieważ 31 nie dzieli się przez 9, więc n nie dzieli się przez 9. Uczniowie zapewne zauważą, że otrzymaliśmy znaną im cechę podzielności. Podzielność przez 11 Tu trzeba zbadać podzielność odpowiedniego wielomianu dla liczby = 1. Na przykład n = W (x) =8x 8 +2x 7 +7x 6 +2x 5 +8x 4 +9x 2 +6x W ( 1) = =22 Liczba n dzieli się przez 11. Podzielność przez 7 Na przykład n = Dla danej liczby tworzymy odpowiedni wielomian i badamy jego wartość dla 10 7=3. W (x) =8x 4 +6x 3 +2x 2 +7x +5 W (3) = 854 Możemy bezpośrednio sprawdzić, czy liczba 854 dzieli się przez 7 lub powtórzyć procedurę z wielomianem. T (x) =8x 2 +5x +4 T (3) = 91 Liczba 91 dzieli się przez 7, więc n też. Podzielność przez 13 Tu badamy wartość wielomianu dla = 3 Na przykład n = W (x) =8x 4 +2x 3 +6x 2 +5x +4 W ( 3) = 637 Powtórzmy procedurę jeszcze raz. T (x) =6x 2 +3x +7 T ( 3) = 52 Liczba 52 dzieli się przez 13, czyli n również. Jak widać, spojrzenie z pewnego dystansu na podzielność wielomianów może zaowocować przeniesieniem pewnych faktów do zupełnie innej dyscypliny matematycznej do arytmetyki.

9