Wykład 5: Praca i Energia. Matematyka Stosowana

Transkrypt

1 Wykład 5: Praca i Energia Matematyka Stosowana

2 Praca w codziennym życiu Czynności w codziennym życiu: Podnosisz pudło z książkami Popychasz zepsute auto Co dokładnie robisz? Działasz z pewną siłą Ciało się przemieszcza Pracujesz ciężej jeśli: Pchasz mocniej (siła!) Przesuwasz dalej

3 Definicja pracy w fizyce przy stałej sile Bazując na codziennych obserwacjach: W തF sҧ Siła i przesunięcie to wektory! Praca to skalar! Jednostką SI jest joule: 1J = 1N 1m Iloczyn skalarny! Działasz siłą skierowaną wzdłuż kierunku przesunięcia s: W=Fs

4 Co jeśli siła nie jest równoległa do przesunięcia? Pamiętaj, że praca to skalar! W = തF ҧ s = F x s x + F y s y + F z s Z Rozłóż siłę na składowe Wkład do iloczynu skalarnego ma tylko składowa równoległa do przesunięcia!

5 Całkowita praca Kilka sił działa na ciało Możesz policzyć niezależnie pracę od każdej siły a potem zsumować Alternatywnie możesz policzyć wypadkową siłę (sumę sił) i wtedy policzyć pracę W tot = തF sҧ

6 Przykład: Pracę wykonuje ktoś/coś nad kimś/czymś! Siłacz opuszcza sztangę Siłacz działa siłą skierowaną do góry inaczej sztanga upadłaby z hukiem na podłogę! Siłacz wykonuje pracę nad sztangą W = തF s ҧ < 0

7 Praca potocznie vs. fizycznie. Praca równa zero? Siłacz działa z pewną siłą ale nie podnosi dalej sztangi przesunięcie =0 Siła potrzebna do zrównoważenia ciężaru sztangi Siłacz nie wykonuje pracy? Czy to się zgadza z potocznym rozumieniem pracy?

8 Praca potocznie nie zgadza się z definicją fizyczną? Opierasz się z całej siły o ścianę, a ona ani drgnie A ty się pocisz! Włókna mięśniowe pod mikroskopem. Mają one możliwość kurczenia się i dzięki temu nasze mięśnie (szkieletowe) mogą działać z pewną siłą na ścięgna. Ta siła jest szacowana na ok. 0.3N/mm 2.

9 Praca potocznie vs. fizycznie To nie jest prawda, ze nie wykonałeś pracy! Tu nie ma stałej siły (uwaga wektor)! W തF sҧ Praca po zamkniętym obszarze = 0 tylko dla sił zachowawczych (potencjalnych)! Czy Syzyf nie wykonał żadnej pracy? Tarcie nie jest zachowawcze! Opór też nie!

10 A jeśli siła nie jest stała? Zacznijmy od ruchu prostoliniowego Obliczmy pracę na małym odcinku W a = F ax Δx a Całkowita praca (przybliżona): W = F ax Δx a + F bx Δx b +F cx Δx c + Czyli w granicy: x 2Fx W = න (x)dx x 1

11 Przykład: stała siła x 2 x 2dx W = න Fx (x)dx = F x න = Fx x 2 x 1 x 1 x 1 = Fs Czyli otrzymaliśmy faktycznie naszą starą definicję!

12 Przykład: rozciąganie sprężyny Żeby rozciągnąć sprężynę trzeba zadziałać siłą: F x (x) = kx X W = න 0 X F x (x)dx = න 0 kxdx = 1 2 kx2 Empiryczne prawo Hooke a (1678) stała sprężystości

13 Ogólna definicja pracy (wzdłuż ścieżki) P 2 dw = ԦF dԧl W = න ԦF dԧl P 1 P 1 P 2

14 Przykład: Całka krzywoliniowa wzdłuż pewnej krzywej Oblicz pracę wykonaną przez siłę ԦF = y 2 x + 2x(y + 1) y od a do b wzdłuż ścieżki (1) i (2). Z definicji: W = a b ԦF dԧl Co to jest dԧl? Infinitezymalne przesunięcie: x, y, z x + dx, y + dy, z + dz dԧl = dx x + dy y + dzzƹ dԧl = (dx, dy, dz) niektórzy wolą taką notację y 2 1 a (2) (i) 1 2 b (ii) (1) x

15 EX: F = y 2 x + 2x y + 1 y, W = a b F d Ԧl (i) dy = dz = 0, z = 0, y = 1 dԧl = dx x, ԦF dԧl = y 2 dx = dx W i = න 1 2 dx = 2 1 = 1 (ii) dx = dz = 0, z = 0, x = 2 dԧl = dy y, ԦF dԧl = 2x y + 1 dy = 4 y + 1 dy W ii = න y + 1 dy = 2y yቚ = 16 6 = 10 1 y 2 1 a (2) (i) 1 2 b (ii) (1) x

16 Przykład: Całka krzywoliniowa wzdłuż pewnej krzywej ԦF = y 2 x + 2x(y + 1) y dԧl = dx x + dy y + dzzƹ (2) dz = 0, x = y, dx = dy dԧl = dx x + dy y = dx x + dx y y 2 1 a (2) (i) 1 2 b (ii) (1) x ԦF dԧl = y 2 dx + 2x y + 1 dx = x 2 dx + 2x x + 1 dx W 2 2 = 1 3x 2 + 2x 2 = 10 W (1) ta siła nie jest zachowawcza!

17 Praca i Energia kinetyczna Cząstka (punkt materialny) porusza się pod wpływem stałej siły ԦF = (F x, 0,0) wzdłuż osi x Z drugiego prawa dynamiki Newtona: F x = ma x Szybkość zmienia się od v 1 do v 2 przy przesunięciu z x 1 do x 2 Związek pomiędzy pracą a energią kinetyczną

18 Ruch wzdłuż osi x z a x = const a x = dv v x t x dt න dv x = a x න v 0x v x = v 0x + a x t v x = dx x dt න x 0 0 dt t = v x v 0x a x dx = න(v 0x + a x t )dt x = x 0 + v 0x t a xt 2 = x 0 + v x 2 v 0x 2 2a x 0 t

19 Energia kinetyczna x x 0 = v x 2 2 v 0x a 2a x = v x 2 2 v 0x x 2 x x 0 Pomnóżmy obustronnie przez m(x x 0 ): ma x x x 0 = m v x 2 2 v 0x = mv x mv 2 0x 2 Z drugiej zasady dynamiki Newtona: F x = ma x F x x x 0 = mv x 2 2 mv 2 0x 2 W tot = K 1 K 0, K 1 mv 1 2 2

20 Twierdzenie o pracy i energii Praca wykonana na punkcie materialnym przez całkowitą siłę równa się zmianie energii kinetycznej cząstki: W tot = K 1 K 0 Wobec tego jednostką energii kinetycznej też powinien być Joule, sprawdźmy: K mv2 2 kg m2 kg m = s2 s 2 m = N m = J

21 Energia kinetyczna Energia kinetyczna jest skalarem nie zależy od kierunku ruchu ciała K mv2 2 Użyliśmy II zasady dynamiki Newtona do wyprowadzenia W tot = K 1 K 0 Równość prawdziwa tylko w układach inercjalnych

22 Znaczenie energii kinetycznej Na początku ciało spoczywa tzn. v 0 = 0 K 0 = 0 W tot = K 0 Jak to odczytać? Energia kinetyczna obiektu jest równa całkowitej pracy, która została wykonana aby przyśpieszyć, spoczywający początkowo, obiekt do jego obecnej prędkości.

23 Przykład Na początku oba bojery są w stanie spoczynku Działa na nie taka sama siła wiatru Który bojer będzie miał na finiszu większą energię kinetyczną? Czy potrafisz odpowiedzieć korzystając z definicji energii kinetycznej? K mv2 2

24 Przykład: Rozumowanie z def. m 1 = 2m > m = m 2 K 1 > K 2? K mv2 2 Ale a = F m a 1 < a 2 v 1 < v 2 K 1 < K 2? To jak to rozstrzygnąć?

25 Przykład skorzystajmy z twierdzenia Pamiętaj, że W tot = K 0 = Fs Na obie łódki działa ta sama siła wiatru Obie przebywają ten sam dystans Siła wiatru wykonała w obu przypadkach tą samą pracę! Na finiszu obie łódki mają taką samą energię kinetyczną!

26 Twierdzenie o pracy i energii dla zmiennych sił w ruchu prostoliniowym Dla stałej siły mieliśmy: W tot = K 2 K 1 To samo twierdzenie jest prawdziwe w przypadku gdy siła nie jest stała Jak to pokazać? a x = dv x dt = dv x dt dx dx = dv x dx dx dt = dv x dx v x x 2 x 2 x 2 W tot = න F x dx = න ma x dx = න m dv x dx v xdx = x 1 x 1 x 1

27 Zmienna siła w ruchu po krzywej Dotychczas mieliśmy: x 2Fx W = න (x)dx dw = F x (x)dx x 1 Teraz siła zmienia długość i kierunek: dw = F II dl = തF ഥdl Twierdzenie W tot = K 2 K 1 jest nadal prawdziwe!

28 Moc definicja ΔW P lim Δt 0 Δt = dw dt F = Ԧ dԧl = ԦF Ԧv dt Hania P = dw dt Zosia P śr ΔW Δt = F Δr Δt = F v śr Sprzątaczka Zosia ma dwa razy większą moc od Hani - tę samą pracę wykonuje w dwa razy krótszym czasie.

29 Moc - definicja Definicja pracy nie odnosi się do czasu Chcielibyśmy mieć jakąś miarę pracy w określonym czasie Moc średnia: Moc: P lim Jednostka watt: W=J/s P av ΔW Δt Δt 0 ΔW Δt = dw dt

30 Energia potencjalna Pływak skacze na główkę do basenu i uderza w wodę Skacze z wysoka K duża Siła grawitacji wykonuje pracę, W tot = K 2 K 1 Można jednak myśleć o tym inaczej Koncepcja energii potencjalnej

31 Grawitacyjna energia potencjalna Wykonujesz pracę, żeby podnieść kamień Magazynujesz energię w kamieniu Może być ona potem uwolniona przy spadku Koncepcja energii związanej z położeniem ciała Praca wykonana przez siłę grawitacji przy spadku ciała z y 1 do y 2 Przesunięcie s = y k y 0 = y 2 y 1 < 0

32 Grawitacyjna energia potencjalna W = Fs = mg y 2 y 1 = mg y 1 y 2 = mgy 1 mgy 2 U 1 U 2 W = U 1 U 2 = U 2 U 1 = ΔU Kiedy ciało jest podnoszone praca wykonywana przez siłę grawitacji W < 0 ΔU > 0 (bo y 1 y 2 < 0) Kiedy ciało opada praca wykonywana przez siłę grawitacji W > 0 ΔU < 0 (bo y 1 y 2 < 0)

33 Zasada zachowania energii (siła grawitacji) Z twierdzenia o energii i pracy: W tot = ΔK = K 2 K 1 Jeśli działa wyłącznie siła grawitacji to pokazaliśmy, że: W tot = W = ΔU Wobec tego: ΔK = ΔU K 2 K 1 = (U 2 U 1 ) K 2 + U 2 = K 1 + U 1 Całkowita mechaniczna energia układu jest zachowana! W tot = ΔK = K 2 K 1 dla układu inercjalnego!!!

34 Zasada zachowania energii (siła grawitacji) Bardzo użyteczna zasada Możesz wybrać poziom zero tam gdzie ci wygodnie Ważna jest zmiana wysokości

35 Potencjalna energia sprężystości Praca wykonana na sprężynie: x 2 W = න Fx dx = 1 x 1 2 kx kx 1 2 = ΔU Zasada zachowania energii działa: mv 1 2 K 1 + U 1 = K 2 + U kx 1 2 = mv kx

36 Czy energia jest zawsze zachowana? Siła oporu wykonuje ujemną pracę na skoczku Prędkość graniczna energia kinetyczna się nie zmienia! Potencjalna energia maleje Całkowita energia maleje! Jeśli naszym układem jest skoczek to energia nie jest zachowana!

37 Czy energia jest zawsze zachowana? W tot = W op + W graw = K 2 K 1 to zawsze prawda w układach inercjalnych W graw = ΔU graw = U 1,graw U 2,graw W op + U 1,grav U 2,grav = K 2 K 1 W op + K 1 + U 1,grav = K 2 + U 2,grav Praca wykonana przez siłę niepotencjalną (niezachowawczą)!

38 Siły zachowawcze (potencjalne) Przykłady: grawitacji, sprężystości Praca dla takich sił: Jest odwracalna Może być wyrażona jako różnica energii potencjalnych stanu początkowego i końcowego Nie zależy od drogi tylko od stanu początkowego i końcowego Jeśli punkt początkowy i końcowy jest ten sam to całkowita praca jest zero.

39 Siły niezachowawcze (dysypatywne) Przykłady: tarcie, opory Praca dla takich sił nie może być przedstawiona przy pomocy potencjału Jest nieodwracalna (zwykle straty energii) Zależy od drogi Nie jest równa zero po pętli Nie ma zasady zachowania energii Trudno sobie z nimi poradzić!

40 To nie jest prawda, ze nie wykonałeś pracy! Praca po zamkniętym obszarze = 0 tylko dla sił zachowawczych (potencjalnych)! Tarcie nie jest zachowawcze! Opór też nie! Czy Syzyf nie wykonał żadnej pracy? Tarcie nie jest zachowawcze! Opór też nie!

41 Siła i potencjał w 1D To już było: W = ΔU Ale również F x x Δx = ΔU jeśli Δx małe Wobec tego dla małych przesunięć: F x x = ΔU Δx W granicy nieskończenie małych przesunięć: F x x = du dx

42 Co jeśli siła jest 3D? Pole sił ԦF(Ԧr) jest zachowawcze jeśli może być przedstawione w postaci: ԦF Ԧr = grad V Ԧr V Ԧr - potencjał ԦF(Ԧr), skalarna funkcja grad V V V x x + V y V y + z zƹ V x, V y, V z W A B; C = න Fd Ԧr = න grad Vd Ԧr = න dv = V A V B C C C

43 Czy siła F = 2x, 2y, 2z jest zachowawcza? V x = 2x V = x2 + p y, z V y = 2y V = y2 + q x, z V z = 2z V = z2 + r x, y Czyli istnieje potencjał: ԦF = grad V = grad(x 2 + y 2 + z 2 ) Można to zrobić łatwiej