SPB. dr Wojciech Palubicki

Transkrypt

1 SPB dr Wojciech Palubicki

2 Przekaz informacji: L-System A(0) A(1) A(2) A(x) A(x+1) Kroki symulacji

3 Przekaz informacji: L-System A(0) A(1) A(2) A(x) A(x+1) Kroki symulacji B(z) < A(x) > B(y) A(x+z+y)

4 Symulacja przestrzeni 1D

5 Symulacja przestrzeni 1D Sąsiedztwo

6 Kontekst Przekaz informacji: L-System <B(0) >B(0) A(0) A(1) A(2) A(x) A(x+1) Kroki symulacji B(z) < A(x) > B(y) A(x+z+y)

7 1D Przestrzeń Przekaz informacji: L-System <B(0) >B(0) A(0) A(1) A(2) Czas

8 1D Przestrzeń L-System i komputer L-System Komputer Czas

9 L-System i komputer L-System Komputer równoległy Czas

10 Turtle graphics + system współrzędnych 3D

11 Turtle graphics + system współrzędnych 3D 1D + 3D Turtle graphics

12 Jak ująć wyższe wymiary przestrzeni w modelu?

13 Komórkowy Automat

14 Dyskretyzacja siatką 2D

15 Pojedyncze komórki mogą być w różnych stanach Stan 1 Stan 0

16 Sąsiedztwo Stan 1 Stan 0

17 Sąsiedztwo stan = f( stanu sąsiadów ) Stan 1 Stan 0

21 Periodyczne granice siatki Stan 1 Stan 0

22 Periodyczne granice siatki Stan 1 Stan 0

23 Torus

24 Sąsiedztwo pierwszego rzędu - von Neumann Stan 1 Stan 0

25 Sąsiedztwo pierwszego rzędu - von Neumann Stan 1 Stan 0

26 Sąsiedztwo drugiego rzędu - Moore Stan 1 Stan 0

27 Sąsiedztwo trzeciego rzędu Stan 1 Stan 0

28 Sąsiedztwo czwartego rzędu Stan 1 Stan 0

29 Różne sąsiedztwo Stan 1 Stan 0

30 Komórkowe automaty (Cellular Automata) Kolekcja komórek o identycznych wymiarach które mogą posiadać różne stany. Zmiana stanu komórki jest dana przez funkcje sąsiedztwa i zbioru możliwych stanów.

31 KA przekaz informacji A(0) A(1) A Czas

32 np. 2D Przestrzen KA przekaz informacji A(0) A(1) Czas

33 Komórkowe automaty formalnie Ważna komponenta komórkowego automatu (KA) to graf spójny łączący komórki jest to typowo n- wymiarowa siatka Γ Każda komórka jakiegoś KA może być w kilku możliwych stanów. Zbiór stanów, Q, jakiegoś KA jest zbiorem wszystkich możliwych stanów Para (Γ, Q) jest nazywana przestrzeń komórkowa (cell space) danego KA

34 Komórkowe automaty formalnie Konfiguracja, x, danego KA jest odwzorowywanie od grafu to zbioru stanów, która przypisuje jakiś stan zbioru stanów Q dla każdego wierzchołka grafu Γ, tzn. x: Γ Q x(i) = q, gdzie i Γ i q Q Konfiguracje danego KA opisuje stanu na globalnym poziomie

35 Komórkowe automaty formalnie Obliczenia danego KA są procesem lokalnym. Następny stan komórki zależy od obecnego stanu, i stanów sąsiadów. Musimy więc wyrazić pomysł sąsiedztwa komórkowego za pomocy funkcji N. Na przykład zależnie od odległości. Dynamika lokalna (funkcja przejścia) danej komórki, nazywana, δ, jest funkcją która dostaje jako parametry wejściowe stan komórki i jej sąsiadów i oblicza następny stan komórki. Na przykład w 1D: δ(x i-1, x i, x i+1 ) = x i

36 Komórkowe automaty formalnie Formalnie, Komórkowy Automat to kwadrupl M = (Γ, Q, N, δ), gdzie: Γ graf spójny Q zbiór stanów N sąsiedztwo (np. Moore) δ lokalna dynamika

37 Historia automatów komórkowych Stanisław Ulam John von Neumann

38 Komórkowe automaty (Cellular Automata) Prototyp prostego lokalnego przetwarzania informacji umożlwiającego opisywania złożonych wzorców Eksperymentalna matematyka, sztuczna fizyka/życie (Ulam) Sztuczne życie (von Neumann, Langton) Narzędzie modelowania (symulacje przyrodnicze, modelowanie społeczne, ruch samochodowy, etc.)

39 Model urbanistyczny

40 Model przemieszczania się piasku

41 Model ognisk leśnych

42 Przykład: Gra Życia (Game of Life) John Conway

43 Gra Życia Dwa stany: 1 żywa 0 martwa Każda żywa komórka która ma mniej nisz dwóch żywych sąsiadów staje się martwa Każda żywa komórka która ma więcej niż 3 żywych sąsiadów umiera Każda żywa komórka która ma 2 lub 3 żywych sąsiadów pozostaje żywa Każda martwa komórka która ma dokładnie 3 żywych sąsiadów staje się żywa

44 Przykład

45 Przykład

46 Przykład

47 Przykład

48 Przykład

49 Przykład

50 Glider

51 Podstawowe wzorce

52 Uniwersalny komputer Prosty uniwersum zdolny do obliczeń (kompletność Turinga) Jakie wzorce są stabilne? Jakie chaotyczne?

53 Opinion Dynamics Jak zamodelować dynamikę opinii ludzi np. Dla jakiej partii politycznej zagłosować?

54 Opinion Dynamics Biały: Za Czarny: Przeciw

55 Majority vote Siatka ma być periodyczna Każda komórka przyjmuje stan taki jaki jest większości jej sąsiadów Gdy sumy opinii sąsiadów są równe to komórki nie zmieniają stanu Jaki wzorzec powstanie?

56

57

58

59 Stabilna konfiguracja

62 Opinion Dynamics CA Model Wytwarzanie porządku Nie łatwo przewidzieć wzorca globalnego Narzędzie stosowane skutecznie w modelowaniu społecznym

63 VPython Moduł do pythona stworzony do interaktywnego modelowania Bardzo łatwy do nauczenia

64 Pierwszy krok Uruchomić VIDLE from visual import * sphere() F5

65 Zmiana atrybutów kuli Kolor sphere(color=color.red) Radius sphere(radius=0.5,color=color.red) Nazwa ball = sphere(radius=0.5,color=color.red) Pozycja ball = sphere(pos=(0,2,0),radius=0.5,color=color.red) Zmiana pozycji ball.pos = (1,2,3)

66 Zmiana atrybutów kuli Kolor sphere(color=color.red) Radius sphere(radius=0.5,color=color.red) Nazwa ball = sphere(radius=0.5,color=color.red) Pozycja ball = sphere(pos=(0,2,0),radius=0.5,color=color.red) Zmiana pozycji ball.pos = (1,2,3)

67 Zmiana atrybutów kuli Kolor sphere(color=color.red) Radius sphere(radius=0.5,color=color.red) Nazwa kula = sphere(radius=0.5,color=color.red) Pozycja ball = sphere(pos=(0,2,0),radius=0.5,color=color.red) Zmiana pozycji ball.pos = (1,2,3)

68 Zmiana atrybutów kuli Kolor sphere(color=color.red) Radius sphere(radius=0.5,color=color.red) Nazwa kula = sphere(radius=0.5,color=color.red) Pozycja kula = sphere(pos=(0,2,0),radius=0.5,color=color.red) Zmiana pozycji ball.pos = (1,2,3)

69 Zmiana atrybutów kuli Kolor sphere(color=color.red) Radius sphere(radius=0.5,color=color.red) Nazwa kula = sphere(radius=0.5,color=color.red) Pozycja kula = sphere(pos=(0,2,0),radius=0.5,color=color.red) Zmiana pozycji kula.pos = (1,2,3)

70 Nawigacja Zoom Trzymaj środkowy przycisk myszki i poruszaj myszką Lub, trzymaj lewy i prawy przycisk naraz Obrót Trzymaj prawy przycisk i poruszaj myszka

71 Prosta scena from visual import * kula = sphere(pos=(0,2,0),color=color.yellow,radius=1) pudelko = box(length=10, height=2, width=4,color=color.blue)

72 Display() scena = display(title='cellular Automaton', width=500, height=500, range=(5, 5, 5)) scena.fov(1.5) scena.fov(0.001)

73 Symulacja za pomocy pętli, np.: l=1 while l == 1: rate(n) #częstotliwość odświeżania #zmien pozycje kuli

74 Zadanie Stwórz symulacje kuli która się porusza od lewego boku okienka do prawego w pętli.

75 Zadanie Ułóż przypadkową liczbę kul na siatce 50 x 50?

76 Zadanie Stwórz własny model majority vote tak jak opisano na wykładzie. Co się stanie gdy zmieniamy stan w przypadku równego podziału stanów sąsiednich (4-4)? Co się stanie gdy przydzielamy stan mniejszości sąsiadów ale tylko w przypadku glosowania 5 3?

77 Co trzeba zmienić w naszym KA aby stworzyć takie wzorce?

78 Zadanie Stwórz wykresy populacji i średniej lokalnej gęstości modelu głosowania większościowego. Co da się zauważyć?

79 matplotlib Najpopularniejszy pakiet do wizualizacji danych Pythona

80 Wykresy

81 Wykresy

82 Wykresy

83 Wykresy

84 Wykresy

85 Wykresy

86

87

88 plt.plot?

89 stary nowy

90 stary nowy

91

92 Legend

93 Przykład

94 Cellular Automata State change dynamics: Influence dynamics komorka reprezentuje stany Migration dynamics komorka reprezentuje agentow

95 Model Segregacji Schellinga Thomas C. Schelling (1978) Micromotives and Macrobehavior, Norton Co powoduje segregacji rasowej i ekonomicznej?

96

97

98 Komórkowy Automat Problem: zamodelować decyzje lokalizacji zamieszkania ludzi biedny 4 X 5 bogaty pusty

99 Komórkowy Automat Problem: zamodelować decyzje lokalizacji zamieszkania ludzi Glosowanie sumy sąsiadów X 5 biedny bogaty pusty

100 Komórkowy Automat Problem: zamodelować decyzje lokalizacji zamieszkania ludzi Glosowanie sumy sąsiadów biedny bogaty pusty X Osoba zmienia lokalizacje gdy suma podobnych sąsiadów jest poniżej jakiegoś progu

101 Komórkowy Automat Problem: zamodelować decyzje lokalizacji zamieszkania ludzi n.p. 3/7 czerwonych sąsiadów zostań 4 X

102 Komórkowy Automat Problem: zamodelować decyzje lokalizacji zamieszkania ludzi n.p. 2/7 czerwonych sąsiadów przeniesienie 4 X

103 Komórkowy Automat Problem: zamodelować decyzje lokalizacji zamieszkania ludzi n.p. 2/7 czerwonych sąsiadów przeniesienie 4 X

104 Netlogo Model

105 Micromotives Macrobehavior

106 Punkty krytyczne (Tipping points)

109 Exodus tip 2/7 > X

110 Exodus tip 2/7 > X

111 Exodus tip X

112 Exodus tip X

113 Genesis tip 2/7 > X

114 Genesis tip 2/8 < X

115 Genesis tip X

116 Genesis tip X

117

118 Działanie kolektywne (Collective Action) w/06revolution-slideshow.html?_r=0

119 Granovetter s Peer Model N individuals Each has a threshold T j for person j Join if T j others join

120 Przykład

121 Przykład

122 Przykład

123 Przykład

124 Przykład

125 Przykład

126 Przykład

127 Przykład

128 Przykład

129 Przykład

130 Przykład

131 Przykład Średnia = 1.4 Średnia = 2.5

132 Collective Action Niskie progi Więcej wariacji w progach

135 Peer Effect

136 Peer Effect Information

137 Standing Ovation Model (owacje na stojąco) Próg żeby stać: T Jakość przedstawienia: Q Sygnał: S = Q + E Pierwsza reguła Gdy S > T, stać Druga reguła Stać gdy więcej niż X % stoi

142 Obserwacja 1 Ilość stojących ludzi jest proporcjonalna do jakości Q Gdy Q + E > T, stać

143 Obserwacja 2 Ilość stojących ludzi jest odwrotnie proporcjonalna do progu T Gdy Q + E > T, stać

144 Obserwacja 3 Ilość stojących ludzi jest odwrotnie proporcjonalna do progu X Stać gdy więcej niż X % stoi

145 Przykład 1000 ludzi T = 60 Q = 50 E = 0 50 < 60

146 Przykład 1000 ludzi T = 60 Q = 50 E = 0 50 < 60

147 Przykład 1000 ludzi T = 60 Q = 50 E [-15, 15]

148 Przykład 1000 ludzi T = 60 Q = 50 E [-15, 15] siedzieć stać S

149 Przykład 1000 ludzi T = 60 Q = 50 E [-50, 50] siedzieć stać S

150 Obserwacja 4 Gdy Q < T, wariacja w E może powodować ze ludzie będą stali Gdy Q + E > T, stać

151 Interpretacja wariacji E Publiczność Różnorodna Nie wyrafinowana Przedstawienie Wielowymiarowa Skomplikowane

152 Stojące owacje Wysoka jakość (Q) Duża gotowość do wstania (T) Duże efekty kolektywnego działania (X) Więcej wariacji (E)

153 Stojące owacje Wysoka jakość (Q) Duża gotowość do wstania (T) Duże efekty kolektywnego działania (X) Więcej wariacji (E)

154 Theatre

155 Theatre

156 Theatre

157 Theatre

158 Theatre

159 Theatre

160 Stojące Owacje Wysoka jakość Duża gotowość do wstania Duże efekty kolektywnego działania Więcej wariacji Usadź ludzi gotowych to wstawania blisko sceny (celebryci) Duże grupy

161 Stojące Owacje Wysoka jakość Duża gotowość do wstania Duże efekty kolektywnego działania Więcej wariacji Usadź ludzi gotowych to wstawania blisko sceny (celebryci) Duże grupy

162 Dwa Społeczne Modele Sortowanie (Schelling model) Peer Effects (Standing Ovation model)

163 Sortowanie

164 Sortowanie mixed white black James Moody, Race, school integration, and friendship segregation in America, American Journal of Sociology 107, (2001)

165 Peer Effects (Homophily)

166 Sortowanie czy Peer Effects?

167 Problem Identyfikacji Modelu? Dane pokazujące dynamikę procesu

168 Topologie Gramatyka Siatka

169 Topologie Gramatyka Siatka Przestrzeń Euklidesowa

170 Modelowanie agentowe przestrzeń Euklidesowa Agent to struktura danych która posiada: Pozycje (układzie współrzędnym) Prędkość, orientacje Różne inne parametry Podobnie jak w KA, dynamika modelu wynika z lokalnych interakcji agentów określonych przez reguły interakcje

171 Dynamika modeli agentowych Dana przez interakcje pomiędzy agentami Kolejna iteracja Dla każdego agenta Narysuj agenta Oblicz stan Oblicz sąsiedztwo

172 Algorytm stada / bird flocking (C. Reynolds) Reynolds, Craig (1987). "Flocks, herds and schools: A distributed behavioral model." SIGGRAPH '87: Proceedings of the 14th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (Association for Computing Machinery): 25 34

173 Algorytm stada Agent nazywa się boid i składa się z pozycji i prędkości Reguły interakcji zmieniają prędkość i pozycje agentów Spójność Rozdzielność Wyrównanie

174 Sprawdzanie sąsiedztwa Dla pozycji b danego boida sprawdzamy czy wszystkie inne pozycje boidow Ԧx i znajdują się w odległości mniejszej od d: b Ԧx i < d Dla boidow Ԧx i dla których ta nierówność zachodzi sprawdzamy czy kąt odchylenia pomiędzy wektorem prędkości boida Ԧe v i wektorem Ԧe Ԧx i jest mniejszy od α Ԧe Ԧx i Ԧe v < cos(α) Ԧe Ԧx i Ԧe v

175 Sprawdzanie sąsiedztwa Dla pozycji b danego boida sprawdzamy czy wszystkie inne pozycje boidow Ԧx i znajdują się w odległości mniejszej od d: b Ԧx i < d Dla boidow Ԧx i dla których ta nierówność zachodzi sprawdzamy czy kąt odchylenia pomiędzy wektorem prędkości boida b v i wektorem b Ԧx i jest mniejszy od cos(α) b Ԧx i b Ԧx i b v b v < cos(α)

176 Spójność Obliczamy wektor skierowany do środka masy lokalnego sąsiedztwa Ԧv 1 = σ 1 n Ԧx i n b Spójność

177 Rozdzielność Pseudokod: Ԧv 2 wektor zerowy Dla wszystkich sąsiednich boidow Ԧx i Gdy b Ԧx i < min Zwróć Ԧv 2 To Ԧv 2 = Ԧv 2 (b Ԧx i ) Rozdzielność

178 Wyrównanie Obliczamy średnią prędkość wszystkich sąsiadów Ԧx vi i ustalamy nową prędkość Ԧv 3 Ԧv 3 = σ 1 n Ԧx vi n b v Wyrównanie

179 Wazony Ruch boidow Prędkość: b v = b v + w 1 Ԧv 1 + w 2 Ԧv 2 + w 3 Ԧv 3 Pozycja: b = b + b v

180 Wazony Ruch boidow Prędkość: b v = b v + w 1 Ԧv 1 + w 2 Ԧv 2 + w 3 Ԧv 3 Pozycja: b = b + b v

181

182 Zadanie Zaimplementuj algorytm stada stosując moduł vpython Zastanów się jak dodać atraktor w środku sceny wokół którego boidy będą się przemieszczać Rysowanie boidow w vpython może być realizowane np. za pomocy stożków (cone())