Modelowanie systemów biomedycznych

Transkrypt

1 Modelowanie systemów biomedycznych - automaty komórkowe (czy jest to "nowe oblicze nauki"?) Arkadiusz Mandowski

2 Modelowanie... R. Tadeusiewicz (2008)

3 Modelowanie... R. Tadeusiewicz (2008)

4 Jak rozpoznać życie?

5 Jak rozpoznać życie?

6 Jak rozpoznać życie?

7

8 Formy życia temat do dyskusji Załóżmy, że przybywając do odległej planety mamy zidentyfikować nowe formy życia. Zadanie: spróbuj sformułować 7 cech, których użyjesz do określenia, czy dana forma materii jest żywa. Czy istnieje uniwersalna definicja życia? Jak zdefiniować sztuczne życie (Alife = artificial life) i jak je odróżnić od zwykłego życia?

9 John von Neumann: życie = rozmnażanie...? kinematon, kinematic beast

10 Stwór Kinematyczny von Neumann'a A - maszyna budująca B - maszyna kopiująca C - maszyna sterująca F - ciąg instrukcji do budowy maszyny (Stwór jest zanurzony w oceanie części zamienych) Zykov V., Mytilinaios E., Adams B., Lipson H. (2005) "Self-reproducing machines", Nature Vol. 435 No. 7038, pp

11 Stwór Kinematyczny II - realizacja von Neumann'a i Ulama Koncepcja Automatu Komórkowego 1. Przestrzeń złożona z ok komórek 2. Każda komórka może się znajdować w jednym z 29 stanów 3. Zmiana stanu komórki uzależniona jest od ogólnych reguł automatu i aktualnego stanu jej sąsiadów ( ) stanów Stanisław Ulam: Czy mechanizmy rekursywne mogą wyjaśnić przyczynę złożoności świata? Czy złożoność jest w istocie pozorna, bo reguły za nią stojące są proste?

12 Historia automatów komórkowych John von Neumann ( ) - w latach 1930/40 stworzył teorię gier (z myślą o ekonomii). Koncepcja automatu samo-powielającego się (kinematic beast - factory/duplicator/controller/instructions - łącznie komórek o 29 stanach). Stanisław Ulam ( ) - twórca pierwszych gier komputerowych 2-D i 3-D. Gry strategiczne na różnego rodzaju sieciach komórkowych (np. trójkątne, sześciokątne) "obiekty geometryczne zdefiniowane rekursywnie". John Horton Conway (1937- ) - matematyk w Gonville and Caius College (Cambridge) potem Princeton. w 1970 r. uprościł automat von Neumann'a (game of life). Teoria gier i teoria liczb. Stephen Wolfram ( ) - Eton/Oxford/Caltech; pierwszy artykuł, 1979 Ph.D. (Caltech - fizyka teoretyczna). Fizyka wysokich energii, pól kwantowych, kosmologia, dynamika cieczy. Od 1986 tworzy program Mathematica klasyfikacja automatów komórkowych 1-D; (2002) książka New kind of science.

13 John von Neumann ( ) Stanisław Ulam ( )

14 John H. Conway (1937- )

15 Automaty Komórkowe (cellular automata) CA - dyskretne systemy dynamiczne, których zachowanie jest w pełni określone poprzez lokalne reguły. Automat komórkowy jest wymyślonym wszechświatem, w którym przestrzeń jest reprezentowana poprzez jednorodną sieć z komórkami zawierającymi niewielką ilość informacji (właściwości = stan komórki). Czas ma również charakter dyskretny i jest określony przez kolejne generacje automatu.

16 Automaty komórkowe definicja I Automat Komórkowy (AK) to sieć N komórek, z których każda jest w jednym z k stanów w czasie t Każda z komórek podlega tym samym prawom rozwoju Stan komórki s w czasie t+1 zależy od jej własnego stanu, oraz stanu pewnej liczby jej sąsiadów w chwili t Dla 1-D AK otoczenie komórki składa się z r sąsiadów po każdej stronie, stąd parametrami AK są k i r k 2r +1 możliwości różnego sąsiedztwa k k 2r +1 możliwych reguł ewolucji (typów AK)

17 Automaty komórkowe definicja II Zbiór (K, E, S, f) jest nazwany automatem komórkowym, jeżeli: K jest siecią komórek (i, j)

18 E jest zbiorem stanów elementarnych np: np. E { zdrowy = czarny, zakażony = czerwony, uzdrowiony = niebieski } S sąsiedztwo (otoczenie) i, j Moore i, j+1 i-1, j i, j i+1, j i, j-1 Von Neumann f funkcja lokalna nowy stan w miejscu (i, j) = f ( sąsiedztwo (i, j) )

19 Przykładowe typy sieci Jednowymiarowe (1-D) Dwuwymiarowe (2-D) sieć kwadratowa sieć trójkątna sieć heksagonalna Trójwymiarowe (3-D) sieć kubiczna

20 Problem nieskończoności - warunki brzegowe (w implementacjach) Ograniczone Periodyczne

21 Typy sąsiedztwa (otoczenie - neighborhood) otoczenie von Neumann a otoczenie Moore a rozszerzone otoczenie Moore a

22 Gra w życie (game of life - Conway) Zasady (jeden z wariantów) 1. Przetrwanie: gdy żywa komórka ma 2 lub 3 sąsiadów 2. Śmierć: gdy żywa komórka ma mniej niż 2 lub więcej niż 3 sąsiadów 3. Narodziny: gdy martwa komórka ma dokładnie 3 sąsiadów 4. Typ sąsiedztwa: sąsiedztwo Moore a

23 Typowe struktury automatów 2-D Typ I obiekty statyczne Typ III obiekty ruchome Typ II oscylatory Typ IV żyjące komórki IVa działo (emituje szybowce) IVb parowiec IVc hodowla Typ V obiekty niestabilne

24 Automaty 1-D (Wolfram) Jednowymiarowa sieć komórek z periodycznymi warunkami brzegowymi Każda komórka ma dwóch sąsiadów Każda komórka znajduje się w jednym z dwu stanów (np. 0, 1 OFF i ON )

25 Klasyfikacja automatów 1-D (CAR Cellular Automata Rule) Przyszły stan komórki określony jest przez: aktualny stan komórki stan jej sąsiadów Tryplet Typ sąsiedztwa Kolejny krok 2 8 =256 reguł CAR = = = = 106

26 Przykład CAR30 step 1: step 2: step 3: step 4: step 5: step 6: step 7: step 8: step 9: step 10:

27 Klasy automatów komórkowych (Wolfram) Klasa 1: po skończonej liczbie kroków AK zmierza do osiągnięcia określonego stanu wychodząc z niemal każdych warunków początkowych Klasa 2: AK wytwarza struktury powtarzające się periodycznie lub stabilne Klasa 3: prawie dla wszystkich warunków początkowych AK zmierza do struktur aperiodycznych (chaotycznych), których statystyczne właściwości upodabniają się do struktur początkowych (samopodobieństwo fraktalne) Klasa 4: bardziej złożona; po skończonej liczbie kroków AK zwykle wymiera; może pozostać jedynie kilka stabilnych lub periodycznych struktur; pomieszanie porządku i przypadkowości

28 CAR kroków

29 CAR kroków

30 CAR kroków

31 CAR kroków

32 Złożoność automatów komórkowych (przykład: sąsiedztwo Moore'a; 2 stany) Dla 1-D AK: 2 3 = 8 możliwych "typów sąsiedztwa" 2 8 = 256 możliwych reguł rozwoju Dla 2-D AK: 2 9 = 512 możliwych "typów sąsiedztwa" możliwych reguł rozwoju (GoL) Dla 3-D AK: 2 27 = możliwych "typów sąsiedztwa" możliwych reguł rozwoju

33 Wszechświat (liczby dla porównania) Promień Wszechświata: R min lat św m Gęstość materii: ρ kg/m 3 (tylko 4% materii 0.25 atomów na m 3 ) (max. 6 atomów na m 3 wliczając ciemną materię) Ilość atomów we Wszechświecie: N π R n = N ( ) 3

34 Automaty Jednowymiarowe (1-D)

35 Automaty Dwuwymiarowe (2-D)

36 Wirtualne mrówki Langton a 1. Zacznij w dowolnym punkcie płaszczyzny euklidesowej 2. Wykonaj krok naprzód 3. Jeżeli stoisz na polu białym pokoloruj je na czerwono i wykonaj zwrot o 90 w prawo 4. Jeżeli stoisz na polu czerwonym pokoloruj je na biało i wykonaj zwrot o 90 w lewo 5. Przejdź do kroku 2 i powtarzaj dowolną ilość iteracji

37 Mrówki Langton a - przykład

38 Mrówki Langton a - przykład Pierwsze iteracji wydaje się być chaotyczne. W końcu mrówki formują ścieżkę it it it.

39 Optymalizacja drogi (Marco Dorigo) a) Mrówki podążają z A do E. b) Ustawiamy przeszkodę; mrówka może ją obejść z równym prawdopodobieństwem c) Na krótszej ścieżce mrówki zostawiają więcej feromonu

40 Optymalizacja drogi - zastosowanie

41

42

43

44 Płatki śniegu - symulacje na sieci heksagonalnej S. Wolfram A New Kind of Science, Wolfram Media, Champaign 2002

45 Co mogą automaty komórkowe? Modelować układy stabilne okresowe chaotyczne złożone Tworzyć struktury samo-powielające się (organizmy żywe?) Emulować maszynę Turinga (a więc i rozwiązać dowolne zagadnienie algorytmizowalne) Efektywnie rozwiązywać niektóre złożone zagadnienia obliczeniowe (np. problem komiwojażera i mrówcze ścieżki ) Zaleta: są naturalne dla komputerów (naturalnie dyskretne)

46 Czy rzeczywiście nowe oblicze nauki? S. Wolfram A New Kind of Science, Wolfram Media, Champaign 2002 Wolfram: Świat jako automat komórkowy (złożoność wynikająca z prostych reguł) fizyka biologia kryptografia ekonomia Wątpliwości: arbitralność wyboru automatu brak mocy predykcyjnej (opis jakościowy) Zalety: prostota modeli możliwość praktycznych zastosowań Co z opisem świata?

47 Czy rzeczywiście nowe oblicze nauki? S. Wolfram A New Kind of Science, Wolfram Media, Champaign 2002 Wolfram: Świat jako automat komórkowy (złożoność wynikająca z prostych reguł) fizyka biologia kryptografia ekonomia Wątpliwości: arbitralność wyboru automatu brak mocy predykcyjnej (opis jakościowy) Zalety: prostota modeli możliwość praktycznych zastosowań Co z opisem świata?