METODYKA ZASTOSOWANIA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH NIESKOŃCZONYCH W ODNIESIENIU DO OBIEKTÓW NIEJEDNORODNYCH NA PRZYKŁADZIE BADAŃ ZAWILGOCENIA MURÓW* )

Transkrypt

1 Maciej PAŃCZYK Jan SIKORA METODYKA ZASTOSOWANIA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH NIESKOŃCZONYCH W ODNIESIENIU DO OBIEKTÓW NIEJEDNORODNYCH NA PRZYKŁADZIE BADAŃ ZAWILGOCENIA MURÓW* STRESZCZENIE Artykuł prezentuje zastosowanie elementów brzegowych nieskończonych w połączeniu z implementacją środowisk niejednorodnych w Metodzie Elementów Brzegowych. Realnym obiektem badań jest zawilgocony mur o zmieniającej się wraz z wysokością i wzdłuŝ grubości muru wilgotnością i związaną z nią przewodnością. Wyniki obliczeń porównywane są z pomiarami dokonanymi metodą suszarkowo-wagową i za pomocą tomografu impedancyjnego. Tego typu zastosowania wiąŝą się bezpośrednio z nieniszczącymi pomiarami efektów osuszania budynków. Zmodyfikowany algorytm MEB jest zasadniczą częścią obliczeniową tomografu pozwalającego na odtworzenie obrazu niedostępnego wnętrza obiektu Słowa kluczowe: Metoda Elementów Brzegowych, środowiska niejednorodne, elementy nieskończone * Praca finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa WyŜszego jako część projektu nr N N mgr inŝ. Maciej PAŃCZYK, maciejp@cs.pollub.pl Politechnika Lubelska, Wydział Elektrotechniki i Informatyki, Instytut Informatyki, prof. dr hab. inŝ. Jan SIKORA j.sikora@iel.waw.pl Politechnika Lubelska, Wydział Elektrotechniki i Informatyki, Katedra Elektroniki Instytut Elektrotechniki, Zakład Metrologii i Badań Nieniszczących PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 39, 008

2 04 M. Pańczyk, J. Sikora. WSTĘP Środowiska niejednorodne, w których właściwości materiału zmieniają się gładko wraz ze zmianą współrzędnych stanowią istotną część badań materiałów i obiektów rzeczywistych. Przykładem środowiska niejednorodnego jest zawilgocony mur. Wilgotność muru i związana z nią przewodność zmieniają się wraz z wysokością i wzdłuŝ grubości muru. Zastosowanie tomografii impedancyjnej umoŝliwia odszukanie w sposób nieniszczący rozkładu zawilgocenia niedostępnego wnętrza obiektu. Od strony teoretycznej do rozwiązania zadania prostego wykorzystana jest Metoda Elementów Brzegowych (MEB. W celu zmniejszenia rozmiaru siatki w MEB oraz uniknięcia problemu nieznanej wysokości zawilgocenia muru i związanego z nią rozmieszczenia elektrod w obliczeniach zastosowano oprócz elementów standardowych elementy brzegowe nieskończone z transformacją geometrii (ang. Mapped Infinite Boundary Elements. Artykuł prezentuje wybrane elementy rozwaŝań teoretycznych oraz wyniki obliczeń porównane z pomiarami dokonanymi za pomocą tomografu impedancyjnego oraz danymi z odwiertów uzyskanymi metodą suszarkowowagową.. OPIS BADANEGO OBIEKTU Obiektem badań był zawilgocony mur. Badany w warunkach laboratoryjnych mur miał m wysokości, m szerokości i 0,5 m grubości. Mur został zatopiony w wodzie do połowy wysokości. Pomiarów dokonano dzień po odprowadzeniu wody. Mur wraz z 6 elektrodami tomografu impedancyjnego oznaczonymi e, e, e3... e6 oraz widocznymi trzema miejscami odwiertów przedstawiony jest na rysunku. Wyniki pomiarów dokonanych metodą suszarkowo-wagową wskazują, Ŝe rozkład wilgotności ma przebieg wykładniczy malejący wraz ze wzrostem wysokości.

3 Zastosowanie elementów brzegowych nieskończonych w odniesieniu do obiektów 05 Rys.. Zawilgocony mur z 6 elektrodami tomografu impedancyjnego i trzema miejscami odwiertów wykonanych dla weryfikacji pomiarów metodą suszarkowo-wagową 3. FUNKCJA GREENA DLA ŚRODOWISK NIEJEDNORODNYCH Rozwiązania bazowe dla podstawowych zastosowań MEB są generalnie znane i stabelaryzowane. W przypadku środowisk niejednorodnych naleŝy jednak wyznaczyć stosowną funkcję Greena. Równanie róŝniczkowe cząstkowe dla potencjału Φ określonego w objętości V ograniczonej powierzchnią S, z wektorem normalnym n skierowanym na zewnątrz obszaru, moŝe być zapisane jako: [ ( r Φ] = 0 γ ( gdzie: γ(r jest przewodnością zaleŝną od współrzędnych przestrzennych. Rozwiązanie bazuje na funkcji Greena G* zdefiniowanej poprzez równanie: [ γ( r ( r, r' ] = δ( r, r' G * ( gdzie: r i r' odpowiadąją punktom obserwacji i źródła.

4 06 M. Pańczyk, J. Sikora PodąŜając za pracami E. Kurgana [5] oraz A. Sutradhar i G. H. Paulino [] w których przewodność spełnia warunek: otrzymujemy rozwiązanie: G ( ( r = 0 γ (3 *( = γ( γ( G( r,r' r r' r,r' (4 gdzie: G jest standardową funkcją Greena dla równania Laplace. Równanie całkowo-brzegowe zapiszemy jako: ( r,r' ( r' ( ( r' G* ( ( ds Φ r' c( r Φ ( r + γ r' Φ r' ( r' = γ( G* ( ds( n r' r,r' r' n S S (5 Pochodna normalna funkcji Greena G* będzie określona jako: G *( r, r' n( r' = γ ( r n G( r, r' + G( r, r' γ ( r γ ( r' γ ( r n (6 gdzie: n i n są wektorem normalnym oraz jego długością. Interpolując rozkład przewodności γ funkcją kwadratową: ( z = ( Az + Bz+ C γ (7 γ 0 dla przypadku dwu-wymiarowego odpowiadającego przekrojowi muru w płaszczyźnie elektrod otrzymujemy: G * ( x, z = πγ 0 ln ( x x' + ( z z' ( Az + Bz+ C( Az' + Bz' + C (8

5 Zastosowanie elementów brzegowych nieskończonych w odniesieniu do obiektów 07 G * ( x, z ( x x' = x ( x x' + ( z z' Az πγ 0 [ ] ( + Bz+ C( Az' + Bz' + C ( ( z z G* x, z ' = z πγ 0 ( x x' + ( z z' ( Az + Bz+ C( Az' + Bz' + C γ ' ln + ( Az+ B( Az' + Bz + C 0 4πγ 0 ( x x' + ( z z' ( Az + Bz+ C( Az' + Bz' + C 3 (9 (0 Obliczenia dla trójwymiarowego modelu muru wykonano interpolując rozkład przewodności γ funkcją wykładniczą: βz ( x, y, z γ e γ = ( 0 Równanie ( z uwzględnieniem źródła prądu Q (rozmieszczenie elektrod niezaleŝnie od węzłów siatki przedstawia się następująco: ( x, y z βz Φ, e Φ( x, y, z + β = Q ( z γ 0 Równanie całkowo-brzegowe zapiszemy jako [7,8,9,0,,]: ( ( r' ( r,r' ( r' G c( r Φ ( r + βnz Φ ( r' ds( r' = n S Φ r' = G + n S β z ( r,r' ds ( r' QG( r 0,r' dv( r' V e γ 0 (3 gdzie: r 0 odpowiada miejscu przyłoŝenia punktowego źródła prądu, w którym Q przybiera wartość Q = I δ, I 0 jest wartością prądu źródła. 0 0 ( r 0 Funkcję Greena dla tego przypadku w przestrzeni trójwymiarowej zapiszemy następująco:

6 08 M. Pańczyk, J. Sikora β ( r+ R z e G( r, r' = + (4 4πr 4πr gdzie: r = r r', = z z'. R z Dyskretyzację muru dla modelu trójwymiarowego przedstawia rysunek. Rys.. Dyskretyzacja muru w przestrzeni trójwymiarowej Dodatkowo w modelu tym uwzględniono zmianę przewodności (zawilgocenia związaną z szybszym wysychaniem powierzchni muru niŝ jego wnętrza stosując podział na 4 warstwy adekwatny do pomiarów uzyskanych metodą suszarkowo-wagową. Wyniki obliczeń przedstawia rysunek 3.

7 Zastosowanie elementów brzegowych nieskończonych w odniesieniu do obiektów 09

8 0 M. Pańczyk, J. Sikora Rys. 3. Wyniki obliczeń modelu zawilgoconego muru. Krzywa z gwiazdkami odpowiada wartościom z pomiarów dokonanych tomografem impedancyjnym, linią przerywaną zaznaczono wyniki obliczeń D a linią ciągłą z kropkami wyniki obliczeń 3D Wyniki zaprezentowane na rysunku 3 odnoszą się do końcowego modelu muru, w którym oprócz zaleŝności przewodności γ do współrzędnej z (wysokości uwzględniono równieŝ efekt szybszego wysychania powierzchni muru niŝ jego wnętrza. Skutkowało to wprowadzeniem 4 warstwowego modelu obliczeniowego. Zasadniczym jednak wnioskiem jest zadowalająca zgodność wyników pomiarów i obliczeń pozwalająca na przyjęcie ich jako punktu odniesienia do wprowadzenia elementów brzegowych nieskończonych.

9 Zastosowanie elementów brzegowych nieskończonych w odniesieniu do obiektów 4. FUNKCJE KSZTAŁTU DLA ELEMENTÓW NIESKOŃCZONYCH Powodem zastosowania elementów nieskończonych w obliczeniach jest kwestia uniknięcia błędów związanych z potencjalnym niewłaściwym przyjęciem granicy zaniku zawilgocenia i stosownych warunków brzegowych. Klasycznie ominąć ten problem moŝna rozbudowując siatkę elementów brzegowych daleko poza badany obszar jednak skutkuje to znacznym wydłuŝeniem czasu obliczeń I wysokim zapotrzebowaniem na pamięć operacyjną. Powody te pozostają aktualne w omawianym przypadku poszukiwań rozkładu zawilgocenia muru. Kierując się adekwatnym do kształtu obiektu wyborem układu kartezjańskiego zastosowano elementy brzegowe nieskończone bazujące na standardowych czworokątnych izoparametrycznych elementach 8-węzłowych. Pociągnęło to za sobą wybór tzw. przypadkowych (ang. serendipity type funkcji kształtu. Pomimo złudnej nazwy są one logiczne i proces ich wyznaczania zostanie naszkicowany za C.O. Zienkiewiczem [3] i P. Bettessem []. Ośmiowęzłowy element brzegowy i jego przekształcenie do 5-węzłowego elementu brzegowego nieskończonego przedstawia rysunek 4. Rys. 4. Czworokątny 8-węzłowy element brzegowy i bazujący na nim element nieskończony NaleŜy zaznaczyć, Ŝe element nieskończony zgodny z rysunkiem 4 składać się będzie z jedynie 5 węzłów o numerach,, 6, 7 i 8. Na początek wyznaczone zostaną nieskończone funkcje kształtu M i dla węzłów środkowych. Węzeł 8 (ξ=- i η=0: Funkcja kształtu M 8 jest iloczynem jednowymiarowej liniowej nieskończonej funkcji kształtu wzdłuŝ współrzędnej ξ i jednowymiarowej kwadratowej standardowej funkcji kształtu w kierunku η:

10 M. Pańczyk, J. Sikora ( η M 8 = (5 ξ Węzły (ξ = 0 i η = i 6 (ξ = 0 i η = : Funkcje kształtu M i M 6 są iloczynem jednowymiarowej kwadratowej nieskończonej funkcji kształtu wzdłuŝ współrzędnej ξ i odpowiedniej liniowej standardowej funkcji kształtu w kierunku η: + ξ + ξ M = ( η, M 6 = ( + η (6 ξ ξ Węzły (ξ = 0 i η = i 7 (ξ = 0 i η = : Funkcje kształtu M i M 7 są konstruowane dwuetapowo. W pierwszym kroku są one iloczynem liniowej nieskończonej funkcji kształtu wzdłuŝ współrzędnej ξ i odpowiedniej liniowej standardowej funkcji kształtu w kierunku η: η + η M ˆ = ( η = ˆ, M 7 = ( + η = (7 ξ ξ ξ ξ Funkcje (8 nie spełniają jednak warunku przyjmowania wartości zerowych odpowiednio ˆM w węzłach środkowych 8 i : oraz ˆM 7 w węzłach środkowych 8 i 6: M ˆ ( ˆ,0 = i M( 0, = (8 M ˆ ( ˆ 7,0 = i M 7( 0, = (9 Korygowane jest to w drugim kroku. Jako, Ŝe funkcje kształtu M, M 6 i M 8 we własnych węzłach przyjmować muszą wartość a w pozostałych 0 wystarczy zatem przemnoŝyć je przez stałą wartości i dodać do funkcji ˆM i ˆM 7 : M M 7 = Mˆ = Mˆ 7 M M 6 M M 8 8 ξ+ ξη+ η = ξ ξ ξη+ η = ξ (0

11 Zastosowanie elementów brzegowych nieskończonych w odniesieniu do obiektów 3 Graficznie wyznaczone nieskończone funkcje kształtu przedstawiają się jak na rysunku 5. Rys. 5. Graficzna prezentacja funkcji interpolacyjnych dla elementu nieskończonego bazującego na standardowym czworokątnym 8-węzłowym elemencie brzegowym Spodziewanym efektem wprowadzenia elementów brzegowych nieskończonych jest zmniejszenie wraŝliwości rozwiązania na przyjęcie błędnej wysokości występowania zawilgocenia i związanej z tym wysokości rozmieszczenia elektrod.

12 4 M. Pańczyk, J. Sikora 5. PODSUMOWANIE Zawilgocony mur stanowi realny przykład środowiska niejednorodnego, istotny z uwagi na trwałość budynków i wpływ związanych z wilgocią zagrzybień na zdrowie mieszkańców. Wykorzystanie Metody Elementów Brzegowych jako aparatu obliczeniowego pozwala na nieniszczące badania stanu i rozkładu zawilgocenia takich obiektów za pomocą tomografii impedancyjnej. W miarę zagęszczania siatki elementów, zwiększania wielkości analizowanego obszaru lub komplikacji kształtu i wielowarstwowej budowie drastycznie wzrasta czas obliczeń i wymagania sprzętowe. Często teŝ niektóre powierzchnie obiektów nie są dostępne pomiarowo jak to ma miejsce np. w zagadnieniach medycznych. Z tego teŝ względu implementacja elementów nieskończonych jest bardzo poŝądana pozwalając przy zachowaniu dokładności poprawnie określić analizowany obszar i skrócić czas potrzebny do uzyskania wyników. Autorzy pragną podziękować prof. Jerzemu Hole z Instytutu Budownictwa Politechniki Wrocławskiej gdzie we współpracy z dr Stefanem Wójtowiczem z Instytutu Elektrotechniki w Międzylesiu wykonywane były pomiary oraz dr Konradowi Nicie z IEL za udostępnienie aktualnych wyników pomiarów. LITERATURA. Berowski P., Filipowicz S.F., Sikora J., Wójtowicz S.: Dehumidification of the wall process monitoring using 3D EIT system, 5th Conference on the Computation of Electromagnetic Fields COMPUMAG 005,, Shenyang, Bettess P.: Infinite elements. Penshaw Press 99, UK. 3. Gray, L. J., Kaplan, T., Richardson, J. D., Paulino, G. H.: Green's Functions and Bounday Integral Analysis for Exponentially Graded Materials: Heat Conduction. Journal od Applied Mechanics Vol. 70 pp July Hoła J., Matkowski Z., Schabowicz K.: Impedance tomographic method of assessing the dampness of masonry. Z. -B/007 Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej rafiaimpedancyjna/pdf/holaj_tomografiaimpedancyjna.pdf. 5. Kurgan, E.: Analiza pola magnetostatycznego w środowisku niejednorodnym metodą elementów brzegowych. Uczelniane wydawnictwa naukowo-dydaktyczne AGH Kraków Jabłoński, P.: Metoda elmentów brzegowych w analizie pola elektromagnetycznego. Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej Częstochowa Paulino, G. H., Sutradhar, A.: The simple boundary element method for multiple cracks in functionally graded media governed by potential theory: a three-dimensional Galerkin approach. International Journal for Numerical Methods in Engineering No. 65 pp , 005.

13 Zastosowanie elementów brzegowych nieskończonych w odniesieniu do obiektów 5 8. Paulino, G. H., Sutradhar, A., Gray, L. J.: Boundary element Methods for Functionally Graded Materials. International Association for Boundary Element Methods IABEM 8-30 May 00 Austin. 9. Rizzo, F. J., Martin, P. A., Roberts, R. A.: Boundary Elements and Green's Function Library Sikora J.: Boundary Element Method for Impecance and Optical Tomography. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej Sutradhar, A., Paulino, G. H., Gray, L. J.: On hypersingular surface integrals in the symmetric Galerkin boundary element method: application to heat conduction in exponentially graded materials. International Journal for Numerical Methods in Engineering No. 6 pp Sutradhar, A., Paulino, G. H.: A simple boundary element method for problems of potential in non-homogeneous media. International Journal for Numerical Methods in Engineering No, 60 pp Zienkiewicz C.O., Taylor R.L.: The Finite Element Method. McGraw-Hill, th edn. New York. Rękopis dostarczono dnia r. Opiniował: prof. dr hab. inŝ. Stanisław WINCENCIAK INFINITE BOUNDARY ELEMENTS AND FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS APPLICATION INTO WALL DAMPNESS INVESTIGATIONS Maciej PAŃCZYK, Jan SIKORA ABSTRACT Damped walls were objects of non-destructive testing based on Electrical Impedance Tomography (EIT. Decreasing along wall height humidity creates non-homogenous testing environment where object properties - conductivity varied smoothly with co-ordinates. Functionally Graded Materials (FGM implementation in Boundary Element Method (BEM was used to solve the EIT forward problem. Wall moistures and related salinity or mycosis are an important problem for buildings and people's health. Additionally Infinite Boundary Elements supports to decrease calculation time and allows to avoid wrong humidity boundary and related boundary conditions localization. Some theoretical aspects and practical results mentioned above are presented.