Algorytmy obliczeniowe
|
|
- Agata Karpińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PG WETiI Katedra Systemów Automatyki Algorytmy obliczeniowe Dr inż. Krzysztof Cisowski Tel: , Kierunek studiów Automatyka i Robotyka
2 Zakres i treść przedmiotu (1) 1. Wprowadzenie do metod numerycznych: klasyfikacja błędów. 2. Metody rozwiązywania równań nieliniowych: metoda bisekcji, metoda stycznych (metoda Newtona-Raphsona), metoda iteracji prostej. 3. Interpolacja funkcji: metoda Lagrange a, metoda Czebyszewa, metoda trygonometryczna. 4. Różnice skończone. Wzór interpolacyjny Stirlinga, I i II wzór interpolacyjny Newtona. 5. Aproksymacja funkcji: metoda najmniejszych kwadratów dla przypadku ciągłego i dyskretnego. 6. Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna za za pomocą wielomianów Grama oraz za pomocą wielomianów trygonometrycznych. 7. Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych. 8. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych. Metoda eliminacji Gaussa.
3 Zakres i treść przedmiotu (2) 9. Rozkład macierzy kwadratowej na iloczyn macierzy trójkątnych. Metody rozwiązywania układu równań liniowych: metoda LU oraz metoda QR. Oblicznie wyznaczników i odwracanie macierzy trójkatnych. 10. Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych: metoda Jacobiego, metoda Gaussa-Seidela. 11. Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych: metoda Newtona- Raphsona. 12. Całkowanie numeryczne: metoda prostokątów, metoda trapezów, metoda Simpsona. 13. Różniczkowanie numeryczne z wykorzystaniem szeregu Taylora oraz zróżniczkowanych wielomianów interpolacyjnych. 14. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych: metoda Eulera, metoda Rungego-Kutty. 15. Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) algorytm szybkiego przekształcenia Fouriera (FFT).
4 Bibliografia 1. T. Ratajczak, Metody numeryczne Przykłady i zadania, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk Steven C. Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, The McGraw-Hill Companies, Inc. New York A. Szatkowski, J. Cichosz, Metody numeryczne podstawy teoretyczne, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk M. Dryja, J. i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, WNT, W-wa T. Trajdos, Matematyka część III, seria Elektronika, Informatyka, Telekomunikacja, WNT Warszawa Z. Fortuna, J. Wąsowski, B. Macukow, "Metody numeryczne", seria Elektronika, Informatyka, Telekomunikacja, WNT Warszawa R. Chassaing, D. Reay, Digital signal processing and Applications with the C6713 and C6416 DSK, Wiley-Interscience 2008.
5 1. Wprowadzenie do metod numerycznych Cecha charakterystyczna metod numerycznych - wykonywanie obliczeń na liczbach przyblizonych - rozwiązania zaganień są wyrażone liczbami przybliżonymi - wielkość błędu w procesie obliczeń numerycznych jest zawsze kontrolowana Dwa pojęcia określania wielkości błędu: Błąd bezwzględny = wartość przybliżona - wartość dokładna wartość przybliżona - wartość dokładna Błąd względny = wartość dokładna
6 1.1. Klasyfikacja błędów - Błędy modelowania - Błędy danych - Błędy metody (błędy obcięcia) - Błędy zaokrągleń Błąd modelowania pojawiają się, gdy przyjęty model matematyczny jest jedynie przybliżeniem zjawiska rzeczywistego Przykład: Wzrost populacji często oblicza się w oparciu o zależność: N(t) = N 0 e kt, gdzie N 0, k są stałymi (N 0 oznacza liczebność populacji w chwili t = 0). Dla dużych wartości t, wzór ten zwykle zawyża wyniki.
7 Błędy danych - to błędy danych wejściowych zadania numerycznego. Pojawiają się gdy: - dane wejściowe zadania są wynikiem pomiarów, - w trakcie obliczeń używane są stałe, będące przybliżeniami liczb niewymiernych. Złe uwarunkowanie zadania numerycznego - niewielkie zmiany względne danych zadania powodują duże względne zmiany jego rozwiązania. Przykład:Rozwiązać następujące układy równań liniowych: a) b) a) b) x 1 =6, x 2 =12, x 3 =60 x' 1 = -1377,777778, x' 2 =7217,460317, x' 3 = -6663, a 13 = a 22 = a 31 = 1/3 a' 13 = a' 22 = a' 31 = 0,33
8 Błędy danych (c.d.) (a i j ) = a' i j - a i j / a i j, i, j = 1, 2, 3 (x i ) = x' i - x i / x i, i = 1, 2, 3 (a 13 )= (a 22 )= (a 31 )= /3 / 1/3 100 %= 99/ / % = 1% (x 1 )=23063%, (x 2 )=60045%, (x 3 )=11206% Wskaźnik uwarunkowania zadania oznaczany cond(zadanie) charakteryzuje liczbowo wpływ zaburzeń danych zadania na zaburzenia rozwiązania. Jest on równy najmniejszej liczbie rzeczywistej dodatniej spełniającej nierówność: błąd względny( wyniki zadania ) cond( zadanie ) błąd względny( dane zadania ) Obliczenie wskaźnika uwarunkowania dla zmiennej x % cond( x 2 ) 1% => cond( x 2 ) = Powyższe zadanie jest źle uwarunkowane, wskaźnik cond( x 2 ) jest bardzo duży.
9 Błędy metody (błędy odcięcia) Błędy metody pojawiają się w wyniku zastąpienia działań nieskończonych działaniami skończonymi lub działań na wielkościach nieskończenie małych działaniami na wielkościach skończenie małych. Błędy tego typu pojawiają się, gdy obliczane są wartości pojęć zdefiniowanych za pomocą granicy. Przykład 1: Obliczyć przybliżoną wartość pierwszej pochodnej funkcji ciągłej y= f (x): y R, x a, b R x i a, b. w danym punkcie Wybierając w przedziale punkt, wartość pierwszej pochodnej funkcji f ( x) w punkcie x i f ' (x i )= d f ( x) d x x= x i = lim ( x i+1 x i ) 0 wyznaczymy obliczając granicę Jeśli pominiemy operator granicy i wybierzemy małą wartość odstępu x i +1 x i otrzymamy aproksymację wartości pierwszej pochodnej w punkcie x wg[2 ] i za pomocą ilorazu różnicowego a, b x i +1 f (x i +1 ) f ( x i ) x i+ 1 x i. f ' (x i ) f ( x i +1 ) f ( x i ) x i+1 x i.
10 Błędy metody (błędy odcięcia) [c.d. 2.] Przykład 2: Przeanalizować proces aproksymacji za pomocą obciętego do pierwszych wyrazów szeregu Taylora - tego rzędu funkcji (n+1) - krotnie różniczkowalnej w przedziale w sposób ciągły. Szereg Taylora: przyjmując oraz można zapisać gdzie n (m < n) y= f (x): y R, x a, b R, a,b x i, x i+ 1 a,b h= x i +1 x i f ( x i +1 )= f (x i )+ f ' (x i ) h+ f ' ' (x i) h 2 + f (3) (x i ) h f (n) (x i ) h n + R 2! 3! n! n, R n = f (n+1 ) (ξ ) to reszta w postaci Lagrange`a. (n+1)! hn+ 1 =O(h n+1 ) ξ x i, x i +1 f ( x i )=a 0 ( x i ) f (k) (x i )/[(k +1)!]=a k ( x i ) Oznaczając oraz otrzymujemy: f ( x i +1 )=a 0 (x i )+a 1 ( x i ) h +a 2 (x i ) h 2 +a 3 (x i ) h 3 + +a n ( x i ) h n +R n h (n +1) R n =O (h n +1 ) Jest to wielomian względem zmiennej rzedu, gdyż. x i =0 h= x i +1 =x Jeśli (stąd ) szereg Taylora staje się szeregiem Maclaurina: f ( x)=a 0 (0)+a 1 (0) x+a 2 (0) x 2 +a 3 (0) x 3 + +a n (0) x n +R n m
11 Błędy metody (błędy odcięcia) [c.d. 3.] Przykład 2 cd: Dobór zmiennej Dla szeregu Taylora rzędu zerowego można napisać f ( x i +1 )= f (x i )+R 0 = f ( x i )+ f ' (ξ ) h ξ f ' (ξ ) Wartość należy dobrać tak, aby równa tangensowi kąta nachylenia prostej przechodzącej przez pkty. oraz wynosiła Aproksymacja funkcji Wykorzystując aproksymacji funkcji - tego rzędu. Aproks. rz. : Aproks. rz. : Aproks. rz. : m (m<n) m m=0 m=1 ξ (x i, f (x i )) f ( x) (x i +1, f ( x i+1 )) f ' (ξ )= R 0 h pierwszych wyrazów szeregu Taylora dokonujemy f ( x i +1 ) f (x i ) f ( x i +1 ) f (x i )+ f ' (x i ) h m=2 f ( x i +1 ) f (x i )+ f ' (x i ) h+ f ' ' (x i) h 2 2! wg[2 ] wg[2 ]
12 Błędy metody (błędy odcięcia) [c.d. 4.] Przykład 3: Obliczyć wartość funkcji w przedziale za pomocą szeregu funkcyjnego (Maclaurina) obciętego do y=sin (x) xϵ <0, 2 π >, m pierwszych wyrazów. Rozwinięcie funkcji f ( x)=sin( x) w nieskończony szereg potęgowy Maclaurina: f ( x)=sin (x)= ( 1) k x 2 k+1 x3 = x k= 0 (2 k +1)! 3! + x5 5! x7 7! + Rozwinięcie skończone (suma skończona) obraniczone do szeregu ma postać: m pierwszych wyrazów m f m ( x)= k =0 ( 1) k x 2 k +1 x3 =x (2 k +1)! 3! + x5 5! x7 x 2 m+1 7! + +( 1)m (2 m+1)!
13 Błędy metody (błędy odcięcia) [c.d. 5.] Błąd metody pojawiający się w wyniku obcięcia szeregu nieskończonego do pierwszych wyrazów nie powinien przekroczyć zadanej wartości : m Własność szeregów naprzemiennych: Jeżeli szereg jest naprzemieny i jego wyrazy co do bezwzględnej wartości zmierzają monotonicznie do zera, to dla każdego naturalnego nierówniość: f (x) f m (x) = ( 1) k x 2 k+ 1 k =m+1 (2 k +1)! ε k =0 a k k=0 m a k k =0 a k = k= m+1 prawdziwa jest Własność powyższą można wykorzystać jako kryterium zakończenia algorytmu y=sin ( x) a k < a m+1 obliczania wartości funkcji z zadaną dokładnością : f (x) f m (x) = ( 1) k x 2 k+ 1 k =m+1 (2k +1)! < x (2m+3)! ε m ε ε
14 Błędy metody (błędy odcięcia) [c.d. 6.] Fragment programu zapisany w pseudokodzie służący do obliczania wartości funkcji y=sin ( x) w przedziale xϵ <0, 2 π >, z zadaną dokładnością ε :
15 Błędy zaokrągleń Błędy zaokrągleń wynikają z faktu wykonywania obliczeń na liczbach o skończonym rozwinięciu pozycyjnym. n +2 1 n +1 Struktura liczby stałoprzecinkowej o długości bity ( bit znaku, bitów przeznaczonych na wartość bezwzględną liczby): Interpretacja struktury liczby stałoprzecinkowej: (znak liczby) (bity wartości bezwzględnej liczby)
16 Błędy zaokrągleń (c.d. 1.) Na n+2 bitach można zapisywać liczby całkowite z przedziału [-2 n+1 +1; 2 n+1-1] Liczby stałoprzecinkowe są podzbiorem liczb całkowitych. Liczby całkowite o wartości bezwzględnej p > 2 n+1-1 nie mogą być reprezentowany przez system n+2 bitowy. Jeśli w trakcie obliczeń pojawi się taka liczba, to wystąpi sytuacja wyjątkowa nazywana nadmiarem stałoprzecinkowym.
17 Błędy zaokrągleń (c.d. 2.) Liczby zmiennoprzecinkowe są reprezentowane za pomocą trzech obszarów bitów: znaku liczby s, mantysy m t, zapisanej na t bitach oraz cechy (exponent) c n zapisanej w formacie stałoprzecinkowym na n+2 bitach (s c oznacza znak cechy ''1'' potęgi dodatnie, ''0'' potęgi ujemne). Wagi: Bity: t 2 n s b 1 b 2 b t s c b n b 2 b 1 b 0 Znak Liczby mantysa m t cecha c n Reprezentacja zmiennoprzecinkowa liczby x oznaczana rd(x) jest liczbą: rd x =s m t 2 c n, a samą liczbę x wyraża zależność x=s m 2 c n, gdzie: s = 1 albo s = -1 - znak liczby, t m t =1+ b k 2 k - mantysa znormalizowana ( 1 m t <2 ), k =1 n m - mantysa liczby x, c n =s c b k 2 k = 1 + b k 2 k - cecha. k=1 Błąd względny reprezentacji zmiennoprzecinkowej można oszacować w oparciu o zależność: x rd x. Liczba =2 t określa dokładność komputera, x 2 t zależy ona tylko od t - liczby bitów mantysy. k =0
18 Błędy zaokrągleń (c.d. 3.) Zakresy zmienności: mantysy - 1 m t 2 2 t cechy - 2 n c n 2 n +1 1 reprezentacji zmiennoprzecinkowej rd (x) n+1 rd (x) <2 2 n+1 Liczby x <2 2 2n+1 w tym 0, nie mają swojej reprezentacji zmiennoprzecinkowej. Jeśli w trakcie obliczeń uzyskamy liczbę spełniającą powyższy warunek, to sytuację taką nazywamy niedomiarem zmiennoprzecinkowym (ang. Underflow) Liczby x 2 2 n+1 równiez nie maja swojej reprezentacji zmiennoprzecinkowej. Jeśli w trakcie obliczeń uzyskamy liczbę spełniającą powyższy warunek, to sytuację taką nazywamy namiarem zmiennoprzecinkowym (ang. Overflow)
19 Błędy zaokrągleń (c.d. 4.) Problemy występujące podczas obliczeń zmiennoprzecinkowych (w poniższych przykładach mantysa jest 4 cyfrowa): 1. Jeśli wykonywana jest operacja odejmowania na dwoch dużych liczbach nieznacznie się różniących (co oznacza, że na pozycjach najbardziej znaczących cyfry są równe a na pozycjach mniej znaczących cyfry mogą się różnić) w wyniku następuje utrata cyfr znaczących. Na przykład obliczyć wartości funkcji f ( x)=x( x+1 x) dla x={5,500,5000 }. Porównać uzyskane wyniki z wartościami dokładnymi f d ( x). f (5)=5 ( 6 5)=0, ( 0, , )=0, , =0, f d (5)=1, bł.bezwzgl.= f d (5) f (5 )=0, bł.wzgl.= f d(5) f (5) 100%=0,01 % f d (5) f (500)=500 ( )=0, (0, , )=0, f d (500)=11, bł.bezwzgl.= f d (500) f (500)=1, bł.wzgl.= bł.bezwzgl. f d (500) 100%=10,52% f (5000)=5000 ( )=0, ( 0, , )=0 f d (5000)=35, bł.bezwzgl.= f d (5000) f (5000)=35, bł.wzgl.= bł.bezwzgl. f d (5000) 100%=100% 2. Jeśli do dużej liczby dodawana jest liczba mała suma może być równa liczbie dużej. Przykładowo dodając 4000=0, i 0,0010=0, konieczne jest wyrównanie cech obu liczb do cechy liczby wiekszej. Powoduje to efektywne wyzerowanie mantysy liczby mniejszej. W efekcie suma liczb jest równa samej liczbie większej. 0, , , =0,
20 Błędy zaokrągleń (c.d. 5.) Problemy występujące podczas obliczeń zmiennoprzecinkowych (c.d.): 3. Gdy wykonywane są długotrwałe obliczenia iteracyjne (np. długie pętle for) błędy związane z binarną reprezentacją liczb dziesiętnych oraz błędy zasygnalizowane w poprzednich punktach kumulują się, prowadząc do dużych błędów rozwiązań końcowych lub niestabilności algorytmów. Np. wykonując poniższy podprogram nie uzyskamy wartości s=1, gdyż stała (0,0001) 10 nie posiada skończonego rozwinięcia w systemie binarnym i w obliczeniach będzie wykorzystywane jej przybliżenie z niedomiarem: SumDemo() 1 s :=0 2 k :=0 3 repeat 4 s :=s k :=k +1 6 until(k <10000 ) Przykładowy wynik działania funkcji s=0, Algorytm nazywamy stabilnym jeśli błąd względny wyniku niewiele różni się od błędu względnego danych. W przeciwnym przypadku tzn. gdy Błąd wzgledny (wyniki ) Błąd wzgledny (dane) algorytym nazywamy niestabilnym. SumDemo()
21 Błędy zaokrągleń (c.d. 6) Problemy występujące podczas obliczeń zmiennoprzecinkowych (c.d.): Przykład algorytmu niestabilnego: obliczanie a >0 oraz naturalnego n. Power (n, a) 1 y :=1.0 2 for k :=1.0 to n 3 do y :=y a Jeśli podstawa potęgi a obarczona jest błędem to: y=a n, dla zadanego rzeczywistego bł.wzgl. y = an (a+ε ) n = a a n a n Zaniedbując w liczniku ostatniego wyrażenia składniki zawierające bardzo mały czynnik ε k dla k 2, otrzymujemy: Można zauważyć, że bł.wzgl.y jest n - krotnie większy od błędu względnego podstawy potegowania a oraz że rośnie on wraz ze wzrostem wykładnika potęgi n. ε n ( an + ( n 1) an 1 ε + ( n bł.wzgl.a = 2) a n 2 ε 2 + +ε n) n ( bł.wzgl. y = a a n + ( n 1) an 1 a n a (a+ε ) a ε ) = ε a = n ε a
22 Błędy Zaokrągleń (c.d. 7.) Liczby zmiennoprzecinkowe 32 bitowe typu float S - znak liczby, 31 bit, '0' liczba dodatnia, '1' liczba ujemna C - cecha (exponent), bity 23-30, liczba ZU2 równa wykładnikowi potęgi k powiększonemu o wartość 127 M - mantysa, bity 0-22, liczba postaci 1.xxxx..., gdzie xxxx... pozostałe bity mantysy. Mantysę zapisuje się z pominięciem pierwszej "jedynki" (przed kropką):.xxxx... Przykład: Liczba (13.75) D = ( ) B = ( ) B x 2 3 S = 0, C = = 130 = M = (13.75) D = ( ) float Cecha Mantysa Znak
23 Błędy Zaokrągleń (c.d. 8.)
24 2. Wyznaczanie rzeczywistych i jednokrotnych pierwiastków równań nieliniowych Niech y= f (x) będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej x. Pierwiastkiem (zerem) równania f (x)=0 lub (lub pierwiastkiem (zerem) funkcji y= f (x) nazywamy każdą wartość x zmiennej niezależnej x, dla której f x =0. Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.1): Dla zadanej dokładności ε należy znaleźć takie x, dla którego zachodzi nierówność x x
25 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.1) Przybliżoną wartość pierwiastka funkcji wyznacza się w dwóch etapach: 1) Lokalizuje się pierwiastki równania tj. a) znajduje się liczbę p pierwiastków równania, b) dla każdego pierwiastaka x i znajduje się taki przedział [a i ;b i ], że x i [ a i ; b i ] oraz [a i ;b i ] [a j ;b j ]=0 dla i, j=1,2,..., p ;i j. 2) Uściśla się przybliżoną wartość pierwiastka, tj. dla zadanego x i i zadanej dokładności znajduje się wartość x i, że x i x i dla i=1, 2,..., p.
26 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.3) Lokalizacja pierwiastków: Przykład: Zlokalizować rzeczywiste pierwiastki funkcji f (x)=log(x+ 2) 2 x Rozwiązanie: po przyrównaniu funkcji do zera, otrzymuje się równanie: log x 2 2x 2 1=0, które przekształca się do postaci: log x 2 =2x 2 1. Otrzymana zależność wyraża równość dwóch funkcji: y=log x 2 oraz y=2x 2 1. Zaganienie to można rozwiązać graficznie, odczytując odcięte punktow przecięcia się obydwu wykresów - metoda zgrubna rozwiązywania równań. Wykres pozwala również oszacować liczbę pierwiasków (w tym przypadku p=2) oraz przedziały ich występowania: x 1 [ 0,8 ; 0,7], x 2 [1,0 ;1,1]. wg[1]
27 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.4) Lokalizacja pierwiastków metoda,,przesiewowa'': Tabela 1: Przykładowa symulacja
28 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.5) Metoda bisekcji (metoda połowienia przedziału) (2.5.1): Zakłada się, że w przedziale [a 0 ;b 0 ] został zlokalizowany jednokrotny, rzeczywisty pierwiastek funkcji y= f x, przy czym f x C [a 0 ;b 0 ]. Prawdziwe jest zatem: f a 0 f b 0 0. W kolejnych krokach algorytmu k=0,1, 2,... wyznacza się zmienną c k = a k b k /2 i modyfikuje przedział [a k 1 ;b k 1 ] zgodnie z zależnością: - jeśli f a k f c k 0 to a k 1 =a k,b k 1 =c k, - w przeciwnym przypadku a k 1 =c k,b k 1 =b k, Obliczenia są przerywane, gdy różnica pomiędzy krańcami przedziału zmaleje poniżej przyjętej wartości tj. a k b k.
29 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.5) Metoda bisekcji (2.5.2): Pseudokod programu: 1 k :=0 2 a 0 :=a 3 b 0 :=b 4 while b k a k ε 5 do begin 6 c k := a k+b k 2 7 if f (a k ) f (c k ) 0 8 then begin 9 a k +1 :=a k 10 b k +1 :=c k 11 end 12 else begin 13 a k +1 :=c k 14 b k +1 :=b k 15 end 16 k :=k end 18 ~ x := a k +b k 2
30 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.5) Metoda bisekcji (2.5.3): Przykład : Wyznaczyć metodą bisekcji ujemny pierwiastek ( x 1 [ 0,8 ; 0,7]) funkcji f x =log x 2 2 x 2 1 z dokładnością =10 5. Tabela 2: Etapy wyznaczania rozwiązania
31 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (metoda Newtona-Raphsona (N-R)) (2.6.1): Zakłada się, że w przedziale [a 0 ;b 0 ] został zlokalizowany jednokrotny, rzeczywisty pierwiastek funkcji y= f x, zatem: f a 0 f b 0 0. Założenia metody N-R: - f x C [a 0 ;b 0 ], - dla każdego x [a 0 ;b 0 ] albo f ' x 0 albo f ' x 0 ( f ' x nie zmienia znaku na przedziale [a 0 ;b 0 ], - dla każdego x [a 0 ;b 0 ] albo f ' ' x 0 albo f ' ' x 0 ( f ' ' x nie zmienia znaku na przedziale [a 0 ;b 0 ].
32 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.2): Algorytm postępowania 1. Jako punkt startowy wybiera się ten kraniec przedziału [a 0 ;b 0 ], (tzn. albo x 0 x 0 =a 0 albo x 0 =b 0 ), który spełnia warunek f x 0 f ' ' x Wyznacza się parametr: m=min { f ' a 0 ; f ' b 0 } f x k 3. while m 4. do begin 5. x k 1 :=x k f x k f ' x k 6. k :=k 1 7. end 8. x k := x k Wygenerowany ciąg wartości x k,k=0,1,2,... Raphsona (procesu N-R). nosi nazwę procesu Newtona-
33 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.3): Własności procesu N-R (Twierdzenie) Jeśli funkcja 1. lim k x k = x y= f x spełnia założenia metody N-R to proces N-R ma własności: (proces jest zbieżny do pierwiastka funkcji przedziale [a 0 ;b 0 ] ). 2. Ciąg x k,k=0,1,2,... jest ściśle monotoniczny, tzn. albo x 0 x 1 x k x albo y= f x x 0 x 1 x k x. leżącego w 3. k-ty wyraz procesu spełnia nierówność gdzie m=min { f ' a 0 ; f ' b 0 }. x x k f x k m
34 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.4): Konstrukcja ciągu kolejnych przybliżeń: f(x 0 ) tg = f ' x 0 = f x 0 x 0 x 1 x 1 = x 0 f x 0 f ' x 0 wg [3]
35 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.5): Przykład : Wyznaczyć metodą stycznych ujemny pierwiastek ( x 1 [ 0,8 ; 0,7] ) funkcji f (x)=log(x+ 2) 2 x z dokładnością =10 5. Rozwiązanie: na początku należy wykazać, że w badanym przedziale funkcja spełnia założenia metody N-R. Dla x> 2 funkcja jest ciągła i ma ciągłe pochodne wszystkich rzędów f ' (x)= 1 8x+ 1 x+ 2 4x= 4x2 x+ 2 W przedziale [ 0,8 ; 0,7] spełniona jest nierówność f ' (x)> 0. f ' ' (x)= 1 4< 0 dla x> 2. 2 (x+ 2) {> 0 dla 2< x< < 0 dla x > Wniosek w przedziale [ 0,8; 0,7] Można stosować metodę stycznych. funkcja spełnia założenia metody N-R.
36 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.6) Metoda stycznych (2.6.6): Rozwiązanie (cd): następnym etapem jest wyznaczenie wartości początkowej oraz m. Z tabeli 1 można odczytać wartości funkcji dla obydwu końców przedziału: f ( 0,8)= 0,09768< 0, f ( 0,7)= > 0. Ponieważ f ( 0,8) f ' ' ( 0,8)> 0 przyjmuje się że x 0 = 0,8. Następnie oblicza się m: 1 m=min{ 0,8+ 2 4( 0,8) ; 1 0,7+ 2 4( 0,7) } =min {4,033 ;3,569} 3,569. Wartości uzyskiwane w kolejnych iteracjach metody zawiera tabela 3. Tabela 3. x 0
37 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.1): Zakłada się, że w przedziale [a 0 ;b 0 ] został zlokalizowany jednokrotny, rzeczywisty pierwiastek funkcji y= f x, zatem: f a 0 f b 0 0. Metoda iteracji prostej składa sie z dwóch etapów: 1. Równanie f x =0 przekształca się do równoważnej postaci x=φ (x) (takie przekształcenie jest zawsze wykonalne i zazwyczaj istnieje kilka jego wariantów). 2. Wybiera się z przedziału [a 0 ;b 0 ] przybliżenie. Kolejne iteracje oblicza się ze wzoru: x k+ 1 =φ (x k ) dla k=0,1, x 0
38 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.2): Twierdzenie: Niech funkcja y=φ (x) będzie określona, ciągła i różniczkowalna w przedziale domkniętym dla każdego [a;b] oraz φ (x)ϵ C [a ;b] dla każdego xϵ [a; b]. Jeśli nierówność φ ' (x) q< 1 zachodzi dla każdego xϵ [a; b], to: 1) proces jest zbieżny niezależnie od wyboru x 0 ϵ [a ; b], oraz 2) zachodzą nierówności lim k x k = x [a ;b], x x k q 1 q x k x k 1 qk 1 q x 1 x 0 dla k=1,2,...
39 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.3): Algorytm postępowania 1. Równanie pierwotne przekształca się do postaci równoważnej x= x, ktora spełnia założenia Twierdzenia. 2. Jako punkt startowy x 0 wybiera się dowolny x 0 [a 0 ; b 0 ] np. x 0 = a 0 b 0 /2. 3. k :=0 4. repeat 5. k :=k 1 6. x k = x k 1 7. until q 1 q x k x k 1 8. x :=x k
40 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.4): Przykład: Obliczyć metodą iteracji prostej ujemny pierwiastek funkcji f (x)=ln(x+ 2) 2x z dokladnością ϵ =10 5. Rozwiazanie: ujemny pierwiastek funkcji leży w przedziale [ 0,8 ; 0,7] a dodatni w przedziale [1,0 ;1,1]. Najpierw przekształcamy równanie ln( x+ 2) 2x 2 + 1=0 do równoważnej postaci, spełniającej założenia twierdzenia. Przykładowo równanie można przekształcić w sposób: x=e 2x2 1 2=φ 0 (x). Dla tego przedstawienia mamy φ ' 0 ( x) = 4 x e 2x2 1 =4 x e 2x2 1.
41 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.5): Rozwiązanie (cd) Funkcja ta jest: a) w przedziale [ 0,8 ; 0,7] monotonicznie malejąca, stad dla xϵ [ 0,8 ; 0,7] φ ' 0 (x) φ ' 0 ( 0,7) =2,74456 ; b) w przedziale [1,0;1,1] monotonicznie rosnąca, zatem dla xϵ [1,0;1,1] φ ' 0 (x) φ ' 0 (1,0) =10, W obydwu przedziałach spełniony jest warunek φ ' 0 (x) > 1, utworzony przez odwzorowanie x k =φ 0 (x k 1 ), k=1,2,... stąd proces jest rozbieżny.
42 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.6): Rozwiązanie (cd) Równanie ln( x+ 2) 2x 2 + 1=0 postaci jako para równań: x= ln (x+ 2)+ 1 =φ 2 1 (x), x= Dla obydwu funkcji moduł pochodnej jest równy może być przedstawione w równoważnej ln(x+ 2)+ 1 =φ 2 2 (x). φ ' 1,2 (x) = ln(x+ 2)+ 1 1 x+ 2 = ln(x+ 2)+ 1 1 x+ 2. Dla x 1 funkcja y= φ ' 1,2 (x) jest monotonicznie malejąca, stąd φ ' 1,2 (x) φ ' 1,2 ( 1.0) = 2 4 = < 1.
43 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.7): Rozwiązanie (cd) W związku z tym, w procesie iteracyjnym zostaną użyte funkcje: a) φ 1 ( x)= ln( x+ 2)+ 1 2 dla wyznaczenia przybliżonej wartości pierwiastka z przedzialu [ 0,8 ; 0,7], b) φ 2 (x)= ln(x+ 2)+ 1 2 dla wyznaczenia przybliżonej wartości pierwiastka z przedzialu [1,0 ;1,1]. Za q przyjęto: max φ 1 ' (x)= x 0.7 dla pierwiastka z przedzialu [ 0,8 ; 0,7], max φ 2 ' (x)= x 1.1 dla pierwiastka z przedzialu [1,0 ;1,1].
44 Zagadnienie przybliżonego obliczania pierwiastków (2.7) Metoda iteracji prostej (2.7.8): Rozwiązanie (cd) Wartości uzyskane w kolejnych iteracjach k metody iteracji prostej podano w tabeli 4. Tabela 4.
Algorytmy obliczeniowe
PG WETiI Katedra Systemów Automatyki Algorytmy obliczeniowe Dr inż. Krzysztof Cisowski Tel: 583471274, email: krci@eti.pg.gda.pl Kierunek studiów Automatyka i Robotyka Zakres i treść przedmiotu (1) 1.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowoWybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych
Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoKubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)
Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do metod numerycznych Krzysztof Patan Metody numeryczne Dział matematyki stosowanej Każde bardziej złożone zadanie wymaga opracowania indywidualnej metody jego rozwiązywania na maszynie cyfrowej
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoautomatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)?
METODY NUMERYCZNE Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 2 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoZagadnienia - równania nieliniowe
Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoBŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO
BŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Dlaczego modelujemy... systematyczne rozwiązywanie problemów, eksperymentalna eksploracja wielu rozwiązań, dostarczanie abstrakcyjnych
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005
kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoZwięzły kurs analizy numerycznej
Spis treści Przedmowa... 7 1. Cyfry, liczby i błędy podstawy analizy numerycznej... 11 1.1. Systemy liczbowe... 11 1.2. Binarna reprezentacja zmiennoprzecinkowa... 16 1.3. Arytmetyka zmiennopozycyjna...
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoW wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.
W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. LICZBY RZECZYWISTE DLA KLASY PIERWSZEJ 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Energetyka I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim uje od roku akademickiego 2012/13 2013/14
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA I 1.Liczby rzeczywiste 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowo3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Równania nieliniowe Równania nieliniowe W tych równaniach jedna lub więcej zmiennych występuje nieliniowo, np równanie Keplera x a sin x = b. Zajmiemy się teraz lokalizacją pierwiastków
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych. Met.Numer. wykład 2 1
METODY NUMERYCZNE Wykład. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać liczbę
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 2
Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowo