UWAGI O WIELKOŚCI REPREZENTATYWNEJ ELEMENTARNEJ OBJĘTOŚCI DLA LOSOWYCH MIKROSTRUKTUR KOMÓRKOWYCH
|
|
- Bogumił Chrzanowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Górnictwo i Geoinżynieria Rok 33 Zeszyt Adrian Różański*, Dariusz Łydżba* UWAGI O WIELKOŚCI REPREZENTATYWNEJ ELEMENTARNEJ OBJĘTOŚCI DLA LOSOWYCH MIKROSTRUKTUR KOMÓRKOWYCH 1. Wprowadzenie Ze względu na duże możliwości obliczeniowe współczesnych komputerów bardzo często do rozwiązywania zagadnień homogenizacji wykorzystuje się metody numeryczne. Wspomnieć tutaj należy przede wszystkim o metodach elementów oraz objętości skończonych oraz uogólnionej metodzie komórek (ang. Generalized Method of Cells) [7, 6]. Zagadnienia postawione z wykorzystaniem tych metod rozwiązywane są na obszarze reprezentatywnej elementarnej objętości (REO), która najczęściej rozumiana jest jako najmniejsza objętość analizowanego ośrodka, która zawiera wszystkie informacje o strukturze i własnościach całego materiału [4]. W pracach [, 10] przedstawiono liczne definicje REO wykorzystywane przez badaczy do różnych celów, jak również wykorzystanie analizy statystycznej do określenia wielkości REO. Wyznaczanie parametrów efektywnych, z wykorzystaniem REO, pozwala na znaczną redukcję czasu obliczeń, ponieważ objętość ta zawiera znacznie mniejszą liczbę niejednorodności, aniżeli objętość całego materiału. Jednakże w wielu przypadkach nawet obliczenia prowadzone na obszarze reprezentatywnym wymagają długiego czasu ze względu na duży rozmiar REO [15]. W pracy [9] stwierdzono, że odpowiedź REO musi być niezależna od przyłożonych warunków brzegowych (periodyczność, jednorodny stan odkształcenia bądź naprężenia), co również przemawia za tym, iż obszar REO musi być odpowiednio duży. W literaturze spotkać można liczne próby zredukowania wymaganego czasu obliczeń, np. poprzez dzielenie rozpatrywanego obszaru na regularne, nienakładające się podobszary [16], rekonstrukcję rzeczywistego ośrodka z wykorzystaniem dostępnej informacji statystycznej [14], bądź prowadzenie równoległych obliczeń na wielu procesorach w jednym czasie (ang. parallel computing) [3]. * Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego, Politechnika Wrocławska, Wrocław 507
2 W tym artykule zdecydowano się na inne podejście, a mianowicie, aby parametry efektywne określać rozpatrując dużą ilość losowych realizacji, znacznie mniejszych mikrostruktur, a następnie analizowany parametr określać jako wartość średnią, tj.: k n 1 = k, (1) n j = 1 j gdzie: n określa liczbę realizacji; k j jest pewnym parametrem określonym dla j-tej realizacji. W poprzednich pracach autorów prezentowano już przyjęte tutaj rozumowanie dla przykładu parametrów mechanicznych sprężystości [6] oraz parametrów transportu [5]. Wówczas jednak zakładano a priori wielkość rozpatrywanego obszaru oraz liczbę wykonanych realizacji, nie analizując w sposób analityczny, czy przyjęte n jest wystarczające. W kolejnej pracy [8] wysunięto tezę, że gdy analizowane są parametry efektywne transportu, to wielkość obszaru ma ogromne znaczenie, tzn. jeśli przyjęty w obliczeniach wymiar próbki jest za mały, to wykonując nawet nieskończoną liczbę realizacji n nie otrzymamy w wyniku parametrów efektywnych. Ponadto z wykonanych symulacji numerycznych wynikało, iż minimalny wymiar próbki może być określany na podstawie informacji statystycznej zawartej w prawdopodobieństwie dwupunktowym. W tym artykule podjęto próbę analitycznego określenia, zarówno minimalnego wymiaru próbki, jak również wymaganej liczby realizacji n. W tym pierwszym przypadku wykorzystano, jak już wcześniej wspomniano, funkcję korelacji, a mianowicie prawdopodobieństwo dwupunktowe [11], natomiast do zrealizowania drugiego celu użyto (ze względu na rozpatrywany typ mikrostruktury) właściwości rozkładu dwumianowego [1]. Innymi słowy, w tej pracy, podjęto próbę zdefiniowania REO w bardziej szerokim zakresie, tj. poprzez definicję wielkości próbki wraz z liczbą koniecznych do wykonania realizacji. Pokazano również, że niektóre właściwości kompozytów można określać poprzez uśrednianie po małej liczbie realizacji dużych próbek bądź zamiennie poprzez rozpatrywanie dużej liczby realizacji małych mikrostruktur. Podobnie jak w poprzednich pracach analizowano tzw. mikrostrukturę komórkową, będącą imitacją obrazu binarnego. Krótki opis procesu jej realizacji przedstawiono w kolejnym rozdziale. Ponadto należy wspomnieć, iż analizy numeryczne ograniczono do określania wartości parametrów efektywnych transportu, na przykładzie procesu dyfuzji.. Analizowana mikrostruktura.1. Generowanie mikrostruktury poprzez symulacje numeryczne Podobnie jak we wcześniejszych pracach autorów, tak i w tym artykule, rozważania dotyczą szczególnego typu mikrostruktury komórkowej, których przykłady, w zależności 508
3 od liczby komórek, przedstawiono na rysunku 1. Losowe realizacje mikrostruktury tworzy się wykorzystując generator liczb pseudolosowych z rozkładu równomiernego z przedziału [0, 1). Dla mikrostruktury dwuskładnikowej, o udziale frakcyjnym wtrąceń φ, konstruowanie geometrii odbywa się poprzez przyporządkowanie komórkom parametrów matrycy, bądź wtrącenia. Odbywa się to w następujący sposób: krocząc od komórki do komórki generuje się liczbę pseudolosową jeśli wygenerowana liczba jest mniejsza bądź równa φ wówczas tej komórce przypisuje się parametry wtrącenia (komórka wypełniana jest kolorem czarnym), w przeciwnym wypadku parametry matrycy (komórka wypełniana jest kolorem białym). Rys. 1. Przykłady losowo wygenerowanych mikrostruktur, odpowiednio: 40 40, 60 60, Generowanie mikrostruktury: opis probabilistyczny Przedstawiony powyżej sposób generacji mikrostruktury zapewnia, że dla dostatecznie dużej liczby komórek udział frakcyjny wtrącenia jest bliski wartości założonej na początku losowania. Ponadto sposób tworzenia mikrostruktury można opisywać przy pomocy rozkładu dwumianowego jako sukces rozumiemy przypisanie komórce koloru czarnego z prawdopodobieństwem p, natomiast porażka oznacza pojawienie się w komórce koloru białego z prawdopodobieństwem q = 1 p. Każda mikrostruktura ma kształt kwadratu o równej liczbie wierszy i kolumn N. Zatem wszystkich komórek (niezależnych prób) mamy N. Wobec tego wartość oczekiwana udziału frakcyjnego φ wynosi: t N E φ = p q = p ( ) N t N t, t = 0 N t () gdzie t oznacza liczbą sukcesów. Zatem takie losowanie zapewnia, że wartość oczekiwana udziału frakcyjnego wynosi p. Oczywiście, w przypadku rzeczywistych mikrostruktur, gdy N jest pewna skończoną wartością, to wówczas zgodnie z prawem wielkich liczb mamy, że gdy N wzrasta, to prawdopodobieństwo, że S N /N odchyli się od p o więcej niż dowolnie zadana z góry liczba ε > 0, zmierza do zera (przez S N rozumiemy liczbę wszystkich sukcesów). 509
4 Analogicznie jak wyrażenie () określamy wartość oczekiwaną kwadratu udziału frakcyjnego: t = 0 ( ) ( 1) N t N! N p + p t N t E( φ ) = p q. = (3) N t! N t! N 3. Określanie właściwości mikrostruktury oraz parametrów efektywnych transportu 3.1. Udział frakcyjny Rozważmy teraz zbiór n realizacji mikrostruktur takich jak na rysunku 1. Każda j-ta mikrostruktura generowana jest w sposób opisany w poprzednim rozdziale. Udział frakcyjny czarnych komórek (wtrąceń), dla każdej realizacji, wynosi φ j. Całkowity udział frakcyjny czarnych komórek, obliczony po wszystkich n realizacjach, określamy zgodnie ze wzorem (1), tj. 1 1 S φ= φ = =, (4) n nn nn n n j N j S N j= 1 j= 1 gdzie: S N j liczba sukcesów w j-tej realizacji; S N oznacza liczbę wszystkich sukcesów w n realizacjach. Postulujemy teraz następujące ograniczenie na wartość estymatora φ: ( ) p( ) p 1 ε φ 1 +ε. (5) Jak wspomniano już wcześniej ε jest dowolną, z góry zadaną, liczbą taką, że ε > 0. Wówczas zagadnienie określenia koniecznej liczby realizacji n, przy zadanej wartości ε, można sformułować w następujący sposób: ( N ) ( ) ( ) ( ) δ> 0, N > 0 n P p 1 ε nn S p 1+ε nn 1 δ, (6) gdzie δ jest zadanym parametrem określającym prawdopodobieństwo z jakim S N ma spełniać zadane ograniczenie. Z drugiej strony, nietrudno zauważyć, że prawdopodobieństwo dane zależnością (6) równe jest: i= imax nn i ( nn i) P( p( 1 ε) nn SN p( 1 +ε ) nn ) = p q, i (7) i= imin 510
5 przy czym ( ) = 1 ε + 1 imin nn p ( 1 ) imax = nn +ε p (8) W powyższych równaniach symbol [*] oznacza część całkowitą. Zatem określenie koniecznej liczby realizacji n sprowadza się do obliczania sumy z równania (7), przy zadanej dokładności ε oraz przy ustalonym prawdopodobieństwie (6), tj. zadaniu wartości parametru δ. Przeprowadzono obliczenia dla różnych rozmiarów mikrostruktur, od N = 1 do N = 0. Wyniki zebrano w tabeli 1. Warto tu wspomnieć, że obliczenia wykonano dla wartości δ = 0,05 oraz dwóch wartości ε = 0,03 i ε = 0,05. Przyglądając się wynikom zebranym w tabeli 1 nietrudno dostrzec, że im większy wymiar próbki N, tym mniejsza liczba realizacji n jest wymagana. Ponadto, dla ustalonej wielkości N, im większa wartość p, tym mniejsza liczba realizacji. TABELA 1 Wymagana liczba realizacji n określona dla różnych wielkości obszaru N Liczba realizacji n N p = 0,1 p = 0,3 p = 0,5 ε = 0,03 ε = 0,05 ε = 0,03 ε = 0,05 ε = 0,03 ε = 0, Na rysunku zilustrowano również zależność estymatora φ od wielkości próbki N dla przypadku, gdy p = 0,5. Nietrudno dostrzec zależność, iż im większe N tym, rozrzut wokół 511
6 wartości średniej jest mniejszy. Jednak, co najważniejsze, wartość średnia nie zależy od rozmiaru N, pod warunkiem, że przeprowadzona jest wystarczająca liczba realizacji. Nawet, gdy próbka składa się z jednej komórki (N = 1), to wartość średnia niewiele odbiega od założonej wartości p. Zatem można wysunąć wniosek, iż udział frakcyjny w ośrodku niejednorodnym może być z powodzeniem określany poprzez uśrednienie po kilku realizacjach dużych próbek, bądź wielu realizacjach znacznie mniejszych mikrostruktur (tab. 1, rys. ). W następnym rozdziale sprawdzimy, czy takie rozumowanie można rozszerzyć na przypadek parametrów efektywnych transportu. Rys.. Wartość średnia udziału frakcyjnego w funkcji wielkości próbki N 3.. Parametry efektywne transportu Jak wspomniano wcześniej określanie parametrów fizycznych ograniczono do przypadku dwuwymiarowej dyfuzji przez ośrodek losowy przedstawiony na rysunku 1. Każda komórka ma przypisany współczynnik dyfuzji k M = 0,009 m s 1 dla matrycy oraz k W = 0,5 m s 1 dla wtrącenia. Metodę określania parametrów efektywnych transportu (wykorzystywaną w dalszej analizie) dla takich mikrostruktur sformułowano we wcześniejszych pracach autorów [5, 8]. Podobnie jak to miało miejsce w przypadku udziału frakcyjnego rozważmy zbiór n realizacji mikrostruktur, takich, jak na rysunku 1. Parametr dyfuzji, dla każdej j-tej realizacji, określamy jako k j. W pierwszej kolejności sformułujemy rozwiązanie analityczne dla najmniejszej możliwej wielkości próbki, czyli N = 1. Oczywiste jest, że ze względu na procedurę generowania ośrodka losowego, komórka posiadająca parametr wtrącenia k W pojawia się z prawdopodobieństwem p, natomiast komórce przypisuje się parametr matrycy k M z prawdopodobieństwem q = 1 p. Zatem wartość oczekiwana parametru efektywnego dyfuzji wynosi: 1 1 E k = k p 1 p = k p+ k 1 p, ( ) t 1 t t ( ) W M ( ) (9) t = 0 t!1 ( t)! przy czym w powyższym równaniu, jeśli t = 0, to k 0 = k M oraz dla t = 1 mamy, że k 1 = k W. Łatwo zauważyć, że równanie (9) opisuje oszacowanie Voigta. 51
7 Następnie wykonano symulacje numeryczne wyznaczając estymator wartości oczekiwanej k dany równaniem (1). Wyniki przedstawiono na wykresie (rys. 3a). Obliczenia przeprowadzono dla wartości prawdopodobieństwa p = 0,3; wówczas wartość oczekiwana dana zależnością (9) wynosi E(k) = 0,0813 m s 1. Jak widać estymator k już po liczbie realizacji n = 3000 niewiele odbiega od wartości oczekiwanej rozwiązania analitycznego (rys. 3a). a) b) Rys. 3. Porównanie wyników z symulacji numerycznych oraz rozwiązania analitycznego: a) N = 1; b) N = Analogicznie wyznaczono rozwiązanie analityczne dla większej próbki, tj. N =. Tym razem wymagało to rozpatrzenia, nie dwóch jak poprzednio, lecz szesnastu możliwych realizacji mikrostruktury. W tym przypadku E(k) = 0,0389 m s 1. Podobnie jak poprzednio rozwiązanie numeryczne zbiega dość szybko do wartości oczekiwanej i właściwie już po 000 realizacji niewiele od niego odbiega (rys. 3b). Co jednak ważniejsze, rozwiązania w tych dwóch przypadkach, tj. N = 1 oraz N =, znacznie się różnią. Wynika z tego, iż w przypadku parametrów efektywnych transportu nie można przyjąć rozumowania jak dla udziału frakcyjnego. Wobec powyższego wartość parametru efektywnego zależy nie tylko od liczby realizacji, ale również od wielkości próbki N. Ze względu na to, iż wyznaczanie rozwiązania analitycznego wymaga rozpatrywania N dużej liczby realizacji, a mianowicie, dlatego dla większych wymiarów próbek wykonano jedynie symulacje numeryczne. Wyniki obrazujące wartość średnią parametru efektywnego w funkcji wymiaru próbki (od N = 1 do N = 0) przedstawiono na rysunku 4. Za każdym razem liczbę realizacji n przyjęto jak dla przypadku udziału frakcyjnego (tab. 1. p = 0,3; ε = 0,03). Obserwując wyniki łatwo dostrzec, że wraz ze wzrostem wymiaru próbki N, wartość średnia parametru efektywnego asymptotycznie dąży do ustalonej wartości. Na wykresie przedstawiono również rozwiązanie numeryczne jednej (znacznie większej) realizacji mikrostruktury o wymiarze N = 300 (linia przerywana). Wyraźnie widać, że rozwiązania dla N 10 bardzo nieznacznie odbiegają od tego określonego dla jednej dużej realizacji. Zatem parametry efektywne transportu można wyznaczać rozpatrując małą liczbę realizacji nawet jedną realizację dużych obszarów, lub dużą liczbę realizacji znacznie mniejszych mikrostruktur ale pod warunkiem, że wymiar próbki jest wystarczająco duży. Rozpatrywany obszar musi być odpowiednio duży, aby był reprezentatywny do określania para- 513
8 metrów efektywnych transportu. Nie można zatem sformułować wniosku jak w przypadku udziału frakcyjnego, gdzie decydująca była tylko liczba wykonanych realizacji wartość średnia nie zależała od wielkości obszaru, a jedynie od liczby realizacji n. Rys. 4. Wartość średnia k w funkcji wielkości próbki N Ponieważ w przypadku określania parametrów transportu istnieje pewna progowa wielkość próbki poniżej, której otrzymane rezultaty są dalekie od wartości parametrów efektywnych, w następnym rozdziale podjęto próbę określenia minimalnej wielkości reprezentatywnej elementarnej objętości na podstawie prawdopodobieństwa dwupunktowego. 4. Określenie minimalnego wymiaru próbki: prawdopodobieństwo dwupunktowe Prawdopodobieństwo dwu-punktowe jest funkcją korelacji bardzo często wykorzystywaną w mechanice ośrodków niejednorodnych do tworzenia ograniczeń wartości parametrów efektywnych [11] oraz rekonstrukcji mikrostruktur rzeczywistych materiałów [1, 13]. Miara ta określana jest dla każdego ze składników ośrodka osobno. Prawdopodobieństwo dwu-punktowe dla wtrącenia S (W) (matrycy S (M) ) oznacza prawdopodobieństwo z jakim dwa losowo rzucone na obszar ośrodka punkty znajdują się we wtrąceniu (w matrycy). Dla ośrodka statystycznie izotropowego wartość prawdopodobieństwa zależy tylko od względnej odległości pomiędzy dwoma punktami z = z i prawdziwe są następujące związki [11]: MW ( ) = (1 φ) 0.5 ( ) S z S z ( M) ( ) MW ( ) =φ 0.5 ( ) S z S z ( W) ( ) ( ) ( ) ( ) S z + S z + S z = 1 ( M) ( MW) ( W) (10) 514
9 (MW) gdzie S oznacza prawdopodobieństwo, że dwa losowo rzucone punkty znajdują się jednocześnie w dwóch różnych składnikach kompozytu innymi słowy, funkcja ta oznacza prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia, że pierwszy punkt znajdzie się w matrycy, a drugi we wtrąceniu lub odwrotnie. Zauważmy, że wystarczy znać tylko jedną funkcje prawdopodobieństwa, np. dla wtrącenia S (W), a dwie pozostałe, tj. S (M) oraz S (MW) można określić z zależności (10). Ponadto, jak pokazano w pracy [11], prawdopodobieństwo dwupunktowe dla wtrącenia osiąga swoją maksymalną wartość równą φ dla z = 0 i asymptotycznie zbiega do wartości φ dla z. Wyniki symulacji numerycznych, uzyskane przez autorów we wcześniejszej pracy [8], prowadzą do wniosku, że na podstawie wartości prawdopodobieństwa dwu-punktowego można określać minimalny wymiar próbki, który jest reprezentatywny pod warunkiem wykonania odpowiedniej liczby realizacji dla rozważanego zagadnienia. Innymi słowy szukamy minimalnego wymiaru obszaru, który przy wykonaniu odpowiednio dużej liczby realizacji będzie odwzorowaniem (ze względu na zgodność prawdopodobieństwa dwupunktowego) jednej realizacji dużej mikrostruktury. Poniżej prezentujemy sformułowanie analityczne tego zagadnienia. Ze względu na opisane wcześniej właściwości prawdopodobieństwa dwu-punktowego postulujemy, że odwzorowanie mikrostruktury, pod względem geometrycznym, jest poprawne, gdy: ( E( φ) ) E( φ ) ( E( φ) ) ε. (11) Podstawiając wyrażenia () i (3) do nierówności (11) otrzymujemy, że wymiar obszaru, aby był reprezentatywny pod względem odwzorowania geometrii, musi spełniać następujący warunek: N 1 p. εp (1) Dla rozważanej przez nas mikrostruktury mamy p = 0,3. Przyjmujemy, jak poprzednio, że ε = 0,03. Wówczas minimalny wymiar próbki (zakładając, że N musi być liczbą całkowitą) określony na podstawie warunku (1) wynosi N 9. Należy tutaj wspomnieć, że N określone jest z warunku (11), który bazuje na wartościach oczekiwanych udziału frakcyjnego, zatem aby tak określony wymiar był reprezentatywny należy wykonać odpowiednio dużą liczbę realizacji. Prawdopodobieństwo dwu-punktowe dla wtrącenia (dla różnych wielkości próbki N) przedstawiono na rysunku 5, przy czym z oznacza odległość między dwoma punktami. Ponadto należy tu wspomnieć, że każda komórka ma wymiar 1/300. Wartości funkcji S (W) określono poprzez symulacje Monte Carlo, tj. wielokrotne rzucanie odcinka o długości z i zli- 515
10 czanie ile razy oba jego końce znajdowały się we wtrąceniu. Dla przypadku N = 1, N = oraz N = 10 określono wartość tej funkcji korelacji jako wartość średnią po liczbie realizacji n, którą przyjęto jak w przypadku rozważania udziału frakcyjnego (tab. 1; p = 0,3; ε = 0,03). W przypadku dużej mikrostruktury (N = 300), analogicznie jak dla parametrów efektywnych, wartość funkcji określono dla jednej realizacji. Rys. 5. Wartości prawdopodobieństwa dwupunktowego dla wtrącenia dla różnych wielkości rozpatrywanych obszarów N Obserwując wyniki (rys. 5) można dostrzec, że dla zbyt małych obszarów (N = 1, N = ), nie spełniających warunku (1), obie funkcje znacznie od siebie odbiegają oraz, że nie dążą do rozwiązania dla dużej próbki (N = 300). W przypadku N = 10 (n = 100 realizacji) oraz jednej realizacji mikrostruktury o wymiarze N = 300 wartości S (W) są już niemal identyczne. Zatem bazując na własnościach prawdopodobieństwa dwu-punktowego jedną realizację dużej mikrostruktury można odwzorować, pod względem geometrii, poprzez większa liczbę realizacji znacznie mniejszych mikrostruktur. Jeśli ponadto porównamy wyniki dla prawdopodobieństwa dwu-punktowego (rys. 5) oraz parametrów efektywnych (rys. 4), to nietrudno dostrzec podobną tendencję zarówno w jednym i drugim przypadku, gdy spełniony jest warunek (1), to przy wystarczającej liczbie realizacji n wartość średnia poszukiwanego parametru jest bliska wartości otrzymanej dla jednej realizacji dużej mikrostruktury. 5. Wnioski Na przykładzie testowej mikrostruktury (rys. 1) w artykule przedstawiono szerszą definicję REO obejmującą, nie tylko wymiar rozważanego obszaru, ale również liczbę koniecznych do wykonania realizacji. Wykazano, że możliwe jest odwzorowanie właściwości jednej bardzo dużej realizacji mikrostruktury poprzez dużą liczbę realizacji znacznie mniej- 516
11 szych obszarów. Ponadto sformułowano wniosek, że wymiary REO dla określania parametrów efektywnych transportu oraz parametrów opisujących geometrię mogą znacząco się różnić. W pierwszej kolejności przeanalizowano parametr geometryczny, tj. udział frakcyjny. Na podstawie własności rozkładu dwumianowego przedstawiono procedurę określania koniecznej liczby realizacji, tak aby wartość średnia po wszystkich wykonanych realizacjach nieznacznie odbiegała od wartości założonej przed losowaniem. Wyniki przedstawione w tabeli 1 jednoznacznie wykazują tendencję, iż im większy wymiar próbki N, tym mniejsza liczba realizacji n jest wymagana. Ponadto, dla ustalonej wielkości N, im większa wartość p, tym wymagana liczba realizacji jest mniejsza. Jednocześnie przyglądając się wynikom przedstawionym na wykresie wartości średniej w funkcji N (rys. ) łatwo dostrzec, że wartość średnia nie zależy od wymiaru próbki N, pod warunkiem, że przeprowadzona jest wystarczająca liczba realizacji. Nawet, gdy N = 1 to wartość średnia niewiele odbiega od założonej wartości p. Zatem wartość średnia udziału frakcyjnego nie zależy od wymiaru REO, a jedynie od liczby realizacji. W przypadku analizy parametrów efektywnych transportu wykazano, że z jednej strony możliwe jest ich określanie poprzez rozpatrywanie dużej liczby realizacji małych próbek, ale z drugiej strony wymiar REO nie może być za mały. Jeśli wymiar REO jest za mały to pokazano na przykładzie rozwiązań numerycznych, jak również analitycznych, że rozwiązania nie zbiegają do wyznaczonego dla jednej dużej realizacji (rys. 3). Ponadto dla najmniejszej możliwej wielkości próbki, tj. N = 1 otrzymujemy w wyniku oszacowanie Voigta (9). W kolejnym rozdziale podjęto próbę analitycznego określenia minimalnej wielkości REO na podstawie własności prawdopodobieństwa dwupunktowego. Innymi słowy poszukiwano najmniejszego możliwego wymiaru REO, który przy wykonaniu odpowiednio dużej liczby realizacji będzie odwzorowaniem (ze względu na zgodność prawdopodobieństwa dwupunktowego) jednej realizacji dużej mikrostruktury (bądź kilku realizacji znacznie większych próbek). Określona z warunku (11) wielkość REO, dla rozważanego przypadku, wyniosła N 9. Pokazano, że wykonując 100 realizacji dla N = 10 oraz jedną realizację dla N = 300 otrzymujemy zgodność wartości prawdopodobieństwa dwu-punktowego (rys. 5). Co jednak najważniejsze identycznie zachowują się zależności dla parametrów efektywnych (rys. 4), gdzie wyraźnie widać, że dla N 9 wartość średnia parametru efektywnego pozostaje już niemal stała i tylko nieznacznie różni się od rozwiązania dla N = 300. LITERATURA [1] Feller W.: An Introduction To Probability Theory And Its Applications, London, John Wiley and Sons 1961 [] Gitman I.M., Askes H., Sluys L.J.: Representative volume: Existence and size determination, Engineering Fracture Mechanics, vol. 74, 007, s [3] Kanit T., Forest S., Galliet I., Mounoury V., Jeulin D.: Determination of the size of the representative volume element for random composites: statistical and numerical approach, Int. Journal of Solids and Structures, vol. 40, 003, s [4] Łydżba D.: Zastosowania metody asymptotycznej homogenizacji w mechanice gruntów i skał, Wrocław, Oficyna Wydawnicza PWr
12 [5] Łydżba D., Różański A.: Kompozyty losowe: numeryczne określanie parametrów efektywnych transportu. XXX Zimowa Szkoła Mechaniki Górotworu i Geoinżynierii, Szklarska Poręba marca 007, s [6] Łydżba D., Różański A., Kawa M.: Numeryczna analiza kompozytów losowych metodą komórek, Współczesne problemy naukowo badawcze budownictwa lądowego i wodnego (opracowanie zwarte), Wrocław, Oficyna Wydawnicza PWr 007 [7] Paley M., Aboudi J.: Micromechanical analysis of composites by the generalized method of cells, Mechanics of Materials, vol. 14, 199, s [8] Różanski A., Łydżba D., Shao J.F.: Numerical evaluation of effective transport properties of random cell models: two-point probability approach, Geoproc 008, Polytech Lille, Lille 1 5 czerwca 008, s [9] Sab K.: On the homogenization and simulation of random materials, Eur. J. Mech. Solids, vol. 11, 199, s [10] Stroeven M., Askes H., Sluys L.J.: Numerical determination of representative volume for granular materials, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., vol. 193, 004, s [11] Torquato S.: Random Heterogeneous Materials. Microstructure and Macroscopic Properties, New York, Springer-Verlag 00 [1] Yeong C.L.Y., Torquato S.: Reconstructing random media, Physical Review E, vol. 57, nr 1, 1998, s [13] Yeong C.L.Y., Torquato S.: Reconstructing random media II. Three dimensional media from two-dimensional cuts, Physical Review E, Vol. 58, Nr 1, 1998, s [14] Zeman J., Sejnoha M.: Numerical evaluation of effective elastic properties of graphite fiber tow impregnated by polymer matrix, J. Mech. Phys. Solids, vol. 49, 001, s [15] Zohdi T.I., Wriggers P.: Introduction to Computational Micromechanics, Berlin, Springer-Verlag, 005 [16] Zohdi T.I., Wriggers P., Huet C.: A method of substracting large-scale computational micromechanical problems, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., vol. 190, 001, s
STATYSTYCZNA CHARAKTERYZACJA MIAR GEOMETRYCZNYCH MIKROSTRUKTUR LOSOWYCH: DEFINICJE, WŁAŚCIWOŚCI I ZASTOSOWANIA
Górnictwo i Geoinżynieria Rok 33 Zeszyt 1 009 Dariusz Łydżba*, Adrian Różański* STATYSTYCZNA CHARAKTERYZACJA MIAR GEOMETRYCZNYCH MIKROSTRUKTUR LOSOWYCH: DEFINICJE, WŁAŚCIWOŚCI I ZASTOSOWANIA 1. Wprowadzenie
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
NUMERYCZNE OKRE LANIE PARAMETRÓW EFEKTYWNYCH TRANSPORTU NA PODSTAWIE CYFROWYCH OBRAZÓW MIKROSTRUKTURY
Górnictwo i Geoin ynieria Rok 34 Zeszyt 00 Adrian Ró a ski*, Dariusz yd ba*, Maciej Sobótka* NUMERYCZNE OKRE LANIE PARAMETRÓW EFEKTYWNYCH TRANSPORTU NA PODSTAWIE CYFROWYCH OBRAZÓW MIKROSTRUKTURY. Wprowadzenie
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Estymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
MODELOWANIE WIELOSKALOWE GRADIENTOWYCH KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH
Zeszyty Naukowe WSInf Vol 14, Nr 1, 2015 Marcin Hatłas, Witold Beluch Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Konarskiego 18A, 44-100 Gliwice email: marcin.hatlas91@gmail.com, witold.beluch@polsl.pl
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
ZASTOSOWANIE METODY HOMOGENIZACJI DO WYZNACZANIA STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH MATERIAŁ U NIEJEDNORODNEGO
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVII NR (66) 006 Lesł aw Kyzioł Akademia Marynarki Wojennej ZASTOSOWANIE METODY HOMOGENIZACJI DO WYZNACZANIA STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH MATERIAŁ U NIEJEDNORODNEGO
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Monte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa.
Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa. Paweł Strawiński Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych 16 stycznia 2006 Streszczenie W artykule analizowane są właściwości
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD
Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński
Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia
Próbkowanie. Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe. Populacja a próba. Błędy w póbkowaniu, cd, Przykład 1 (Ochotnicy)
Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe µ = średnia w populacji, µ=ey, wartość oczekiwana zmiennej Y σ= odchylenie standardowe w populacji, σ =(Var Y) 1/2, pierwiastek kwadratowy wariancji zmiennej Y,
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Teoria. a, jeśli a < 0.
Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 15. Obliczanie całek metodami Monte Carlo Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl
- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Wnioskowanie bayesowskie
Wnioskowanie bayesowskie W podejściu klasycznym wnioskowanie statystyczne oparte jest wyłącznie na podstawie pobranej próby losowej. Możemy np. estymować punktowo lub przedziałowo nieznane parametry rozkładów,
MODELOWANIE WARSTWY POWIERZCHNIOWEJ O ZMIENNEJ TWARDOŚCI
Dr inż. Danuta MIEDZIŃSKA, email: dmiedzinska@wat.edu.pl Dr inż. Robert PANOWICZ, email: Panowicz@wat.edu.pl Wojskowa Akademia Techniczna, Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej MODELOWANIE WARSTWY
zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:
1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych
inż. Marek Duczkowski Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych słowa kluczowe: algorytm gradientowy, optymalizacja, określanie wodnicy W artykule
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3
Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
5 Błąd średniokwadratowy i obciążenie
5 Błąd średniokwadratowy i obciążenie Przeprowadziliśmy 200 powtórzeń przebiegu próbnika dla tego samego zestawu parametrów modelowych co w Rozdziale 1, to znaczy µ = 0, s = 10, v = 10, n i = 10 (i = 1,...,
INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Pobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:
Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n
Za pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 1: Terminologia badań statystycznych dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka (1) Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem, badaniem
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Testy nieparametryczne
Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów
Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Rozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Statystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
KRYTERIUM WYTRZYMAŁOŚCI GEOMATERIAŁÓW Z MIKROSTRUKTURĄ WARSTWOWĄ
Górnictwo i Geoinżynieria Rok 32 Zeszyt 2 2008 Marek Kawa*, Dariusz Łydżba* KRYTERIUM WYTRZYMAŁOŚCI GEOMATERIAŁÓW Z MIKROSTRUKTURĄ WARSTWOWĄ 1. Wstęp Jedną z najpowszechniej występujących w geomateriałach
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.
Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Zakład Miernictwa
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II Szkic wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 4 5 Weryfikacja hipotez statystycznych Obok estymacji drugim działem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez
ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH
Małgorzata Szerszunowicz Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH Wprowadzenie Statystyczna kontrola jakości ma na celu doskonalenie procesu produkcyjnego
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia
Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Dyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Przykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
Metoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4a: Rozwiązywanie rekurencji http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Czas działania programu Dla konkretnych