Wojciech MASTEJ, Lech KĄDZIOŁA Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska, Kraków

Transkrypt

1 WARSZTATY 007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Materiały Warsztatów str Wojciech MASTEJ, Lech KĄDZIOŁA Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska, Kraków Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą geostatystyczną prezentacja działania oprogramowania na danych z KWB Bełchatów Streszczenie Zbudowano program komputerowy ŚredniGMZ (skrót od średni geostatystyczny model zmienności), który umożliwia oszacowanie jednorodności parametrów kopaliny, o ile znane są geostatystyczne modele zmienności tych parametrów. Wiarygodna ocena jednorodności jest konieczna ze względu na wymogi zakładów przeróbczych. Jako miarę niejednorodności użyto tzw. wariancję międzyblokową, pokazującą zmienność parametrów między blokami (parcelami) eksploatacyjnymi o zdefiniowanym kształcie i wielkości. Podczas każdego przebiegu programu można symulować inny kształt i wielkość bloków eksploatacyjnych dla zadanego parametru złożowego. Pozwala to tak dobrać bloki, by wartość wariancji międzyblokowej nie przekroczyła z góry założonego progu. 1. Wstęp Jednorodność parametrów wydobywanej kopaliny jest bardzo pożądana przez zakłady górnicze, związane umowami z zakładami przeróbczymi. Dla elektrowni pracującej przy KWB Bełchatów w Rogowcu korzystne jest, aby zmienność parametrów jakościowych węgla, wydobywanego w blokach eksploatacyjnych, nie była większa od założonego progu. Wygodną miarą tej zmienności jest wariancja międzyblokowa. Ponieważ parametry jakościowe powinny być traktowane jako zmienne zregionalizowane, to wspomniana wariancja winna być obliczana metodą geostatystyczną, z uwzględnieniem geostatystycznych modeli zmienności parametrów. Celem niniejszej pracy było skonstruowanie oprogramowana służącego takim obliczeniom.. Metodyka szacowania wariancji międzyblokowej dla bloków eksploatacyjnych o różnej wielkości i kształcie Ogólnie wiadomo, że wariancja ma charakter addytywny, o ile jej źródła są niezależne. Jeżeli populacja generalna jest podzielona na rozłączne klasy, to całkowita wariancja parametru złożowego w populacji generalnej może być wyrażona jako suma wariancji wewnątrzklasowej i wariancji międzyklasowej. Choć sposób podziału populacji na części uzewnętrznia się w wartościach wariancji między- i wewnątrzklasowej, to wariancja ogólna, będąca sumą tychże wariancji, jest stała i nie zależy od tego, jak populacja została podzielona. Jeżeli całe pole złożowe V, tzw. obszar bazowy, uznamy za naszą populację generalną i podzielimy na k rozłącznych bloków eksploatacyjnych v i (i = 1,,, k), to całkowita wariancja (V) może być wyrażona jako suma wariancji międzyblokowej (v/v) i wewnątrzblokowej 451

2 W. MASTEJ, L. KĄDZIOŁA Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą (v). Wariancja międzyblokowa może być obliczona jako różnica między wariancją ogólną i wewnątrzblokową: ( v/ V) ( V) ( v) (.1) Przechodząc na wariancje próbkowe, możemy wzór (.1) zapisać następująco: s ( v/ V) s ( V) s ( v) (.) Przy przyjęciu losowego modelu zmienności parametru złożowego, do obliczenia wariancji międzyblokowej wystarczyłoby zastosować klasyczne wzory na wariację. Jednak, według niektórych autorów (Mucha 1994), stwierdzana w praktyce losowa zmienność jest raczej efektem niepełnej wiedzy o złożu. Bezpieczniej jest zatem przyjąć model deterministyczno-probabilistyczny, w którym zakłada się istnienie nie tylko losowego, ale również nielosowego składnika zmienności. Parametr złożowy zaczyna być traktowany nie jak zwykła zmienna losowa, ale jako zmienna zregionalizowana, posiadająca losową i nielosową część zmienności. Aby była możliwa statystyczna interpretacja losowej zmienności zmiennej zregionalizowanej, nakłada się zwykle na tą zmienną warunek stacjonarności. Hohn (1988) wyróżnia cztery stopnie stacjonarności. Stopniem wystarczającym w większości problemów geostatystycznych jest stacjonarność przyrostów wartości zmiennej zregionalizowanej. Można ją zdefiniować w następujący sposób przeciętna wartość i wariancja przyrostów nie zależą od miejsca pomiaru: E[ Z( x h) Z( x)] m( h) (.3) D [ Z( x h) Z( x)] E[ Z( x h) Z( x)] ( h) (.4) gdzie: E, D operatory wartości oczekiwanej i wariancji; Z(x+h), Z(x) wartości parametru złożowego Z w parach punktów pomiaru oddalonych o odległość h; m(h) wartość oczekiwana różnic wartości zmiennej w punktach oddalonych o h; (h) oznacza funkcję wariancji przyrostów, tzw. wariogram, będący podstawą geostatystycznego opisu zmienności; (h) to półwariogram (semiwariogram). Zazwyczaj stosuje się klasyczny, podany przez Matherona (1968), estymator wariancji przyrostów, zwany również wariogramem empirycznym: n h 1 ( h) [ Z( xi h) Z( xi )] (.5) n h i 1 gdzie: n h liczba par punktów pomiaru odległych o h. Z(x i+h), Z(x i) wartości parametru we wszystkich n h punktach pomiaru oddalonych o h, Semiwariogram empiryczny (h) jest aproksymowany jedną z dozwolonych funkcji analitycznych. Funkcje te nazywane są geostatystycznymi modelami zmienności lub semiwariogramami teoretycznymi. 45

3 WARSZTATY 007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Założenie o stacjonarności przyrostów wartości zmiennej zregionalizowanej pozwala na to, by w przypadku, gdy bloki eksploatacyjne mają tę samą wielkość i kształt, uwzględniać w obliczeniach tylko ich jednego przedstawiciela, tzw. obszar obliczeniowy v. Przyjmując model deterministyczno-losowy, można obliczać wariancję międzyblokową jako różnicę między średnią wartością semiwariogamu dla obszaru bazowego i obszaru obliczeniowego. Wzór (.) zapiszemy teraz w następującej postaci (Mucha, 1994): s ( v / V ) ( V ) ( v) (.6) Użycie wzoru (.6) wymaga uprzedniego obliczenia średnich wartości semiwariogramu teoretycznego w obszarach bazowym i obliczeniowym. Zakłada się, że semiwariogram teoretyczny jest już znany przed przystąpieniem do obliczeń. Jeśli nie, to zachodzi konieczność jego obliczenia za pomocą innego oprogramowania. Wartość średnią semiwariogramu dla zadanego obszaru szacuje się w ten sposób, że obszar pokrywa się odpowiednio gęstą, regularną siecią punktów, następnie dla wszystkich możliwych par punktów w obszarze oblicza się wartości semiwariogramu teoretycznego, a na końcu sumuje się te wartości i dzieli je przez liczbę par d: d 1 ( V ) ( h i ) (.7) d i 1 Jeżeli w obszarze znajdzie się n punktów, to liczba par wyniesie: d n( n 1)/ (.8) Odległości między punktami w każdej parze punktów obliczana była ze wzoru Euklidesa. Ponieważ obszary są definiowane jako poligony na kanwie utworzonej wcześniej sieci punktów, trzeba przed przystąpieniem do obliczeń wskazać punkty należące do zadanych obszarów. Użyto tu metody Reverdy ego (Bourke 1987), polegającej na obliczeniu sumy kątów zawartych pomiędzy odcinkami łączącymi testowany punkt z każdą parą punktów budujących poligon. Jeżeli suma wynosi, wtedy taki punkt znajduje się wewnątrz poligonu, jeśli 0 punkt znajduje się na zewnątrz poligonu. 3. Program komputerowy ŚredniGMZ do obliczania wariancji międzyblokowej 3.1. Wprowadzanie danych do obliczeń Dane wprowadzane do obliczeń to współrzędne obszaru bazowego i obliczeniowego oraz typ i parametry geostatystycznego modelu zmienności. Obszar bazowy i obliczeniowy są wielokątami, zatem definiuje się je poprzez wpisanie wszystkich współrzędnych wierzchołków. Zdefiniowane obszary zostają automatycznie pokryte regularną siatką punktów, nazwanych punktami rozpoznawczymi (rys. 1). Gęstość siatki można ustawiać w Parametrach widoku. Należy przy tym przestrzegać zasady empirycznej, aby wewnątrz obszaru bazowego V 453

4 W. MASTEJ, L. KĄDZIOŁA Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą i obliczeniowego v znajdowało się co najmniej 16 punktów rozpoznawczych. Obszary mogą mieć różne wielkości i kształty. Rys Okno programu ze zdefiniowanym obszarem bazowym (szare granice) i obliczeniowym (czarne granice) Fig Program window with basic area (grey borders) and test area (black borders) Estymacja wartości wariancji międzyblokowej dla zadanego obszaru bazowego wymaga gotowego geostatystycznego modelu zmienności. W obecnej wersji programu, obliczenia są możliwe, gdy model zmienności jest liniowy, zadany wzorem: lub sferyczny sferyczny: C ( h) C 0 h (3.1) a 3 3 h 1 h ( h) C0 C (3.) a a 454

5 WARSZTATY 007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie W odpowiednich oknach edycyjnych należy podać parametry modelu: C 0 zmienność lokalna parametru, C amplituda semiwariogramu, a zasięg semiwariogramu. 3.. Obliczanie wariancji międzyblokowej Algorytm obliczania wariancji międzyblokowej składa się z kilku etapów. Na początku, za pomocą metody Reverdy ego (Bourke 1987) zostają wskazane punkty rozpoznawcze, leżące wewnątrz obszarów V i v. Następnie, dla każdej pary takich punktów (oddzielnie dla każdego z obszarów) oblicza się odległość Euklidesa między punktami pary i wartość semiwariogramu teoretycznego (wzór 3.1 albo 3.). Po wstawieniu tych wartości do wzoru (.7), oblicza się średnie wartości semiwariogramów teoretycznych dla obszarów V i v. Wariancję międzyblokową otrzymuje się ze wzoru (.6). Należy zauważyć, że w sytuacji, gdy znany jest geostatystyczny model zmienności parametru złożowego, do symulacji nie jest potrzebna znajomość wartości tego parametru w punktach rozpoznawczych. Znajomość modelu zmienności dla całego obszaru bazowego V umożliwia obliczenie średniej wartości semiwariogramu teoretycznego obszaru bazowego V i dla każdego możliwego obszaru obliczeniowego v o zadanej wielkości i kształcie. W obecnej wersji, w programie mogą być wykorzystywane jedynie modele izotropowe. 4. Przykładowe badanie jednorodności węgli brunatnych ze złoża bełchatowskiego Program ŚredniGMZ wykorzystano do zbadania jednorodności zawartości procentowej popiołu [A r ] w pokładzie głównym, w polu złożowym Bełchatów złoża bełchatowskiego. W obliczeniach wykorzystano geostatystyczny model zmienności tego parametru, opracowany na podstawie kilkuset otworów przez (Bartuś, 005). Był to model sferyczny izotropowy, właściwy dla całego pola złożowego: 3 3 h 1 h ( h) 9,7 13,4 (4.1) Mimo stwierdzonej anizotropii, potwierdzono przydatność tego izotropowego modelu testem krzyżowym. Badania miały charakter symulacyjny. W obliczeniach uwzględniano obszary obliczeniowe w kształcie prostokątów o jednym boku dwa razy dłuższym od drugiego. Kształt obszarów nawiązuje do wielkości i kształtu parceli, w jakich jest obecnie wydobywany węgiel (bloki m). Stosunek wielkości pola złożowego do bloków eksploatacyjnych przedstawia rys

6 W. MASTEJ, L. KĄDZIOŁA Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą [m] blok 60 x 10 m obszary obliczeniowe granica obszaru bazowego [m] Rys Bloki obliczeniowe na tle pola złożowego Bełchatów Fig Test blocks on the mining area Bełchatów Wyniki symulacji przedstawiono na wykresie zależności wariancji międzyblokowej od przekątnej prostokąta obliczeniowego (rys. 4.) i w tab Przekątna ta jest maksymalną odległością między punktami rozpoznawczymi w bloku. W przypadku stosowania modelu izotropowego orientacja prostokątów nie odgrywa roli, zatem wykonane obliczenia są obowiązujące również po obrocie prostokątów o dowolny kąt, np Blok obliczeniowy 60 x 10 m Wariancja międzyblokowa [% ] Przekątna prostokąta obliczeniowego [m. ] Rys. 4.. Wariancja międzyblokowa zawartości popiołu w funkcji przekątnej prostokąta obliczeniowego Fig. 4.. Dispersion Variance of ash content in dependence on test area diameter Wartości wariancji międzyblokowej uzyskano przez odejmowanie średnich wartości semiwariogramu teoretycznego dla poszczególnych bloków obliczeniowych od średniej 456

7 WARSZTATY 007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie wartości tego semiwariogramu dla całego pola złożowego Bełchatów, która wyniosła,4. Jest to wartość bardzo zbliżona do wartości teoretycznej wariancji C 0 + C = 3,1, co nie dziwi, jeśli weźmie się pod uwagę rozmiary pola złożowego, wielokrotnie przekraczające zasięg semiwariogramu a = 1700 m (dla h > a, semiwariogram sferyczny ma stałą wartość C 0 + C ). Tabela.1. Wyniki symulacji dla zawartości popiołu Table.1. Results of simulations for ash content Bloki obliczeniowe Szerokość Długość Długość przekątnej Średnia wartość Powierzchnia semiwariogramu Wariancja [m] [m] [m] [m ] teoretycznego międzyblokowa Na szaro zaznaczono obliczenia dla bloku m. 5. Wnioski Prezentowany program komputerowy ŚredniGMZ umożliwia przeprowadzenie ciągów symulacyjnych obliczeń wariancji międzyblokowej dla różnych wielkości i kształtów parcel eksploatacyjnych, o ile wcześniej jest znany geostatystyczny model zmienności dla całego pola złożowego lub jego części. Symulacje takie pozwalają wybrać odpowiedni kształt i wielkość parcel, gwarantujący spełnienie kryteriów jednorodności kopaliny, narzuconych przez zakład przeróbczy. W obecnej wersji, program ma kilka ograniczeń, które planuje się usunąć po jego rozbudowie. W nowej wersji, w obliczeniach będzie uwzględniany nie tylko model liniowy i sferyczny, ale również inne powszechnie stosowane modele. Ponadto będzie możliwość stosowania modeli złożonych, tzn. modeli zbudowanych z kilku modeli podstawowych. Planuje się również wzbogacenie programu o możliwość uwzględniania anizotropii parametru złożowego (semiwariogramy kierunkowe). Po modernizacji i optymalizacji program zyska charakter profesjonalny. Praca finansowana w ramach umowy

8 W. MASTEJ, L. KĄDZIOŁA Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą Literatura [1] Bartuś T. 005: Statystyczne modele zmienności parametrów jakości węgla brunatnego w centralnej części złoża Bełchatów, AGH, Kraków, (praca doktorska). [] Bourke P. 1987: Determining if a point lies on the interior of a polygon, [ ], [3] Hohn E. M. 1988: Geostatistics and Petroleum Geology, Van Nostrand Reihold, New York. [4] Matheron G., 1968: Osnowy prikładnoj geostatistiki, Wyd. Mir. Moskwa. [5] Mucha J., 1994: Metody geostatystyczne w dokumentowaniu złóż, Kraków. Deposit parameters homogeneity tested by using geostatistical method demonstration of software on the basis of data from a lignite mine (the Bełchatów mine, central Poland) Computer program ŚredniGMZ (abbreviations of mean geostatistical variability model ) was built to evaluate the parameters homogeneity of mineral raw-materials if geostatistical variability models are known. Reliable homogeneity evaluation is necessary because of the requirements of processing plants. The dispersion variance was used as a measure of non-homogeneity, which shows parameter variability among exploitation blocks of defined shape and size. During each run of the program, simulation of various shapes and sizes of blocks can be done for the selected parameter. This allows the selection of blocks such that the dispersion variance does not to exceed the presumed value. Przekazano: 8 lutego 007 r. 458