Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 2

Transkrypt

1 Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 2

2 Ćwiczenia nr 2 zadanie domowe Zastosuj zasadę trzech etapów do wprowadzenia pojęcia liczby pierwszej (do oddania na kartkach). Znajdź wzór jawny dla K n. K n = n(n+1)(2n+1) 6 Można znaleźć za pomocą np. WolframAlpha: Warto pamiętać, że trzeba ten wzór udowodnić. Załóżmy, że ktoś nam powiedział, że suma S k n = 1 k + + n k to wielomian zmiennej n stopnia k + 1. Co wtedy zrobimy? Wyprowadzenie wzoru: (n + 1) 3 n 3.

3 Gra DZIELNIKI Spójrzmy na tabelkę wygranych. (1,1) B (5,1) B (7,1) B (2,1) A (4,2) A (6,2) B (3,1) B (3,3) B (5,3) B (2,2) B (6,1) A (4,4) B (4,1) A (5,2) A (3,2) A (4,3) A Gra (56,48). Kto powinien wygrać? Jak grać, aby wygrać?

4 Logiczny przerywnik Czy to jest jedyne rozwiązanie? Wielomian interpolacyjny Lagrange a.

5 Zadanie badawcze nr 3

6 Strategie rozwiązywania zadań zamkniętych

7 Zadanie badawcze nr 4 Oglądamy wizualizację zadania o żabie. zaba.imp Ciąg rekurencyjny:

8 Zadanie badawcze nr 4 (cd.) x 0 = 0, x 1 = 1/2 x 2 = 1/4, x 3 = 5/8 x 4 = 5/16, x 5 = 21/32 x 2k = x 2k 1 /2 = (x 2k 2 + 1)/4 = x 2k x 2k 4 = = x 2k = = x = 4k k 4 k 4 k k 3

9 Zadanie domowe Znajdź informację o wielomianach interpolacyjnych. Drugi punkt skupienia w problemie z żabą (uzasadnienie). Gra DZIELNIKI:

10 Wykład nr 2

11 Teoria Brunera zasada trzech etapów (trzech reprezentacji) W nauczaniu każdego matematycznego pojęcia należy starać się, aby wystąpiły trzy etapy (trzy reprezentacje), enaktywny, ikoniczny i symboliczny.

12 Przykład: odejmowanie 5 3 Reprezentacja enaktywna reprezentacja zdarzeń za pośrednictwem odpowiedniej reakcji ruchowej. Reprezentacja ikoniczna i reprezentacja symboliczna 5 3 = 2

13 Przykład: trójkąty Reprezentacja enaktywna, czyli zbiór reguł, które powstają w wyniku wykonywania konkretnych czynności i odzwierciedlają to, czego uczeń doświadcza podczas wytwarzania desygnatów jakiegoś pojęcia. Reprezentacja ikoniczna Reprezentacja symboliczna

14 Przykład: pole figury płaskiej Reprezentacja enaktywna

15 Przykład: pole figury płaskiej Reprezentacja ikoniczna to zbiór takich reguł, które pozwalają na obrazowe przedstawienie pojęć. Teraz uczeń jest na wyższym etapie, przygotowuje grunt pod algorytm obliczania pola prostokąta, na przykład za pomocą wzoru.

16 Przykład: pole figury płaskiej Reprezentacja symboliczna to pewien rodzaj kodu, w którym pojawiają się symbole; P = a b

17 Przykład: funkcje Reprezentacja enaktywna może pojawić się później. (programy komputerowe, np. DERIVE, MATHEMATICA) Reprezentacja ikoniczna Reprezentacja symboliczna f ( x) 2x

18 Operacje umysłowe w uczeniu się matematyki myślenie Myślenie to mniej lub bardziej uporządkowana sekwencja operacji poznawczych, dokonywana na przedmiotach, zdarzeniach, procesach bezpośrednio postrzeganych lub na ich reprezentacjach wyobrażeniowo-pojęciowych. Treścią tych operacji jest ujmowanie różnego rodzaju stosunków (związków, zależności) o charakterze strukturalnym i funkcjonalnym. [W. Szewczuk, Słownik psychologiczny, Wiedza Powszechna, 1985, s s ].

19 Operacje umysłowe w uczeniu się matematyki myślenie Czynność myślenia jest łańcuchem operacji umysłowych, za pomocą których przetwarzamy informacje zakodowane w spostrzeżeniach, wyobrażeniach i pojęciach. Dzięki myśleniu człowiek lepiej poznaje rzeczywistość, tworzy plany i projekty, dokonuje odkryć, formułuje oceny i wnioski" [J. Kozielecki, Myślenie i rozwiązywanie problemów, w: Psychologia ogólna, red. T. Tomaszewski, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1992, s. 92].

20 Operacje umysłowe w uczeniu się matematyki myślenie Myślenie to złożony proces umysłowy, polegający na tworzeniu nowych reprezentacji za pomocą transformacji dostępnych informacji. Transformacja ta obejmuje interakcję wielu operacji umysłowych: wnioskowanie, abstrahowanie, rozumowanie, wyobrażanie sobie, sądzenie, rozwiązywanie problemów, twórczość [P. G. Zimbardo, Psychologia i życie, red. naukowa: I. Kurcz, B. Wojciszke, tłum. zbiorowe, PWN, 1999, s. 403].

21 Rodzaje operacji umysłowych Analiza wyodrębnienie z całości jej komponentów. Synteza łączenie komponentów w całość. Abstrahowanie wyodrębnianie pewnych cech obiektu z pominięciem innych. Uogólnianie łączenie cech wspólnych dla klasy obiektów. Porównywanie szukanie podobieństw i różnic pomiędzy obiektami. Zapamiętywanie Przechowywanie Odpamiętywanie

22 Abstrahowanie

23 Jak przebiega uczenie się matematyki? Teoria Piageta Teoria Brunera Teoria Skempa Teoria Dienesa

24 Teoria Piageta etapy Etap 1: sensoryczno-motoryczny (0-2 lata) Etap 2: przedoperacyjny (2-(6-7) lat) Etap 3: konkretno-operacyjny ((6-7) lat (11-12) lat) Etap 4: formalno-operacyjny (11-12 lat - )

25 Etap 1 Dziecko poznaje świat poprzez zmysły i działanie. Jego działania maja charakter konkretny i ograniczają się do przedmiotów, obiektów, które dziecko widzi, może dotknąć. Dzięki dotykowi dziecko wie, że coś jest gorące, zimne, ostre. Ważnym osiągnięciem intelektualnym dziecka w tym okresie jest świadomość, że przedmiot (na przykład zabawka) istnieje, nawet jeśli przykryty jest kocem i dziecko go nie widzi.

26 Etap 2 Nadal dziecko poznaje świat przez działania. W okresie tym pojawią się pierwsze oznaki interioryzacji, tzn. przejścia do struktur wewnętrznych, na przykład dziecko potrafi w tym okresie narysować drzewo, mimo że go nie widzi. Na tym etapie występuje umiejętność reprezentacji wizualnej, dziecko posiada również umiejętność reprezentacji werbalnej. Dziecko nie konserwuje liczby. W całym okresie przedoperacyjnym brak pełnej świadomości odwracalności: gdy zmienimy kształt jakiegoś przedmiotu, na przykład plastelinowej kulki, to dziecko w myśli nie potrafi powrócić do sytuacji wyjściowej.

27 Etap 3 Operacja jest rodzajem działania, które w tym okresie może być wykonywane bezpośrednio przez manipulację realnymi przedmiotami lub wewnętrznie (interioryzacja), w umyśle, poprzez manipulacje symbolami, które w umyśle dziecka reprezentują rzeczy i stosunki. Dziecko w tym okresie rozumie odwracalność sytuacji, na przykład, gdy kładzie zbyt ciężki odważnik na szalkę wagi dwuszalkowej, to niejako automatycznie zdejmuje ten odważnik i wybiera lżejszy. Może się jednak zdarzyć, że pojmuje odwracalność zbyt szeroko: myśli na przykład, że uda mu się odtworzyć spalony kawałek papieru. Rozumienie odwracalności ma też matematyczne konsekwencje: skoro = 8, więc 8 3 = 5 (skoro dołożenie do 5 kasztanów trzech daje osiem kasztanów w sumie, to zabierając z grupy ośmiu kasztanów trzy, otrzymujemy w wyniku 5 kasztanów). W okresie tym pojawia się rozumienie pojęcia przechodniości: A = B i B = C, to A = C; A < B i B < C, to A < C.

28 Etap 4 Na tym etapie dziecko, uczeń jest w stanie z abstrakcyjnych przesłanek wyciągać wnioski wyłącznie w oparciu o logiczne rozumowanie. Rozumowania na tym etapie mają charakter hipotetyczny, przesłanki mogą być prawdziwe lub fałszywe. Na poziomie tym dokonuje się uogólnień, formułuje się wnioski na drodze dedukcji lub w oparciu o eksperymenty (indukcja), formułuje hipotezy. Operacje mają charakter abstrakcyjny, formalny i charakteryzuje je wysoki stopień odwracalności.

29 Doświadczenie 1

30 Doświadczenie 2

31 Doświadczenie 3

32 Tezy Piageta Rozwój zdolności matematycznych odbywa się etapami i każdy normalny człowiek przechodzi przez te cztery etapy w tym samym porządku, chociaż oczywiście w innym tempie i innym wieku. Żadna dodatkowa ilość uczenia, zabiegów dydaktycznowychowawczych nie powoduje drastycznie szybszego przejścia przez którykolwiek z etapów. Kolejność konserwacji: liczba, długość, pojemność, waga.

33 Znaczenie teorii Piageta Funkcja diagnostyczna: poprzez doświadczenia możemy zdiagnozować na jakim etapie rozwoju znajduje się dziecko. Położenie nacisku na fizyczną aktywność (przesypywanie piasku, przelewanie wody, układanie klocków), na doświadczenia matematyczne. Późne wprowadzenie symbolizmu do nauczania matematyki. Nauczyciel jest intelektualnym obserwatorem, ale to dzieci w zasadzie same odkrywają matematykę.

34 Krytyka teorii Piageta 1. Etapy rozwoju nie są niezmienne dla każdego. 2. Rozwój może być przyspieszony przez nauczanie. 3. Piaget nie przywiązywał dostatecznej wagi do motywacji, skoncentrował się na rozwoju intelektualnym. 4. Piaget twierdził, że dzieci nie są w stanie stosować prawa przechodniości przed osiągnięciem etapu konkretno-operacyjnego. 5. Piaget nie przykładał dostatecznej wagi do tego, w jaki sposób dzieci interpretują język. 6. Piaget nie przewidział, w jaki sposób nowoczesne technologie wpływają na rozwój umysłowy człowieka.

35 Doświadczenie nr 1 inaczej

36 Patyczki

37 Literatura [S1] Nauczanie początkowe matematyki, t.1, pod redakcją Z. Semadeniego, WSiP, Warszawa, 1991, str [Si] str