Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Transkrypt

1 Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 4 Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć (cd.) Matematyczne rozumowania na poziomach SP i licealnym Semestr zimowy 2018/2019

2 Jakie warunki powinna spełniać definicja (szkolna) matematycznego pojęcia? Warunek istnienia, tzn. obiekt definiowany musi istnieć. Warunek jednoznaczności. Warunek logicznej kolejności. Warunek łatwego stosowania, tzn. tworzenie obiektów spełniających daną definicję powinno być łatwe. Definicje, zwłaszcza te używane w szkole, powinny być zwięzłe, wyrażone językiem zrozumiałym dla użytkownika. Szkolne definicje matematycznych pojęć nie powinny być zbyt formalne. Szkolne definicje powinny odwoływać się do intuicji ucznia oraz do jego wiedzy potocznej.

3 Błędy w definiowaniu matematycznych pojęć Definicja pozorna. Definicja za szeroka. Definicja za wąska. Definicja nadmierna.

4 Obiekty krańcowe spełniające definicję Przykłady pole figur jednowymiarowych objętość figur płaskich odcinki równoległe leżące na jednej prostej NWD(a,1), NWD(a,0)

5 Obiekty, pojęcia, których ścisłe definicje na poziomie szkolnym są za trudne długość pole objętość brzeg

6 Rozumowania w PPM (SP) Pod koniec VIII klasy wymagane są ponadto myślenie matematyczne i umiejętność dowodzenia na poziomie, który umożliwi zrozumienie matematyki stosowanej w szkołach ponadpodstawowych w innych przedmiotach. W zakresie wnioskowania Uczeń przeprowadza rozumowania, dostrzega regularności, podobieństwa i analogie, istotne cechy znanych obiektów oraz formułuje wnioski na ich podstawie. Uczeń dobiera modele matematyczne do rozwiązywania problemów, stosuje poznaną wiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz umiejętności rachunkowe. W zakresie krytycznego spojrzenia na wyniki Uczeń weryfikuje i interpretuje otrzymane wyniki lub rozwiązanie zadania na przykład poprzez: szacowanie, sprawdzanie, czy otrzymane rozwiązanie spełnia wszystkie warunki zadania, ocenianie, czy rząd wielkości otrzymanego wyniku jest odpowiedni. Uczeń odróżnia dowód od przykładu, ma świadomość, że jeden kontrprzykład wystarcza do odrzucenia hipotezy.

7 PPM (SP) Zadania na dowodzenie stanowią ważny element wykształcenia matematycznego. Dostrzeganie zależności pomiędzy liczbami, kątami lub długościami odcinków w geometrii jest trudne, ale nie mniej ważne niż zapamiętywanie ćwiczonych schematów postępowania. Początkowo dowody powinny składać się z bardzo niewielkiej liczby kroków uzasadniających tezę. Uczeń powinien dowiedzieć się, że w twierdzeniach zaczynających się od słów wykaż, że dla każdego podawanie wielu przykładów nie jest dowodem, podanie jednego kontrprzykładu świadczy o tym, że stwierdzenie nie jest prawdziwe. Nie oznacza to, że uczeń nie powinien szukać przykładów bądź kontrprzykładów. Często takie poszukiwanie i sprawdzanie prawdziwości tezy dla konkretnych przypadków pozwala uczniowi zrozumieć postawiony problem, a następnie podać ogólne rozumowanie. Nie należy ograniczać się do rozpatrywania wyjątkowych, szczególnych ( skrajnych ) przypadków.

8 PPM SŚ Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. Dowody. Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija takie umiejętności jak: logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i zdolność rozwiązywania złożonych problemów. Dowodzenie pozwala doskonalić umiejętność dobierania trafnych argumentów i konstruowania poprawnych rozumowań. Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. Można uczyć w ten sposób, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód. Umiejętność formułowania poprawnych rozumowań i uzasadnień jest ważna również poza matematyką. Poniżej znajduje się lista twierdzeń, których dowody powinien uczeń poznać.

9 Zakres podstawowy lista twierdzeń Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych. Niewymierność liczb: 2, log 2 5, itp. Wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Podstawowe własności potęg (o wykładnikach całkowitych i wymiernych) i logarytmów. Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci x a wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę (algorytm Hornera) dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla wielomianu czwartego stopnia. Wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Twierdzenie o kątach w okręgu: Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąty wpisane są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach. Twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym: Jeśli odcinek CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym ACB, to AD CD = CD 2, AC 2 = AB AD, BC 2 = AB BD. Twierdzenie o dwusiecznej: Jeśli prosta CD jest dwusieczną kąta ACB w trójkącie ABC i punkt D leży na boku AB, to AD Wzór na pole trójkąta P = 1 ab sin γ. 2 Twierdzenie sinusów. Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. BD = AC BC.

10 Zakres rozszerzony lista twierdzeń n Dowód kombinatoryczny tożsamości: jeśli 0 < k < n, to k = n 1 k 1 + n 1 k Wzór dwumianowy Newtona. Wzory skróconego mnożenia na a n ± b n (przy odpowiednich założeniach o n) oraz jako wniosek: dla liczb całkowitych a i b, a b a n b n. Wzory Viète a. Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. Twierdzenia o istnieniu niektórych punktów szczególnych trójkąta: a) Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i (jako wniosek) proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. b) Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu: Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i twierdzenie o trzech prostopadłych jako wniosek z niego: Dane są proste k, l i m leżące na jednej płaszczyźnie. Jeśli proste k i l przecinają się i prosta n jest do nich prostopadła, to prosta n jest także prostopadła do prostej m. Prosta k przecina płaszczyznę P i nie jest do niej prostopadła. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę P. Prosta m leży na płaszczyźnie P. Wówczas proste k i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy proste l i m są prostopadłe.

11 Matematyka nieustające rozumowania

12 Zadanie na rozgrzewkę Dany jest ciąg (a n ) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa (7n 2 n)/2. Wykaż, że (a n ) jest ciągiem arytmetycznym. Wyniki eksperymentu pełne częściowe złe lub brak 6% 13% 81%

13 Twierdzenia kilka ogólnych uwag Z encyklopedii PWN: TWIERDZENIE, log. wszelkie zdanie złożone z dwóch członów, z których pierwszy jest założeniem, drugi zaś tezą, występujące najczęściej w postaci implikacji; w znaczeniu ścisłym teza teorii, wyprowadzona za pomocą określonych przekształceń z przyjętych w danej teorii aksjomatów, zw. tw. pierwotnymi, w odróżnieniu od wywiedzionych z nich t. pochodnych; tak zbudowane t. logiki, odgrywające rolę przesłanek, wniosków i zasad wnioskowania, mają doniosłe znaczenie metodol., pozwalające na ocenę poprawności strukturalnej systemów dedukcyjnych; potocznie zdanie oznajmujące wygłaszane z dużym przekonaniem o jego prawdziwości.

14 Założenie Teza Uwagi Twierdzenia występują w postaci implikacji lub równoważności. Twierdzenia bardzo często (szczególnie w szkole podstawowej i gimnazjum) występują w postaci ukrytej implikacji lub ukrytej równoważności. W szkole podstawowej (przede wszystkim), ale również i w gimnazjum rzadko używa się formy jeśli..., to.... Nie ma takiej potrzeby, gdyż rzadko przeprowadzona są bardzo dokładne, formalne dowody twierdzeń. Jednak zachęcam do tej formy zapisu, zwłaszcza na poziomie gimnazjum i szkoły średniej. Pierwsze twierdzenie (gimnazjum, I, II klasa) to twierdzenie Pitagorasa; w związku z tym twierdzeniem pojawia się także twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa.

15 Diagram twierdzenie Z T ~Z ~ T twierdzenie przeciwne twierdzenie odwrotne T Z ~T ~Z twierdzenie przeciwstawne

16 Dowody w matematyce Definicja z Encyklopedii Szkolnej. Matematyka : DOWÓD skończony ciąg zdań lub funkcji zdaniowych, który rozpoczyna się od twierdzeń przyjętych jako założenia (tj. od aksjomatów lub twierdzeń teorii, które już w niej udowodniono) i zawiera zdania lub wyrażenia uzyskane z tych założeń zgodnie z prawami logiki; dowód kończy zdanie dowodzone, które staje się twierdzeniem teorii.

17 Typy dowodów matematycznych indukcyjne dedukcyjne redukcyjne nie wprost przez interpretację

18 Indukcja INDUKCJA [łac.], wnioskowanie indukcyjne, log. rozumowanie polegające na wyprowadzaniu wniosków ogólnych z przesłanek będących ich poszczególnymi przypadkami; w szerszym znaczeniu metoda i. polegająca na dokonywaniu obserwacji i eksperymentów i wyprowadzaniu na tej podstawie uogólnień oraz formułowaniu hipotez i ich weryfikacji; tzw. zasada i. jest regułą pozwalającą na przejście od przypadków zaobserwowanych do twierdzeń ogólnych obejmujących także przypadki nie zaobserwowane; Zjawiska obserwowane Prawa ogólne Kruki, które widzieliśmy są czarne Wszystkie kruki są czarne

19 Przykład dowodu indukcyjnego

20 Dedukcja Dedukcja [łac.], dedukcyjne wnioskowanie, log. rozumowanie, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem wynikania logicznego, tj. polega na tym, że gdy dana jest racja jako zdanie uznane (za prawdziwe), na jej podstawie uznaje się następstwo; rozumowanie dedukcyjne stanowi zasadę konstruowania dedukcyjnego systemu.

21 Przykład Wszyscy ludzie są śmiertelni. Sokrates jest człowiekiem. Sokrates jest śmiertelny.

22 Przykład dowodu dedukcyjnego

23 Twierdzenie z różnymi dowodami Jeżeli a, b R + {0}, to a+b 2 ab. (Z T) Dowód 1 (dedukcja klasyczna) schemat: Z T 1 T 2 T Dowód 2 (redukcja) schemat: Z T T 1 T n Dowód 3 (nie wprost) schemat: Z T T 1 T n, gdzie T n zdanie jest fałszywe

24 Literatura H. Siwek, Dydaktyka matematyki, WSiP, 2005