JEDNOMODALNA I DWUMODALNA OPTYMALIZACJA Ś CISKANYCH PRĘ TÓW DRGAJĄ CYCH 1 >
|
|
- Władysława Monika Ciesielska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 22 (1984) JEDNOMODALNA I DWUMODALNA OPTYMALIZACJA Ś CISKANYCH PRĘ TÓW DRGAJĄ CYCH 1 > BOHDAN BOCHENEK Politechnika Krakowska ANTONI GAJEWSKI Politechnika Krakowska 1. Uwagi wstę pne Do niedawna w pracach dotyczą cych optymalizacji drgają cych i naraż onych na utratę statecznoś ci elementów konstrukcji, kształtowanie przeprowadzane było jedynie z uwagi na wybraną pojedynczą wartość wł asną (czę stość drgań, sił ę krytyczną ). Jednak w wielu przypadkach takie sformułowanie (jednomodalne) okazuje się niewystarczają ce. Ma to miejsce wtedy, gdy element ukształtowany z uwagi na począ tkowo najniż szą wartość wł asną, zwią zaną z pewną okreś loną formą drgań lub wyboczenia, posiada niż szą wartość drugiej wartoś ci własnej, zwią zanej z inną formą drgań lub wyboczenia. Należy wówczas stosować dwumodalne sformułowanie problemu optymalizacji, polegają ce na optymalnym kształ towaniu z uwagi n a podwójną wartość wł asną, zwią zaną równocześ nie z dwiema formami drgań (lub wyboczenia). Konieczność zastosowania takiego sformułowania został a zauważ ona po raz pierwszy w pracy N. OLHOFFA i S. H. RASMUSSENA [1], w której znaleziono optymalny kształ t obustronnie, sztywnie utwierdzonego prę ta ś ciskanego siłą osiową. Sformuł owanie dwumodalne staje się z reguł y konieczne w przypadku optymalizacji łuków drgają cych i naraż onych na utratę statecznoś ci; szereg rozwią zań dotyczą cych sprę ż ystych łuków, znajdują cych się w bezmomentowym stanie przedwyboczeniowym 0 osi nierozcią gliwej, otrzymano w pracy J. BŁACHUTA i A. GAJEWSKIEGO [2]. Podobna sytuacja pojawia się w przypadku prostej ramy portalowej ś ciskanej sił ami skupionymi działają cymi w kierunku osi nieodkształconych słupów. Zwrócili na to uwagę E. F. MASUR 1 Z. MRÓZ [3], którzy przedstawili proste przybliż one rozwią zanie dla prę ta i ramy portalowej, złoż onej z elementów o przekrojach sandwiczowych. Kompletne rozwią zanie zagadnienia jednomodalnej i dwumodalnej optymalizacji ze wzglę du na wyboczenie sprę - ż ystej ramy portalowej, zł oż onej z elementów o zmiennych przekrojach (w sposób cią gły lub skokowy) zawarte jest w pracy B. BOCHENKA i A. GAJEWSKIEGO [4]. Charakterystyczne cechy zjawiska optymalizacji dwumodalnej przedstawiono również 1 Praca została wykonana w ramach problemu wę złowego PW
2 186 B. BOCHENEK, A. GAJEWSKI w pracy S. PRAGERA i W. PRAGERA [5] na przykładzie modelu prę ta ś ciskanego, składają - cego się z kilku sztywnych prę tów, połą czonych ze sobą oraz z podporami za pomocą sprę ż ystych przegubów. Model ten został również wykorzystany w pracy A. GAJEWSKIEGO [6] w celu zademonstrowania dwumodalnej optymalizacji prę ta ś ciskanego z uwagi na podstawową czę stość jego drgań poprzecznych. Zawiera ona również sformułowanie (jednak bez szczegółowych obliczeń) problemu jedno- i dwumodalnej optymalizacji rzeczywistego prę ta ś ciskanego. W koń cu należy zauważ yć, że w pracy J. BŁACHUTA i A. GAJEWSKIEGO [7] podję to próbę wykorzystania dwumodalnego sformuł owania optymalizacji w niekonserwatywnych problemach statecznoś ci w celu znalezienia optymalnego kształtu prę ta ś ciskanego siłą ś ledzą cą. Celem niniejszej pracy jest szczegół owe rozwią zanie zagadnienia (sformuł owanego w pracy [6]) optymalizacji kształtu prę ta ś ciskanego, obustronnie sprę ż yśe ci utwierdzonego, z uwagi na podstawową czę stość jego drgań poprzecznych. Zagadnienie to mieś ci się, jako przypadek szczególny, w ogólnym sformułowaniu problematyki optymalnego kształtowania drgają cych prę tów ś ciskanych, przedstawionym w pracy J. BLACHUTA i A. GA- JEWSKIEGO [7] oraz W. G. GRINIEWA i A. P. FIUPPOWA [8]. W celu uł atwienia czytania pracy przytoczymy tu podstawowe wyprowadzenia wzorów, jednak tylko w odniesieniu do badanego szczególnego przypadku. 2. Sformułowanie zagadnienia 2.1. Równania stanu i warunki brzegowe. W niniejszej pracy rozważ amy drgania prę ta obustronnie sprę ż yśe ciutwierdzonego, ś ciskanego stał ą sił ą osiową P, przedstawionego n a rys. 1. Cał kowita obję tość prę ta o długoś ci / jest równa V. Załóż my, że w każ dym przekroju poprzecznym obowią zuje nastę pują ca zależ ność mię dzy momentem bezwładnoś ci i polem powierzchni przekroju: = c[a(m", (2.1) 4/ w,y Rys. 1 gdzie i jest pewną stałą a wykładnik v przyjmuje, w najczę ś cie j spotykanych przypadkach, wartoś ci 1,2 lub 3 (v 1 dla płaskozbież nych prę tów o stałej wysokoś ci przekroju, v 2 dla prę tów wszechstronnie równomiernie zbież nych, v = 3 dla płasko- zbież nyc h prę tów o stałej szerokoś ci). Gdy v - 2, stał a c * 1/12 dla kwadratu lub c = l/ 4n dla koł a. Równanie róż niczkowe małych drgań poprzecznych prę ta ś ciskanego: [E/ (f) w"]"+pw"+qa (f) w = 0, (2.2) po rozdzieleniu zmiennych czasowej i przestrzennej za pomocą przedstawienia: w»»(f)e toi (2.3)
3 OPTYMALIZACJA PRĘ TÓW DRGAJĄ CYCH 187 oraz wprowadzeniu nastę pują cyc h stał ych i zmiennych bezwymiarowych: X m I/ /, }> (X) = V(*)/ /, 0(X) = A(X)IA O, *. p l p_ moż emy przedstawić w formie ukł adu równań stanu: y't = <p t, u (2.5) Wielkoś ci wymiarowe, wystę pująe c w zwią zkach (2.4) oznaczają: - zmienną niezależ ną, mierzoną wzdł uż nieodkształ conej osi prę ta, vv(, t) ugię cie prę ta w punkcie w chwili f, P ś ciskają ą c sił ę osiową, E moduł Younga, w czę stość drgań, Q gę stość materiał u prę ta. js oznacza tu bezwymiarową sił ę ś ciskają cą, a Q bezwymiarowy kwadrat czę stośi cdrgań. W procesie optymalizacji bę dą interesowały nas dwie pierwsze wartoś ci wł asne (częstość lub sił y krytyczne) oraz odpowiadają ce im zmienne stanu (istotne jest przy tym ich rozróż nienie). Dlatego też w równaniach (2.5) wprowadzono wskaź nik i", który wskazuje na zmienne stanu zwią zane odpowiednio z pierwszą lub drugą wartoś cią wł asną: i = 1 lub 2. Przekrój odniesienia A o został tu zdefiniowany nastę pują co : A o = VII, (2.6) wobec czego bezwymiarowa funkcja <t>(x), okreś lają a c przekrój poprzeczny prę ta musi speł niać warunek unormowania: J<Kx)dx= 1., (2.7) Do ukł adu równań (2.5) należy doł ą czy ć odpowiednie warunki brzegowe. W dalszym cią gu wyróż niamy dwa przypadki szczególne: a. symetryczne zamocowanie koń ców prę ta. W takim przypadku cał kowanie równań (2.5) wystarczy przeprowadzić w przedziale (0, 1 / 2) a warunki brzegowe zadać dla x = 0 oraz JC = 1/2. Formę drgań zwią zaną z pierwszą wartoś cią wł asną (symetryczną) wyznaczają wtedy nastę pująe c warunki (/ = 1): = 0, natomiast dla drugiej formy drgań (antymetrycznej, / = 2): 1 (2.8) (0) 0 (l2) = 0, b. niesymetryczne zamocowanie koń ców prę ta. I (2.9) j9>2(0) = 0, m 2 (l/ 2) = 0.
4 188 B. BOCHENEK, A. GAJEWSKI W tym przypadku cał kowanie przeprowadzamy dla xe(0,l) i nie mamy moż liwośi c rozróż nienia form drgań poprzez zadanie odpowiednich warunków brzegowych. Warunki brzegowe dla obu form drgań są takie same: y,(0) = 0, Ml) = 0, 1 1 (2.10) natomiast rozróż nienie form drgań nastę puje poprzez liczbę miejsc zerowych linii ugię cia (linia ugię cia odpowiadają ca pierwszej wartoś ci wł asnej nie ma miejsc zerowych a odpowiadają ca drugiej ma jedno miejsce zerowe). Wystę pująe c w zwią zkach (2.8), (2.9), (2.10) parametry, f x, 2, charakteryzują zamocowanie koń ców prę ta. Gdy parametry te są równe zeru wówczas koń ce prę ta są sztywnie utwierdzone, gdy natomiast zmierzają do nieskoń czonośi cpręt jest przegubowo zamocowany Warunek konieczny optymalnoś ci. Problem polega na znalezieniu funkcji &(x) speł - niają cej równania stanu (2.5), warunki brzegowe (2.8), (2.9) albo (2.10), warunek unormowania (2.7), geometryczne warunki ograniczają ce: < o < <t> < < i» (2.H) która minimalizuje obję tość przy ustalonej czę stośi cdrgań lub, w sformuł owaniu dualnym, maksymalizuje czę stość drgań przy stał ej obję toś. ci Optymalizacja jednomodalna i = 1 albo i 2. Warunek konieczny dla ekstremum funkcjonał u obję tośi cprę ta wyprowadzimy w oparciu o teorię sterowania optymalnego, wykorzystując zasadę maksimum" Pontriagina. Wprowadzając dodatkową zmienną stanu y o (x), speł niają ą c warunki: yfo) = 0(x) s y o (l) = 1, y o (O) = 0, (2.12) OTaz wektor stanu sprę ż onego : < - (y>n> f vt, fm t > V» V>o), (2.13) otrzymamy Hamiltonian w nastę pują ce j postaci: Ukł ad równań sprzę ż onych : H - ipy l f i +% l (- m l l4> v )+ip mi (q i + P(p i ) + / t,(,py,)f 0 l) l ("= 1 albo i = 2. może być w naszym przypadku sprowadzony do równań stanu za pomocą podstawień: Vn = kq t, f m, = kę u ę 9t = - fcm (, y,, = - ky u (2.16) w którym k jest dowolną stał ą Tóż ną od zera. Również odpowiednie warunki brzegowe, wyznaczone z warunków transwersał nośi c przyjmują identyczną postać z równaniami (2.8), (2.9), (2.10). Mówimy wówczas, że ukł ad równań stanu jest samosprzę ż on y w silnym sensie a hamiltonian (2.14) przyjmuje postać: / / = kilqw+mflp+ptf+q^yfi + eott). (2.17) 1
5 OPTYMALIZACJA PRĘ TÓW DRGAJĄ CYCH 189 Poszukiwany warunek konieczny optymalnoś ci jest warunkiem ekstremum hamiltonianu (2.17) wzglę dem zmiennej sterowania; dh/ d<j) = 0; vmf \ I/ (H " ) gdzie: X = Volk J ' Optymalizacja dwumodalna / = 1, 2. W tym przypadku dopuszczamy moż li - wość równoczesnego wystą pienia obu form wyboczenia, odpowiadają cych tej samej wartoś ci wł asnej czę stośi cdrgań Q. Hamiltonian po uwzglę dnieniu wł asnośi csamosprzę- ż enia przyjmuje postać: 2 H = k t (2q t <pt+>ri IV+Pv? + t<l>yf) +?o<l> (2.19) i~ 1 gdzie k t i k 2 są dowolnymi stał ymi róż nymi od zera. Warunek ekstremum hamiltonianu (2.19) prowadzi do nastę pują ceg o warunku optymalnoś ci : gdzie wprowadzono nowe stał e: *<*> - i Hd- ^^+W I (2>20) A = Vo/ (* t +k 2 ), n = kilfa + *i). (2.21) Stał ą X dobieramy tak aby speł niony był warunek unormowania (2.7), a stał ą fi tak, aby czę stość drgań otrzymana w rozwią zaniu ukł adu (2.5) dla i = 1 był a równa czę stośi c otrzymanej z rozwią zania tego ukł adu dla / = Metoda rozwią zania zagadnienia Poszukiwanie optymalnego kształ tu prę ta opiera się na iteracyjnej metodzie numerycznej szeroko stosowanej przez W. B. GRINIEWA i A. P. FILIPPOWA [9] i wykorzystywanej również w pracach J. BŁ ACHUTA i A. GAJEWSKIEGO [2], [7]. Schemat obliczeń zależy od rodzaju optymalizacji. a. Optymalizacja jednomodalna. Zakł adamy wstę pnie $ (0) = 1 (pręt pryzmatyczny). Nastę pnie cał kujemy ukł ad równań (2.5) z odpowiednimi warunkami brzegowymi i wyznaczamy odpowiednią czę stość drgań. Z warunku optymalnoś ci (2.18) i z warunków (2.7), (2.11) okreś lamy poprawiony kształ t 4> ll), który podstawiamy do ukł adu (2.5) i powtórnie cał kujemy. Gdy wartoś ci czę stośi cotrzymane w dwóch kolejnych powtórzeniach procesu bę dą (z przyję tą dokł adnoś cią) bliskie sobie proces koń czymy. b. Optymalizacja dwumodalna. Zakł adając począ tkową postać funkcji «&< 0) cał kujemy ukł ad równań (2.5) dł a i = 1, a nastę pnie dla i = 2 oraz wyznaczamy odpowiednie czę stośi cqf*, ^3 ( O) 2. Przyjmując pewną wartość ^4 wyznaczamy z warunku optymalnoś ci (2.20) poprawioną funkcję <i> (1>, którą podstawiamy do równań stanu i powtórnie cał kując otrzymujemy czę stośi c(na
6 190 B. BOCHENEK, A. GAJEWSKI ogół róż ne od siebie). Odpowiedni dobór wartoś ci / u, pozwala zrównać czę stoś i c w danej iteracji. Kolejne iteracje koń czymy gdy podwójna czę stość w danej iteracji nie róż ni się (z przyję tą dokładnoś cią) od podwójnej czę stoś i cw iteracji poprzedniej. 4. Analiza wyników Opisane powyż ej metody zastosowano do przykładowych obliczeń w przypadku prę ta równomiernie wszechstronnie zbież nego, tzn. dla: v 2. Dla róż nych wartoś ci S lt f 2 oraz p znalezione zostały optymalne kształty i odpowiadają ce im czę stoś i cdrgań. Ponadto w każ dym z przypadków zmieniano dolne ograniczenie geometryczne </> 0 = $! w przedziale (0, 1). Rezultaty obliczeń przedstawiają rysunki 2, 3, 5, 6, 8, 9, na których oznaczono: Q lmtx maksymalną czę stość odpowiadają cą pierwszej formie drgań, Q 2 doliczoną do otrzymanego optymalnego kształtu czę stość odpowiadają cą drugiej formie drgań. Na Rys. 4, 7, 10 przedstawiono optymalne kształty dla wybranych wartoś ci ograniczenia $o > odpowiadają ce pierwszej formie drgań. $,= = Ol wax 0.2 0A Rys. 2 Rys. 3 Okazuje się jednak, że dla pewnych przypadków, przedstawionych na Rys. 6, 8, 9 krzywe Q lmax (0 o ) i ^2(^0) przecinają się. Dla ograniczeń mniejszych od ograniczenia odpowiadają cego punktowi przecię cia, otrzymane kształ ty nie mogą być traktowane jako optymalne [1] [6]. Zachodzi wtedy konieczność zastosowania optymalizacji dwumodał nej. Graniczny przypadek zamocowania koń ców prę ta f x = f 2 = 0 (prę t obustronnie sztywnie utwierdzony) jest analizowany bardziej szczegółowo. Rys. 9 przedstawia pary krzywych &2 dla róż nych wartoś ci /S; dodatkowo naniesiono krzywą przedstawiają cą za-
7 OPTYMALIZACJA PRĘ TÓW DRGAJĄ CYCH 19J fi, =0.01, 2 =100, fi=12 Rys. 4 i i i i i r f)=0 Q G2 V Rys. 5 Rys. 6 leż ność wartoś ci czę stoś ci, odpowiadają cej punktowi przecię cia tych krzywych od wartoś ci ograniczenia, dla którego krzywe przecinają się. Rys. lla przedstawia zależ ność ograniczenia, odpowiadają cego punktowi przecię cia tych krzywych od /?, natomiast Rys. lib zależ ność czę stoś ci, odpowiadają cej punktowi przecię cia od /?. Widoczne jest przejś cie graniczne do przypadku utraty statecznoś ci, dla którego Q = 0, Cf> 0 = 0.28, = 52 (dokładna wartość /? znaleziona w pracy [1] wynosi 52.36).
8 192 B. BOCHENEK, A. GAJEWSKI,=0.002, 2 = 0,002.0=45,=0, 2 =0, 0=45 Rys Of ,8 \0 Rys. 8 Rys. 9 Z zależ nośi cpowyż szych moż emy odczytać również, iż konieczność stosowania optymalizacji dwumodalnej do kształ towania prę ta obustronnie utwierdzonego z uwagi na czę stość drgań, zachodzi dla e (30, 52). Przykł adowy rezultat otrzymany z uwzglę dnieniem takiego wł aś ni e sformuł owania przedstawia Rys. 12. Charakterystyczne jest to, iż począ wszy od pewnego ograniczenia kształ ty optymalne nie zalezą od niego (ograniczenie jest nieaktywne); kształ t optymalny jest również przedstawiony na rysunku.
9 ,=0, v= oo, 0= Rys. 10, =0,0017, 2=0j0O25, 0=30 a) b) Q28 Q20 - C) 1 20 / 30 / / i / / i 60 I 5? n \ 20 \ \ 30 \ 40 > TSS2 50 v n Rys , $0=0-1, Of Qj= 125 KM D,2 a* ae dw slormutcwonie 1 p" ograniczenie nk oktwne aktywne Rys Mech. Teoret. i Stos. 1 2/84
10 194 B. BOCHENEK, A. GAJEWSKI 5. Uwagi koń cowe Niniejsza praca zawiera szczegół owe rozwią zanie numeryczne problemu optymalnego kształ towania drgają cego prę ta ś ciskanego siłą osiową, z uwagi na podstawową czę stość jego drgań. Dopuszczono moż liwość istnienia asymetrii układu, spowodowanej róż nymi wartoś ciami parametrów charakteryzują cych sprę ż ystoś ć utwierdzeń koń ców prę ta. Wykazano konieczność stosowania optymalizacji dwumodalnej dla pewnych przypadków zamocowania koń ców prę ta i pewnych wartoś ci siły osiowej. Bardziej szczegółowo zbadano przypadek prę ta obustronnie sztywnie utwierdzonego. Literatura cytowana w tekś cie 1. N. OLHOFF, S. H. RASMUSSEN, On single and bimodal optimum buckling loads of clamped columns, Int. J. Solids Structures, 7, 13, 1977, J. BLACHUT, A. GAJEWSKI, On unitnodal and bimodal optimal design of funicular arches, Int. J. Solids Structures, 7, 17, 1981, E. F. MASUR, Z. MRÓZ, Singular solutions in structural optimization problems, Proc. 1UTAM Conf. on Variational Methods in Solid Mechanics", Northwestern University, Sept. 1978, ed. S. Nemat- Nasser, New York: Pergamon Press, B. BOCHENEK, A. GAJEWSKI, Jednomodalna i dwumodalna optymalizacja ramy portalowej, Rozpr. Inż,. 1, 30, 1982, S. PRAGER, W. PRAGER, A note on optimal design of columns, Int. J. Mech. Sci., 4, 21,1979, A. GAJEWSKI, A note on unitnodal and bimodal optimal design of vibrating compressed columns, Int. J. Mech. Sci., 1, 23, 1981, J. BŁACHUT, A. GAJEWSKI, A unified approach to optimal design of columns, Solid Mech. Arch., 4, 5, 1980, W. B. GRINIEW, A. P. FILIPPOW, Optimizacja stierż niejpo spektru sobstwiennych znaczenij, Naukowa Dumka, Kijew, W. B. GRINIEW, A. P. Frxxppow, Ob optimalnych oczertanijach stierż niejw zadaczach ustojeziwosti, Stroit. Mech. i Rascz. Sooruż,. 2, 1975, P e 3 M M e OflHOMOflAJILHAfl H EHMOJIAJ1BHAE OnTHMH3AHHJI KOJIEBJIIOUTErOOI OKHMAEMOrO CTEPKHiI HacTOHmeii pasotm HBKHeiCH no/ rpo6hoe peinemie 3aflaMH onxhmh3arthh (JiopMBi OKiiiwae- Moro crephffih, flbyxctopohhe ynpyro 3ameMJieHHoro H3-3a OCHOBHOH yacrotm ero nonepe^mbix Kojie- CaHnił. BO3MOJKHOCTB cymectbobamra achmmetpini CHCieMw, npoh3beflehhoii pa3hbimh 3HanapaMeipos xapakrepirayiomiix ynpyrocn. 3ameMjieHirii KOHIJOB ctepwcheił. JJoKaabraaeiCH 6nM0flenŁH0H om'hmh3amih fljih nekotopbix cji'yqaeb 3ameMJieHHH KOHHOB CTep>KHH H HeKOTOpblX 3Ha^eHHfl OCeBOft CHJIŁI. Bonee no^pobno HCCJieflOBaH crryqaii crepwhh flbyxctopohhe M<ecri<o 3amejwjieHHoro. Summary SINGLE AND BIMODAL OPTIMIZATION OF VIBRATING COMPRESSED BAR The paper is concerned with a detailed solution of the shape optimization problem of the elastically clamped- clamped compressed bar with respect to the fundamental frequency of its transverse vibration.
11 OPTYMALIZACJA PRĘ TÓW DRGAJĄ CYCH 195 The asymmetry of system exerted by different values of the clamping elasticity parameters on each bar end is admissible. Necessity of using bimodal optimization for certain cases of bar ends clamping as well as for certain values of axial force has been pointed out. The case of rigidly clamped- clamped bar has been investigated in details. Praca została złoż onaw Redakcji dnia 10 czerwca 1981 roku 13*
OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE MODELU ŁUKU O OSI Ś CIŚ LIWEJ '
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 1/ 2, 11 (1984) 1 OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE MODELU ŁUKU O OSI Ś CIŚ LIWEJ ' BOGDAN BOCHENEK Politechnika Krakowska 1. Uwagi wstę pne W przypadku optymalnego kształtowania
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI. 1, Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, lfi (978) OPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI JAAN LELLEP (WARSZAWA), Wstę p Optymalizacji poł oż enia podpory
Bardziej szczegółowoWykład 3. Ruch w obecno ś ci wię zów
Wykład 3 Ruch w obecno ś ci wię zów Wię zy Układ nieswobodnych punktów materialnych Układ punktów materialnych, których ruch podlega ograniczeniom wyraŝ onym przez pewne zadane warunki dodatkowe. Wię zy
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA
MECHANIKA. TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 2 (1964) WYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA WOJCIECH SZCZEPIKJSKI (WARSZAWA) Dla peł nego wyznaczenia na drodze doś
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoPOWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 18 (1980) POWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA (OPOLE) 1. Wstę p W pracy przedstawiono rozwią zanie
Bardziej szczegółowoMETODA OBLICZANIA AMPLITUD DRGAŃ WYMUSZONYCH BELEK SŁABO TŁUMIONYCH TARCIEM KONSTRUKCYJNYM. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 4, (986) METODA OBLICZANIA AMPLITUD DRGAŃ WYMUSZONYCH BELEK SŁABO TŁUMIONYCH TARCIEM KONSTRUKCYJNYM WIESŁAW OSTACHOWICZ DARIUSZ SZWEDOWICZ Politechnika Gdań ska. Wstę
Bardziej szczegółowoStateczność ramy. Wersja komputerowa
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel
Bardziej szczegółowoMODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 25, 1987 MODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI WOJCIECH BLAJER JAN PARCZEWSKI Wyż szaszkoł a Inż ynierskaw Radomiu Modelowano programowy
Bardziej szczegółowoANALIZA N IELIN IOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH BELEK WIELOPRZĘ SŁOWYCH
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 26 (1988) ANALIZA N IELIN IOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH BELEK WIELOPRZĘ SŁOWYCH ROMAN LEWANDOWSKI Politechnika Poznań ska W niniejszej pracy podano numeryczne rozwią zanie
Bardziej szczegółowoPŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 10 (1972) PŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI KAROL H. BOJDA (GLIWICE) W pracy wykorzystano wł asnoś ci operacji T a [1] do rozwią zania równania
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ EULEROWSKA PRĘ TÓW PRZEKŁADKOWYCH Z RDZEN IEM O ZMIENNEJ CHARAKTERYSTYCE. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/2, 20 (1982) STATECZNOŚĆ EULEROWSKA PRĘ TÓW PRZEKŁADKOWYCH Z RDZEN IEM O ZMIENNEJ CHARAKTERYSTYCE PIOTR A. WRZECIONIARZ (WROCŁAW) 1. Wstę p Pojawienie się tworzyw o
Bardziej szczegółowoOPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI WSPORNIKOWEJ, OBCIĄ Ż ONEJ SIŁAMI ZEWNĘ TRZNYMI I CIĘ Ż AREM WŁASNYM, W WARUNKACH PEŁZANIA*
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 16 (1978) OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI WSPORNIKOWEJ, OBCIĄ Ż ONEJ SIŁAMI ZEWNĘ TRZNYMI I CIĘ Ż AREM WŁASNYM, W WARUNKACH PEŁZANIA* MAŁGORZATA ALBIŃ SKA, ANTONI GAJEWSKI
Bardziej szczegółowoRuch w potencjale U(r)=-α/r. Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań. Wykład 7 i 8
Wykład 7 i 8 Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań Ruch w potencjale U(r)=-α/r RozwaŜ my ruch punktu materialnego w polu centralnym, o potencjale odwrotnie proporcjonalnym do odległo ś ci r od
Bardziej szczegółowoPIERŚ CIENI SZTYWNO PLASTYCZNYCH Z WIĘ ZAMI GEOMETRYCZNYMI. 1. Wprowadzenie
MECHANKA TEORETYCZNA STOSOWANA 1, 17 (1979) OPTYMALZACJA PERŚ CEN SZTYWNO PLASTYCZNYCH Z WĘ ZAM GEOMETRYCZNYM ANDRZEJ G A W Ę C K, ANDRZEJ GARSTECK (POZNAŃ) 1. Wprowadzenie Celem niniejszej pracy jest
Bardziej szczegółowoO PEWNYM UOGÓLNIENIU METODY ORTOGONALIZACYJNEJ. 1, Uwagi wstę pne
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 3 (1965) O PEWNYM UOGÓLNIENIU METODY ORTOGONALIZACYJNEJ SYLWESTER KALISKI (WARSZAWA) 1, Uwagi wstę pne W problemach teorii drgań zasadniczą rolę odgrywają metody przybliż
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 10 (1972) DYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E. JERZY
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI
Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODELU STEROWANIA SAMOLOTEM ZAPEWNIAJĄ CEGO Ś CISŁĄ REALIZACJĘ RUCHU PROGRAMOWEGO*
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 25, (1987) WYZNACZANIE MODELU STEROWANIA SAMOLOTEM ZAPEWNIAJĄ CEGO Ś CISŁĄ REALIZACJĘ RUCHU PROGRAMOWEGO* WOJCIECH BLAJER Wyż szaszkoł a Inż ynierska w Radomiu Praca
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ DYNAMICZNA Ś MIGŁOWCA Z WIRNIKIEM PRZEGUBOWYM
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/2, 24, (1986) WIESŁAW ŁUCJANEK JANUSZ NARKIEWICZ Politechnika Warszawska KRZYSZTOF SIBILSKI WAT STATECZNOŚĆ DYNAMICZNA Ś MIGŁOWCA Z WIRNIKIEM PRZEGUBOWYM W pracy został
Bardziej szczegółowoANALIZA KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA PĘ TLICOWEGO Z KRZYŻ OWYM PRZEPŁYWEM CZYNNIKÓW JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 13 (1975) ANALIZA KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA PĘ TLICOWEGO Z KRZYŻ OWYM PRZEPŁYWEM CZYNNIKÓW JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) 1. Wstę p Przy rozpatrywaniu dowolnego rekuperatora
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie umów o pracę
Ryszard Sadlik Rozwiązywanie umów o pracę instruktaż, wzory, przykłady Ośrodek Doradztwa i Doskonalenia Kadr Sp. z o.o. Gdańsk 2012 Wstęp...7 Rozdział I Wy po wie dze nie umo wy o pra cę za war tej na
Bardziej szczegółowoOPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE DYSKÓW WIRUJĄ CYCH Z ZASTOSOWANIEM ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA. GWIDON S ZEFr?R, LESZEK MIKUŁSKI (KRAKÓW) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 17 (1979) OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE DYSKÓW WIRUJĄ CYCH Z ZASTOSOWANIEM ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA GWIDON S ZEFr?R, LESZEK MIKUŁSKI (KRAKÓW) 1. Wstę p Zagadnienie kształ
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 4
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Bardziej szczegółowoOSZACOWANIE ROZWIĄ ZAŃ RÓWNAŃ KANONICZNYCH METODY SIŁ W PRZYPADKU PRZYBLIŻ ONEGO WYZNACZANIA LICZB WPŁYWOWYCH. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 9 (1971) OSZACOWANIE ROZWIĄ ZAŃ RÓWNAŃ KANONICZNYCH METODY SIŁ W PRZYPADKU PRZYBLIŻ ONEGO WYZNACZANIA LICZB WPŁYWOWYCH SZCZEPAN BORKOWSKI (GLIWICE) 1. Wstę p Zagadnienie
Bardziej szczegółowoWIESŁAW OSTACHOWICZ, JANISŁAW TARNOWSKI (GDAŃ SK)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 17 (1979) ANALIZA DRGAŃ WAŁÓW WIRUJĄ CYCH OBCIĄ Ż ONYCH SIŁAMI OSIOWYMI WIESŁAW OSTACHOWICZ, JANISŁAW TARNOWSKI (GDAŃ SK) 1. Wstę p Jednym z podstawowych zadań zwią
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowo5.1. Kratownice płaskie
.. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.
Bardziej szczegółowoEKSPERYMENTALNY SPOSÓB WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA RESTYTUCJI PRACUJĄ CEJ MASZYNY WIBROUDERZENIOWEJ MICHAŁ TALL (GDAŃ. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 6 (1968) EKSPERYMENTALNY SPOSÓB WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA RESTYTUCJI PRACUJĄ CEJ MASZYNY WIBROUDERZENIOWEJ MICHAŁ TALL (GDAŃ SK) 1. Wstę p Współ czynnik restytucji
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
Bardziej szczegółowoUKŁAD O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY JAKO DYNAMICZNY IZOLATOR" DRGAŃ BOGUSŁAW RADZISZEWSKI, ANDRZEJ RÓŻ YCKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA I, 6(1968) UKŁAD O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY JAKO DYNAMICZNY IZOLATOR" DRGAŃ BOGUSŁAW RADZISZEWSKI, ANDRZEJ RÓŻ YCKI (WARSZAWA) 1. Zagadnienie drgań układu o dwu stopniach
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowoStateczność ramy - wersja komputerowa
Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji. Wojciech Dindorf Elżbieta Krawczyk
Scenariusz lekcji Czy światło ma naturę falową Wojciech Dindorf Elżbieta Krawczyk? Doświadczenie Younga. Cele lekcji nasze oczekiwania: Chcemy, aby uczeń: postrzegał doś wiadczenie jako ostateczne rozstrzygnię
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe Plan zaję ć
Systemy liczbowe Systemy liczbowe addytywne (niepozycyjne) pozycyjne Konwersja konwersja na system dziesię tny (algorytm Hornera) konwersja z systemu dziesię tnego konwersje: dwójkowo-ósemkowa, ósemkowa,
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoSYNTEZA GROWEGO SYSTEMU NAPROWADZANIA SAMOLOTU NA SAMOLOT- CEL W PŁASZCZYŹ NIE PODŁUŻ NEJ METODĄ GIER ELEMENTARNYCH
MECHANIKA TEORETCZNA I STOSOWANA 1/2, 25, 1987 SYNTEZA GROWEGO SYSTEMU NAPROWADZANIA SAMOLOTU NA SAMOLOT- CEL W PŁASZCZYŹ NIE PODŁUŻ NEJ METODĄ GIER ELEMENTARNYCH JERZY GAŁAJ JERZY MARYNIAK Instytut Techniki
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoANALIZA STATECZNOŚ CI PRYZMATYCZNYCH ŁUKÓW O OSI ODKSZTAŁCALNEJ. 1. Aktualny stan zagadnienia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 20 (1982) ANALIZA STATECZNOŚ CI PRYZMATYCZNYCH ŁUKÓW O OSI ODKSZTAŁCALNEJ Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej JAN BŁACHTJT (KRAKÓW) 1. Aktualny stan zagadnienia
Bardziej szczegółowoSYSTEM PRZERWA Ń MCS 51
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY Zakład Cybernetyki i Elektroniki LABORATORIUM TECHNIKA MIKROPROCESOROWA SYSTEM PRZERWA Ń MCS 51 Opracował: mgr inŝ. Andrzej Biedka Uwolnienie
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1
L01 ---2014/10/17 ---10:52---page1---#1 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów
Bardziej szczegółowoSchemat ukł adu pokazano na rys. 1. Na masę m podwieszoną na sprę ż yni e o sztywnoś ci c działa siła okresowa P(t) = P o
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 10 (1972) STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO WŁODZIMIERZ GAWROŃ SKI (GDAŃ SK) Waż niejsze oznaczenia jakobian (wyznacznik funkcyjny) M x wartość ś rednia
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoOPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI TRÓJ WARSTWOWEJ W PROCESIE USTALONYCH, HARMON ICZN YCH DRGAŃ WYMUSZONYCH
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA /2, 20 (982) OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI TRÓJ WARSTWOWEJ W PROCESIE USTALONYCH, HARMON ICZN YCH DRGAŃ WYMUSZONYCH Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn Politechnika
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU ZABURZEŃ W PROBLEMACH STATECZNOŚ CI PŁYT PROSTOKĄ TNYCH O ZMIENNEJ GRUBOŚ CI. 1. Uwagi wstę pne
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, S (1967) ZASTOSOWANIE RACHUNKU ZABURZEŃ W PROBLEMACH STATECZNOŚ CI PŁYT PROSTOKĄ TNYCH O ZMIENNEJ GRUBOŚ CI ANTONI GAJEWSKI (KRAKÓW) 1. Uwagi wstę pne W pracy niniejszej
Bardziej szczegółowoANALIZA DOKŁADNOŚ CI PROWADZENIA WYPORNOŚ CIOWYCH OBIEKTÓW NAWODNYCH PO ZADANEJ TRAJEKTORII W RÓŻ NYCH WARUNKACH HYDROMETEOROLOGICZNYCH.
MECHANIKA TEORETYCZNA i STOSOWANA 4, TA, (1986). ANALIZA DOKŁADNOŚ CI PROWADZENIA WYPORNOŚ CIOWYCH OBIEKTÓW NAWODNYCH PO ZADANEJ TRAJEKTORII W RÓŻ NYCH WARUNKACH HYDROMETEOROLOGICZNYCH ZYGMUNT KITOWSKI
Bardziej szczegółowo1. A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. B. C. D. 4. A. B. C. D.
1. Z równi pochyłej startują dwa pełne, jednorodne walce. Jeden walec to pałeczka szklana uż ywana do elektrostatyki, drugi, to fragment kolumny greckiej o ś rednicy 0,5 m. Zakładając idealne warunki (brak
Bardziej szczegółowoMAREK Ś LIWOWSKI I KAROL TURSKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 12 (1974) WPŁYW CYKLICZNEJ PLASTYCZNEJ DEFORMACJI NA POWIERZCHNIĘ PLASTYCZNOŚ CI* MAREK Ś LIWOWSKI I KAROL TURSKI (WARSZAWA) W pracach eksperymentalnych, poś wię conych
Bardziej szczegółowoI B. EFEKT FOTOWOLTAICZNY. BATERIA SŁONECZNA
1 OPTOELEKTRONKA B. EFEKT FOTOWOLTACZNY. BATERA SŁONECZNA Cel ćwiczenia: 1.Zbadanie zależności otoprądu zwarcia i otonapięcia zwarcia od natężenia oświetlenia. 2. Wyznaczenie sprawności energetycznej baterii
Bardziej szczegółowoWPŁYW TARCIA W PRZEGUBACH NA PRZEBIEG WYBOCZENIA PRĘ TA Ś CISKANEGO. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 13 (1975) WPŁYW TARCIA W PRZEGUBACH NA PRZEBIEG WYBOCZENIA PRĘ TA Ś CISKANEGO ANDRZEJ TROJNACKI (KRAKÓW) 1. Wstę p Doś wiadczalne badania prę tów na wyboczenie przeprowadza
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
Bardziej szczegółowoSystem przenośnej tablicy interaktywnej CM2 MAX. Przewodnik użytkownika
System przenośnej tablicy interaktywnej CM2 MAX Przewodnik użytkownika Spis treści Wprowadzenie.1 Specyfikacje.2 Najważ niejszecechyproduktu.3 Montaż zestawuinstalacjaoprogramowania.4 InstalacjasterownikasystemowegotablicyinteraktywnejONfinity.6
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia
LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE RĘTÓW ŚCISKANYCH 8.1. Ce ćwiczenia Ceem ćwiczenia jest doświadczane wyznaczenie siły krytycznej pręta ściskanego podpartego przegubowo na obu
Bardziej szczegółowoSYMULACJA NUMERYCZNA STEROWANEGO SAMOLOTU W RUCHU SPIRALNYM. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 24 (1986) SYMULACJA NUMERYCZNA STEROWANEGO SAMOLOTU W RUCHU SPIRALNYM JERZY MARYNIAK ITLiMS Politechnika Warszawska JĘ DRZEJ TRAJER JMRiL Akademia Rolnicza Warszawa
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Bardziej szczegółowo8 2 [EJ\ 8 I 8v\ 8 2 v dv _
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3-4, 23 (19»5) DRGANIA GIĘ TNE, NIELINIOWE BELKI POD DZIAŁ ANIEM OBCIĄ ŻŃ E STOCHASTYCZNYCH POPRZECZNYCH I WZDŁ UŻ NYCH NGUYEN CAO MENH (HANOI) Instytut Mechaniki, 1.
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Stałoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa pojedynczej
Bardziej szczegółowoi- i.a... (i) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 23 (1985) ANALIZA DRGAŃ PARAMETRYCZNYCH UKŁADÓW CIĄ GŁYCH PODDANYCH STAŁEMU OBCIĄ Ż ENI U POPRZECZNEMU Z ZASTOSOWANIEM METODY ASYMPTOTYCZNEJ I METODY ELEMENTÓW SKOŃ
Bardziej szczegółowoI Pracownia fizyczna ćwiczenie nr 16 (elektrycznoś ć)
BADANIE PĘTLI HISTEREZY DIELEKTRYCZNEJ SIARCZANU TRÓJGLICYNY Zagadnienia: 1. Pole elektryczne wewnątrz dielektryków. 2. Własnoś ci ferroelektryków. 3. Układ Sowyera-Towera. Literatura: 1. Sz. Szczeniowski,
Bardziej szczegółowoANALIZA WYTRZYMAŁOŚ CIOWA PIONOWEJ PRZEPŁYWOWEJ WYTWORNICY PARY ELEKTROWNI JĄ DROWYCH MICHAŁ N I E Z G O D Z I Ń S K I, WACŁAW ZWOLIŃ SKI (ŁÓDŹ)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 19 ANALIZA WYTRZYMAŁOŚ CIOWA PIONOWEJ PRZEPŁYWOWEJ WYTWORNICY PARY ELEKTROWNI JĄ DROWYCH MICHAŁ N I E Z G O D Z I Ń S K I, WACŁAW ZWOLIŃ SKI (ŁÓDŹ) 1. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoP. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
4.5. Macierz mas Macierz mas elementu wyprowadzić można według (.4) wykorzystując wielomianowe funkcje kształtu (4. 4.). W tym przypadku wzór ten przyjmie postać: [ m~ ] 6 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ gdzie: m = [ N
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Siła skupiona Mechanika teoretyczna Wykłady nr 5 Obliczanie sił wewnętrznych w belkach przykłady 1 2 Moment skupiony Obciążenie ciągłe równomierne 3 4 Obciążenie ciągłe liniowo zmienne Obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ INTERPRETACJI METOD ENERGETYCZNYCH DLA PROBLEMÓW FILTRACJI USTALONEJ. 1. Sformułowanie problemu I zależ nośi c podstawowe
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 19 (1981) O PEWNEJ INTERPRETACJI METOD ENERGETYCZNYCH DLA PROBLEMÓW FILTRACJI USTALONEJ BOGDAN W O S I E W I C Z (POZNAŃ) 1. Sformułowanie problemu I zależ nośi c podstawowe
Bardziej szczegółowoć ć ż ć ź ż ż ź ź ŚĆ Ź ź ć Ź ź ź ź ź Ś Ą Ć Ć ć Ź ź
Ł Ł ć ć Ś Ź Ć Ś ć ć ż ć ź ż ż ź ź ŚĆ Ź ź ć Ź ź ź ź ź Ś Ą Ć Ć ć Ź ź Ś Ć Ć Ś ź Ć ż ż ź ż Ć ć ż Ć Ć ż ż ź Ć Ś Ś ż ż ć ż ż Ć ż Ć Ś Ś Ź Ć Ę ż Ś Ć ć ć ź ź Ś Ć Ś Ć Ł Ś Ź Ś ć ż Ś Ć ć Ś ż ÓŹ Ś Ś Ź Ś Ś Ć ż ż Ś ż
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia:
Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.bip.spzoz.krotoszyn.pl Krotoszyn: Dostawa i montaż sterylizatorów i myjek w ramach rozbudowy,
Bardziej szczegółowoPrzykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie
rzykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w undamencie Wyznaczyć wartość krytyczną siły obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku.
Bardziej szczegółowoSTABILNOŚĆ UKŁADU WIBRO- UDERZENIOWEGO O WYMUSZENIU KINEMATYCZNYM BOHDAN KOWALCZYK (GDAŃ
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 4(1965) STABILNOŚĆ UKŁADU WIBRO- UDERZENIOWEGO O WYMUSZENIU KINEMATYCZNYM BOHDAN KOWALCZYK (GDAŃ SK) W cią gu ostatnich lat coraz czę ś cie j stosowane są mechanizmy,
Bardziej szczegółowoPAKIET MathCad - Część III
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad
Bardziej szczegółowoć ć ć Ś ć Ż
Ę ć ć ć Ś ć Ż Ę Ś ŚĆ Ś ć ć ć Ś ć ć ć ć ć ć Ś Ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ś ć Ś Ż Ś Ę ć ć Ż ŚĆ ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ć ć ć ź ć Ż ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć Ć ć ć Ę ć ź ć ć ć ć ć ć ć Ę ź Ę ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć
Bardziej szczegółowo7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowoBadanie silnika asynchronicznego jednofazowego
Badanie silnika asynchronicznego jednofazowego Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie budowy i zasady funkcjonowania silnika jednofazowego. W ramach ćwiczenia badane są zmiany wartości prądu rozruchowego
Bardziej szczegółowoń Ę ń Ś Ą Ń ż Ą ż ż ż ż ż ć ć ż ż ż ż ż ń ź ż ż ż ć ż ć ż ż ż ż ż ń Ą ż ń ń ż ń Ń Ę ż ź ń ż ć ć ń ż ż ż ń ż ż ż ć ć ń Ń ń ż ż Ń ć Ę ń ć ć ż ż ż ż ń Ę ń ż Ź Ś ż ć ć ż Ś ż ż ć ń ń ż ć ć ż Óż ń ń ż ż ć ć
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowo7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
7. WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Zadanie 7.1 Dla belki jak na rysunku 7.1.1 ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy. Dane: q, a, M =. Rys.7.1.1 Rys.7.1. W zależności od rodzaju podpór
Bardziej szczegółowow którym a oznacza naprę ż eni e wystę pują ce w danym punkcie budowli, a k naprę ż eni e dopuszczalne.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 2 (1964) KATASTROFA BUDOWLANA JAKO PRZYPADEK UNORMOWANY WITOLD WIERZBICKI (WARSZAWA) Powierzchowny obserwator katastrofy budowlanej ocenia ją zwykłe jako nieszczę ś
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoProjekt MES. Wykonali: Lidia Orkowska Mateusz Wróbel Adam Wysocki WBMIZ, MIBM, IMe
Projekt MES Wykonali: Lidia Orkowska Mateusz Wróbel Adam Wysocki WBMIZ, MIBM, IMe 1. Ugięcie wieszaka pod wpływem przyłożonego obciążenia 1.1. Wstęp Analizie poddane zostało ugięcie wieszaka na ubrania
Bardziej szczegółowoĘ Ę Ę Ą ź Ę ń Ę ć ć ń ć ć ń Ą Ę ć ń źć ń ć ź ń ć ć Ę ć ć ć ć ń Ś ć ć Ć ć ć Ć ń ć ć Ć Ć Ś Ś ć Ś Ż ć ń ć Ć ń ć ń ć źć ć ć ć ń Ć ć Ć ń ń ń ń ń ń ć ź ć ń ć ć ć ć ć ć ń ź ń ć ń ź ć ć ć Ć ć ć ć ź ć Ć ć ć ć ć
Bardziej szczegółowoUNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI
UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, ARCHITEKTURY I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT BUDOWNICTWA Zakład Konstrukcji Budowlanych AUTOREFERAT PRACY DOKTORSKIEJ Przestrzenne kształtowanie prętów ściskanych
Bardziej szczegółowoZ1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu
Bardziej szczegółowoUCHWAŁA N r XX X/306 l 2ot3. Rady Miejskiej w Brzozowie. z dnia 25 kwietnia 2OI3 r. Rada Miejska w Brzozowie. uchwala, co nastę puje: Rozdział l
lą &i;a* Ą iłj:> K& \ru 8HZt} i# WIE UCHWAŁA N r XX X/306 l 2ot3 Rady Miejskiej w Brzozowie z dnia 25 kwietnia 2OI3 r. w sprawie nadania statutu Zespotowi Ekonomiczno - Administracyjnemu Szkót w Brzozowie
Bardziej szczegółowoP 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6
XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowo