Dylematy podwójnej metody najmniejszych kwadratów w mikromodelu ekonometrycznym

Transkrypt

1 Jerzy W. Wiśniewski* Dylematy podwójnej metody najmniejszych kwadratów w mikromodelu ekonometrycznym Wstęp Parametry ekonometrycznych układów równań współzależnych najczęściej szacowane są podwójną metodą najmniejszych kwadratów. Głównym obszarem danych statystycznych do budowy modeli o równaniach współzależnych są zmienne makroekonomiczne, o rocznym okresie obserwacji. W rezultacie dokładność dopasowania empirycznych równań formy zredukowanej jest wysoka, ze współczynnikiem R 2 przekraczającym najczęściej wielkość 0,95. Takiej dokładności opisu w tego typu równaniach dla mikrodanych, zwłaszcza o okresie obserwacji krótszym niż rok, nie daje się uzyskać. W konsekwencji stopień podobieństwa teoretycznych wartości zmiennych łącznie współzależnych z empirycznych równań formy zredukowanej do oryginałów bywa daleki od potrzeb modelowania ekonometrycznego. 1. Specyfika modeli opisujących procesy ekonomiczne przedsiębiorstwa Modelowanie procesów ekonomicznych zachodzących w przedsiębiorstwie przeprowadza się przede wszystkim dla szeregów statystycznych w postaci danych miesięcznych i kwartalnych, a niekiedy również o krótszych okresach obserwacji. Agregacja danych z przedsiębiorstw powoduje wygładzanie szeregów czasowych, ukrywanie wielu wahań, obserwowanych wcześniej w szeregach indywidualnych. Również tworzenie rocznych szeregów z danych o krótszych okresach obserwacji eliminuje wiele spośród wahań okresowych. Model ekonometryczny budowany w oparciu o dane roczne charakteryzuje się zazwyczaj mniejszymi wahaniami losowymi w porównaniu z analogiczną konstrukcją, wykorzystującą informacje kwartalne lub miesięczne. Ekonometryczne równania opisujące procesy zachodzące w przedsiębiorstwach w okresach miesięcznych lub kwartalnych charakteryzują się inną dokładnością opisu, w porównaniu do zmiennych makroekonomicznych o rocznym okresie obserwacji. Wyniki modelowania w przedsiębiorstwie uznaje się często za wystarczająco dokładne, gdy R 2 osiąga wartości z przedziału [0,6; 0,8]. Rzadko udaje się uzyskiwać wyniki empiryczne równań z wartością R 2 > 0,9, co można uznać za rezultat o wyjątkowo dobrym poziomie dopasowania do danych rzeczywistych. * Prof. dr hab., Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu, Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarządzania, Katedra Ekonometrii i Statystyki, Jerzy.Wisniewski@umk.pl.

2 524 Jerzy W. Wiśniewski 2. Pomiar płynności finansowej i efektywności windykacji wierzytelności w przedsiębiorstwie Poniżej zaprezentowany zostanie ekonometryczny układ równań współzależnych, opisujących powiązania pomiędzy płynnością finansową w małym przedsiębiorstwie i efektywnością windykacji jego wierzytelności. W związku z tym przedstawić trzeba miary płynności i skuteczności windykacji należności w małej firmie. Pierwszą możliwość pomiaru płynności zrealizować można przez porównanie wartości równoczesnych wpływów pieniężnych z wartością wykonanej produkcji gotowej 1. Jeśli pien t prod t (t = 1,..., n), to przedsiębiorstwo posiada niezbędne środki pieniężne na pokrycie zobowiązań w okresie t. Sytuacja, gdy pien t < prod t oznaczać może niedobór środków pieniężnych. Warto jednak zwrócić uwagę na to, że przedsiębiorca, który musi liczyć głównie na własną zapobiegliwość. Potrafi gromadzić środki pieniężne, pochodzące z okresów ich nadwyżek nad zobowiązaniami, wykorzystując je w czasie bieżącego niedoboru. W związku z tym lepszym rozwiązaniem analitycznym może być rozpatrywanie skumulowanej wartości środków pieniężnych w kolejnych okresach danego roku i porównywanie jej ze skumulowaną wartością produkcji gotowej. W rezultacie w niniejszej pracy wykorzystamy miernik płynności finansowej małej firmy jako różnicę pomiędzy skumulowanymi miesięcznymi wpływami pieniężnymi a kumulantą wartości produkcji gotowej 2, czyli plyn t = cum.pien t cum.prod t, (1) gdzie: cum.pien t = cum.pien t 1 + pien t, w roku t*, cum.prod t = cum.prod t 1 + prod t, w roku t*, (t* = 1,..., 11; t = 2,...,12) oraz cum.pien 1 = pien 1, cum.prod 1 = prod 1. Konstrukcja miernika efektywności windykacji wierzytelności wymaga znalezienia różnic pomiędzy wpływem kwot za sprzedane towary (pien t ) i wartością równoczesnych przychodów ze sprzedaży brutto (pbrut t ), jak też opóźnionych o 1 miesiąc (pbrut t 1 ) oraz o dwa miesiące (pbrut t 2 ). Konieczne jest więc rozpatrzenie następujących różnic 3 : 1 Por. w tej sprawie pracę: Sokołowska E., Wiśniewski J.W. (2008): Dynamiczny model ekonometryczny w ocenie płynności finansowej małego przedsiębiorstwa, w: Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych, IX, Modele ekonometryczne, Wydawnictwo SGGW, Warszawa, s Posługiwanie się wielkościami skumulowanymi wynika z założenia o odpowiedniej przezorności właściciela małego przedsiębiorstwa. Gromadzi on środki w okresach posiadania nadwyżek finansowych na czas zmniejszonych wpływów pieniężnych. Właściciel, który nie posiada umiejętności akumulowania, z reguły nie jest w stanie utrzymać firmy w warunkach silnej konkurencji na rynku. Symbolem t* oznaczono numer roku, natomiast przez t oznaczono numer miesiąca w roku t*. 3 Por. w tej sprawie pracę: Wiśniewski J. W. (2009): Ekonometryczne modelowanie skuteczności windykacji wierzytelności, Modelowanie i Prognozowanie Gospodarki Narodowej, Prace i Materiały Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego Nr 4/2, Sopot, s

3 Dylematy podwójnej metody najmniejszych kwadratów w wind0 t = pien t pbrut t, (2) wind1 t = pien t pbrut t 1, (3) wind2 t = pien t pbrut t 2. (4) W pełni skuteczna windykacja powinna przejawiać się bliskimi zera wartościami miernika wind0 t w każdym z okresów t (t = 1,..., n). Suma wartości miernika windt 0t w roku t* (t*= 1,..., n*)4 winna być bliska 0. Oznacza to, że na- t1 12 leżności za sprzedane towary i usługi przekształcone zostały w środki pieniężne. Nie można oczekiwać, żeby windt 0t była dodatnia. Jeśli natomiast 12 t1 t t1 windt 0 jest znacznie mniejsza od zera, oznacza to brak skutecznej windykacji wierzytelności w przedsiębiorstwie, zagrażający nawet jego bytowi. Miara efektywności windykacji wierzytelności (ewind t ) będzie średnią arytmetyczną ze szczegółowych miar skuteczności windykacji należności: ewind t = (wind0 t + wind1 t + wind2 t )/3. (5) Zmienna ewind t, mająca charakter średniej ruchomej, charakteryzować się będzie znacznie mniejszą dyspersją w porównaniu ze szczegółowymi miarami skuteczności windykacji. 3. Ekonometryczny model opisujący współzależność płynności finansowej i efektywności windykacji wierzytelności w przedsiębiorstwie Praktyka krótkookresowego zarządzania finansami małego przedsiębiorstwa wymusza równoczesne kontrolowanie jego płynności finansowej oraz skuteczności windykacji należności. Niski poziom płynności finansowej może być konsekwencją małej aktywności windykacyjnej. Poprawa efektywności windykacji wierzytelności skutkuje lepszą płynnością finansową firmy. Decyzje w tej kwestii podejmowane są w przedsiębiorstwie na bieżąco. W związku z tym zakładamy, że zmienne plyn t oraz ewind t tworzą sprzężenie zwrotne bezpośrednie, czyli: plyn t ewind t (6) Hipotetyczny układ dwóch równań współzależnych, ze zmiennymi endogenicznymi plyn t oraz ewind t, będzie identyfikowalny niejednoznacznie 5. Równanie opisujące płynność finansową zawiera wśród zmiennych objaśniających autoregresję do dwunastego rzędu włącznie oraz zmienną łącznie 4 Symbolem t* oznaczono numer roku, natomiast przez n* oznaczono liczbę rozważanych lat. 5 Parametry równań formy strukturalnej tego modelu należy oszacować podwójną metodą najmniejszych kwadratów (2MNK). Pod ocenami parametrów strukturalnych równań podawane będą wartości empirycznych statystyk t-studenta. Ponadto podawane będą wartości współczynnika determinacji (R 2 ), błąd standardowy reszt (Su) oraz wartość statystyki Durbina i Watsona (DW).

4 526 Jerzy W. Wiśniewski współzależną ewind t. Ponadto występują w nim następujące zmienne z góry ustalone: ewind t-1, ewind t-2,..., ewind t-12 opóźnione o 1, 2,..., 12 miesięcy wielkości miary efektywności windykacji; zmienne zerojedynkowe służące do wyodrębnienia miesięcznych wahań okresowych, przyjmujące wartość 1 dla miesiąca wyróżnionego oraz 0 w pozostałych okresach, przy czym: st wyróżnia styczeń, lu luty, mar marzec, kw kwiecień, mj maj, cze czerwiec, lp lipiec, się sierpień, wrz wrzesień, pa październik, ls listopad. Ponadto uwzględniono zmienną czasową t, w celu uwzględnienia ewentualnego trendu liniowego i kwadratowego. W równaniu opisującym efektywność windykacji wierzytelności w naturalny sposób pojawi się objaśniająca zmienna ewind t oraz opóźnione zmienne endogeniczne ewind t-1, ewind t-2,..., ewind t-12. Ponadto uwzględnione zostaną: autoregresja do dwunastego rzędu włącznie, zmienne zerojedynkowe, opisujące wahania miesięczne (st wyróżnia styczeń, lu luty, mar marzec, kw kwiecień, mj maj, cze czerwiec, lp lipiec, się sierpień, wrz wrzesień, pa październik, ls listopad) oraz zmienna czasowa t. Poza tym pojawi się zmienna reprezentująca aktywność działalności w sieci sprzedaży pnet t przychody ze sprzedaży netto (w tys. zł) wraz z jej opóźnieniami od 1 do 12 miesięcy (pnet t, pnet t-2,..., pnet t-12 ). Zmienna pnet t informuje o intensywności obsługi sieci sprzedaży, która łączy się zawsze z równoczesną windykacją wierzytelności. Parametry obu równań formy strukturalnej oszacowano za pomocą podwójnej metody najmniejszych kwadratów (2MNK). Warto przy tym zwrócić uwagę na to, że empiryczne równania formy zredukowanej charakteryzowały się typową dla tego typu danych dokładnością dopasowania. Współczynniki determinacji każdym z tych równań wyniosły odpowiednio: R 2 plz 0, 784 oraz R ez 2 0,731. Rysunki 1 i 2 przedstawiają rzeczywiste oraz teoretyczne wartości zmiennych plyn i ewind wraz z resztami uzyskanymi z równań empirycznych formy zredukowanej, dając pogląd na dokładność ich dopasowania. Empiryczne równanie formy strukturalnej, opisujące mechanizm płynności finansowej w małym przedsiębiorstwie, ma następującą postać: plyn 59,900 0,642ewind 0,936plyn 0,170plyn (2,094) 0,514ewind 0,307ewind 0,254plyn 0,384ewind 0,146plyn 38,531mj 22,512cze 31,364lp 39,782wrz 32,929pa u pl, (3,640) (5,733) 12 (2,108) (3,468) (4,130) 1 (3,028) (18,351) 1 (2,505) (3,208) (4,802) 4 (2,310) (2,399) R 2 pl 0,808, Su pl = 28,721, DW pl = 1, (1,998) ,036st (9,522) (7)

5 Dylematy podwójnej metody najmniejszych kwadratów w 527 Rysunek 1. Rzeczywiste i teoretyczne wartości zmiennej plyn oraz reszty z empirycznego równania formy zredukowanej ( R 2 plz 0, 784) Reszty Empiryczne Teoretyczne Źródło: obliczenia własne Rysunek 2. Rzeczywiste i teoretyczne wartości zmiennej ewind oraz reszty z empirycznego równania formy zredukowanej ( R 2 ez 0, 731) Źródło: obliczenia własne Reszty Empiryczne Teoretyczne Równanie (7) potwierdza logikę ekonomiczną, z której wynika, że ze wzrostem skuteczności windykacji wierzytelności zwiększa się równoczesna płynność finansowa firmy. Relatywnie wysoka jest dokładność opisu płynności finansowej przedsiębiorstwa, bowiem współczynnik R 2 pl 0, 808> 0,8.

6 528 Jerzy W. Wiśniewski Równocześnie oszacowano za pomocą 2MNK parametry równania opisującego efektywność windykacji wierzytelności. Jego postać empiryczna jest następująca: ewind 23,061 0,007plyn 0,283ewind (4,407) (3,896) 0,289pnet 2 (0,233) 0,324pnet (6,411) (2,637) (3,072) 10 0,084plyn (5,797) (3,132) (2,096) 0,206pnet (4,200) (3,757) 1 16,334st 37,174mar 11,356lp 23,588ls u e R 2 el 0,701, Su el = 14,827, DW e1 = 2,034. Dokładność dopasowania równania (8) jest wyraźnie gorsza w porównaniu z równaniem (7). Ponadto zmienna plyn okazuje się statystycznie nieistotna (statystyka t-studenta t plyn = 0,233). Powstaje więc konieczność redukcji zmiennych nieistotnych w kolejnych iteracjach. Prowadzi to ostatecznie do zastosowania klasycznej metody najmniejszych kwadratów. W jej wyniku empiryczne równanie opisujące efektywność windykacji wierzytelności przedsiębiorstwa jest następujące: ewind 22,593 0,279ewind 0,086plyn 0,202pnet 0,290pnet 0,321pnet (6,677) (4,104) 16,809st 37,209mar 12,126kw 11,228lp 23,367ls u (2,908) (3,112) 10 (5,870) (3,426) (2,131) (4,386) (2,106) 1 (3,808) (4,519) R 2 e2 0,705, Su e2 = 14,663, DW e2 = 2,039. Równania (7) i (9) tworzą więc układ rekurencyjny. Rozpadło się sprzężenie zwrotne (6). Pojawiło się tylko oddziaływanie jednokierunkowe plyn t ewind t. Dokładność dopasowania równania (9) jest wyraźnie niższa w porównaniu z równaniem (7). Wynika to z jednej strony z większej roli wahań losowych w procesie ewind. Z drugiej jednak strony uzyskany rezultat sprzeczny jest ze sformułowaną hipotezą o sprzężeniu zwrotnym (6). Praktyka prawidłowego zarządzania finansami małego przedsiębiorstwa wymusza istnienie tegoż sprzężenia zwrotnego w okresie miesięcznym; jego brak oznacza bowiem wadliwe zarządzanie przepływami pieniężnymi. Powstaje w związku z tym pytanie: czy brak tego sprzężenia zwrotnego wynika z błędów w zarządzaniu finansami, czy też jest rezultatem wadliwej procedury badawczej? Przeprowadzimy w dalszej części niniejszej pracy eksperyment, w którym pojawi się założenie o pozornej nieistotności zmiennej plyn w równaniu empirycznym (8). Owa statystyczna nieistotność może być rezultatem pogorszenia efektywności estymatora 2MNK wskutek zbyt małej dokładności opisu zmiennej plyn w równaniu formy zredukowanej. Wszak teoretyczne wartości zmiennej plyn w tymże równaniu formy zredukowanej różnią się o 22,6% od rzeczywistych wartości płynności finansowej przedsiębiorstwa. Mogła to być w tym szczególnym przypadku nadmierna różnica pomiędzy oryginałem i swoistą kopią. 4. Możliwości rozwiązań estymacyjnych Załóżmy, że zarządzanie płynnością i windykacją przedsiębiorstwa było poprawne. Czy zmiana procedury estymacyjnej ujawni sprzężenie zwrotne po- e2 2, 1 (8) (9)

7 Dylematy podwójnej metody najmniejszych kwadratów w 529 między płynnością finansową i efektywnością windykacji wierzytelności? Zastosujemy klasyczną metodę najmniejszych kwadratów do oszacowania parametrów równania opisującego zmienną ewind, ryzykując brak zgodności tegoż estymatora. Empiryczne równanie opisujące mechanizm zmienności zmiennej ewind jest następujące: ewind 15,232 0,202plyn 0,179ewind 10 0,210plyn1 0,189pnet1 (3,297) (5,704) (3,250) (6,094) (4,475) (10) 0,267 pnet 0,250pnet 37,575st 25,874mar 24,720ls u, (4,636) 2 (6,244) (6,411) (4,499) (4,531) R 2 e3 0,753, Su e3 = 13,409, DW e3 = 1,944. Wśród zmiennych objaśniających pojawiła się zmienna plyn, zamykająca sprzężenie zwrotne (6). W równaniu (10) okazała się ona silną zmienną objaśniającą, potwierdzając rezultaty praktyki zarządzania finansami małego przedsiębiorstwa. Równanie to ma wyraźnie lepsze charakterystyki poziomu dopasowania do danych rzeczywistych ( R 2 e3 0,753, Su e3 = 13,409, DW e3 = 1,944) na tle równań (8) i (9). Układ równań współzależnych (7) i (10) spełnia oczekiwania decydenta, zarządzającego finansami firmy. Równanie (10) pozwala na szacowanie zdecydowanie bardziej precyzyjnych prognoz, niż równania (8) i (9). Rozstrzygnięcia wymaga też, czy ważniejsze w modelowaniu ekonometrycznym w obszarze mikromodeli jest uzyskanie zgodnego estymatora 2MNK, czy też dbałość o efektywność, którą gwarantuje KMNK 6. W praktycznym działaniu małego przedsiębiorstwa, przy podejmowaniu decyzji krótkookresowych, niskie wariancje ocen parametrów są ważniejsze, niż asymptotyczne własności oszacowań. Zakończenie Rozbieżności w wartościach teoretycznych zmiennych łącznie współzależnych, uzyskiwanych z empirycznych równań formy zredukowanej, w porównaniu z ich wartościami rzeczywistymi, mogą powodować obniżenie efektywności szacunków parametrów równań formy strukturalnej, w wyniku zastosowania podwójnej metody najmniejszych kwadratów. Konsekwencją tego może być rozbicie sprzężenia zwrotnego, prowadzące do układu równań rekurencyjnych, a niekiedy do modelu prostego. Warto znaleźć odpowiedź na pytanie o to, dlaczego w części przypadków ma to miejsce, w innych z kolei sytuacjach owa słabość empirycznych równań formy zredukowanej nie ma to żadnego znaczenia. e3 6 A. S. Goldberger (1972) w pracy Teoria ekonometrii, PWE Warszawa, pisze: (...) pomimo niezgodności, estymatory uzyskane klasyczną metodą najmniejszych kwadratów zachowują własność minimalnej wariancji. (s. 454). Dalej autor ten pisze: Powyższa analiza sugeruje, że dla małych prób drugie momenty (względem prawdziwej wartości parametru) estymatorów uzyskanych klasyczną metodą najmniejszych kwadratów mogą być mniejsze niż odpowiednie momenty estymatorów uzyskanych 2MNK, a wariancje estymatorów uzyskanych metodą klasyczną mogą być wystarczająco małe, by skompensować obciążenie tych estymatorów. (s ).

8 530 Jerzy W. Wiśniewski Wydaje się, że źródeł tego zjawiska poszukiwać należy w rozmaitości konfiguracji zmiennych objaśniających równań formy strukturalnej, zwłaszcza wynikające z tego wszelkie efekty współzależności stochastycznej. Ponadto znaczącą rolę odgrywać mogą wzajemne powiązania zmiennych łącznie współzależnych, pozostających w sprzężeniach zwrotnych, w obszarze tzw. zależności biało szumowych. Literatura 1. Goldberger A.S. (1972): Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa 2. Sokołowska E., Wiśniewski J.W. (2008): Dynamiczny model ekonometryczny w ocenie płynności finansowej małego przedsiębiorstwa, w: Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych, IX, Modele ekonometryczne, Wydawnictwo SGGW, Warszawa, s Wiśniewski J. W. (2009): Mikroekonometria, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Toruń 4. Wiśniewski J. W. (2009): Ekonometryczne modelowanie skuteczności windykacji wierzytelności, Modelowanie i Prognozowanie Gospodarki Narodowej, Prace i Materiały Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego Nr 4/2, Sopot, s Streszczenie Rozważmy układ równań współzależnych, opisany mikromodelem ekonometrycznym. Zgodnie z klasycznymi wymogami estymacyjnymi jego parametry winny być szacowane za pomocą podwójnej metody najmniejszych kwadratów (2MNK). Pojawia się jednak trudność, gdy przedmiotem rozważań jest mikromodel ekonometryczny, dla którego zgromadzono informacje w postaci szeregów czasowych o okresie obserwacji krótszym, niż rok. Wówczas dokładność opisu empirycznych równań jego formy zredukowanej bywa ograniczona. Współczynnik R 2 osiąga często wartość poniżej 0,8. Konsekwencją tego bywa znaczące pogorszenie efektywności szacunków parametrów równań formy strukturalnej. Konieczne jest więc rozstrzygnięcie zasadności stosowania w takim przypadku estymatora 2MNK. Dilemmas of the two stages least square methods in econometric micromodel (Summary) Consider an interdependent system of equations, described by the econometric micromodel. According to the classical estimation requirements - its parameters should be estimated using the two stages least square methods (2LS). However, there is a difficulty when considering an econometric micromodel for which the collected information in the form of time series of the observation period is shorter than a year. Then the empirical equations describing the accuracy of its reduced form are sometimes limited. Often, the R 2 coefficient reaches a value below 0.8. The consequence of this is sometimes a significant deterioration in the efficiency estimates, such as structural parameters of equations of the form. It is therefore necessary to decide the merits of the estimator 2LS.