Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni Drogi Czytelniku W tej książce pragnę nauczyć Cię matematyki. W prosty i przyjazny sposób wytłumaczę Ci teorię i przećwiczymy ją na zadaniach omawiając krok po kroku kolejne etapy ich rozwiązywania. Zapraszam Cię na wspólną wędrówkę i mocno trzymam kciuki za Twoje powodzenie. Renata Bednarz
Projekt autorski. Treść, opracowanie merytoryczne i graficzne, skład i przygotowanie książki do druku Renata Bednarz Fotografie na okładce z prywatnego albumu autorki: 1. Mt Everest, widok na szczyt podczas trekkingu w Himalajach. 2. Z grupą indyjskich uczniów. Dziękuję moim przyjaciołom za dobre słowo i wsparcie podczas pisania tej książki. Szczególne podziękowanie kieruję do Bartosza Dereszowskiego za techniczną współpracę i jego zaangażowanie. Copyright by Renata Bednarz Wszelkie prawa zastrzeżone. Zamawianie książki drogą internetową: e-mail: renabed@poczta.fm www.zielonagalazka.pl Druk i oprawa: Drukarnia Kolumb. Wydanie I rok 2010 ISBN 978-83-931016-1-0
Dlaczego powstała ta książka. Napisałam ją, aby służyła Ci jako matematyczny przewodnik i była Twoim przyjacielem od początku do końca; od nauki tabliczki mnożenia aż do całki. Pragnę, aby ta książka prowadziła Cię do ciekawości i satysfakcji kiedy uda Ci się opanować przerabiany materiał, aby kształtowała Twoją wyobraźnię i logiczne myślenie. To wydanie kieruję do uczniów, którzy: - Przygotowują się do bieżących lekcji i do matury, - Chcą mieć całą matematykę w jednym tomie, - Lubią wędrować po pasjonujących matematycznych ścieżkach. Tematy opracowałam według wymagań programowych w szkole. Książka jest prosta w użyciu, wydana na matowym papierze, aby nie męczyła oczu i tak sklejona, że można ją bez obaw przełamywać w dowolnym miejscu. Jeśli będziesz mieć jakieś uwagi, spostrzeżenia czy opinie, ucieszę się, kiedy do mnie napiszesz. Pozdrawiam Cię serdecznie Renata Bednarz
SPIS TREŚCI 1. Witaj w świecie liczb rzeczywistych... 14 2. Poznajemy nazwy zbiorów liczb... 15 Cyfry arabskie i rzymskie... 17 Liczby pierwsze i złożone... 18 Wielkie liczby notacja wykładnicza... 18 Najmniejsza wspólna wielokrotność - NWW... 20 Największy wspólny dzielnik - NWD... 21 Cechy podzielności... 22 3. Zamieniamy jednostki długości... 24 Zamieniamy jednostki powierzchni... 27 Zamieniamy jednostki objętości... 28 Zamieniamy jednostki miary gruntu... 29 Zamieniamy jednostki masy... 31 Zamieniamy jednostki czasu... 32 4. Skala... 33 5. Liczby całkowite... 37 Dodawanie i odejmowanie... 37 Mnożenie i dzielenie... 39 6. Ułamki zwykłe... 41 Miejsce ułamka na osi... 41 Dodawanie... 42 Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika... 42 Odejmowanie... 43 Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy... 44 Mnożenie... 45 Dzielenie... 45 Potęgowanie... 45 Skracanie ułamków... 46 Rozszerzanie ułamków... 47 Porównywanie ułamków... 47 7. Ułamki dziesiętne... 49 Dodawanie i odejmowanie... 49 Mnożenie... 49 Dzielenie... 50 Potęgowanie... 52
8. Przybliżenia dziesiętne... 53 9. Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny... 55 10. Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły... 57 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych... 57 11. Porządkowanie liczb wymiernych... 59 12. Liczby niewymierne... 60 Ułamek okresowy jaka to liczba?... 61 13. Kolejność wykonywania działań... 63 Zastosowanie kolejności w zadaniach... 64 14. Procenty... 66 Zamiana ułamka zwykłego na procent... 66 Zamiana procentu na ułamek zwykły lub dziesiętny... 66 Obliczanie procentu z danej liczby... 67 Obliczanie liczby mając dany jej procent... 67 Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba?... 67 Obliczanie odsetek od lokaty... 68 Kapitalizacja odestek podczas roku kalendarzowego... 69 Obniżka i podwyżka procentowa... 70 15. Wyrażenia algebraiczne witamy literki... 72 Najważniejsze nazwy wyrażeń algebraicznych... 72 Działania na wyrażeniach algebraicznych... 75 Dodawanie i odejmowanie... 75 Mnożenie... 76 Dzielenie... 77 Potęgowanie... 77 Wzory skróconego mnożenia... 79 Doprowadzanie wyrażeń do najprostszej postaci... 81 16. Jak rozwiązywać równania... 82 Proporcja w równaniu... 88 Proporcja w zadaniu tekstowym... 89 17. Wykres proporcjonalności prostej... 91 18. Proporcjonalność odwrotna... 92 Przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych... 92 Wykres proporcjonalności odwrotnej... 93 19. Przekształcanie wzorów... 94
20. Zadania tekstowe z jedną niewiadomą... 95 Zadania różne... 96 Zadania o wieku... 98 Z miasta A i B wyjeżdżają dwaj motocykliści... 99 Roztwory procentowe... 99 21. Przedziały domknięte i otwarte...102 Przedziały z nieskończonością w nawiasie...103 22. Nierówności z jedną niewiadomą...104 Co oznacza zwrot w nierówności...104 Zmiana zwrotu w nierówności...106 Rozwiązujemy nierówności...106 23. Pierwiastek kwadratowy...108 Pomocnicza tabelka pierwiastków i kwadratów liczb...108 Obliczanie pierwiastków kwadratowych...109 Działania na pierwiastkach...110 Dodawanie i odejmowanie pierwiastków...110 Mnożenie sum i różnic, które zawierają pierwiastki...111 Skracanie pierwiastków...111 Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka...112 Włączanie liczby pod znak pierwiastka...113 Uwalnianie mianownika od pierwiastka...113 24. Pierwiastek sześcienny...116 Tabelka pierwiastków i sześcianów liczb...116 Wyłączanie czynnika przed pierwiastek sześcienny...117 Włączanie czynnika pod znak pierwiastka...118 Uwymiernianie mianownika z pierwiastkiem sześciennym...119 25. Działania na zbiorach A, B...120 Suma, iloczyn i obie różnice...121 Dopełnienie zbioru...121 Działania na przedziałach...122 26. Logika...125 Alternatywa...125 Koniunkcja...125 Implikacja...126 Równoważność...126 Logiczne tabelki...127
27. Układ współrzędnych... 129 Symetrie w układzie współrzędnych... 129 28. Funkcja definicja... 130 Sposoby prezentowania funkcji... 131 Zestaw własności każdej funkcji... 132 Dziedzina funkcji... 133 Miejsce zerowe funkcji... 135 Monotoniczność funkcji... 136 Parzystość i nieparzystość funkcji... 137 29. Wartość bezwzględna... 138 Wykres wartości bezwzględnej... 139 Wykres wartości bezwzględnej przesunięty o wektor... 139 Równania i nierówności z wartością bezwzględną... 140 Równanie z dwoma wartościami bezwzględnymi... 142 Nierówność z dwoma wartościami bezwzględnymi... 143 30. Funkcja liniowa... 145 Analiza własności funkcji liniowej... 145 Warunek równoległości i prostopadłości prostych... 148 Parametr w funkcji liniowej... 148 Postać kierunkowa i ogólna prostej... 151 Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty... 152 Tangens kąta nachylenia prostej do osi x... 154 31. Układ równań z dwiema niewiadomymi... 156 Metody rozwiązywania układów równań... 157 Porządkowanie układu równań... 160 Przykład układu nieoznaczonego... 162 Przykład układu sprzecznego... 162 Układ równań z trzema niewiadomymi... 163 Zadania tekstowe na układ równań... 165 Układ nierówności liniowych... 170 32. Wzór funkcji w symetrii i translacji... 172 Symetria względem osi x... 172 Symetria względem osi y... 173 Symetria względem punktu (0,0)... 174 Translacja, czyli przesunięcie wykresu o wektor... 175 33. Funkcja kwadratowa... 179 Elementarne parabole... 180 Własności funkcji kwadratowej... 181
Wpływ delty i współczynnika a na wykres paraboli...187 Postać kanoniczna funkcji kwadratowej...188 Postać iloczynowa funkcji kwadratowej...190 Wzory Viete a, czyli minus baca...192 Równania kwadratowe...195 Równania kwadratowe zupełne...195 Równanie kwadratowe niezupełne...197 Równania kwadratowe iloczynowe...199 Równania dwukwadratowe...201 Nierówności kwadratowe...203 Nierówności kwadratowe zupełne...203 Nierówności kwadratowe niezupełne...205 Zadania tekstowe z funkcją kwadratową...209 Parametr w funkcji kwadratowej...212 Założenia do równań z parametrem...212 Założenia do nierówności z parametrem...215 34. Wielomiany...217 Dodawanie...218 Odejmowanie...218 Mnożenie...219 Dzielenie...219 Równość wielomianów...223 Rozkład wielomianu na czynniki...224 Metody rozkładania wielomianu na czynniki...225 Twierdzenie Bezout a...229 Równania wielomianowe...233 Równania rozłożone na czynniki...233 Równania wielomianowe nierozłożone na czynniki...235 Nierówności wielomianowe...238 Wykres fali potrzebny do nierówności...238 Nierówności rozłożone na czynniki...240 Nierówności nierozłożone na czynniki...242 Parametr w wielomianie...246 35. Funkcja wymierna...248 Własności funkcji...248 Postać kanoniczna funkcji wymiernej...251 Zamiana funkcji homograficznej na postać kanoniczną...255 Działania na wyrażeniach wymiernych...257
Skracanie wyrażeń wymiernych... 258 Mnożenie i dzielenie... 259 Dodawanie i odejmowanie... 261 Równania wymierne... 263 Różnica między równaniem a nierównością... 266 Rozwiązujemy nierówności wymierne... 267 36. Funkcja potęgowa... 272 Miliardy wykresów funkcji... 272 Twierdzenia o potęgach... 274 Pomocny zestaw potęg... 276 37. Funkcja wykładnicza... 280 Własności funkcji... 280 Przekształcenia funkcji... 283 Przesunięcie wykresu o wektor... 283 Miejsce zerowe... 284 Równania i nierówności wykładnicze... 286 38. Funkcja logarytmiczna... 289 Obliczanie logarytmu z liczby... 289 Dziedzina logarytmu... 293 Twierdzenia o logarytmach... 294 Równania logarytmiczne... 295 Nierówności logarytmiczne... 298 Wykres funkcji logarytmicznej... 300 Własności funkcji logarytmicznej... 301 Przekształcenia wykresów logarytmicznych... 302 39. Geometria podstawowe pojęcia... 304 Wzór na liczbę przekątnych w wielokącie... 306 Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym... 306 Przekształcenia na płaszczyźnie symetrie i inne... 309 Symetria osiowa... 309 Symetria środkowa względem punktu... 309 Translacja, czyli przesunięcie o wektor... 310 Obrót figury o kąt... 310 Jednokładność... 311 40. Planimetria pola i obwody figur... 312 Jak zapisać równanie w planimetrii... 315 Twierdzenie Pitagorasa... 316 Obliczanie pól i obwodów z zastosowaniem tw. Pitagorasa... 318
Zadania związane z trójkątem równobocznym...320 Twierdzenie Talesa...323 Podział odcinka na nieparzystą ilość równych części...324 Podział odcinka w danym stosunku...325 Podział liczby w danym stosunku...326 Figury podobne...327 Podobieństwo figur w zadaniach tekstowych...328 41. Funkcje trygonometryczne...330 Definicje sin, cos, tg, ctg...330 Funkcje trygonometryczne na układzie współrzędnych...332 Funkcje dla kątów:...333 Zamiana stopni na radiany...333 Zamiana radianów na stopnie...334 Tabelka wartości funkcji dla...335 Kiedy funkcje, a kiedy twierdzenie Pitagorasa?...335 Obliczanie trzech funkcji mając daną jedną z nich...339 Tożsamości trygonometryczne...340 Redukowanie wielkiego kąta do miary kąta ostrego...342 Wzory redukcyjne dla itp...344 Konstrukcja kąta w oparciu o dany sin, cos, tg lub ctg...345 Twierdzenie cosinusów i sinusów w trójkącie...348 Równania trygonometryczne...352 Tabelka dla kątów: 0 30 45 60, 90 180 270,360...353 Nierówność trygonometryczna...358 42. Ciągi liczbowe...360 Wzór ciągu i jego zastosowanie...360 Pytania dotyczące wzoru ogólnego...361 Wzór rekurencyjny...362 Wykres ciągu...363 Monotoniczność ciągu...364 Ciąg arytmetyczny...367 Ciąg geometryczny...373 Połączony ciąg arytmetyczny z geometrycznym...376 Szereg geometryczny...380 Zastosowanie szeregu w ułamku okresowym...382 Indukcja matematyczna...383
43. Statystyka... 384 Średnia arytmetyczna... 384 Mediana... 384 Dominanta... 384 Średnia ważona... 385 Wariancja... 385 Odchylenie standardowe... 385 44. Geometria analityczna... 387 Wzór na długość odcinka, czyli odległość dwóch punktów... 387 Wzór na środek odcinka AB... 387 Wektory... 387 Prostopadłość i równoległość wektorów... 390 Iloczyn skalarny wektorów... 391 Równanie prostej... 393 Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty... 395 Prosta równoległa... 395 Prosta prostopadła... 395 Parabola, hiperbola... 395 Równanie okręgu... 396 Wzajemne położenie dwóch okręgów... 399 Odległość punktu od prostej... 400 Pole trójkąta... 401 Zadania analityczne z zastosowaniem kilku wzorów... 402 45. Stereometria co należy powtórzyć... 408 46. Graniastosłupy... 410 Graniastosłup prawidłowy trójkątny... 410 Graniastosłup prawidłowy czworokątny... 411 Graniastosłup prawidłowy sześciokątny... 411 Prostopadłościan... 412 Sześcian... 412 Obliczanie objętości i powierzchni graniastosłupów... 413 47. Ostrosłupy... 421 Ostrosłup prawidłowy trójkątny... 421 Czworościan foremny... 422 Ostrosłup prawidłowy czworokątny... 423 Ostrosłup czworokątny o podstawie prostokąta... 424 Ostrosłup prawidłowy sześciokątny... 425 Kąty w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym... 426
Kąty w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym...427 Obliczanie objętości i powierzchni ostrosłupów...428 48. Bryły obrotowe...436 Walec...436 Stożek...437 Kula...438 Obliczanie objętości i powierzchni walca...439 Obliczanie objętości i powierzchni stożka...443 Jak omijać sin, cos, tg mając kąt i bok...446 Kula w zadaniach...448 49. Kombinatoryka...451 Reguła mnożenia...452 Permutacja...457 Skracanie ułamków, w których występuje silnia...457 Zastosowanie permutacji...459 Wariacja z powtórzeniami...460 Wyniki rzutów kostką lub monetą...461 Zadania na wariację z powtórzeniami...462 Wariacja bez powtórzeń...464 Zadania na wariację bez powtórzeń...464 Kombinacja - symbol Newtona...467 Zadania na kombinację...468 Szybkie obliczanie kombinacji bez wzoru...470 Karciane kombinacje...471 Kłopotliwe co najmniej i co najwyżej...473 Kombinatoryka podsumowanie wiadomości...475 50. Rachunek prawdopodobieństwa...477 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa...478 Obliczanie prawdopodobieństwa z wariacji i reguły mnożenia...479 Obliczanie prawdopodobieństwa z kombinacji...485 Metoda drzewka...489 Wzór na prawdopodobieństwo sumy i iloczynu...494 Prawdopodobieństwo warunkowe...496 Niezależność zdarzeń...499 Prawdopodobieństwo całkowite...501 Schemat Bernoulliego...505
51. Granice funkcji... 509 Granica na krańcach nieskończoności... 509 Granica w punkcie... 511 Granica lewostronna i prawostronna... 513 52. Pochodna funkcji... 515 Obliczanie pochodnej z wzorów... 515 Pochodne z funkcji trygonometrycznych... 516 Pochodne z pierwiastków... 516 Pochodna z iloczynu dwóch funkcji... 516 Pochodna z ilorazu dwóch funkcji... 517 Obliczanie pochodnej z definicji... 518 Pochodna a monotoniczność funkcji... 520 Ekstremum funkcji... 523 Styczna do krzywej... 524 Pochodna w zadaniu optymalizacyjnym... 525 53. Badanie przebiegu zmienności funkcji... 528 Przebieg funkcji wielomianowej... 528 Przebieg funkcji wymiernej... 532 54. Asymptoty... 536 Asymptota pionowa... 536 Asymptota pozioma... 538 Asymptota ukośna... 539 55. Całka z funkcji... 540 Obliczanie całki z wzorów... 540 Całkowanie przez części... 543
14 1. WITAJ W ŚWIECIE LICZB RZECZYWISTYCH Na początku matematycznej drogi poznajesz dodatnie całości. Jeszcze nie znasz ich fachowej nazwy, ale już dodajesz je, odejmujesz, itd. Powita Cię także tabliczka mnożenia. Jeśli masz z nią kłopoty, to narysuj sobie tabelkę, która jest poniżej. Potem przepisz ją 8-10 razy. Pozornie wyda Ci się to bez sensu, jednak Twój umysł będzie kodował liczby i ćwiczył pamięć, a o to w nauce chodzi. Zauważ, że w mnożeniu przez 2 liczby maszerują dwójkami: 2, 4, 6, W wierszu 3 maszerują trójkami: 3, 6, 9, 12, 15, 18, W wierszu 6 maszerują szóstkami: 6, 12, 18, 24, 30, 36, W wierszu 7 maszerują siódemkami: 7, 14, 21, 28, 35, 42, Taki logiczny układ jest w całej tabelce: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Zauważ, że w wierszu 9 są liczby: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Przy 1 stoi 8, bo 1+8 = 9; przy 2 jest 7, bo 2+7 = 9. Zawsze razem 9. Tylko na 9 tak jest. W wolnym czasie choćby na palcach możesz dodawać czwórki, szóstki, siódemki czy ósemki i oswajać się z tabelkowymi liczbami. Naucz się dobrze tabliczki mnożenia, wtedy zadania rozwiążesz o wiele szybciej i będziesz mieć więcej czasu na swoje pasje i zainteresowania.
15 2. POZNAJEMY NAZWY ZBIORÓW LICZB Na początku poznajesz dodatnie całości. To zbiór liczb naturalnych. Do nich należy również zero. N naturalne Naturalne oznaczamy 0 1 2 7 23 33 47 Potem dowiadujesz się o liczbach ujemnych. Odczytujesz je np. z termometru: Ujemne całości to liczby całkowite. To zbiór, do którego należą także dodatnie całości, czyli liczby naturalne. C całkowite -1-4 -9 N naturalne 0 1 2 3 Liczby naturalne zawierają się w zbiorze liczb całkowitych Zapisujemy to Liczby całkowite to las, w którym znajduje się polana naturalnych. Przyszedł czas na ułamki. Są to liczby wymierne: ; 3 ; 12,97. 1,4 W wymierne C całkowite -1-4 -9 N naturalne 0 1 5 23 Wymierne to wyspa W, na której znajduje się las a w nim jest polana. zawiera się w zawiera się w zawiera się w Oprócz liczb wymiernych są jeszcze liczby niewymierne. Na kalkulatorze ciągną się one w nieskończoność, np. 4,7138492 niewymierne
16 Liczby niewymierne nie mają nic wspólnego z wymiernymi, to zupełnie inna bajka. Jednakże niewymierne i wymierne tworzą cały świat liczb rzeczywistych. ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH W 1,72 R C N 0 1 7 Nw W O 5 powiesz, że to liczba naturalna, całkowita, wymierna, rzeczywista. O liczbie 3,758 powiesz, że jest wymierna i rzeczywista. O liczbie powiesz: naturalna, całkowita, wymierna, rzeczywista. O liczbie powiesz, że jest niewymierna i rzeczywista. Gdy wpiszesz ją do kalkulatora, to okaże się, że jej rozwinięcie jest nieskończone: Taki zapis przeczytasz: 5 - liczba 5 należy do liczb naturalnych. - ułamek 0,3 nie należy do liczb naturalnych. Znak należy lub nie należy wstawiasz między liczbą i zbiorem.