Analiza danych z użyciem programu Gretl
Gretl Gretl to pakiet ekonometryczny stworzony przez Allina Cottrella z Uniwersytetu Wake Forest w Pó lnocnej Karolinie w Stanach Zjednoczonych Od roku 2000 pakiet jest systematycznie rozwijany Gretl jest programem o swobodnym dostȩpie dla wszystkich użytkowników Nazwa Gretl pochodzi od Gnu Regression, Econometrics and Time-series Library Program i podrȩcznik dostȩpne s a na stronie: http://gretl.sourceforge.net/
Charakterystyka programu W programie Gretl dostȩpne s a nastȩpuj ace estymatory: KMNK, ważonej metody najmniejszych kwadratów, nieliniowej metody najmniejszych kwadratów, metody zmiennych instrumentalnych, a także estymatory metody najwiȩkszej wiarygodności do szacowania parametrów modeli takich jak: probitowy, logitowy, tobitowy, ARIMA lub GARCH Do tworzenia wykresów Gretl wykorzystuje odrȩbny program gnuplot Istnieje możliwość zapisania wyników przeprowadzanej analizy w LaTeX-u
Pos lugiwanie siȩ programem W programie korzystać można z rozwijalnych menu lub samodzielnie wpisywać komendy Spis i informacje o dostȩpnych komendach i funkcjach znaleźć można w Gretl Command Reference i Function Reference (w menu Help) Aby wpisać komendȩ należy otworzyć Tools>Gretl console (lub klikn ać w odpowiedni przycisk z dolnego paska narzȩdzi) Jeśli komend jest wiȩcej można utworzyć z nich program (skrypt) Aby utworzyć skrypt wybrać należy: File>Script files>new script
Pos lugiwanie siȩ programem cd. Każda nowa komenda powinna znajdować siȩ w nowym wierszu Jeśli pojedyncza komenda nie mieści siȩ w linii należy użyć znaku kontynuacji \ Uruchomienie skryptu wykonuje siȩ za pomoc a przycisku Run Skrypt można zapisać i wykonywać ponownie później Programuj ac należy pamiȩtać, iż w programie rozróżniane s a duże i ma le litery, tzn. x oznacza coś innego, niż X
Operacje na danych Gretl umożliwia import danych zapisanych w wielu formatach, takich jak: ASCII, CSV, xls, a także formatach programów Eviews, Stata, SPSS, SAS, czy JMulti Podobnie, dane można eksportować do innego formatu Dane, które wykorzystywane bȩd a na zajȩciach: http://www.learneconometrics.com/gretl.html (Gretl Data Sets for Principles of Econometrics) Demonstracja: wczytywanie danych (plik food), wyświetlanie i edycja danych, dodawanie obserwacji, określanie typu danych (menu Data)
Aby zmienić opis zmiennej należy klikn ać w odpowiedni a linijkȩ prawym przyciskiem myszy i wybrać Edit attributes (lub menu Variable>Edit attributes) Aby zmienić opis np. zmiennej x za pomoc a komendy należy wykorzystać setinfo: np. setinfo x -d (100$) Weekly Income Jak podaje Command Reference po -d należy w cudzys lowie podać opis zmiennej Opis można dodatkowo rozszerzyć o nazwȩ zmiennej, która umieszczana bȩdzie na wykresach: setinfo x -d (100$) Weekly Income -n Income
Wykresy Aby utworzyć wykres należy wybrać: View>Graph specified vars Do wstȩpnej analizy zwi azku pomiȩdzy dwoma zmiennymi wykorzystać można np. wykres punktowy (scatter plot). Na wykresie pojawia si a dodatkowo linia regresji
Model regresji liniowej z jedn a zmienn a objaśniaj ac a Model ma postać: y t = α 0 + α 1 x t + ε t, t = 1, 2,..., T y t to zmienna objaśniana, x t to zmienna objaśniaj aca, ε t to sk ladnik losowy, α 0 oraz α 1 to parametry, których wartość należy oszacować Zak lada siȩ, że dla każdego t: E(ε t ) = 0, var(ε t ) = σ 2 (homoskedastyczność), cov(ε t, ε s ) = 0 (brak autokorelacji) Za lożenia dotycz ace sk ladnika losowego zapisać można jako: ε t iid(0; σ 2 )
iid pochodzi od angielskiego independently and identically distributed i oznacza, że sk ladniki losowe maj a identyczne i niezależne rozk lady Czȩsto zak lada siȩ, iż s a to rozk lady normalne
Analizȩ regresji w programie Gretl wykonać można wybieraj ac: Model>Ordinary Least Squares Alternatywnie skorzystać można z komendy: ols y const x lub wykorzystuj ac ID zmiennych: ols 1 0 2 Wyniki analizy pojawiaj a siȩ w oknie zaopatrzonym w dodatkowe menu pozwalaj ace na wykonywanie operacji na utworzonym modelu (wykresy, testy, itd.) Wyniki s a nastȩpuj ace: ŷ t = 83.4160 (43.410) + 10.2096 (2.0933) x t T = 40 R2 = 0.3688 F (1, 38) = 23.789 ˆσ = 89.517
Za lóżmy, że interesuj a nas dodatkowe rezultaty dotycz ace elastyczności średnich wydatków na żywność wzglȩdem zmian w dochodach Elastyczność to relacja miȩdzy procentow a zmian a jednej zmiennej i procentow a zmian a drugiej zmiennej: W rozważanym przypadku: ɛ = y/y x/x ɛ = E(y)/E(y) x/x = α 1 x E(y) E(y) oraz x zwykle zastȩpuje siȩ średnimi z próby a α 1 ocen a tego parametru
Średnie x i y uzyskać można podświetlaj ac obie te zmienne i wybieraj ac: View>Summary statistics i kontynuuj ac obliczenia samodzielnie Alternatywnie, napisać można skrypt: ols y const x quiet genr elast=$coeff(x)*mean(x)/mean(y) Do ocen MNK parametrów regresji prostej odwo lujemy siȩ pisz ac: $coeff(const) i $coeff(x) Przy wykorzystaniu opcji quiet wyniki analizy regresji nie pojawi a siȩ na ekranie
W podobny sposób program wykorzystać można do prognozowania Wyznaczmy średnie wydatki na żywność gospodarstwa domowego z tygodniowym dochodem wynosz acym 2000$ Wartość prognozy to: y P = 83.42 + 10.21 20 = 287.61 W programie Gretl otrzymujemy j a wpisuj ac: genr yp = $coeff(const) + $coeff(x)*20
W laściwości estymatora MNK Znane s a w laściwości estymatora MNK Estymator MNK jest BLUE (Best Linear Unbisaed Estimator), co oznacza, iż jest on liniowym, nieobci ażonym estymatorem o najmniejszej wariancji Najmniejsza wariancja oznacza, iż otrzymujemy oceny parametrów, które średnio s a bardziej precyzyjne od ocen parametrów, które moglibyśmy uzyskać stosuj ac alternatywne estymatory Nieobci ażoność oznacza, iż E( α 0 ) = α 0 oraz E( α 1 ) = α 1 Wartość oczekiwan a i wariancjȩ estymatora MNK zbadamy symulacyjnie (za pomoc a metody Monte Carlo)
Badanie w laściwości estymatora MNK Na podstawie modelu wydatków na żywność i prawdziwych obserwacji na zmiennej x wygenerujemy 1000 szeregów 40-tu obserwacji na zmiennej y Za lożymy, że prawdziwy model ma postać: y t = 80 + 10x t + ε t, ε t N(0, 88 2 ) Dla każdej próby oszacujemy MNK parametry prawdziwego modelu W laściwości estymatora MNK zbadamy wyznaczaj ac wartości statystyk opisowych (średniej i wariancji) dla 1000 wyników estymacji Wykorzystamy nastȩpuj acy skrypt:
open c:\program Files\gretl\data\poe\food.gdt set seed 3213789 loop 1000 progressive genr u = 88*normal() genr y1 = 80 + 10*x + u ols y1 const x genr b1 = $coeff(const) genr b2 = $coeff(x) print b1 b2 store coeff.gdt b1 b2 endloop
komenda open... otwiera plik z danymi set seed 3213789 ustala wartość zarodka, od którego rozpocznie siȩ generacja liczb pseudolosowych pȩtla loop NMC progressive zakończona endloop oznacza, iż chcemy wykonać NMC powtórzeń komend opisanych w pȩtli (chcemy wykonać NMC replikacji w metodzie Monte Carlo). Opcja progressive powoduje, iż wyniki każdej iteracji nie pojawi a siȩ na ekranie a zostan a zapisane w pliku
Komenda genr u = 88*normal() nakazuje wygenerowanie realizacji zmiennej u o rozk ladzie normalnym z odchyleniem standardowym 88 genr y1 = 80 + 10*x + u powoduje, iż generowane s a wartości zmiennej y ols y1 const x oznacza, iż dla wygenerowanych obserwacji na y i danych o x wyznaczamy oceny parametrów modelu regresji MNK genr b1 = $coeff(const) i genr b2 = $coeff(x) powoduje, iż oceny parametrów zapisywane s a jako b1 i b2 print b1 b2 i store coeff.gdt b1 b2 zapisuje oceny parametrów w zbiorze danych coeff.gdt.
Komenda genr u = 88*normal() nakazuje wygenerowanie realizacji zmiennej u o rozk ladzie normalnym z odchyleniem standardowym 88 genr y1 = 80 + 10*x + u powoduje, iż generowane s a wartości zmiennej y ols y1 const x oznacza, iż dla wygenerowanych obserwacji na y i danych o x wyznaczamy oceny parametrów modelu regresji MNK genr b1 = $coeff(const) i genr b2 = $coeff(x) powoduje, iż oceny parametrów zapisywane s a jako b1 i b2 print b1 b2 i store coeff.gdt b1 b2 zapisuje oceny parametrów w zbiorze danych coeff.gdt.
Eksperyment podsumowany zostaje poprzez wyznaczenie średnich i odchyleń standardowych ocen obydwu parametrów Średnia ocena wyrazu wolnego wynosi 79.3864, parametru przy zmiennej x zaś 10.0303 Odchylenia standardowe równe s a odpowiednio: 42.1597 i 2.03458 Okazuje siȩ, że gdybyśmy mieli możliwość szacowania interesuj acych parametrów na podstawie wielu prób, to średnio oceny te by lyby zbliżone do prawdziwych wartości parametru W praktyce mamy do dyspozycji tylko jedn a próbȩ danych
Wyniki dla pojedynczych prób zobaczyć można otwieraj ac plik coeff.gdt Chociaż średnio wyniki estymacji s a dobre, to znaleźć można próby, dla których wyniki znacznie odbiegaj a od prawdy