Geostatystyka nieparametryczna w dokumentowaniu złóż

WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Materiały Warsztatów str. 339 352 Jacek MUCHA, Monika WASILEWSKA Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Geologii Złożowej i Górniczej, Kraków Geostatystyka nieparametryczna w dokumentowaniu złóż Streszczenie Przedstawiono skrótowo genezę i charakterystykę nieparametrycznych metod geostatystycznych: krigingu wskaźnikowego i probabilistycznego. Podano ich zalety na tle klasycznego krigingu zwyczajnego. Zakres zastosowań geostatystyki nieparametrycznej w geologii górniczej zilustrowano na przykładach polskich złóż. Stwierdzono celowość przebadania możliwości jej wykorzystania dla opisu naturalnych zagrożeń eksploatacji. 1. Wstęp Metody geostatystyczne w ostatnich latach coraz częściej wspomagają działania prowadzące do geologicznego udokumentowania złóż. Geostatystyczna procedura krigingu znajduje zastosowanie przede wszystkim przy wyznaczaniu przebiegu granic złoża bilansowego, szacowaniu zasobów i jakości kopaliny oraz jako procedura interpolacyjna stanowiąca podstawę wizualizacji przestrzennego rozmieszczenia wartości parametrów złożowych za pomocą map izoliniowych. Najstarsza, parametryczna (liniowa) wersja procedury krigingu określana jako kriging zwyczajny (ordinary kriging) umożliwia szacowanie wartości parametrów w punktach lub blokach (parcelach) złoża z najmniejszym błędem (a więc największą dokładnością) w klasie wszystkich estymatorów liniowych. Uwzględniania ona przy tym strukturę zmienności parametru, wzajemne położenie punktów opróbowań względem siebie i punktu (bloku), dla którego szacuje się wartość parametru oraz umożliwia ocenę dokładności oszacowań. Oprócz niewątpliwych zalet, procedura krigingu zwyczajnego posiada również wady typowe dla wszystkich metod bazujących na średniej ważonej jako estymatorze wartości parametrów (np. metodzie wagowania na odwrotną odległość). W procedurze interpolacyjnej stwierdza się bowiem dobrze znany efekt wygładzenia polegający na przeszacowaniu niskich i niedoszacowaniu wysokich (rzeczywistych) wartości parametrów złożowych w węzłach sieci interpolacyjnej. To niekorzystne zjawisko prowadzi do zniekształcenia rzeczywistej zmienności rozpatrywanego parametru i przejawia się na mapach izoliniowych ograniczeniem prawdziwego zakresu zmian jego wartości oraz niespójnością wartości izolinii z wartościami parametru w punktach jego pomiaru. Wymienione niedostatki procedury krigingu zwyczajnego stanowiły impuls do wypracowania nowych wariantów procedury krigingu, które znacznie ograniczyły zjawisko wygładzenia wyinterpolowanych wartości. Należą do nich zaproponowane na początku lat 80. 339

J. MUCHA, M. WASILEWSKA Geostatystyka nieparametryczna w dokumentowaniu złóż poprzedniego stulecia nieparametryczne (nieliniowe) metody geostatystyczne, m.in. takie jak kriging wskaźnikowy (indykatorowy) i kriging probabilistyczny (proporcjonalny). Użycie dla wymienionych procedur nazwy nieliniowe jest nieco mylące. W istocie są to warianty krigingu zwyczajnego zastosowane do nieliniowo przetransformowanych wartości parametrów. Pewne nadzieje na właściwsze odtworzenie w procedurze interpolacyjnej krigingu zwyczajnego rzeczywistej zmienności parametrów można również wiązać z zaproponowaną przez Yamamoto (2005) korektą efektu wygładzenia oraz nową metodą prognozowania wielkości błędu interpolacji (Yamamoto 2000). Metoda ta stanowi alternatywę dla nieparametrycznych wersji krigingu wskaźnikowego i probabilistycznego. 2. Charakterystyka zastosowanych metod Celem niniejszego artykułu była prezentacja możliwości podstawowych zastosowań nieparametrycznych (nieliniowych) wariantów krigingu: wskaźnikowego (Journel 1983; Lemmer 1984) i probabilistycznego (Sullivan 1984) na tle zastosowań krigingu zwyczajnego (Journel, Huijbregts 1978). Przebadano również wpływ korekty efektu wygładzenia Yamamoto (2005) na wyniki krigingu zwyczajnego jako procedury interpolacyjnej. Z uwagi na ograniczony zakres objętościowy artykułu charakterystykę wykorzystanych metod geostatystycznych przedstawiono skrótowo i wyłącznie w sposób opisowy. Dokładniejszy opis metod można znaleźć w artykułach Muchy i Wasilewskiej (2006) oraz Wasilewskiej i Muchy (2006), a wyczerpujący w cytowanej wcześniej literaturze. Wspólną cechą metod geostatystycznych jest oparcie prognozy wartości parametrów złożowych w punktach lub blokach na opisie struktury ich zmienności realizowanym za pomocą funkcji zwanej semiwariogramem. 2.1. Kriging zwyczajny (ordinary kriging) Oszacowania wartości parametrów w punktach lub blokach dokonuje się za pomocą średniej ważonej: z KA n w i 1 gdzie: w ik współczynnik wagowy krigingu przypisany i -tej obserwacji (punktowi opróbowania), z i wartość parametru w punkcie opróbowania i, n liczba punktów opróbowań wykorzystanych w oszacowaniu. Specyfika metody krigingu polega na sposobie wyznaczania współczynników wagowych, które określa się z tzw. układu równań krigingu (Journel, Huijbregts 1978) gwarantującego minimalizację wariancji błędu oszacowania i uwzględniającego wzajemną konfigurację punktów opróbowań, ich usytuowanie względem bloku lub punktu oraz ustalony wcześniej model semiwariogramu opisujący zróżnicowanie parametrów. ik z i (2.1) 340

WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie 2.2. Kriging wskaźnikowy (indicator kriging) Ta pierwsza chronologicznie wersja nieparametrycznej procedury krigingu jest szczególnie zalecana do szacowania parametrów złożowych charakteryzujących się dużą lub skrajnie dużą zmiennością, silnie asymetrycznymi rozkładami prawdopodobieństwa i występowaniem wartości anomalnych. Wartość parametru z i pomierzona w punkcie i podlega nieliniowej, binarnej transformacji według następującej zasady: gdzie: c przyjęte wartości progowe. l I i( c l ) 1 gdy zi cl (2.2) I ( ) 0 gdy zi cl (2.3) i c l Jako wartości progowe najczęściej przyjmuje się kolejne decyle określone ze skumulowanego rozkładu prawdopodobieństwa parametru dla podstawowego zbioru danych. W dalszej kolejności określa się, dla kolejnych wartości progowych, semiwariogramy przetransformowanych binarnie wartości parametrów zwane semiwariogramami wskaźnikowymi. Zastosowanie procedury krigingu zwyczajnego dla przetransformowanych danych, oddzielne dla kolejnych wartości progowych c l, pozwala na skonstruowanie rozkładu prawdopodobieństwa możliwych wartości parametru w punkcie lub bloku, a następnie na oszacowanie średniej wartości. Niedostatkiem metody krigingu wskaźnikowego jest niepełne wykorzystanie informacji o wartościach badanego parametru przez zastąpienie ich wskaźnikami, natomiast zaletą prostota metody i łatwa dostępność oprogramowania komputerowego. 2.3. Kriging probabilistyczny (probability kriging) Kriging probabilistyczny (proporcjonalny) stanowi rozszerzoną wersję krigingu wskaźnikowego. Jego zasadniczą zaletą jest to, że przy ocenie błędu szacowania parametru uwzględnia jego wartości w punktach opróbowań, które znalazły się w strefie zliczania danych. Niedogodnością krigingu probabilistycznego jest duża pracochłonność. Oprócz konieczności identycznej jak w krigingu wskaźnikowym transformacji danych podstawowych dla kolejnych wartości progowych, wymagana jest ponadto ich transformacja do rozkładu jednostajnego. Wykonuje się ją przez zastąpienie wartości parametru z i w podstawowym zbiorze danych odpowiadającym im wartościom dystrybuanty empirycznej U i tzn.: U i = F(z i). W dalszej kolejności po wyznaczeniu semiwariogramów wskaźnikowych dla kolejnych wartości progowych należy określić semiwariogram dla zmiennej U i oraz tzw. semiwariogramy krzyżowe (cross-semiwariogramy) opisujące współzmienność zmiennych I i ( c l ) i U i. Wartości współczynników wagowych określa się z dość skomplikowanego układu równań tzw. kokrigingu, który stanowi rozszerzenie układu równań krigingu z jednej do dwóch zmiennych (Sullivan 1984). Wartość parametru w bloku lub dowolnym punkcie złoża szacuje się w oparciu o uzyskaną z procedury kokrigingu dystrybuantę empiryczną w sposób identyczny jak w krigingu wskaźnikowym. 341

J. MUCHA, M. WASILEWSKA Geostatystyka nieparametryczna w dokumentowaniu złóż 3. Przykłady zastosowań geostatystyki nieparametrycznej 3.1. Interpolacja wartości parametrów złożowych Interpolacja wartości parametrów złożowych w węzłach regularnej i odpowiednio gęstej sieci interpolacyjnej stanowi podstawę kreślenia map izoliniowych. Wiarygodność interpolacji rzutuje więc bezpośrednio na wiarygodność samych map izoliniowych. Porównania efektywności 4 rozpatrywanych metod jako procedur interpolacyjnych dokonano na przykładzie parametrów jakościowych węgla kamiennego i miąższości wybranych pokładów KWK Murcki i Piast. Dokładność interpolacji oceniono metodą pośrednią wykorzystując tzw. test krzyżowy. Polega on na określeniu błędów oszacowań wartości parametru w punktach opróbowań, w których wartości parametru są znane. W tym celu w każdym z punktów opróbowania określa się przy wykorzystaniu krigingu wartość parametru w oparciu o dane z jego otoczenia, ignorując przy tym obserwacje z tych punktów (rys. 3.1). Liczbowo dokładność interpolacji wyrażono za pomocą dwóch rodzajów błędów względnych: i * 1 N zi zi R 100% (3.1) N i zi * 1 N zi zi AR 100% (3.2) N i zi gdzie: N liczba punktów interpolacji, * z i oszacowana wartość parametru w punkcie opróbowania i, z rzeczywista wartość parametru w punkcie opróbowania i. i Średni błąd R różny od zera informuje o skali występowania błędu systematycznego natomiast średni absolutny błąd AR o wielkości losowego błędu interpolacji. Jako uzupełniającą miarę dokładności interpolacji wyznaczono współczynniki korelacji * liniowej Pearsona między prognozowanymi z i i rzeczywistymi z i wartościami parametrów w punktach zbioru testowego. 342

WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Rys. 3.1. Schemat oceny błędu interpolacji w punkcie opróbowania pokładu w otworze wiertniczym. 1 otwory, 2 otwory uwzględnione w ocenie, 3 punkt interpolacji w otworze wiertniczym (ze znaną wartością parametru), 4 kołowa strefa zliczania danych Fig. 3.1. Scheme of estimation of interpolation error in the sampled site of a seam in boreholes. 1 boreholes, 2 boreholes used in estimation, 3 point of interpolation (borehole removed from the data set), 4 circular zone of search 343

J. MUCHA, M. WASILEWSKA Geostatystyka nieparametryczna w dokumentowaniu złóż Jak wynika z rys. 3.2, najlepsze rezultaty w odniesieniu do rozpatrywanych parametrów, obarczone najmniejszymi błędami interpolacji, uzyskuje się przy zastosowaniu krigingu zwyczajnego z korektą Yamamoto, a najgorsze przy zastosowaniu krigingu zwyczajnego. Znajduje to również potwierdzenie w wartościach współczynnika korelacji liniowej między szacowanymi i stwierdzonymi wartościami parametrów w punktach opróbowań (rys. 3.3). Wskazują one na bardzo silną korelację w przypadku zastosowania krigingu zwyczajnego (r > 0,9) oraz bardzo silną lub wyjątkowo co najmniej silną (0,7 < r < 0,9) w przypadku zastosowania krigingu probabilistycznego. Identyczne prawidłowości odnotowuje się także dla parametrów innych złóż. Rys. 3.2. Średnie błędy procentowe interpolacji ( R ) i średnie absolutne błędy procentowe interpolacji ( AR ) parametrów złóż węgla kamiennego (metoda interpolacji: OK kriging zwyczajny, OK* kriging zwyczajny z korektą Yamamoto, IK kriging wskaźnikowy, PK kriging probabilistyczny) Fig. 3.2. The mean percentage errors ( R ) and the mean absolute percentage errors ( AR ) of the interpolation of values of coal deposit parameters (interpolators: OK ordinary kriging, OK* ordinary kriging with correcting the smoothing effect of Yamamoto, IK indicator kriging, PK probability kriging) 344

WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Rys. 3.3. Współczynniki korelacji liniowej r między oszacowanymi i stwierdzonymi wartościami parametrów badanych pokładów węgla kamiennego (metoda interpolacji: OK kriging zwyczajny, OK* kriging zwyczajny z korektą Yamamoto, IK kriging wskaźnikowy, PK kriging probabilistyczny) * Fig. 3.3. The Pearson correlation coefficient r between the measured z i and the estimated z i parameter values of coal deposit (interpolators: OK ordinary kriging, OK* ordinary kriging with correcting the smoothing effect of Yamamoto, IK indicator kriging, PK probability kriging) 345

J. MUCHA, M. WASILEWSKA Geostatystyka nieparametryczna w dokumentowaniu złóż 346

WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Rys. 3.4. Mapy izoliniowe zawartości popiołu w pokładzie 334/2 (KWK Murcki ) wykonane metodą krigingu zwyczajnego (OK), krigingu wskaźnikowego (IK) i krigingu probabilistycznego (PK) Fig. 3.4. Contour maps of ash content in the seam 334/2 ( Murcki Mine) (interpolators: OK ordinary kriging, IK indicator kriging, PK probability kriging) 3.2. Mapy izoliniowe Procedury interpolacyjne krigingu wykorzystuje się głównie jako osnowa dla konstrukcji map izoliniowych, które wizualizują rozmieszczenie wartości parametrów złożowych. Są one pomocne przy projektowaniu eksploatacji oraz szacowaniu jakości i zasobów kopaliny. Na rys. 3.4 przestawiono przykład mapy zawartości popiołu w pokładzie węgla sporządzonej metodami krigingu zwyczajnego, wskaźnikowego i probabilistycznego. Mapa sporządzona w oparciu o kriging probabilistyczny wyraźnie różni się od map sporządzonych z wykorzystaniem krigingu zwyczajnego i wskaźnikowego. Dotyczy to w szczególności zagęszczenia izolinii, odmiennego ich przebiegu i zakresu ich wartości. Obraz rozkładu izolinii sugeruje, że kriging probabilistyczny poprawniej niż dwa pozostałe odtwarza rzeczywistą zmienność parametru. Dodatkowo praktycznie całkowicie eliminuje niezgodności wartości izolinii z wartościami parametru stwierdzonymi w punktach opróbowań, co nierzadko obserwuje się na mapie sporządzonej metodą krigingu zwyczajnego i co wynika z techniki konturowania pośredniego ignorującej punkty stwierdzeń. 347

J. MUCHA, M. WASILEWSKA Geostatystyka nieparametryczna w dokumentowaniu złóż A B C Rys. 3.5. Mapa izoliniowa zasobności Cu [kg/m 2 ] we fragmencie jednego ze złóż LGOM sporządzona metodą krigingu zwyczajnego (A), wskaźnikowego (B) i probabilistycznego (C) na podstawie danych otworowych Fig. 3.5. Contour map of copper accumulation [kg/m 2 ] in a part of deposit of LGOM (interpolators: A ordinary kriging, B indicator kriging, C probability kriging) 348

WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Do podobnych spostrzeżeń prowadzi analiza map zasobności Cu (rys. 3.5) i weryfikacja dokładności interpolacji podstawowych parametrów złożowych w jednym ze złóż Cu LGOM dokonana za pomocą testu krzyżowego (tab. 3.1). Na tle oszacowań dokonanych metodą krigingu zwyczajnego i wskaźnikowego procedura krigingu probabilistycznego wyróżnia się znacząco mniejszymi błędami interpolacji, a więc i bliższymi rzeczywistości wynikami interpolacji. Tabela 3.1. Dokładność interpolacji parametrów złoża Cu metodami krigingu: zwyczajnego (OK), wskaźnikowego (IK) i probabilistycznego (PK); εar [%] średnie absolutne błędy interpolacji Table 3.1. Accuracy of interpolation of copper deposit parameters (interpolators: OK ordinary kriging, IK indicator kriging, PK probability kriging; εar [%] the mean absolute percentage errors) Parametr złożowy Zawartość Cu [%] Zawartość Ag [g/t] Zasobność Cu [kg/m 2 ] Zasobność Ag [g/m 2 ] Metoda szacowania OK PK OK IK OK IK PK OK IK PK εar [%] 30,6 7,1 47,2 9,2 46,9 46,6 7,3 106,2 117,7 12,8 3.3. Prognozowanie wielkości zasobów i jakości kopaliny Zagadnienie prognozy wielkości i jakości zasobów zilustrowano na rys. 3.6 na przykładzie fragmentu jednego ze złóż Cu LGOM. Wykresy przedstawiają zależności wielkości zasobów Cu i średnich zawartości Cu oszacowane metodą krigingu zwyczajnego i probabilistycznego od brzeżnych (minimalnych) zawartości Cue. Kriging probabilistyczny daje możliwość rozpatrywania wielkości zasobów i średnich zawartości Cu dla szerszego zakresu wartości brzeżnych niż kriging zwyczajny. Jest to efektem większego zakresu zmienności wyinterpolowanych metodą krigingu probabilistycznego zawartości Cue. 349

J. MUCHA, M. WASILEWSKA Geostatystyka nieparametryczna w dokumentowaniu złóż Rys. 3.6. Zależność wielkości zasobów Cu (A) i średnich zawartości Cu (B) od przyjętych zawartości brzeżnych Cue; kriging probabilistyczny (PK) i zwyczajny (OK) Objaśnienia: ci przyjęta zawartość brzeżna Cue, Q zasoby Cu, Cu średnia zawartość Cu Fig. 3.6. Tonnage of Cu (A) and mean copper content (B) as a function of Cu cutoffs ci 3.4. Mapy prawdopodobieństwa Kriging wskaźnikowy i probabilistyczny umożliwiają konstrukcję map izoliniowych pokazujących prawdopodobieństwo wystąpienia w obszarze złożowym wartości parametru większej lub mniejszej od z góry założonej wielkości. Ten wariant zastosowań geostatystyki nieparametrycznej zilustrowano na rys. 3.7 przedstawiającym okonturowanie partii pokładu węgla kamiennego, w którym zawartość siarki przekracza 2% z prawdopodobieństwem 0,9. 350

WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Rys. 3.7. Mapa prawdopodobieństwa wystąpienia zawartości siarki większej od 2% w pokładzie węgla kamiennego uzyskana metodą krigingu wskaźnikowego (pokład 330, KWK Murcki ) Fig. 3.7. The probability of exceeding the 2% of sulphur content in the coal seam of Murcki Mine (interpolator: indicator kriging) Metoda ta może znaleźć szersze zastosowanie przy wyznaczaniu partii złoża, których eksploatacji towarzyszyć mogą poważne zagrożenia naturalne a w szczególności zagrożenia gazowe (Cyrul 1991). Dotyczyć to może także stref osłabienia górotworu związanych z występowaniem mniej wytrzymałych i spękanych skał. Przyjęcie odpowiedniego poziomu prawdopodobieństwa uwarunkowane jest stopniem ryzyka prowadzenia eksploatacji. 351

J. MUCHA, M. WASILEWSKA Geostatystyka nieparametryczna w dokumentowaniu złóż 4. Podsumowanie i wnioski Przestawione przykłady wskazują, że nieparametryczne metody geostatystyczne, a zwłaszcza procedura krigingu probabilistycznego, mogą być efektywnym narzędziem rozwiązywania różnorodnych zadań geologiczno-górniczych stanowiących istotną część geologicznego dokumentowania złóż. Ich zaletą jest ograniczenie niekorzystnego zjawiska redukcji rzeczywistej zmienności parametrów przy stosowaniu interpolatorów opartych na algorytmie średniej ważonej oraz zwiększenie dokładności interpolacji a wskutek tego wiarygodności map izoliniowych ilustrujących rozmieszczenie przestrzenne wartości parametrów złożowych. Podobnie dobre rezultaty można uzyskać stosując kriging zwyczajny z korektą efektu wygładzenia zaproponowaną przez Yamamoto. Celowe i godne polecenia wydaje się przebadanie możliwości zastosowań geostatystyki nieparametrycznej dla charakteryzowania naturalnych zagrożeń eksploatacji przez konstruowanie map prawdopodobieństwa opartych na procedurze krigingu probabilistycznego lub wskaźnikowego. Praca sfinansowana z badań własnych AGH nr 10.10.140.459 i grantu KBN nr4t12a00129. Literatura [1] Cyrul T. 1991: Prognozowanie zagrożeń gazowych w kopalniach węgla, PAN, Inst. Mech. Górn., Kraków (praca habilitacyjna). [2] Journel A. C., Huijbregts Ch. J. 1978: Mining Geostatistics. London, Academic Press. [3] Journel A. G. 1983: Nonparametric estimation of spatial distribution. Mathematical Geology, vol. 15, no 3, 445 468. [4] Lemmer I. C. 1984: Estimating local recoverable reserves via indicator kriging. [W:] Geostatistics for Natural Resources Characterization, Part I, G. Verly et al. (eds.), D. Reidel Publishing Company, 349 364. [5] Mucha J., Wasilewska M. 2006: Nieparametryczne metody geostatystyczne interpolacji parametrów złożowych. Przegląd Górniczy, nr 1, 24 30. [6] Sullivan J. 1984: Conditional recovery estimation through probability kriging theory and practice. [W:] Geostatistics for Natural Resources Characterization, Part I, G. Verly et al. (eds.), D. Reidel Publishing Company, 365 384. [7] Wasilewska M., Mucha J. 2006: Korekta efektu wygładzenia w procedurze interpolacyjnej krigingu zwyczajnego. Przegląd Górniczy, nr 1, 31 36. [8] Yamamoto J. K. 2000: An alternative measure of the reliability of ordinary kriging estimates. Mathematical Geology, vol. 32, no. 4, 489 509. [9] Yamamoto J. K. 2005: Correcting the smoothing effect of ordinary kriging estimates. Mathematical Geology, vol. 37, no. 1, 69 94. Nonparametric geostatistics in geological reporting The methods of nonparametric geostatistics: indicator and probability kriging were presented as an alternative to ordinary kriging and ordinary kriging with correcting the smoothing effect of Yamamoto. The pros and cons of each method were discussed. Use of the method was illustrated by examples drawn from mining geology, connected with interpolation and contouring of values of deposit parameters, and prediction of recoverable reserves. Przekazano: 26 marca 2007 r. 352