X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

Podobne dokumenty
ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI

ĆWICZENIE 11 NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Analiza współzależności zjawisk. dr Marta Kuc-Czarnecka

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

POLITECHNIKA OPOLSKA

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

Analiza korelacji

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7

Korelacja oznacza współwystępowanie, nie oznacza związku przyczynowo-skutkowego

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

ZJAZD 4. gdzie E(x) jest wartością oczekiwaną x

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 23 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 23 kwietnia / 38

X Y 4,0 3,3 8,0 6,8 12,0 11,0 16,0 15,2 20,0 18,9

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi.

Statystyka. Wykład 7. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 16 kwietnia / 35

ρ siła związku korelacyjnego brak słaba średnia silna bardzo silna

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów

STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. 12 listopada Instytut Matematyki WE PP

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

Analiza współzależności zjawisk

Statystyka matematyczna dla leśników

LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Analiza autokorelacji

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Metodologia badań psychologicznych. Wykład 12. Korelacje

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.6

Analiza współzależności dwóch cech I

STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3

Weryfikacja hipotez statystycznych

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO

R-PEARSONA Zależność liniowa

Statystyka. Wykład 7. Magdalena Alama-Bućko. 3 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 3 kwietnia / 36

(x j x)(y j ȳ) r xy =

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;

Pojęcie korelacji. Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi.

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ

WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości

ĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Analiza Współzależności

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ. Analiza regresji i korelacji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa dwuwymiarowa i korelacja

Porównanie dwóch rozkładów normalnych

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Statystyka matematyczna

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa

Spis treści. LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

166 Wstęp do statystyki matematycznej

Testowanie hipotez statystycznych

Zawartość. Zawartość

Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW. BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ.

Transkrypt:

X WYKŁAD STATYSTYKA 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

WYKŁAD 10 ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Kowariancja 3. Współczynnik korelacji liniowej definicja 4. Estymacja współczynnika korelacji 5. Testy istotności współczynnika korelacji

KORELACJA W analizie korelacji badacz jednakowo traktuje obie zmienne - nie wyróżniamy zmiennej zależnej i niezależnej. Korelacja między X i Y jest taka sama, jak między Y i X. Mówi nam ona, na ile obie zmienne zmieniają się równocześnie w sposób liniowy. Precyzyjna definicja zaś brzmi: Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi Rys. 1. Korelacyjne wykresy rozrzutu; 1 - korelacja liniowa dodatnia, 2 - korelacja liniowa ujemna, 3 - brak korelacji, 4 - korelacja krzywoliniowa Korelacja ujemna występuje wtedy, gdy wzrostowi wartości jednej zmiennej odpowiada spadek średnich wartości drugiej zmiennej (przypadek 2. na rys. 1).

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ Siłę współzależności dwóch zmiennych można wyrazić liczbowo za pomocą wielu mierników. Najbardziej popularny jest współczynnik korelacji liniowej Pearsona, oznaczony symbolem r XY i przyjmujący wartości z przedziału [-1, 1]. Należy zwrócić uwagę, że współczynnik korelacji Pearsona wyliczamy wówczas, gdy obie zmienne są mierzalne i mają rozkład zbliżony do normalnego, a zależność jest prostoliniowa (stąd nazwa). Przy interpretacji współczynnika korelacji liniowej Pearsona należy więc pamiętać, że wartość współczynnika bliska zeru nie zawsze oznacza brak zależności, a jedynie brak zależności liniowej. Znak współczynnika korelacji informuje nas o kierunku korelacji, natomiast jego bezwzględna wartość - o sile związku. Oczywiście r XY jest równe r YX. Jeśli r XY = 0, oznacza to zupełny brak związku korelacyjnego między badanymi zmiennymi X i Y (przypadek 3. na rys. 1). Im wartość bezwzględna współczynnika korelacji jest bliższa jedności, tym zależność korelacyjna między zmiennymi jest silniejsza. Gdy r XY = 1, to zależność korelacyjna przechodzi w zależność funkcyjną (funkcja liniowa).

KORELACJA W analizie statystycznej zwykle przyjmuje się następującą skalę: r XY2 = 0 zmienne nie są skorelowane 0 <r 2 XY <0,1 korelacja nikła 0,1 =<r XY2 <0,3 korelacja słaba 0,3 =<r XY2 <0,5 korelacja przeciętna 0,5 =<r 2 XY <0,7 korelacja wysoka 0,7 =<r 2 XY <0,9 korelacja bardzo wysoka 0,9 =<r XY2 <1 korelacja prawie pełna.

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ Załóżmy, że otrzymaliśmy N par wartości (x 1, y 1 ),,(x N, y N ) dwóch zmiennych, których jak podejrzewamy, wiąże zależność liniowa w postaci: y=a+bx. W tym przypadku liczby x 1,, x N stanowią wyników pomiaru nie jednej określonej wartości, lecz różnych wartości. Przykład: Nauczyciel stara się przekonać studentów że wykonywanie prac domowych gwarantuje pozytywny wynik egzaminu. W tym celu sporządził wykres wyników egzaminu jako funkcja ocen z prac domowych. Każdy punkt wykresu (x i, y i ) zawiera uzyskaną przez studenta ocenę z pracy domowej x i oraz ocenę z egzaminu y i Nauczyciel chciałby wykazać istnienie korelacji pomiędzy ocenami prac domowych oraz egzaminów.

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ r=0,73

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ

KOWARIANCJA I KORELACJA Zasady przenoszenia błędów Mierzymy dwie wielkości x i y,z błędami δx i δy zadaniem jest obliczenie błędu ich funkcji q=q(x,y): (1) w przypadku niezależnych x i y oraz błędów przypadkowych możliwe jest częściowe znoszenie się błędów x i y. Wówczas lepszym (o mniejszej wartości) przybliżeniem δq: (2) Jeśli pomiary x i y opisane są przez niezależne rozkłady normalne z odchyleniami standardowe σ x i σ y, to q(x,y) również podlega rozkładowi normalnemu z odchyleniem standardowym σ q : (3)

KOWARIANCJA Celem określenia funkcji q(x,y) wykonano po N pomiarów x i y uzyskując N par (x i, y i ), a następnie uzyskano : q i = q(x i,y i ) dla i=1,,n. Po czym wyliczono oraz σ q. Przyjmując, że σ x i σ y są niewielkie, można skorzystać z przybliżenia: (4) pochodne w równaniu (4) obliczone są w punkcie, stąd: (5), stąd: (6) (7)

KOWARIANCJA (8) sumy w pierwszych dwóch wyrazach (8) są takie same jak w definicjach σ x i σ y, trzecia suma nosi nazwę kowariancji, σ xy : stąd równanie (8) przyjmuje postać: (9) (10) Wzór (10) pozwala obliczyć σ q bez względu na niezależność x i y oraz bez powoływania się na ich rozkład normalny. Jeśli x i y są niezależne, to σ xy dąży do zera. Wówczas równanie (10) będzie identyczne z (2) po wstawieniu do (2) σ q za δq. Gdy σ xy różni się istotnie od zera, wtedy istnieje koleracja x i y.

KOWARIANCJA Kowariancja σ xy spełnia następującą relację: (11) Jest to tzw nierówność Schwarza wstawiając (11) do (10) uzyskujemy: (12)

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ Załóżmy, że otrzymaliśmy N par wartości (x 1, y 1 ),,(x N, y N ) dwóch zmiennych, których jak podejrzewamy, wiąże zależność liniowa w postaci: y=a+bx. W tym przypadku liczby x 1,, x N stanowią wyników pomiaru nie jednej określonej wartości, lecz różnych wartości. Stopień, w jakim punkty (x 1, y 1 ),,(x N, y N ) przemawiają za liniowym związkiem pomiędzy x i y wyraża współczynnik korelacji, r: (13)

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ Z nierówności Schwarza wynika, że: (14) Jeśli to punkty leżą na pewnej prostej. Jeśli r jest bliskie zeru, to punkty są nieskorelowane i nie wyznaczają prostej Dowód Jeśli punkty leżą dokładnie na prostej y=a+bx, to y i = A+Bx i, a więc również, stąd: wstawiając to do (14), otrzymujemy: (15)

ESTYMACJA i TEST ISTOTNOŚCI DLA WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI Współczynnik korelacji dla populacji: (16) Jego estymatorem jest współczynnik korelacji z próby: (17) Przypadek 1. Dwuwymiarowy rozkład badanych dwu mierzalnych cech X i Y w populacji generalnej jest normalny, bądź zbliżony do normalnego. Z populacji tej wylosowano do próby n elementów ( n-kilkaset). Wzór na przedział ufności : z α ma rozkład N(0,1) (18)

ESTYMACJA i TEST ISTOTNOŚCI DLA WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI Ćwiczenie: Wykonano n=240 niezależnych pomiarów oporu elektrycznego R kawałka metalu dla różnych temperatur w przedziale 298K< T<738K i otrzymano dla par (T i, R i ) i=1, 2, 240 współczynnik korelacji próby: r TR =0,7945. Przyjmując poziom ufności 1- =0,95 zbudować przedział ufności dla nieznanego wsp. korelacji populacji ρ między temperaturą a oporem. Rozwiązanie: z α ma rozkład N(0,1) 1- =0,95 => /2=0,025 => z =1,960 0,7945-0,0467 < ρ < 0,7945+0,0467 czyli: 0,7478 < ρ < 0,8412

TEST ISTOTNOŚCI DLA WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI zadanie Zadanie: Wykonano pomiary przewodnictwa elektrycznego (σ) półprzewodnika w zakresie temperatur 500K <T< 800 K. Wyniki pomiarów podano w Tabeli. Wykonać: a) Obliczyć współczynnik korelacji r Tσ ROZWIĄZANIE: EXCEL Statystyczne WSP.KORELACJI Tablica 1 wstawić kolumnę T Tablica 2 wstawić kolumnę σ => 0,8182 a) Dokonać estymacji wsp. Korelacji dla populacji generalnej (ρ) dla poziomu ufności 1-α=0,99 b) Sporządzić wykres σ= f(t) c) Zmieniając zmienne (T, σ) na (1/T, log σ) powtórzyć czynności a-c d) Na poziomie istotności α= 0,001 sprawdzić czy zmienne (T, σ) oraz (1/T, log σ) są skorelowane. TABELA T[K] σ [(Ωm) -1 ] 500 6E-10 550 9E-9 600 4.5E-8 630 1.3E-7 650 2.8E-7 675 4E-7 700 8E-7 750 3.2E-6 800 5.5E-6

TEST ISTOTNOŚCI DLA WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI Przypadek 2. Dwuwymiarowy rozkład badanych dwu mierzalnych cech X i Y w populacji generalnej jest normalny, bądź zbliżony do normalnego. Z populacji tej wylosowano do próby n elementów ( niekoniecznie dużo). Na podstawie wyników próby sprawdzić hipotezę, że zmienne Xi Y nie są skorelowane tj: H o : ρ=0 Statystyka: (19) t- rozkład t-studenta z k=n-2, jeśli: t <t α nie ma podstaw do odrzucenia H o (zmienne X i Y są nieskorelowane). Gdy hipoteza alternatywna precyzuje znak ρ, tzn. gdy H 1 : ρ<0 lub H 1 : ρ>0, wówczas w tym teście korzystamy z lewostronnego lub prawostronnego obszaru krytycznego, odpowiednio.

TEST ISTOTNOŚCI DLA WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI zadanie Zadanie: Wykonano pomiary przewodnictwa elektrycznego (σ) półprzewodnika w zakresie temperatur 500K <T< 800 K. Wyniki pomiarów podano w Tabeli. Wykonać: a) Obliczyć współczynnik korelacji r Tσ ROZWIĄZANIE: EXCEL Statystyczne WSP.KORELACJI Tablica 1 wstawić kolumnę T Tablica 2 wstawić kolumnę σ => 0,8182 TABELA T[K] σ [(Ωm) -1 ] 500 6E-10 550 9E-9 600 4.5E-8 630 1.3E-7 650 2.8E-7 675 4E-7 700 8E-7 750 3.2E-6 800 5.5E-6 Na poziomie istotności α=0,001 sprawdzić czy wartości T i σ są skorelowane liniowo H o : ρ=0 t=3,766, t α,7 =5.408 => brak korelacji liniowej

TEST ISTOTNOŚCI DLA WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI zadanie Zadanie: Wykonano pomiary przewodnictwa elektrycznego (σ) półprzewodnika w zakresie temperatur 500K <T< 800 K. Wyniki pomiarów podano w Tabeli. Wykonać: a) Obliczyć współczynnik korelacji r Tσ TABELA 1000/T [K -1 ] logσ [σ w (Ωm) -1 ] ROZWIĄZANIE: EXCEL Statystyczne WSP.KORELACJI Tablica 1 wstawić kolumnę 1000/T Tablica 2 wstawić kolumnę logσ => - 0,9976 2-9.22185 1.81818-8.04576 1.66667-7.34679 1.5873-6.88606 1.53846-6.55284 1.48148-6.39794 1.42857-6.09691 1.33333-5.49485 1.25-5.25964 Na poziomie istotności α=0,001 sprawdzić czy wartości T i σ są skorelowane liniowo. H o : ρ=0 T=-38,15, t α,7 =5.408 => występuje (silna) korelacja liniowa

ESTYMACJA i TEST ISTOTNOŚCI DLA WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI Przypadek 3. Dwuwymiarowy rozkład badanych dwu mierzalnych cech X i Y w populacji generalnej jest normalny, bądź zbliżony do normalnego. Z populacji tej wylosowano do próby n elementów ( niekoniecznie dużo).na podstawie wyników próby sprawdzić hipotezę, że współczynnik korelacji w populacji ma określona wartość ρ o (ρ o 0), wobec hipotezy alternatywnej: H 1 : ρ ρ o Statystyka: (20) z ma rozkład N(0,1) jeśli z >z α ( tj. z znajduje się w obszarze krytycznym) to H o odrzucić. Gdy H 1 : ρ<ρ o lub H 1 : ρ> ρ o, wówczas w tym teście korzystamy z lewostronnego lub prawostronnego obszaru krytycznego, odpowiednio.

TEST ISTOTNOŚCI DLA WSPÓŁCZYNNIKA KOLERACJI OBSZAR KRYTYCZNY OBSZAR KRYTYCZNY OBSZAR KRYTYCZNY

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA Współczynnik korelacji rang Spearmana (współczynnik korelacji kolejnościowej) stosuje się w przypadkach: 1) Obie cechy są mierzalne lecz próba jest mało liczna 2) Przynajmniej jedna z cech ma charakter jakościowy i jest możliwość ustalenia kolejności,natężenia tej cechy, porządkując poszczególne elementy w ciąg rosnąco lub malejąco. Element próby ze względu na każdą cechę otrzymuje rangę, która określa jego miejsce w ciągu. Dla n-elementowej próby ranę ze względu na cechę X oznaczamy c ix gdzie x=1, 2, n. Natomiast rangę na cechę Y oznaczamy c iy. Różnicę rang oznaczmy jako; d i =c ix -c iy Współczynnik korelacji rang Spearmana: Okazuje się, że : Jeśli r s jest bliski 1 silna zależność obu cech.

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA (Przykład) Przykład: W 15-sto osobowej grupie studentów sprawdzono ranking ich ocen z chemii i fizyki. Na czele umieszczono najlepszych, zaś na końcu najsłabszych. Wyniki rankingu zebrano w tabeli. Czy można przyjąć, że istnieje silna zależność między wynikami osiąganymi z obu przedmiotów? Miejsce w rankingu CHEMIA Nazwisko studenta Miejsce w rankingu FIZYKA Nazwisko studenta 1 AX 1 IP 2-3 BY 2 CZ CZ 3 EW 4 DV 4 AX 5 EW 5 BY 6 FT 6 JQ 7 GS 7 HR 8 HR 8 GS 9 IP 9 DV 10 JQ 10 LN 11 KO 11 KO 12 LN 12 FT 13 MM 13 MM 14 NL 14 OK 15 OK 15 NL

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA (Przykład) Lp. Nazwisko studenta c ix c iy d i =c ix -c iy d i 2 1 AX 1 4-3 9 2 CZ 2,5 2 0,5 0,25 3 BY 2,5 5-2,5 6,25 4 DV 4 9-5 25 5 EW 5 3 2 4 6 FT 6 12-6 36 7 GS 7 7 0 0 8 HR 8 8 0 0 9 IP 9 1 8 64 10 JQ 10 6 4 16 11 KO 11 11 0 0 12 LN 12 10 2 4 13 MM 13 13 0 0 14 NL 14 15-1 1 15 OK 15 14 1 1 SUMA 168,5 Współzależność jest dodatnia i umiarkowanie silna

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA TEST ISTOTNOSCI H o :ρ =0 (brak korelacji między X i Y) H 1 : ρ 0 t rozkład t-studenta; k= n-2

WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI: estymacja i weryfikacja PEARSON (r): Estymacja: n -kilkaset Weryfikacja 1. H o : ρ=0 k= n-2 2. H o : ρ = ρ o SPEARMAN (r S ): Weryfikacja H o :ρ =0 (brak korelacji między X i Y) H 1 : ρ 0 k= n-2