Spis treœci 5 Spis treœci WSTÊP...9 1. WYBRANE ELEMENTY TEORII GRAFÓW...11 1.1 Wstêp...13 1.2 Grafy nieskierowane...15 1.3 Grafy skierowane...23 1.4 Sk³adowe dwuspójne...31 1.5 Zastosowanie teorii grafów do opisu topologii sieci gazowej...34 1.6 Metody generacji oczek... 43 1.6.1 Metody generacji oczek wykorzystuj¹ce dendryt...45 1.6.2 Metody generacji oczek wykorzystuj¹ce specyfikê sieci gazowych...50 Bibliografia...64 2. BEZPOŒREDNIE METODY ROZWI ZYWANIA UK ADÓW LINIOWYCH RÓWNAÑ ALGEBRAICZNYCH...11 2.1 Wstêp...58 2.2 Metody bezpoœrednie rozwi¹zywania uk³adów liniowych równañ algebraicznych z macierzami pe³nymi...59 2.2.1 Metoda eliminacji Gaussa...59 2.2.2 Metoda eliminacji Gaussa z czêœciowym wyborem elementu g³ównego...67 2.2.3 Metoda eliminacji Gaussa z ca³kowitym wyborem elementu g³ównego...69 2.2.4 Metoda Jordana...71 2.2.5 Metoda Doolittle a...73 2.2.6 Metody faktoryzacji macierzy...76 2.2.7 Metoda Choleskiego...92 2.3 Metody bezpoœrednie rozwi¹zywania uk³adów liniowych równañ algebraicznych z macierzami rozrzedzonymi....95 2.3.1 Sposoby reprezentacji macierzy rozrzedzonych...97 2.3.2 Macierze permutacyjne...105 2.3.3 Rozwi¹zywanie zadañ z macierzami rozrzedzonymi...107 2.3.4 Algorytm Cuthill-McKee minimalizacji wstêgi...108 2.3.5 Odwrotny algorytm Cuthill-McKee minimalizacja obwiedni...112 2.3.6 Algorytm minimalnego stopnia...116 2.3.7 Algorytm Markowitz a...123 Bibliografia...124
6 Symulacja Sieci Gazowych 3. PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA NIELINIOWYCH RÓWNAÑ ALGEBRAICZNYCH I ICH UK ADÓW...133 3.1 Wstêp...135 3.2 Metoda punktu sta³ego...135 3.3 Metoda Newtona...140 3.4 Metoda siecznych...147 3.5 Metoda po³owienia...149 3.6 Metoda regula falsi...152 3.7 Analiza zbie noœci metod...156 3.8 Metoda Newtona dla uk³adów równañ nieliniowych...169 Bibliografia...176 4. METODY SYMULACJI STATYCZNEJ SIECI GAZOWYCH...177 4.1 Wstêp...179 4.2 Podstawowe równania symulacji statycznej...179 4.2.1 I prawo Kirchhoffa...179 4.2.2 II prawo Kirchhoffa...179 4.2.3 Równanie przep³ywu...181 4.3 Metody oczkowe...182 4.3.1 Metoda oczkowa...186 4.3.2 Metoda oczkowo-wêz³owa...206 4.4 Metody wêz³owe...208 4.4.1 Metoda wêz³owa...210 4.4.2 Metoda wêz³owo-oczkowa...223 Bibliografia...225 5. PRZYK ADY OBLICZANIA SIECI...227 5.1 Metoda oczkowa wersja wektorowa...228 5.2 Metoda oczkowa wersja skalarna...264 5.3 Metoda oczkowo wêz³owa...283 5.4 Metoda wêz³owa wersja wektorowa...299 5.5 Metoda wêz³owa wersja skalarna...340 6. SIMNET SSV TM - PROGRAM DO SYMULACJI STATYCZNEJ SIECI GAZOWYCH...365 6.1 Wstêp...367 6.2 Struktura pakietu SimNet SSV...367 6.3 Modu³ Obliczeniowy...369 6.3.1 Odwzorowanie sieci gazowej na sieæ matematyczn¹...369 6.3.2 Parametryczny opis obiektów sieci gazowej...372 6.3.3 Zadanie Symulacji Statycznej...374 6.3.4 W³asnoœci Modu³u Obliczeniowego...375 6.4 Modu³ Bazy Danych...375 6.4.1 Struktura bazy danych...375 6.4.2 Modele elementów sieci gazowej opisane w bazie danych...376 6.5 Modu³ Geograficzny...381 6.5.1 Wspó³praca pakietu SimNetSSV z innymi systemami GIS...382 6.6 Modu³ Zarz¹dzaj¹cy...382 6.6.1 Edytor Zadania Symulacji Statycznej...383 6.6.2 Przygotowanie Zadania Symulacji Statycznej...383
Spis treœci 7 6.6.3 Dane i wyniki obliczeñ Zadania Symulacji Statycznej na ekranie...385 6.6.4 Funkcje nawigacyjne Modu³u Zarz¹dzania...386 6.6.5 Funkcje graficzne Modu³u Zarz¹dzania...386 6.7 Zastosowania...389 6.8 Wymagania sprzêtowe...389 6.9 Przyk³adowe Czasy obliczeñ w praktycznych zastosowaniach...390 6.10 Dodatkowe funkcje u ytkowe pakietu SimNet SSV...390 6.11 Przyk³adowe ekrany SimNetSSV Windows95...391 6.12 Bibliografia...398 INDEKS...399
Wstêp 9 Wstêp G³ównym celem stosowania programów symulacyjnych jest badanie zachowania siê sieci gazowych w okreœlonych warunkach. Komputerowe programy symulacyjne opracowywane s¹ w oparciu o modele matematyczne. Model matematyczny jest uk³adem równañ, który w okreœlony sposób i z okreœlon¹ dok³adnoœci¹ reprezentuje rzeczywisty system. Model matematyczny jest oczywiœcie uproszczeniem systemu rzeczywistego, poniewa zawiera tylko te aspekty systemu, które odpowiadaj¹ wymaganiom stawianym modelowi. Budowanie modelu matematycznego polega na okreœleniu odpowiednich zmiennych a potem sformu³owaniu równañ które te zmienne spe³niaj¹. Osi¹ga siê to, u ywaj¹c dobrze znanych praw fizyki takich jak prawo zachowania masy, momentu i energii oraz okreœlonych równañ uzupe³niaj¹cych. Na przyk³ad, przy przep³ywie gazu przez rurê powszechnie u ywa siê empirycznego wspó³czynnika aby wyraziæ efekt oporu przep³ywu gazu stawianego przez œciankê wewnêtrzn¹ rury. Modele mo na klasyfikowaæ zgodnie z za³o eniami przyjêtymi przy ich tworzeniu. Je eli system ma zmienne, które s¹ funkcj¹ czasu to nale y u ywaæ modeli dynamicznych opisywanych równaniami ró niczkowymi. Je eli zmienne nie s¹ funkcj¹ czasu, wtedy nale y stosowaæ modele statyczne opisywane równaniami algebraicznymi. Wybór modelu zale y od konkretnej sytuacji. W sieci gazowej niskociœnieniowej, zmiany ciœnienia i przep³ywu s¹ bardzo szybkie. S¹ one pomijane w wiêkszoœci rozpatrywanych przypadków, st¹d stosowanie modeli stanu ustalonego równañ algebraicznych nieliniowych. W przypadku sieci wysokiego ciœnienia, dynamika przep³ywaj¹cego gazu jest znacznie wolniejsza ze wzglêdu na ogromne iloœci gazu zmagazynowane w ruroci¹gach. Pominiêcie jej prowadzi³oby do du ych b³êdów w opisie zjawiska. St¹d koniecznoœæ stosowania modeli matematycznych w postaci równañ ró niczkowych ewolucyjnych (parabolicznych i hiperbolicznych). W zale noœci od stosowanego modelu symulacjê dzielimy na statyczn¹ lub dynamiczn¹. Symulacja statyczna dotyczy przypadku, gdy parametry przep³ywu nie s¹ funkcj¹ czasu. W niniejszej ksi¹ ce omówione bêd¹ tylko problemy zwi¹zane ze statyczn¹ symulacj¹ sieci gazowych. Zagadnienie symulacji statycznej sieci z matematycznego punktu widzenia podzieliæ mo na na nastêpuj¹ce etapy: a) formu³owanie modelu matematycznego, b) tworzenie uk³adu równañ algebraicznych nieliniowych, c) rozwi¹zywanie uk³adów równañ.
10 Symulacja Sieci Gazowych Ad. a) Model matematyczny ustalonego przep³ywu gazu w ruroci¹gu jest równaniem algebraicznym ogólnie nieliniowym. Okreœla on zale noœci miêdzy spadkiem ciœnienia, przep³ywem, wymiarami geometrycznymi gazoci¹gu i w³aœciwoœciami gazu. Przy wyborze konkretnego modelu ci¹gle pojawia siê problem z jednej strony jego dok³adnoœci w opisie zjawiska, a z drugiej z³o onoœci obliczeniowej. Rozs¹dny kompromis jest tutaj najlepszym rozwi¹zaniem. Nale y pamiêtaæ o podstawowej zasadzie symulacji, czym mniej dok³adny model tym mniej dok³adne rezultaty symulacji. Ad. b) Rozwi¹zaniem zadania symulacji s¹ ciœnienia w wêz³ach sieci i przep³ywy w rurach, które spe³niaj¹ I prawo Kirchhoffa, II prawo Kirchhoffa oraz równanie przep³ywu. W zale noœci od przyjêtej metody symulacji, uk³ad równañ algebraicznych nieliniowych tworzony jest w oparciu o niespe³nienie I lub II prawa Kirchhoffa w punkcie startowym procesu obliczeniowego. To powoduje, e równania b³êdu (algebraiczne nieliniowe) s¹ typu pierwiastkowego lub kwadratowego (prawie kwadratowego). Wp³ywa to zarówno na szybkoœæ zbie noœci algorytmów obliczeniowych jak równie czu³oœæ na dobór punktu startowego. Oczywiœcie dla du ych sieci o z³o onych strukturach, warunkiem koniecznym efektywnego tworzenia (formu³owania) uk³adów równañ algebraicznych nieliniowych jest odpowiedni zapis struktury (topologii sieci). Musi to byæ zapis prosty, jednoznaczny, ³atwy do modyfikacji. Te kryteria spe³nia teoria grafów. Struktura sieci zapisana w postaci grafu (jej reprezentacji macierzowej) zawiera pe³n¹ informacjê o incydencji poszczególnych elementów sieci. Ad. c) Efektywne rozwi¹zanie du ego uk³adu równañ algebraicznych nieliniowych nie jest rzecz¹ prost¹. Zastosowanie metody Newtona, powoduje koniecznoœæ rozwi¹zywania du ego uk³adu równañ algebraicznych liniowych o macierzach wspó³czynników posiadaj¹cych specyficzn¹ strukturê. Optymalne wykorzystanie tej struktury nie jest ³atwe. Pamiêtaæ nale y, e oczekujemy, aby algorytm obliczeniowy by³ szybki w sensie jego realizacji, dok³adny jeœli chodzi o wyniki koñcowe i niezbyt wymagaj¹cy w stosunku do zajêtoœci pamiêci komputera. Czytelnik znajdzie w rozdzia³ach 1., 2. i 3. wiedzê teoretyczn¹ niezbêdn¹ do zrozumienia algorytmów symulacji. W rozdziale 4. podano dok³adny opis szeroko stosowanych algorytmów statycznej symulacji sieci gazowych. Rozdzia³ 5. to 17 praktycznych przyk³adów obliczania sieci gazowych wybranymi metodami dla ró nych poziomów ciœnieñ. Pozwoli to zrozumieæ Czytelnikowi najdrobniejsze szczegó³y symulacji. Rozdzia³ 6. dotyczy wykorzystania w praktyce algorytmów symulacji. Opisany zosta³ pakiet do symulacji statycznej SimNet SSV sk³adaj¹cy siê z modu³u obliczeniowego, bazy danych oraz interfejsu graficznego, dzia³aj¹cy w œrodowisku GIS pod Windows 95, opracowany do celów wspomagania projektowania i eksploatacji sieci gazowych transportowych i rozdzielczych o dowolnych strukturach topologicznych. Pakiet ten akceptuje wiêkszoœæ stosowanych standardów graficznych rastrowych i wektorowych oraz standardów baz danych. Œwiadomie, pominiêto w ksi¹ ce problemy zwi¹zane z doborem odpowiedniego modelu. Przyjêto, e u ytkownik w oparciu o badania w³asne potrafi wybraæ najodpowiedniejszy wed³ug jego kryteriów model matematyczny opisuj¹cy ustalony przep³yw gazu w ruroci¹gu.