f l Ry. 3. Rozpatrywany łuk parabolczny 4 f l x x 2 y x l 2 f m l 2 m y x 4 2 x x 2 2 2,86 x,43 x 2 tg y x dy 4 f l 2 x l 2 4 2 2 x 2 2,86,86 x Mechanka Budowl Projekty
Zgodne ze poobem rozwązywana układów tatyczne newyznaczalnych (hpertatycznych) metodą ł, zamenamy rozpatrywany, dwukrotne tatyczne newyznaczalny układ (Ry. 3.. a)), na tzw. układ podtawowy (układ zatępczy), tak amo obcąŝony geometryczne dentyczny z rozpatrywanym ale tatyczne wyznaczalny (Ry. 3.. b)). f = l = 2 Ry. 3.. Dany układ: a) rzeczywty dwukrotne tatyczne newyznaczalny; b) układ podtawowy (zatępczy), tatyczne wyznaczalny, z newadomym łam: X oraz X 2 PowyŜzy układ podtawowy (Ry. 3.. b)) dla dowolnych X ne pełna warunku dentycznośc knematycznej z rzeczywtym układem, ponewaŝ dozna on przemezczeń w mejcu odrzuconych podpór. Aby pełnć ten warunek, do układu podtawowego wprowadzamy dodatkowe warunk na X, w potac równań lnowych (tzw. równań kanoncznych), wyraŝających zgodność przemezczeń układu rzeczywtego podtawowego a konkretnej rzecz ujmując przez lczene przemezczeń w układze tatyczne wyznaczalnym, takch punktów, których w układze tatyczne newyznaczalnym znamy konkretne wartośc. Ogólne, dla obcąŝena zewnętrznego równana kanonczne przyjmą natępującą potać (3..): n k X k p = (3..) k= a w nazym przypadku dla układu dwukrotne tatyczne newyznaczalnego, przyjmą one potać natępującego układu równań (3..2): { X 2 X 2 p = 2 X 2 2 X 2 2 p = (3..2) gdze δ k, δ k p to odpowedne przemezczena. Jako Ŝe rozpatrywany układ jet łukem wynołym (3..3): f l 2 (3..3) 5 5 oraz cenkm, w oblczenach przemezczeń pomjamy wpływ ł normalnych tnących, tąd wpółczynnk
δ k, δ k p wyraŝone będą natępującym wzoram (3..4 3..5): M M k m m k k d kn m 2 m m m 4 kn p M M o p d (3..4) m kn m kn m 2 m 4 m m (3..5) Warto zaznaczyć, Ŝe w celu oblczena powyŝzych (3..4 3..5) wpółczynnków (przemezczeń), ne moŝemy korzytać z twerdzena Mohra-Werezczagna, z tytułu neprotolnowośc całkowanych wykreów (obydwa ą krzywolnowe). PowyŜze całkowane moŝemy węc wykonać w poób tradycyjny przy wykorzytanu odpowednch matematycznych zaleŝnośc lub korzytać z nnych poobów ułatwających to całkowane. W projekce korzytano z metod numerycznych. W takm przypadku dokonano natępujących modyfkacj wzorów na wpółczynnk równana kanoncznego (3..6): d d tąd: k k M M k k m m kn m 2 m m m 4 kn (3..6) p M M p p m kn m kn m 2 m 4 m m gdze: Ω to pole wykreu pod rozpatrywaną krzywą. W projekce pole to wylczono toując metodę parabol (Smpona) (3..7) oraz w celu porównana wynków, metodę protokątów (3..8). = n a 3 q 4 q 2 q 2 4 q 3 2 q n 2 4 q n q n (3..7) = n a 2 q q q n 2 q n (3..8) gdze: q to odpowedna rzędna pod rozpatrywaną krzywą. W celu korzytana z powyŝzych zaleŝnośc mumy wyznaczyć odpowedne wykrey ł wewnętrznych (Ry. 3..2).
2 2 2 2 ( x ) p 2 2 Ry. 3..2 Wykrey momentów zgnających w układze podtawowym pochodzące kolejno od: a) obcąŝena zewnętrznego; b) ły jedynkowej przyłoŝonej w mejce newadomej X ; c) ły jedynkowej przyłoŝonej w mejce newadomej X 2 Po uwzględnenu powyŝzych wykreów (Ry. 3..2) w wzorach umacyjnych całkowana numerycznego (3..7 3..8) a natępne po podtawenu uzykanych w ten poób wartośc (Tab. 3..) do odpowednch wzorów na wpółczynnk (3..4 3..5), uzykano natępujące welkośc: Metoda Parabol (Smpona) 2 2 2 2 p 2 p 9,3628 799,8332 68,727 3494,247 m 3 m 3 2 2 m 3 2 2 kn m 3 kn m 3 Metoda Protokątów p 2 p 93,73 84,5758 m 3 825,6665 m 3 m 3 3869,65865 kn m 3 kn m 3 (3..9) Tab. 3.. Dane potrzebne do wyznaczena wpółczynnków równań kanoncznych
x y [-] M M 2 M p [kn m] M 2 [m 2 ] M M 2 [m 2 ] M 2 2 [m 2 ] M M p [kn m 2 ],3894 - - 2878 56,7438 3,8939,87,26455-3,483-9 5,3457 39,63972 2,4282 2,548,238-2,752-8 9,9282 26,72332 77,6848 3 2,93,6722-2,7-7 5,882 7,2534 57,938 4 2,752,2528 -,548-6 2,6965,456 4,59 5 3,225,8853 -,75-5,25793 5,8585 27,2328 6 3,62,575 -,688-4,557 2,928 6,9222 7 3,93,3275 -,387-3,5467,992 9,2947 8 4,28,468 -,72-2,32,3495 4,5874 9 4,257,369 -,43 -,86,436,369 M 2 M p [kn m 2 ] 4,257,369 -,43 -,86 -,436,369,4359 -,369 2 4,28,468 -,72 2-4,32 -,3495 4,5874 6,983-8,7473 3 3,93,3275 -,387 3-9,5467 -,992 9,2947 35,9754-278,8438 4 3,62,575 -,668 4-6,557-2,928 6,9222 6,45-676,89 5 3,225,8853 -,75 5-25,25793-5,8585 27,2328 292,54274-36,6639 6 2,752,2528 -,548 6-36 2,6965 -,456 4,59 627,9627-243,6568 7 2,93,6722-2,7 7-49 5,882-7,2534 57,938 25,7359-43,56676 8,548,238-2,752 8-64 9,9282-26,72332 77,6848 237,866-624,72678 9,87,26455-3,483 9-8 5,3457-39,63972 2,4282 3567,57446-928,53865 2,3894 - - 2878-56,7438 3,8939 567,43756-389,38968 M M k, M M p = n Po podtawenu otrzymanych w ten poób wpółczynnków (3..9) do układu równań kanoncznych (3..2), przyjme on natępującą potać (3..): 9,3628 799,8332 Metoda Parabol (Smpona) X 68,727 X 2 3494,247 93,73 84,5758 a po jego rozwązanu otrzymamy pozukwane newadome (3..): Metoda Protokątów X 825,6665 X 2 3869,65865 (3..)
Metoda Parabol (Smpona) { X = 6,279 X 2 =38,567 Metoda Protokątów { X = 6,279 m X 2 =38,379 [ m/kn ] =kn (3..) Jak wdzmy z powyŝzych wynków (3..) róŝnca mędzy dwema uŝytym metodam całkowana numerycznego jet newelka. Do dalzych oblczeń przyjęto jednak wynk oblczone metodą parabol (Smpona) gdyŝ jet ona metodą dokładnejzą. Po oblczenu pozukwanych newadomych metody ł przytępujemy do wylczena ł wewnętrznych. W projekce momenty zgnające znalezono (Ry. 3.2. Tab. 3.2.) przez geometryczne umowane (tzn. toując zaadę uperpozycj kutków), zgodne ze wzorem (3.2.): k M n =M p = X M dla k=2 M n =M p X M X 2 M 2 (3.2.) zaś ły tnące (poprzeczne) normalne (Ry. 3.2. Tab. 3.2.) przez ponowne rozwązane układu podtawowego, ale juŝ z konkretnym wylczonym przez na danym, podtawonym za odpowedne newadome. Tab. 3.. Oblczena ł wewnętrznych x y tg [-] n [-] [-] M n [kn m] T n [kn ] N n [kn ],86,652,7582 8,433-46,889-3,4,87,774,62,798 6,59-4,998-5,38 2,548,688,5668,8238 4,746-34,473-7,424 3 2,93,62,558,8567-22,97-27,28-9,3 4 2,752,56,4586,8887-48,94-9,4-2,83 5 3,225,43,395,987-65,783 -,88-2,895 6 3,62,344,3253,9456-72,627 -,743-22,367 7 3,93,258,2498,9683-69,47 7,898-22,24 8 4,28,72,695,9855-56,33 7,894-2,64 9 4,257,86,857,9963-33,57 28,53-9,2 38,57-6,279 4,257,86,857,9963 33,57 28,53-4,296 2 4,28,72,695,9855 56,33 7,894-4,99 3 3,93,258,2498,9683 69,47 7,898-8,49 4 3,62,344,3253,9456 72,627 -,743-23,566 5 3,225,43,395,987 65,783 -,88-3,252 6 2,752,56,4586,8887 48,94-9,4-4,863 7 2,93,62,558,8567 22,97-27,28-52,47 8,548,688,5668,8238-4,746-34,473-64,858 9,87,774,62,798-6,59-4,998-78,772 2,86,652,7582-8,433-46,889-93,689
f = l = 2 Ry. 3.2. Zetawene wynków (wykreów ł wewnętrznych powtałych od obcąŝena zewnętrznego) dla rozpatrywanego łuku tatyczne newyznaczalnego
Metoda ta polega na wykazanu, Ŝe dla wybranych punktów (na ogól punktów, które ne doznają przemezczeń w układze tatyczne newyznaczalnym) przemezczena ą równe wartoścą rzeczywtym tam wytępującym. Przemezczena wylczymy korzytając z równana pracy wrtualnej oraz z twerdzeń redukcyjnych, z których wynka, Ŝe lcząc przemezczena w układze tatyczne newyznaczalnym, jeden ze tanów (rzeczywty lub wrtualny), moŝemy wylczyć dla dowolnego układu podtawowego (3.3.). M n M n d M M n d M n M d kn m m kn m 2 m 4 m m (3.3.) Wyberamy nowy (nny nŝ poprzedno) układ podtawowy (Ry. 3.3.a)). Warto zaznaczyć, Ŝe jeŝel wyberzemy ten am układ podtawowy co przy lczenu wpółczynnków, pommo pełnena kontrol knematycznej wynk mogą być neprawdłowe, ponewaŝ efektem tego prawdzena będze wykazane poprawnośc równana kanoncznego a ne konkretnych wartośc X. (Moglbyśmy np. dwukrotne korzytać ze źle oblczonych wykreów M.) 2 2 Ry. 3.3. Nowy układ podtawowy wykorzytany w kontrol knematycznej: a) obcąŝony jedynkową ła wrtualną; b) wykre momentów zgnających od rozpatrywanego obcąŝena Oblczając (Tab. 3.3.) kąt obrotu przekroju w punkce S (Ry. 3.3. a)), korzytamy analogczne jak
wcześnej z metod numerycznych a konkretnej rzecz ujmując toując metodę parabol (3..7). W tym celu połuŝymy ę wykream ł wewnętrznych dla rozpatrywanego układu tatyczne newyznaczalnego (Ry. 3.2.), oraz wykreem ł wewnętrznych dla układu podtawowego obcąŝonego łą wrtualną (Ry. 3.3. b)). x y Tab. 3.3. Oblczena kąta obrotu przekroju w punkce S [-] M n [kn m] M [-] M n M [kn m],3894 8,433 -, -56,267,87,26455 6,59 -,9-7,948 2,548,238 4,746 -,8-959 3 2,93,6722-22,97 -,7 8,5432 4 2,752,2528-48,94 -,6 33,4284 5 3,225,8853-65,783 -,5 35,8368 6 3,62,575-72,627 -,4 3,7254 7 3,93,3275-69,47 -,3 2,52348 8 4,28,468-56,33 -,2,4286 9 4,257,369-33,57 -, 3,3279 4,257,369 33,57, 3,3279 2 4,28,468 56,33,2,4286 3 3,93,3275 69,47,3 2,52349 4 3,62,575 72,627,4 3,7255 5 3,225,8853 65,783,5 35,837 6 2,752,2528 48,94,6 33,429 7 2,93,6722 22,97,7 8,5442 8,548,238-4,746,8-943 9,87,26455-6,59,9-7,9457 2,3894-8,433, -56,2573 -,6 S,6 rad (3.3.2) Jak wynka z powyŝzego (3.3.2) prawdzene knematyczne zotało pełnone.
Sprawdzene to polega na wykazanu, Ŝe przy wyznaczonych łach wewnętrznych, pełnone ą warunk tatycznej równowag (ΣX =, ΣY =, ΣM = ), prawdza węc poprawność wykonana wykreów ł wewnętrznych, przy danych wartoścach newadomych (nekoneczne prawdłowych). Ne bada węc poprawnośc amych oblczeń newadomych. W tym celu rozpatrywany przez na układ zaweśmy na wewnętrznych łach przypodporowych (Ry. 3.4.). n,652,7582 2 Ry. 3.4. Rozpatrywany układ zawezony na wewnętrznych łach przypodporowych X 3,4 46,889 n 93,689 46,889 n,4, Y 3,4 n 46,889 93,689 n 46,889 2,2, M K (3.4.) 8,433 3,4 n 3,4 46,889 46,889 n 2 5 93,689 n 93,689 46,889 46,889 n 8,433,337, Jak wynka z powyŝzego (3.4.) prawdzene tatyczne zotało pełnone.