Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między y t oraz y t-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników. Jeśli współczynniki dla kilku pierwszych rzędów są duże i statystycznie istotne, to wskazuje to na występowanie trendu. Jeśli występuje statystycznie istotny współczynnik autokorelacji rzędu równego liczbie faz cyklu sezonowego, to wskazuje to na występowanie wahań sezonowych. Należy zwrócić uwagę na kierunek autokorecji. Test współczynnika korelacji liniowej Pearsona Dla zbadania czy współczynnik korelacji liniowej ρ XY pomiędzy zmiennymi Y i X i jest równy zero posłużymy się poniższym twierdzeniem. Niech (y t, x it ) dla t = 1, 2, n, będzie próbą prostą z populacji (Y, X i ) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym, ze współczynnikiem korelacji ρ YX i oraz niech ryx i będzie współczynnikiem korelacji liniowej z próby obliczonym ze znanego wzoru. Jeśli ρ YX i = 0 to statystyka: n 2 t = ryx, () i 1 r 2 YXi ma rozkład t Studenta z m = n-2 stopniami swobody. Zapiszmy hipotezy: H o : ρ YX i = 0, H 1 : ρyx i 0. W celu weryfikacji hipotezy H o należy obliczyć wartość statystyki (). Obszar krytyczny dla poziomu istotności α zdefiniowany jest za pomocą nierówności: P( t t ( α; m)) α, gdzie: t ( α ; m) jest wartością krytyczną rozkładu t-studenta dla prawdopodobieństwa α oraz m= n- 2 stopni swobody. Jeśli spełniona jest nierówność:
r YX r, i gdzie: r = ( t ( α; m)) 2. ( t ( α; m)) 2 + n 2 Przykład. Dane są następujące szeregi czasowe dotyczące miesięcznej wielkości sprzedaży pewnego produktu (tys. zł). Jakie metody prognozowania można zastosować do postawienia prognozy na kolejne okresy? Do dekompozycji szeregu wykorzystaj metodę oceny wzrokowej wykresu rozrzutu punktów empirycznych oraz analizę autokorelacji. t yt yt yt 1 177,0166 128,7191 151,5972 2 214,2169 141,7219 131,77 3 397,8964 152,5871 161,1542 4 294,188 145,5124 139,5006 5 165,0348 186,0922 159,1746 6 252,9817 157,7378 153,0072 7 275,1226 181,8923 156,5444 8 341,477 217,381 140,0083 9 201,769 178,0151 157,1847 10 232,3437 194,3411 169,8081 11 449,4711 211,0232 173,2663 12 358,1827 245,208 129,7031 13 211,6088 184,8195 143,3046 14 288,2686 246,86 147,7781 15 429,4394 208,839 131,1875 16 217,7666 127,3377 17 292,9431 139,6759 18 244,7659 152,9273 19 278,8276 169,3273 20 284,0827 152,1501 21 155,3566 22 131,4374 23 138,869
Rozwiązanie a) Pierwsze dane (15 obserwacji) W komórce I2 znajduje się wartość poziomu istotności
Występuje korelacja dla parzystych rzędów badanych autokorelacji. Co druga istotna korelacja jest doda tkania a co druga ujemna, wskazuje to na występowanie wahań okresowych z czterema fazami w cyklu (w sytuacji dwóch faz wszystkie korelacje byłyby ujemne lub dodatnie). Wzrokowa ocena wykresu również wskazuje na cztery fazy w każdym cyklu. Występują również wahania przypadkowe oraz brak trendu. W związku z tym, do prognozowania można (należy) wykorzystać metody uwzględniające wahania sezonowe metodę wskaźników, model Wintersa, metodę trendów jednoimiennych okresów, analizę harmoniczną b) Drugie dane (20 obserwacji)
Dla kilku pierwszych rzędów autokorelacja jest istotna występuje trend, potwierdza to również analiza wzrokowa wykresu rozrzutu punktów empirycznych. Występują również wahania przypadkowe. Brak wahań okresowych. Można wykorzystać: metodę analityczną, model Holta, model trendu pełzającego. c) Trzecie (ostatnie) dane 23 obserwacje Brak autokorelacji. Brak wahań okresowych, brak trendu. Można zastosować (pod warunkiem dopuszczalnej zmienności losowej): metodę naiwną, metodę średniej ruchomej ważonej, prosty model wygładzania wykładniczego.
Uzupełnienie Jakie metody prognozowania można zastosować do postawienia prognozy na kolejne okresy? Do dekompozycji szeregu wykorzystaj metodę oceny wzrokowej wykresu rozrzutu punktów empirycznych oraz analizę autokorelacji. yt 316,9337 394,2247 622,9068 540,7261 378,3453 432,9515 754,6442 605,8492 457,6502 604,0228 763,2993 657,1564 549,944 642,6769 893,0822 733,122 689,6191 680,0005 1072,55 972,9558 703,9051 874,8925 1038,458
Rozwiązanie Analiza autokorelacji nie daje odpowiedzi dotyczącej wahań okresowych (na wahanie okresowe wskazuje analiza wzrokowa wykresu). Należy najpierw wyeliminować trend. Po eliminacji trendu analiza autokorelacji wskazuje na cztery fazy w każdym cyklu Można zastosować: metodę Wintersa, metodę wskaźników, metodę trendów jednoimiennych okresów, analizę harmoniczną.