M 1 2 ( V (c n(g X) X )).

ËÓÖÞÒ Û Ö ÏÝÝ ½¹ ÈÓØÖ ËÒÓÛ ÅÖ ½ ¾¼½ ½ ÏÝ ½ ËÓÖÞÒ Ö Ò¹ÛÙÞÐÒÝ Ï ØÝÑ ÛÝÞ ÙÔÑÝ Ò ÔÖÓÐÑ ÞÒÓÛÒ ÓÖÞ Û ÓÛÓÐÒÝ Öº ÞÒÑÝ Ó ÔÓ ØÛÒ ØÛÖÞÒ Ö³ ÙÓÛÓÒÒ Ó Þ ÛÖ º Æ ØÔÒ ÙÓÛÓÒÑÝ ÐÑØ Ó ¹ ÒÙ Ýк ÏÝÓÖÞÝ ØÙ ØÒ ÐÑØ ÔÓ ÑÝ ÐÓÖÝØÑÙ ÑÓÒ ½ ÞÒÙÝ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ Û Þ O(n 3 ) Þ n ØÓ ÐÞ ÛÖÞÓÛ Û Öº ÐÓÖÝØÑ ØÒ Þ ÒÓÞÒ ÓÑ ÓÛÓÙ ØÛÖÞÒ Öº Ï Ö ÛÙÞÐÒÝ Ý ÔÓÞ ÔÓÔÖÛÒÓ ÐÓÖÝØÑÙ ÞÒÓÛÒ Ó ÓÒÝ ÓÖÞ Ó¹ ÖÞÝ ØÑÝ Þ ØÛÖÞÒ Ö³ ØÖ ÑÛ ÓÖÞÒ Ø Ñ ÝÑÐÒ Ý Ò ØÒ ÛÞÐÑ ÒÓ ÔÓÛ Þº ÌÙØ ÓÖÞÝ ØÑÝ Þ ÓÑÔÐÑÒØÖÒÓ ÔÓ ÑÒÓÛ ÛÝÓÖÞÝ ØÑÝ ÔÓÒ ÞÝ ÐÑغ ÂÒ ÔÖÞ Ó ÓÖÑÙÓÛÒÑ ÛÔÖÓÛõÑÝ Ð ÓÞÒÞº Æ c n (H) ÓÞÒÞ ÐÞ ÔÒÝ ÓÛÝ ÖÙ H Ó ÒÔÖÞÝ Ø ÐÞ ÛÖÞÓÛº ÄÑØ ½º Ð ÓÛÓÐÒÓ ÓÖÞÒ M Û Ö G = (V,E) ÓÛÓÐÒÓ ÔÓÞÓÖÙ ÛÖÞÓÛ X V ÞÓÞ M 1 2 ( V (c n(g X) X )). ½µ ÓÛ ÙÛ ÑÝ Ð ÒÔÖÞÝ Ø ÓÛ Þ ÖÙ G X Ò ÓÖÞÝÑÝ Þ ÛÖÞÓÑ Þ X ØÓ ÔÓÞÓ ØÒ Û Ò Ó ÒÑÒ Ò ÛÖÞÓ ÛÓÐÒݺ ÈÓÒÛ Þ c n (G X) ÒÔÖÞÝ ØÝ ÓÛÝ ÑÓ ÑÝ ÓÖÞÝ Û ØÒ ÔÓ Ó ÒÛÝ X ØÓ Ð ÓÛÓÐÒÓ ÓÖÞÒ M Û Ö ÔÓÞÓ ØÒ Ó ÒÑÒ c n (G X) X ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒݺ ÞÝÐ ÓÖÞÓÒÝ ÛÖÞÓÛ Þ Ó ÒÛÝ V (c n (G X) X ) Ó Þ ØÝÑ Þ ÖÓÞÑÖ M Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Ø Û ½µº ÄÑØ ØÒ ÑÛ Û ÐÙ ÙÓÛÓÒÒ ÓÖÞÒ M Ø Ñ ÝÑÐÒ ÑÙ ÑÝ ÔÓÞ ÞÖ X V Ø Û ½µ Þ ÞÓÞ ÖÛÒÓº Æ ØØÝ ÐÑØ ØÒ Ò ÑÛ Ø ÞÖ ÑÙ ØÒº ÂÒ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ØÖÝ Þ Ð ÔÖÞ ØÛÑÝ ÔÓÞÛÓÐ Ò ÓÒ ØÖÙ ØÓ ÞÓÖÙ ØÝÑ ÑÝÑ ÔÓÞÛÓÐ ÒÑ Ò ÙÓÛÓÒÒ Ò ØÔÙ ÐÒ Þ ÛÖ ÄÑØÙ ½º ÌÛÖÞÒ ½ Ö³µº Æ M Þ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û Ö G = (V,E) ÛØÝ { 1 M = min 2 ( V (c 0(G X) X )) } X V(G). ½º½ ÄÑØ Ó ÒÙ ÝÐ ÛÒÝÑ ÔÖÓÐÑÑ Û ÓÒ ØÖÙ ÐÓÖÝØÑÙ ÞÒÙÓ Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ Û Ö ÓÛÓÐÒÝ Ø ÔÖÓÐÑ ÞÒÐÞÒ ÔÓÛ Þݺ Æ ØØÝ ÓÒ ØÖÙ Ù ÝÛÒ Ð ÖÛ ÛÙÞÐÒÝ ØÙ¹ Ø Ò ÞÞ ÔÓÒÛ Û Ö Ó ÛÖÞÓ ÑÓ ØÒ ÒÔÖÞÑÒÒ ÓÞ ÖÛÞ ÏÝÞ ÅØÑØÝ ÁÒÓÖÑØÝ ÅÒ ÍÒÛÖ ÝØØ ÏÖ ÞÛ Ùк ÒÑÑÙÛºÙºÔÐ Ò ¾ ¼¾¹¼ ÏÖ ÞÛ ÑÐ ½

ÓÖÞÓÒ Ò ÓÖÞÓÒº Æ ÑÓ ÑÝ Û ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÔÑØ ÞÝ ÛÖÞÓ ÞÓ Ø ÙÞ ÓÛÞÓÒÝ Ù Ý Þ ØÑÙ ÔÖÓ ØÓ ÔÖÞ ÞÙÛÒ ÖÙº Ï ÐÙ ÔÓÖÞÒ Ó Þ ØÑ ØÖÙÒÝÑ ÔÖÞÝÔÑ Ù ÝÑÝ Ò ØÔÙÓ ÐÑØÙº ÄÑØ ¾ Ç ÒÙ Ýеº Ð ÖÙ G Ò M Þ ÓÖÞÒÑ Û G Z Þ ÝÐÑ ÙÓ 2k +1 ÞÛÖÝÑ k ÖÛÞ Þ M ÖÓÞÞÒÝÑ Þ Ö ÞØ Mº ËÓÒ ØÖÙÙÑÝ ÒÓÛÝ Ö G Þ G ÔÓÔÖÞÞ Ò Z Ó ÒÓ ÛÖÞÓº ËÓÖÞÒ M = M E(Z) Ø Ñ ÝÑÐÒ Û G ÛØÝ ØÝÐÓ ÛØÝ Ý ÓÖÞÒ M Ø Ñ ÝÑÐÒ Û Gº ÓÛ ÍÓÛÓÒÑÝ ÒÔÖÛ Ð M Ø ÓÖÞÒÑ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ØÓ Ø M Ø Ñ ÝÑÐÒº ÑÝ ÔÖÞÛÒ M Ò Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û º ÏØÝ ØÒ ÔÓÛ Þ P ÛÞÐÑ Mº  РP Ø ÖÓÞÞÒ Þ Z ØÓ P Ø Ø ÔÓÛ Þ ÛÞÐÑ M M Ò Ø Ñ ÝÑÐÒº ØÑ P ÔÖÞÒ Þ Zº ÈÓÒÛ Z Ñ Ò ÛÖÞÓ ÛÓÐÒÝ ØÓ Ó ÒÑÒ Ò Þ ÓÛ P Ò Ð Ý Ò Z ÓÞÒÞÑÝ ØÒ ÛÖÞÓ ÔÖÞÞ xº ÈÓÞÝÒ Ó x Ò z Þ ÔÖÛ ÞÝÑ ÔÙÒØÑ Ò Z Ð ÝÑ Ò P º ÏØÝ P[x,z] Ø ÔÓÛ Þ ÛÞÐÑ M Û G ÔÓÒÛ Z ÔÓ ÒÙ Ó z Ø ÛÓÐÒݺ ÈÓ ÑÝ ØÖÞ Û ÐÑ ÞÓÞ Ø ÛÝÒÒ Û ÖÙÑ ÖÙÒÙº Æ M Ò Þ Ñ Ý¹ ÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G ÓÖÞ Ò N Þ ÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G º ÊÓÞÛÑÝ ÝÐ Z Ý ÓØÛÓÖÞÝ Gº ÏØÝ N Þ ÓÖÞÒÑ Û G ÓÖÞÝÑ Ó ÒÛÝ Ò ÛÖÞÓ Þ Zº ÅÓ ÑÝ ÛØÝ N ÔÓÛ ÞÝ Ó k ÖÛÞ Þ Z ÓØÖÞÝÑÙ ÓÖÞÒ N Ó ÖÓÞÑÖÞ N = N +k > M +k = M. ÞÝÐ M Ò Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G Ó ÓÞÝ ÓÛ ÐÑØÙº ÙÛ ÑÝ Ð ÞÒÞÑÝ Û Þ ÓÖÞÒ Ó M Û G ØÓ Ò ØÝÐÓ ÛÑÝ M Ò Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Ð Ø ÙÑÑÝ ÓÒ ØÖÙÓÛ ØÓ Û Þ ÓÖÞÒº ÒÑ ÛÝÓÖÞÝ ØÑÝ Ø Ó ÖÛ Û ÓÒ ØÖÙ ÐÓÖÝØÑÙ ÑÓÒ ÛÔÖÓÛõÑÝ ÔÛÒ ÓÞÒÞÒº ½º¾ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ Æ M Þ ÔÛÒÝÑ ÓÖÞÒÑ ÓÖÞ Ò Ë ÓÞÒÞ ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ Ð Mº Ä Ñ M¹ÐØÖÒÙÝÑ ÒÞÛÑÝ Ð L Ø ÓÖÞÒÑ Ó ÖÞÛ Û L Ø ÛÖÞÓ S ÖÞÛÓ ØÓ Ò ÞÛÖ ÒÒÝ ÛÖÞÓÛ Þ S Ý ÛÖÞÓ S ÒÐ Ý Ó Ò ÓÛ F ÖÛõ Û ÓÐÓ ÒÔÖÞÝ Ø Ó ÓÖÞÒ ÒÐ Ý Ó Mº ÙÛ ÑÝ Ý ÔÙÒØ Û Ð L Û ÓÐÓ ÔÖÞÝ Ø Ó S Ñ ØÓÔ 2 Ø ÔÙÒØÝ ÒÞݹ Û ÞÑÝ ÛÛÒØÖÞÒÝѺ ÈÓÞÓ Ø ÔÙÒØÝ Û L ÒÞÝÛ ÞÑÝ ÞÛÒØÖÞÒÝѺ Æ ÔÖÞÝ Ð Ý ØÝÐÓ Þ ÔÙÒØÛ S Ø M¹ÐØÖÒÙݺ ¾

ÐÓÖØÑ ½ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ÞÒÙÝ Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ Û Ö G = (V,E)º ½ M = ¾ Ð L ØÓ ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ ÖÔØ ØÒ ÞÛÒØÖÞÒÝ ÛÖÞÓ x L Ò Þ ÛÖÞÓÑ y / L ØÒ ÞÒõ ÛÖÞÓ z Ø yz M L = L+xy +yz Ð x 1,x 2 L ØÓ ÛÖÞÓ ÞÛÒØÖÞÒ ÔÓÞÓÒ ÖÛÞ ØÒ x 1,x 2 ÒÐ Ó Ö ÒÝ ÓÛÝ L ØÒ Ò P i ØÓ Þ x i Ó ÓÖÞÒ Ó ÓÛ ½¼ ÖÓÞÛ Û ÞÝ Ø ÒØ ÝÐ Û Ö G ½½ M = M (P 1 +P 2 +x 1 x 2 ) ½¾ Ð L ØÓ ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ ½ Ð ½ Ò C Þ ÝÐÑ ÙØÛÓÖÞÓÒÝÑ ÔÖÞÞ ÖÛõ x 1 x 2 ÓÖÞ x y Û L ½ Ò P Þ Û L Þ C Þ ÓÖÞÒÑ ÖÞÛ ½ M = M P ½ ÙØÛÖÞ Ö G ÔÓÔÖÞÞ Ò C ½ G = G ½ Ò ¾¼ Ð ¾½ ÖÓÞÛ Û ÞÝ Ø ÒØ ÝÐ Û Ö G ¾¾ ÖØÙÖÒ M ¾ Ò ¾ ÙÒØÐ ÄË ÌÛÖÞÒ ¾º ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ÞÒÙ Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ M Û Ö Gº ÓÛ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ÓÞÝ ÞÒ Ý Ý ÛÖÞÓ ÞÛÒØÖÞÒÝ Û L Ñ Ó Û ÛÖÞÓ ÛÛÒØÖÞÒº ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞ W ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÛÒØÖÞÒÝ Û L ÔÖÞÞ Z ÞÖ ÛÖÞ¹ ÓÛ ÞÛÒØÖÞÒݺ ÅÑÝ ÛØÝ Z W = V 2 M ÔÓÒÛ Û ÝÑ ÖÞÛ Ø Ò ÛÖÞ¹ Ó ÞÛÒØÖÞÒÝ Û Ø ØÓ ÛÖÞÓ ÛÓÐÒݺ  Р٠ÙÒÑÝ ÛÖÞÓ W Þ G ØÓ ÓØÖÞÝÑÑÝ Ö Ý Þ ÞÓÐÓÛÒÝ ÛÖÞÓÛ ÞÛÒØÖÞÒݺ ÐØÓ c n (G W) = Z 1 2 ( V (c n(g W) W )) = 1 2 ( V Z + W )) = 1 (2 M ) = M, 2 ÞÝÐ ÒÖÛÒÓ Û ÄÑ ½ ÞÓÞ Þ ÖÛÒÓº ËÓÖÞÒ M Ø Û Ñ ÝÑÐÒº ÙÛ ÑÝ Þ ÄÑØÙ Ó ÒÙ ÝÐ ÛÝÒ Þ ÓÒÓ Ø Ñ ÝÑÐÒ ÔÓ ÖÓÞÛÒÙ Û ÞÝ Ø ÒØÝ Ýк ½º ËÞÞÝ ÑÔÐÑÒØ ÐÓÖÝØÑÙ ÑÓÒ ÏÔÖÓ Ø ÞÑÔÐÑÒØÓÛÒÝ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ÞÓÒ Þ ØÝÑ ÑØÑ Þ Þ Û Þ O(n 2 m)º Ï ÐÙ ÞÛÖÒØÓÛÒ Þ Ù ÞÒ O(n 3 ) ÑÙ ÑÝ ÙÞÙÔÒ ÞÞ Ð ÞÞÛ ÑÔÐÑÒع ÝÒݺ ÈÓ ÔÖÛ Þ Ò ÞÑÝ Ù ÙÛ ÛÖÞÓÛ ÒÐ Ý Ó ÒÝ ÝÐ ØÝÐÓ ØÝØÓÛ Ó ÒØÝÛÒº ÆØÓÑ Ø Ý ÖÔÖÞÒØÓÛ ÛÖÞÓ ÓØÖÞÝÑÒ Þ Ò ÝÐ ÞÑÝ Ó¹ Û ÒÓÛ ÛÖÞÓ ÖÔÖÞÒØÙ ¹ ÞÛÒ Ô ÙÓÛÖÞÓѺ Þ ØÑÙ ØÛ Þ ÒÑ ÓØÛÖÞ ÔÖÞÝ ÖÓÞÛÒÙ ÒØÝ Ýк ÃÖÛÞ Ñ Ò ÓÒ Ý ÛÖÞÓÑ ÒØÝÛÒÝÑ ÒÞÝÛ ÞÑÝ Ø ÒØÝÛÒÝѺ ÈÓÞÓ Ø ÖÛÞ ØÝÛÒº Ï ØÖ ÞÒ ÐÓÖÝØÑÙ ÒÓÖÙÑÝ ÛÖÞÓ ÖÛÞ ÒØÝÛÒº

ÌÖÞÝÑÒ ÒÓÖÑ Ó ÖÛÞ ÒØÝÛÒÝ Û Ö ÑÓ ÞÛ ÞÝ ÙÓ Ð Ø ÞØÛº ÈÓ ÒÙ Ð Û ÞÝ Ø Ò Ó ÒÓ ÛÖÞÓ ÛÖÞÓ Ñ Ð ØÝ ÞØÛ Ù Þ Ó ½º ÂÒ Ø Ó ÒÛÝ n/2 ÓÒØÖ Û Ð ØÝ Ø ÙÓ Ó ÒÛÝ 3 2 nº ÈÓ ÑÝ ØÖÞ ÑÞÝ ÞÒÐÞÒÑ ÓÐÒÝ ÔÓÛ ÞÝ ÙÔÝÒ Þ O(n 2 )º ÈÓÑ Þ ÔÓØÖÞÒÝ Ò Ò ÖÓÞÛÒ ÝÐ Þ ÔÓØÖÞÒÝ Ò ÔÖÞØÛÓÖÞÒ Ó ÛÖÞÓ ÛÝÒÓ O(n)º Ã Ý ÛÖÞÓ ÔÖÞØÛÓÖÞÓÒÝ Þ ØÝÐÓ ÖÞ Û ÑÓÑÒ ÓÒ Ó Ó Ð ÙL ÐØÓ ÓÛØÝ Þ ØÓ O(n 2 )º ÈÓ ÑÝ ØÖÞ Ò Ò Û ÞÝ Ø ÝÐ ÔõÒ Þ ÖÓÞÛÒ ÔÓØÖÞ Ø Þ Ù O(n 2 )º ÑÑÝ ØÖÞ ÒÑ Ýк Æ i 1 i 2... i k i 1 ØÓ ÝÐ Cº ÈÖÓÐÑÑ Ø ØÙØ ØÛÓÖÞÒ Ð ØÝ Û Γ(b) = Γ(i 1 ) Γ(i 2 )...Γ(i k ) Ð Ô ÙÓÛÖÞÓ b ÖÔÖÞÒØÙÓ B ÔÓ ÒÙº Ï ØÝÑ ÐÙ ÔÖÞÐÑÝ ÛÖÞÓ i j ÒÐ Ó Ð ÞÞÒÞÑÝ ÛÖÞÓ Þ Γ(i j ) ÔÖÞÐÑÝ ØÖÞ ÛÖÞÓ ÖÙ ØÛÓÖÞÝÑÝ Ð Ø ÛÖÞÓÛ ÞÞÒÞÓÒÝ ØÓ Ø ÛÒ Γ(b) ÓÑÝ b Ó ÛÖÞÓÛ Γ(b)º ÙÛ ÑÝ Ý ÛÖÞÓ ØÝÐÓ ÖÞ ÑÓ ÒÐ Ó Ðº ÈÖÞÖÞÒ Ð Ø Γ(i j ) ÑÖÓÛÒ ÛÖÞÓÛ ÞÑ Û Û ÙÑ Þ O(n 2 )º ÈÓÞÓ Ø ÞÝÒÒÓ Û ÞÑÙ ÞÛ Þ Þ O(n) Ó Û ÙÑ Þ O(n 2 )º ÈÖÞõÑÝ ØÖÞ Ó ÔÖÓÐÑÙ ÖÓÞÛÒ Ýк ËÑÓ ÖÓÞÛÒ ÝÐ ÑÓ Ý ÞÖÐÞÓÛÒ Û Þ O(n 2 ) ÔÓÔÖÞÞ ÔÖÞÖÞÒ Û ÞÝ Ø ÛÖÞÓÛ ÓÖÞ ÖÛÞ Û Ö Û ØÖ ØÖÓ Ù ÙÛÑÝ Û ÞÝ Ø Ô ÙÓÛÖÞÓ ÑÖÙÑÝ ÒØÝÛÒ ÐÑÒØÝ ÖÙ Ó ØÝÛÒº ÊÓ ØÓ ÑÙ ÑÝ Ò ÔÑØ Ø Ó ÖÓÞÛÒÙ P = P 1 +P 2 +x 1 x 2 º ÆÔÖÛ ÔÖÞÓÞ Ø ÑÖÙÑÝ Û ÞÝ Ø ÛÖÞÓ v Ó Ò ÒÐ ÞÔ ÙÑÝ Ð Ò Û ÞÑÒÒ p(v) ÔÓÔÖÞÒÛ Ò ÓÖÞ Û ÞÑÒÒ n(v) Ò ØÔÒÛº  РØÖÞ ÖÓÞÛÑÝ Ô ÙÓÛÖÞÓ v ØÖÝ Ð Ý Ò ØÓ ÑÖÙÑÝ ÒÔÖÛ ÛÖÞÓ ÒÐ Ó ÒØÓ ÝÐÙ ÖÔÖÞÒØÓÛÒÓ ÔÖÞÞ Ô ÙÓÛÖÞ¹ Ó v ÔÖÞ ÞÙÙÑÝ Ð Ø Û p(v) Û ÐÙ ÞÒÐÞÒ ÞÑÖÓÛÒÓ ÛÖÞÓ k p º ÔÖÞ ÞÙÙÑÝ Ð Ø Û q(v) Û ÐÙ ÞÒÐÞÒ ÞÑÖÓÛÒÓ ÛÖÞÓ k q º ÔÖÞÓÞÑÝ ÒØÝ ÝÐ Û ÖÙÒÙ ÞÒÝÑ ÔÖÞÞ ÔÖÞÝ ØÓ Ó ÛÖÞÓ k p Ó ÛÖÞÓ k q º Ï ØÒ ÔÓ Ð Ó ÖÓÞÛÒÓ Ð ÑÙ ÑÝ ÛÝÓÒ O(n) ÓØÓÛÝ ÓÔÖ Ó ÔÖÞÝ ÖÓÞÛÒÙ n 1 ÐÛ ÞÓ ÓÒÓ O(n 3 )º ¾ ¾º½ ÏÝ ¾ ËØÖÙØÙÖ ÓÖÞ ÊÓÞ ÐйÑÓÒ Ý ÔÓÞ Ö Ò Ñ Ó ÓÒÓ ÓÖÞÒ ÑÓ ÑÝ ÔÓÞ ÞÖ S ÒÖÙ ÞÝ ØÛÖÞÒ Ö³ Ø ÞÛÒÝ ÞÖ Ö³º Ì ÞÓÖÛ ÑÓ Ý Ûк ÞÝ ØÒ ÒÓÒÞÒÝ ÞÖ Ö³ ÅÓ ÑÝ Ø ÛÞ ØÖ ÖÛÞ ÒÐ Ó ÔÛÒÓ Ñ ÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ õ ØÖ ÛÖÞÓ ÓÖÞÓÒ Û ÝÑ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÙ ØÔºº ÃÓÒ ØÖÙ ØÓ ÒÓÒÞÒÓ ÞÓÖÙ Ö³ ÒÑ ÖÓÞ ÐйÑÓÒ º ÒÙÑÝ Ò ØÔÙ ÔÓ D(G) ØÓ ÛÖÞÓ Ò ÓÖÞÓÒ Û ÔÛÒÝÑ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÙº

ÙÖ ½ ÊÓÞ ÐйÑÓÒ º A(G) ØÓ ÛÖÞÓ Ò Þ D(G)º C(G) ØÓ ÔÓÞÓ Ø ÛÖÞÓº Ò Ø ÞÓ Ø ÔÖÞ ØÛÓÒ Ò ÊÝ ÙÒÙ ½º ÊÓÞ ÐйÑÓÒ Þ ÑÛ Ó ÛÛÓ ÞÓÖÛ A(G),C(G) D(G) Û Ö Gº Ó ÓÔ Ù ØÝ ÛÛÓ ÞÑÝ ÔÓØÖÞÓÛ Ò ØÔÙÝ ÔÓº Ö G Ø ÖÝØÝÞÒÝ Ð Ð Ó v V(G) Ö G v Ñ Ó ÓÒ ÓÖÞÒº ËÓÖÞÒ ÔÖÛÓ ÓÒ ØÓ ÓÖÞÒ Û ØÖÝÑ ÔÖÝ Ò Ñ ØÝÐÓ Ò ÛÖÞÓ ÖÙº ÇÞÒÞÑÝ Ø ÔÖÞÞ µ(g) ÐÞÒÓ Ñ ÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ Û Gº ÌÛÖÞÒ ÊÓÞ ÐйÑÓÒ µº Ð Ò A(G),C(G) D(G) ÔÓÛÝ ÞÓÞ µ ÔÒ ÓÛ D(G) ÖÝØÝÞÒ µ Ð M Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G ØÓ ÞÛÖ ÔÖÛ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÓÛÝ D(G) Ó ÓÒ ÓÖÞÒ C(G) ÓÖÞ ÓÖÞÝ Û ÞÝ Ø ÛÖÞÓ A(G) Þ Ö ÒÝÑ ÓÛÝÑ D(G)º µ ÖÓÞÑÖ Ñ ÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ ØÓ Þ c(h) ØÓ ÐÞ ÔÒÝ ÓÛÝ Û Hº µ(g) = 1 2 ( V(G) c(d(g))+ A(G) ), Æ Þ ÓÛ ØÓ ØÛÖÞÒ Þ ÓÔÖ Ò Ù ÝÙ Û ÐÑØÛº ÈÖÛ ÞÝÑ Þ Ò Ø ÄÑØ Ó ØÐÒÓº ÄÑØ Ç ØÐÒÓµº  Рu A(G) ØÓ A(G u) = A(G) u C(G u) = C(G) D(G u) = D(G)º ÓÛ ÈÓ ÑÝ ÒÔÖÛ D(G u) = D(u)º ÏØÝA(G u) = A(G) u Óu A(G) ÛÖÞÓÛ Ò Þ D(G) Ø ØÝÐÓ ÑÒ Ó u ÐØÓ Ø C(G u) = C(G)º Æ M Þ ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Û Gº ÏØÝ M ÓÖÞÝ u Ó u / D(G)º ÐØÓ M(G u) = µ(g) 1º Ó Û M u Ø ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G uº ÞÒÑÝ Ó ÔÓÞÒ D(G) D(G u)º ÏÝÖÞÑÝ ÓÛÓÐÒ v D(G)º Æ M v Þ Ò¹ ÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ ÒÓÖÞÝÑ vº ÏØÝ M v u Ø ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G u ÓÖÞ M v u Ò ÓÖÞÝ vº ÐØÓ v D(G v) D(G) D(G u)º

Ý ÔÓÞ D(G u) D(G) ÛÝÖÞÑÝ ÛÖÞÓ v D(G u)º ØÑ Þ Ò ØÒ ÒÐÞÒ Þ ÓÖÞÒ M Û G u Ò ÓÖÞ vº Æ w Þ ÓÛÓÐÒÝÑ ÛÖÞÓÑ Û D(G) ÙÝÑ Þ u Û G ÓÖÞ Ò M Þ ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ G Ò ÓÖÞÝÑ wº  РM Ò ÓÖÞÝ v ØÓ v D(V) Û Þ ÑÝ M ÓÖÞÝ vº ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÑ M M º Ò M Ò ÓÖÞÝ v M ÓÖÞÝ vº ÞÝÐ ÓÛ M M ÞÛÖ v ÑÙ Ý ÒÔÖÞÑÒÒ P ÞÞÝÒ Û v ÖÛÞ Þ M M º ÑÝ P ÓÞÝ ÖÛÞ M º ÏØÝ M P Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Ò ÓÖÞÝÑ v Û v D(G)º ÊÓÞÛ ÑÝ ØÖÞ ÔÖÞÝÔ Ý P ÓÞÝ ÖÛÞ Mº ËÓÒ ØÖÙÙÑÝ ÓÖÞÒ M 3 = M P º ÅÑÝ ÛØÝ M 3 > M Û M 3 E(G u) Ó M Ø ÒÐÞÒ Þ Û G uº ÐØÓ P ÑÙ ÓÞÝ Û uº ÌÖÞ M (P + uw) Ø ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Ò ÓÖÞÝÑ v Û v D(G)º ÌÓ ÓÞÝ ÓÛ ÐÑØÙ Ó ØÐÒÓº ÖÙÑ ÔÓØÖÞÒÝÑ ÒÑ ÛÝÒÑ Ø ÄÑØ Ðк ÄÑØ Ðеº  РG Ø ÔÒÝ ÓÖÞ µ(g u) = µ(g) Ð Ó u V(G) ØÓ G Ø ÖÝØÝÞÒݺ ÓÛ ÏõÑÝ X V(G) Ø ÞÓÞ ÖÛÒÓ Û ØÛÖÞÒÙ Ö³  РX 0 ØÓ ÛõÑÝ u X ÛØÝ n 2µ(G) = c 0 (G X) X. n 1 2µ(G u) c 0 ((G u) (X u)) X u. n 1 2µ(G u) c 0 (G X) X +1. n 1 2µ(G) n 2µ(G)+1. µ(g) µ(g)+1. ÇØÖÞÝÑÐÑÝ ÔÖÞÞÒÓ ÐØÓ Û ØÛÖÞÒÙ Ö³ ÖÛÒÓ ÞÓÞ ØÝÐÓ Ð X = º ÇÞÒÞ ØÓ n 2µ(G) = c 0 (G)º ÏÑÝ V(G) Ø ÒÔÖÞÝ Ø Ó G Ò Ñ Ó ÓÒÓ ÓÖÞÒº ÅÑÝ Û µ(g) = (n 1)/2 ÐØÓ G Ñ ÔÖÛ Ó ÓÒ ÓÖÞÒº Ó Û Ð Ý ÛÖÞÓ u ÑÑÝ µ(g u) = µ(g) Û Ý ÛÖÞÓ ÑÓ Ý Ò ÓÖÞÓÒÝ ÞÝÐ G Ø ÖÝØÝÞÒݺ ÈÖÞõÑÝ Ó ÓÛÓÙ ØÛÖÞÒ Ó ÖÓÞÞ ÐйÑÓÒ º ÓÛ Æ M Þ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ G ÓÖÞ Ò u A(G)º M ÓÖÞÝ u Ó u / D(G) Û µ(g u) = µ(g) 1º Ó Û Ð M Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G ØÓ M u Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G uº Í ÙÑÝ ØÖÞ Þ G Û ÞÝ Ø ÛÖÞÓ Þ A(G) ÛØÝ µ(g A) = µ(g) A. C(G A) = C(G) i D(G A) = D(G), ÓÖÞ Ð M Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G ØÓ M E(G A) Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G Aº ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞ G 1,...,G t ÔÒ ÓÛ G A Ð Û Dº ëò ÖÛõ Ò ÞÝ D Cº Æ H ÓÞÒÞ Ö ÒÙÓÛÒÝ ÔÖÞÞ Cº Ã Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ Û G A ÓÖÞÝ ÛÖÞÓ Þ Hº Ã Ý ÛÖÞÓ G i Ø ÒÓÖÞÓÒÝ ÔÖÞÞ Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒº ÐÑØÙ ÐÐ ÛÑÝ Û G i Ø ÖÝØÝÞÒÝ ÓÛ ÔÙÒØÙ µµº ÈÓÒÛ M A Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G A ØÓ M Ø Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û C ÓÖÞ M Ø ÔÖÛ Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û ÓÛÝ Dº ÈÓÒÛ M A = M A ØÓ M Ò ÞÛÖ ÖÛÞ ÛÛÒØÖÞ A M Ò ÓÖÞÝ ÛÖÞÓÛ Þ A Þ C Ò ÓÖÞÝ Û ÛÖÞÓÛ Þ A Þ Ø Ñ ÓÛ G i º ÌÓ ÓÞÝ ÓÛ ÔÙÒØÙ µº ÏÞÑÝ ØÖÞ µ(g) = µ(g A)+ A =

= t i=1 V(G i ) 1 2 + C(G) 2 = 1 2 ( V(G) t+ A(G) ). + A = ÌÓ ÓÛÓÞ ÔÙÒØÙ µº ¾º¾ ÏÒÓ Ð ÖÛ ÛÙÞÐÒÝ Ð ÖÛ ÛÙÞÐÒÝ Þ ØÛÖÞÒ ÐйÑÓÒ ØÛÓ ÛÝÔÖÓÛÞ ÓØÓÛ Ó ÖÛº Æ Γ(X) ÓÞÒÞ ÞÖ ÛÖÞÓÛ Ò Û Ö G Þ ÞÓÖÑ X V º ÌÛÖÞÒ Ç ÛÙÞÐÒÝÑ ÖÓÞÞ ÐйÑÓÒ µº Æ G = (U 1,U 2 ) ÓÖÞ Ò Ð i = 1,2 A i = A(G) U i C i = C(G) U i D i = D(G) U i º ÏØÝ ½µ D = D 1 D 2 Ø ÞÓÖÑ ÒÔÓÞÓÒÝ ÛÖÞÓÛº ¾µ ÈÓÖ C 1 C 2 Ñ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ C 1 = C 2 º µ Γ(D 1 ) = A 2 Γ(D 2 ) = A 1 º µ Å ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ G ÓÖÞÝ Ó ÓÒÐ C 1 C 2 ÓÖÞ ÛÖÞÓ A 1 Þ D 2 A 2 Þ D 1 º µ  РT Ø ÑÒÑÐÒÝÑ ÔÓÖÝÑ G ØÓ A 1 A 2 T A 1 A 2 C 1 C 2. µ C 1 A 1 A 2 C 2 A 1 A 2 ØÓ ÑÒÑÐÒ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ A 1 A 2 ØÓ ÔÖÞ Û ÞÝ Ø ÑÒÑÐÒÝ ÔÓÖݺ µ ÖÝ A 1 D 2 A 2 D 1 Ñ ÓØÒ ÒÛÝ Þ ÔÙÒØÙ ÛÞÒ ÓÔÓÛÒÓ A 1 A 2 º X < Γ(X) D 2 Ð Ó X A 1 º ÓÛ ÓÛ ÔÖÞÔÖÓÛÞÑÝ ÔÓ ÓÐ Ð Û ÞÝ Ø ÔÙÒØÛ ØÛÖÞÒº ½µ ËÓÛ D(G) ÖÝØÝÞÒ Û Ò ÑÓ Ý ÛÙÞÐÒº ØÝ ¾µ µ µ ÛÝÒ Û ÖÓÞÙ ÐйÑÓÒ ØÓ G Ø ÛÙÞÐÒº µ Æ a A 1 T ÛØÝ ØÒ ÔÙÒØ d D Ø ad E Û ÞÛÞÙ Þ ØÝÑ d T º Ó Û Û D Ø ÓÒ Ò ÔÙÒØ d Ò Þ aº  РÝÓÝ Û ØÓ {d 1,...,d r } Γ D (a) ÛØÝ T {d 1,...,d r } {a} Ø ÔÓÖÝÑ ÑÒ Þ ÐÞÒÓº Æ ØÖÞ M Þ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ G Ò ÓÖÞÝÑ dº ÞÝÐ M ÓÖÞÝ a ÖÛÞ Þ G(A 1 A 2 ) Ó Ø ÔÖÞÞÒ Þ ÔÙÒØÑ µ ÖÓÞÙ ÐйÑÓÒ Û A 1 T ÓÖÞ ÔÓÓÒ A 2 T º ÑÝ ØÖÞ d T D d D 2 º ÏØÝ Γ G (d) A 1 T ÓÖÞ T d Ø ÔÓÖÝÑ G ÔÖÞÞ ÑÒÑÐÒÓ T º T D 2 = ÔÓÓÒ T D 1 = º µ ÏÝÒ Þ ØÛÖÞÒ ÃÒ Ó µ(g) = C 1 + A 1 + A 2 = C 2 + A 1 + A 2 = τ(g). ÈÓÒÛ C i +A 1 +A 2 ØÓ ÔÓÖÝ Û ÑÙ Þ Ý ÑÒÑÐÒº µ ÑÝ ÔÖÞÛÒ Ð ÔÛÒÓ X A 1 ÑÑÝ X Γ(X) D 2 º ÏØÝ T = (A 1 X) (Γ(X) D 2 ) A 2 C 1 Ø ÔÓÖÝÑ Gº ÈÓÒÛ T A 1 + A 2 + C 1 = τ(g) ØÓ Ø ØÓ ÔÓÖÝ ÑÒÑÐÒ ÑÙ ÞÛÖ A 1 º ÞÝÐ

ÏÝ ÐÓÖÝØÑÝ ÐÙ Ð ÛÙÞÐÒÝ Û ÓÒÝ ÓÖÞ ÊÓÞÛ ÑÝ ÓÛÓÐÒÝ ÔÖÓÐÑ ÓÔØÝÑÐÞÝÒÝ ÓÖÐÓÒÝ ÔÖÑØÖÑ y i º ÇÐÒ ÐÓÖÝØÑÛ ÐÙ¹ Ý Ø Ø ÖÓÞÛÞÙÑÝ ÔÖÓÐÑ Ð y i = yi 2 Ò ØÔÒ ÓÖÞÝ Ø Þ ØÓ ÖÓÞÛÞÒ ÖÓÞÛÞÙÑÝ ÔÖÓÐÑ Ð y i º  РÖÓÞÛÞÒ Ð y i Ø ÔÓÓÒ Ó ÖÓÞÛÞÒ Ð y i ØÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖÓÛ ÞÝ ÔÓÐÞݺ ÐÓÖÝØÑ Ø ÛÝÓÒÝÛ Þ logw +1 ÛÝÛÓÝÛ ÖÙÖÒÝÒÝ Þ W ØÓ Ñ ÝÑÐÒ ÛÖØÓ ÔÖÑØÖÙ ÔÖÓÐÑÙº Ï ØÝÑ ÖÓÞÞÐ ÔÖÞ ØÛÑÝ Û ÐÓÖÝØÑÝ ÖÓÞÛÞÙ ÔÖÓÐÑ Û ÓÒÝ Ó¹ ÖÞ Û Ö ÛÙÞÐÒÝ ÔÖÞÝ Ù ÝÙ ÐÓÛÒº ÈÖÛ ÞÝÑ Þ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ ¾ ØÖÝ Þ Û Þ O(n 3 4mlogW) ÓÖÞ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ¹ÌÖÒ ØÖÝ Þ Û Þ O(n 1 2mlog(nW))º º½ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ ÅØÓ ÛÖ Þ ÞÝÓ Ð ÞÞÒÑÝ Ó ÓÖÓ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛÓ ÛÖØÓ ÙÐÒݺ ÒÙÑÝ D = y i w(m ), i U V Þ y i ØÓ ÛÓÛ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ M Ó Ò Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒº Æ f Þ ÐÞ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ Û ØÙÐÒÝÑ ÓÖÞÒÙº Æ tot Þ ÙÑ ÛÖØÓ Þ ÛÝÓÒÒÝ ÖÓÛ ÑØÓÝ ÏÖ º ÄÑØ º Ï ÝÑ ÖÓÙ ÑÑÝ f tot D. ÓÛ ÊÓÞÛ ÑÝ Û ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛÓ y(u V) = i U V y iº à ÞÑÒ ÛÖØÓ Ù¹ ÐÒÝ ÞÑÒ y(u V) Ó Ó ÒÑÒ g Þ g ØÓ ÐÞ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ Ý ÞÑÒ Ñ Ñ º Ð i Ø ÛÓÐÒÝ ØÓ y i ÞÑÒ Þ Ó Ð i Ø ÓÖÞÓÒÝ ÖÛÞ ij ØÓ y i +y j Ò ÞÑÒº ÄÞ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ ÑÓ ØÝÐÓ ÞÑÒ ÞÝ ÔÓ ÞÒÐÞÒÙ ÔÓÛ Þ Û g fº ÓÛØ ÞÑÒ y(u V) Ó ØÙÐÒÓ ØÒÙ ÐÓÖÝØÑÙ ÛÝÒÓ Û Ó ÒÑÒ gi i f i = f tot. ÖÙ ØÖÓÒÝ Ñ ÝÑÐÒ ÓÛØ ÞÑÒ y(u V) ØÓ D = i U V y i w(m ) ÞÝÐ f tot Dº ÞÑÝ Ù ÝÛ ÐÓÖÝØÑÙ ÀÓÔÖÓعÃÖÔ Ó ÔÓÛ ÞÒ ÓÖÞÒº ÐÓÖÝØÑ ØÒ ÓØÖÞÝÑÙ Ò ÛÙ ÓÖÞÒ M Ó ØÖÓ ÖÓÞÔÓÞÝÒÒ Þ ÛÝ ÞÙÛÒ ÞÛÖ ÒÐÞÒ Þ ÓÖÞÒ Û Öº ÐÓÖÝØÑ ÓÛ Þ Û Ò ØÔÙÝ ÔÓ ¼º Â Ð Û ÞÝ Ø w ij = 0 ØÓ ÞÛÖ ÓÛÓÐÒ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ y i = 0º ½º Òõ ÖÙÖÒÝÒ Ò Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÓÖÞ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ Ð ÖÙ G Û ØÖÝÑ w ij = wij 2 º

¾º Æ M Þ ÔÙ ØÝÑ ÓÖÞÒѺ Ð Ó i U Ò y i = 2y i +1 Ð Ó i V Ò y i = 2y i º º ÈÓÛØÖÞ Ó Ò ØÔÙ ÓÔ M Ò Ø Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒѺ º½º ÍÖÙÓÑ ÑØÓ ÛÖ ÞÒÞ ÔÓÛ Þº º¾º Æ G y = (V,E y ) Þ E y = {uv E : y(u) + y(v) = w(uv)} Þ ÖÑ ÖÛÒÓÓÛÝÑ Ð yº Í ÝÛ ÐÓÖÝØÑÙ ÀÓÔÖÓØ ÃÖÔ ÔÓÛ Þ M Ó ÒÐÞÒ ÞÓ ÓÖÞÒ Û G y º º ÛÖ M ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ yº ÄÑØ º ÐÓÖÝØÑ ÓÛ ÞÛÖ Ò Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÒÐ Þ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛº ÓÛ ÃÖÓ ¼ Ø ÔÓÔÖÛÒݺ ÈÓ ÖÓÙ ¾ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ ÔÓÔÖÛÒ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛº Ï ÝÑ ÛÝÓÒÒÙ ÖÓÙ ÐÞÒÓ ÓÖÞÒ ÖÓÒº ÈÖÞÒÐÞÙÑÝ ØÖÞ Þ ÞÒ ÐÓÖÝØÑÙ ÓÛº Ï ØÖ ÛÝÓÒÒ ÖÓÙ ÞÓÞ f tot D. ÙÛ ÑÝ ÔÖÞÔÐÓØ Þ ÐÓÖÝØÑÑ ÀÓÔÖÓعÃÖÔ Ò ØÙØ Ò Ô Ùº ÈÓ ÑÝ ÄÑØ º Ï ÐÓÖÝØÑ ÓÛ µ ÖÓ ÛÝÓÒÒÝ Ø ÑÒ Ò n 1 2 ÖÞÝ µ ÖÓ ÛÝÓÒÒÝ Ø Ó ÒÛÝ n 1 4 ÖÞÝ Ð f n 3 4 º ÓÛ Æ M ØÓ Ò Þ ÓÖÞÒ Û G M ØÓ Ò Þ ÓÖÞÒ Û Gº ÏØÝ D = i y i w G (M ) n Ó w G (M ) w G (M ) 2w G (M ) = 2 i y i = i y i n. ÈÓÐÞÑÝ ÐÓ ÖÓÛ ÛÝÓÒÒÝ Ð f n 1 2 Þ ÐÑØÙ ÑÑÝ tot D f n1 2 º ÈÓÒÛ Û ÝÑ ÖÓÙ > 0 Ó Ò Ñ ÔÓÛ ÞÝ ÞÛÖØÝ Û Ö ÖÛÒÓÓÛÝѺ Ì ÖÓÛ Ø n 1 2 º Ð f < n 1 2 ÔÓÒÛ Ý ÖÓ ÓÖÞÝ Ó ÒÑÒ Û ÛÖÞÓ Û ØÝ ÖÓÛ Ø n 1 2 º Û ÖÓ ÛÝÓÒÒÝ Ø ÑÒ Ò n 1 2 ÖÞÝ Ó ÓÛÓÞ µº  Рf n 3 4 ØÓ ÛØÝ tot D f n1 4 º ÈÓÒÛ > 0 ØÓ ÐÞ ÖÓÛ Ø ÑÒ Þ Ò n 1 4 º ÐØÓ ÖÓ ÛÝÓÒÒÝ Ø Ó ÒÛÝ n 1 4 ÖÞÝ Ð f n 3 4 Ó ÓÛÓÞ µº à ÙÖÙÓÑÒ ÑØÓÝ ÛÖ ÞÑÙ O(m) Þ Ù ÞÝÐ Û ÞÝ Ø ÙÖÙÓÑÒ ÞÑÙ Ó ÒÛÝ O(n 1 2m) Þ Ùº ÐÓÖÝØÑ ÀÓÔÖÓعÃÖÔ Þ Û Þ O(min(n 1 2,a)m) Þ a ØÓ ÐÞ ÞÒÐÞÓÒÝ ÔÓÛ¹ Þݺ Æ ÔÓ ØÛ µ ÑÑÝ ÖÓ Þ f n 3 4 ÞÑÙ Ó ÒÛÝ O(n 1 4n 1 2m) = O(n 3/4 m) Þ Ùº ÖÓ Þf < n 3 4 ÞÒ Û ÙÑ Ó ÒÛÝ n3 4 2 ÔÓÛ ÞÝ Û ÞÑ Û ÙÑ O(n3 4m) Þ Ùº

ÄÞ ÛÝÛÓ ÖÙÖÒÝÒÝ ØÓ logw +2 Þ W ØÓ Ñ ÝÑÐÒ Û ÖÛÞ Û Ö ÐØÓ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ Ò ØÔÙ ØÛÖÞÒº ÌÛÖÞÒ º Æ Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ Û Ö ÛÙÞÐÒÝÑ ÑÓ ÞÓ Ø ÞÒÐÞÓÒ Û Þ O(n 3 4mlogW)º ÓÛ Þ ÞÒ ÛÝÒ Þ ÔÓÛÝ ÞÝ Ó ÖÛ ÔÓÞÓ Ø ÒÑ ØÝÐÓ ÙÓÛÓÒ ÐÞÝ Ò ØÖÝ ÔÖÙÑÝ Ò Ø ÞÝØ Ù º Ï ÝÑ Þ logw ÖÓÛ ÛÖØÓ ÔÓÖÝ ÞÑÒ Ó Ó ÒÛÝ D nº Ï i¹øýñ ÖÓÙ ÑÑÝ a i+1 2a i +1+n, ÞÝÐ ÛÝÒÓ ÒÛÝ ( ) 2 logw +1 1 (n+1) W(2n+2). ÐØÓ ÐÞÝ Û ÞÔ ØÓÛÝÑ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛÓ ÙÓ O(log(nW)) ÓÔÖ Ò Ò ÑÓ ÑÝ ÛÝÓÒÝÛ Û Þ ØÝѺ º¾ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ¹ÌÖÒ Ï ÐÓÖÝØÑ ÓÛ ÔÓÞÝÐÑÝ Û ØÒ ÅØÓ ÏÖ ØÖ ÞÒÓÛ ÒÐ Þ ÔÓÛ Þ ÐÓÖÝØÑ ÀÓÔÖÓعÃÖÔ ØÖÝ ÞÒÓÛ ÒÖØ Þ ÔÓÛ Þº ÐÝÑÝ Ò ÞÒÓÛ ÒÓÞÒ ÛÐ ÖÓÞÞÒÝ ÛÖÞÓÓÛÓ ÔÓÛ ÞÝ ØÖ ÝÝÝ ÒÓÞÒ ÖØ ÑÝ Ñ Ûº ÈÖÞ ØÛÑÝ ØÖÞ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ¹ÌÖÒ ØÖÝ ÛÒ ØÓ ÖÓº ÐÓÖÝØÑ ØÒ Ø ØÖÓ Þ ØÛ ÓÔ Ý ÞÑÝ ÞÙ ÒÐ ÞÝ Ó ÓÒÝ ÓÖÞ Ò Ò ÞÝ Ó ÓÒÝ ÓÖÞ Û ÐÓÖÝØÑ ÓÛº ÇÝÛ Ø ÔÖÓÐÑÝ ÖÛÒÓÛ Ò Ó ÔÓ ÞÑÒ ÞÒÛ Û ÞÝ Ø Û ÒÐ Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÓÔÓÛ Ò ÞÝÑ Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒÓÑ Û Ö ÛÓÛÝѺ ÈÖÓÐÑÑ ÙÐÒÝÑ Ø ØÙØ ÔÖÓÐÑ Ò Þ ÙÔÓÛÒ ÛÖÞ¹ ÓÓÛÓº ÍÔÓÛÒ ÛÖÞÓÓÛ ØÓ ÔÖÞÝÔ Ò ÛÖÞÓÓÑ Û y : V R Û Ø ÔÓ Ð ÖÛÞ vw Û Ö ÞÓÞ y v +y w w vw º ÞÑÝ ÔÓØÖÞÓÛ Ò ØÔÙÝ Ò ½¹ÓÞÛÓÐÓÒ ÓÖÞÒ ØÓ ÓÖÞÒ M ÛÖÞ Þ ÛÖØÓ¹ Ñ ÙÔÓÛÒ ÛÖÞÓÓÛÓ y ØÑ Ð ÖÛÞ uv ÞÓÞ ÓÖÞ y v +y w w vw +1, y v +y w = w vw, jezeli vw M. ½¹ÓÔØÝÑÐÒ ÓÖÞÒ ØÓ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ØÖ Ø ½¹ÓÞÛÓÐÓÒº ÞÑÝ Ù ÝÛ Ò ØÔÙÝ Û Ó ÖÛº Æ M Þ ½¹ÓÔØÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ ÛØÝ µ Ð ÓÛÓÐÒÓ ÓÖÞÒ P ÞÓÞ w(p) w(m) nº Â Ø Ø ÐØÓ w(m) = w(uv) = y(v) uv P uv M v U V w(uv)+1 = w(p)+n. µ  РÔÛÒ k k > n ÞÐ Û ÞÝ Ø Ó ÞØÝ w(e) ØÓ ÛØÝ M Ø ÒÐ ÞÝÑ Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞ¹ ÒѺ Â Ø Ø ÐØÓ w(m ) w(m) w(m )+n, ÞÝÐ w(m) = w(m )º ½¼

ÐÓÖÝØÑ ÓÛ¹ÌÖÒ Þ Û Ò ØÔÙÝ ÔÓ Æ w(uw) = w(uw) (n+1)º Í ØÛ w(e) = 0 ÓÖÞ y(v) = 0º Ð i Ó 1 Ó logwn +1 ÛÝÓÒÙ Ð ÖÛÞ w(e) = 2w(e)+(i ty bit w(e)) Ð Ó ÛÖÞÓ y(v) = 2y(v) 1 ÞÒõ ½¹ÓÔØÝÑÐÒ ÓÖÞÒ ÔÖÞÝ Ù ÝÙ ÔÖÓÙÖÝ ÐÑغ Í ÝÛÒ ÔÖÓÙÖ ÐÑØ Þ Û Ò ØÔÙÝ ÔÓ ÞÑÒ Ó ÞØÝ Ò w(uv) := w(uv) y(v) y(u). ÛÝÛÓÙ ÔÖÓÙÖ ÑØ Ó ÞÒÐÞÒ ½¹ÓÔØÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ M ÔÓÖÝ y Ó y Ó y ÞÛÖ M yº ÈÓÛÝ M y ØÓ ½¹ÓÔØÝÑÐÒ ÓÖÞÒ Ð wº ÈÖÞ ÐÓÛÒÑ ÑÑÝ ÆØÓÑ Ø ÔÓ ÐÓÛÒÙ ÑÑÝ ÞÝÐ ÔÙ Ø ÓÖÞÒ Ø ½¹ÓÞÛÓÐÓÒ ÓÖÞ y v +y w w vw +1, y v +y w = 2y v 1+2y w 1 2w vw 2w vw +(i ty bit w vw ) = w vw. w uv y v y w 0. ÙÛ ÑÝ ÛÖØÓ y ÔÖÞÞÒ Ó ÑØ 1º ÖÙ ØÖÓÒÝ Ð uv Ø ÖÛÞ ½¹ ÓÔØÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ M ØÓ ÔÓ ÔÖÞ ÐÓÛÒÙ y (u)+y (v) = 2y(u)+2y(v) 2 = = 2w(uv) 2 = w (uv) (i ty bit w uv ) 2 w (uv) 3. ÅÑÝ Û w (uv) y (u) y (v) 3 Û M Û Û ÔÓ ÔÖÞ ÐÓÛÒÙ ÛÝÒÓ Ó ÒÛÝ 3n ÞÝÐ ÒÐ Þ ÓÖÞÒ Û Ý 3nº ÈÓ ÑÝ ØÖÞ ÔÖÓÙÖ ÑØ ØÖ ÔÖÞÝ ÞÓ Ò Û 0 ÓÖÞ ØÒ ÓÖÞÒ Ó ÛÞ 3n ÞÒÙ ÒÐ Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ Û Þ O( nm)º ÒÙÑÝ ÛÓ¹ÙÓ ÖÛÞ e ÛÞÐÑ ÓÖÞÒ M Ó { 1 je sli w / M wd(e) = w(e)+ 0 wpp ÓÛØ ÛÓ¹ÙÓ ÞÓÖÙ ÖÛÞ S ÛÞÐÑ M ØÓ wd(s) = wd(e) e S M e S M wd(e). ½½

ÞÝÐ Ø ØÓ Û S ÛÞÐÑ M ÔÐÙ ÐÞ Ò ÓÖÞÓÒÝ ÖÛÞº ÈÓÛÑÝ ÖÛõuv Ø ÓÞÛÓÐÓÒ Ðy(u)+y(v) = wd(uv) ØÞÒº ÛÖÙÒ ½¹ÓÞÛÓÐÓÒÓ ÞÓÞ Þ ÖÛÒÓº ÙÛ ÑÝ ÖÛÞ ÓÖÞÓÒ ÓÞÛÓÐÓÒº ÈÓ ÑÝ ÔÓÛ Þ Þ ÓÞÛÓÐÓÒÝ ÖÛÞ Ñ ÒÑÒ Þ ÓÛØ ÛÓ¹ÙÓº ÈÖÓÙÖ ÑØ Þ Û Ò ØÔÙÝ ÔÓ º ÒÐÞÙ y v = 0 ÓÖÞ M = º Æ ØÔÒ ÔÓÛØÖÞ ÓÔ M Ò Ø Ó ÓÒ ½º Òõ Ñ ÝÑÐÒÝ ÞÖ A ÛÖÞÓÓÛÓ ÖÓÞÞÒÝ ÔÓÛ Þݺ Ð P A ÔÓÛ Þ M ÛÞÐÑ P ÓÖÞ Ð Ó ÛÖÞÓ w V P ÞÑÒ Þ y(w) Ó ½º ¾º Í Ý ÑØÓÝ ÛÖ Ó ÞÑÒÝ ÛÖØÓ ÙÐÒÝ ÞÓÛÙ ½¹ÓÞÛÓÐÓÒÓµ ÞÒõ ÔÓÛ Þ Þ ÓÞÛÓÐÓÒÝ ÖÛÞº ÃÖÓ ÔÖÓÙÖÝ ÑØ ÞÓÛÙ ½¹ÓÞÛÓÐÓÒÓº à ÛÝÛÓÒ ÑØÓÝ ÛÖ ØÛÓÖÞÝ ÔÓÛ Þ ØÖ Ò ØÔÒ ÞÓ ØÒ Ù ÝØ Ó ÔÓÛ ÞÒ ÓÖÞÒº ÞÝÐ Ó ØØÞÒ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÞÓ ØÒ ÞÒÐÞÓÒ ÐØÓ ÔÖÓÙÖ ÑØ ÓÞÝ ÞÒ ÞÒÙ ½¹ÓÞÛÓÐÓÒ ÓÖÞÒº ÈÖÞÒÐÞÙÑÝ ØÖÞ Þ ÞÒº Ð ÓÛÓÐÒÓ ÖÓÙ ÐÓÖÝØÑÙ ÞÒÙÑÝ F ØÓ ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ Û U tot ÙÑ Û ÞÝ Ø ÛÖØÓ Þ ÖÓÛ ÑØÓÝ ÛÖ º ÙÛ ÑÝ ÞÑÒÝ ÛÖØÓ ÙÐÒÝ Ø Ð v F ÑÑÝ y(v) = ÓÖÞ Ð ÛÓÐÒÓ ÛÖÞÓ Û V ÑÑÝ y(v) = 0º Æ M Þ ÒÐ ÞÝÑ Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒÑ M ØÙÐÒÝÑ ÓÖÞÒѺ Ö M M Þ ÔÓÛ ÞÝ P v Ð Ó v F ÓÖÞ ÞÓÖÙ ÝÐ ÒÔÖÞÑÒÒÝ C w º ÅÑÝ Û n+w(m ) w(m) wd(m M) = = v F wd(p v )+ w wd(c w ). Ç ÞÙÑÝ ÐÛ ØÖÓÒ Ø ÒÖÛÒÓº ÊÓÞÛ ÑÝ ÒÔÖÞÑÒÒ Ó u U Ó m U Û ØÖ u ÒÐ Ý Ó ÖÛÞ Ò ÓÖÞÓÒ m Ó ÖÛÞ ÓÖÞÓÒº ÏØÝ Ð ÖÛÞ vw / M ÞÓÞ Ð wn M ÑÑÝ ÑÑÝ Û y(v)+y(w) wd(vw), y(w)+y(n) = wd(wn), y(v) y(n)+wd(vw) wd(wm). ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ø ÒÖÛÒÓ Ð Û ÞÝ Ø ÔÖ ÖÛÞ Ò P ÓØÖÞÝÑÙÑÝ y(u) y(m)+wd(p). ÒÖÛÒÓ Ø ÛÝÒ Ð Ó ÒÔÖÞÑÒÒÓ ÝÐÙ C w ÑÑÝ wd(c w ) 0. ÇÖÞ Ð ÔÓÛ Þ Þ v F Ó t V ÑÑÝ y(v)+y(t) wd(p v ). ÈÓÒÛ ÑØÓ ÛÖ ÙØÖÞÝÑÙ y(v) = tot ÓÖÞ y(t) = 0 Û tot wd(p v ) wd(c w ) F tot. v F wd(p v )+ w ½¾

ÈÓÒÛ c(m ) 3n ÓÖÞ c(m) 0º Ï Ç ØØÞÒ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ 4n n+w(m ) w(m). 4n F tot.  РÔÓ ÑÝ ÛÝÓÒÒ ÑØÓÝ ÛÖ ÞÛ Þ tot ØÓ Ó ÒÛÝ 2 n + 1 ØÖ Ø ÛÝÓÒÒÝ Ð F 2 n Ó ÔÓ ÝÑ ÛÝÓÒÒÙ ÑØÓÝ ÛÖ ÓÖÞÒ ÔÓÛ Þº Ð F > 2 n ØÓ tot < 2 n Ø ØÖ Ø Þ Ó ÒÛÝ 2 nº Ý ÔÓÞ ÛÝÛÓÒ ÑØÓÝ ÏÖ ÞÛ Þ tot ÛÝ ØÖÞÝ ÔÓÞ ÞÑÒ ÓÒÓ ÛÖØÓ ÙÐÒº ÅÓÓÝ Ò ÞÑÒ ØÝÐÓ ÛØÝ ÝÝ ØÒ ÔÖÞ ÛÝÓÒÒÑ ÒÔÖÞÑÒÒ P Þ ÖÛÞ ÓÞÛÓÐÓÒݺ á P ÔÖÞÒ Þ ÞÒÐÞÓÒ Û ÖÓÙ ½ ÔÖÓÙÖÝ Ñغ P ÞÛÖ Ò ÓÖÞÓÒ ÖÛõ vw Ø w ÒÐ Ý Ó Þ ÖÓÙ ½ v Ò ÓÖÞ w V º Ð ÔÓ ÖÓÙ ½ ÖÛõ vw Ò ÑÓ Ý ÓÞÛÓÐÓÒ Ó y w Ø ÞÑÒ ÞÓÒ y v +y w w vw +1. à ÛÝÓÒÒ ÔØÐ Û ÔÖÓÙÖÞ ÑØ ÞÑÙ O(m) Þ Ù Ó ÛÝ ÞÙÛÒ Ñ ÝÑÐÒÓ ÞÓÖÙ ÓÞÛÓÐÓÒÝ ÞÑÙO(m) Ø ÐÓÖÝØÑ ÀÓÔÖÓع ÃÖÔ ÑØÓ ÛÖ ÑÓ Ý ÛÝÓÒÒ Û Þ O(m + nlogn)º ÅÓ Ò ØÒ Þ ÔÓÔÖÛ Ò O(m) ÞÙÛ ÛÖØÓ Û ÓÔÙ Þ ÔÖÞÞÙ 1,...,4n ÞÛ Þ ÖÓ Ò ÓÔ Û ØÐݺ ÊÖÒ ½ º ÑÓÒ º ÅÜÑÙÑ ÑØÒ Ò ÔÓÐÝÖÓÒ ÛØ ¼ ½¹ÚÖØ º ÂÓÙÖÒÐ Ó Ê Ö ÆØÓÒÐ ÙÖÙ Ó ËØÒÖ ¹º ½¾½ ¼ ½º ¾ Àº ƺ ÓÛº ËÐÒ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÆØÛÓÖ ÈÖÓÐÑ º º ÓÑÔÙغ ËÝ Øº ˺ ½ ¾µ½½ ½º Àº ƺ ÓÛ Ò Êº º ÌÖÒº ØÖ ËÐÒ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÆØÛÓÖ ÈÖÓÐÑ º ËÁÅ ÂÓÙÖÒÐ ÓÒ ÓÑÔÙØÒ ½ µ½¼½ ½¼ ½º ½