Spis treści. Wstęp Rozdział I LICZBY I ICH ZBIORY

Podobne dokumenty
1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym

MATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.

MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia

83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

Dział Rozdział Liczba h

MATeMAtyka zakres rozszerzony

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

RAMOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I-III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CKU NR 1

Szczegółowy rozkład materiału dla klasy 3b poziom rozszerzny cz. 1 - liceum

Rozkład materiału KLASA I

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY TRZECIEJ M. zakres rozszerzony

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Klasa III zakres rozszerzony

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki Liceum Ogólnokształcące obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Klasa III zakres rozszerzony 563/3/2014

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Spis treści. Spis treści

MATeMAtyka zakres podstawowy

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328

Elementy logiki (4 godz.)

Plan wynikowy z matematyki kl.i LO

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

SPIS TREŚCI WSTĘP LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum

Rozkład materiału KLASA I

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

Zamiana liczby dziesiętnej na ułamek Ułamek zwykły i liczba dziesiętna Działania na liczbach dziesiętnych...

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od r.)

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

1 wyznacza współrzędne punktów przecięcia prostej danej

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

Rozkład. materiału nauczania

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM ROZSZERZONY

Opis założonych osiągnięć ucznia klasy ZSZ (od 2012r.)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Klasa II - zakres podstawowy i rozszerzony

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Program nauczania przeznaczony dla IV etapu edukacyjnego.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO III KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Matematyka. Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny

Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA

1. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 3.

Zmiany dotyczące egzaminu maturalnego 2015 z matematyki

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019

MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 3b, 3c, 3d zakres rozszerzony rok szkolny 2015/ Trygonometria

Ułamki i działania 20 h

1. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Kalendarium maturzysty

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/ ZAKRES PODSTAWOWY

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne z matematyki

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

Transkrypt:

Wstęp... 9 Rozdział I LICZBY I ICH ZBIORY 1. Elementy logiki... 13 2. Zbiory... 19 2.1. Działania na zbiorach... 20 2.2. Zbiory liczbowe... 23 2.3. Zapis zbioru bez użycia symbolu bezwzględnej wartości.... 24 2.4. Zapis przedziału za pomocą symbolu bezwzględnej wartości.. 25 3. O ułamkach okresowych... 28 4. O procentach... 29 4.1. Tabela przybliżonych wartości k a p ita łó w... 33 5. Szacowanie wartości liczbowych w y ra ż e ń... 34 5.1. Błąd przybliżenia...... 37 6. Wzory uproszczonego m n o ż e n ia... 38 7. Trójki pitagorejskie... 39 8. Średnie... 40 9. Zasada indukcji matematycznej... 47 10. Równania i nierówności z wartością bezwzględną... 50 11. Tablica pierwszego tysiąca liczb pierwszych... 52 12. Zadania... 54 12.1. Zakres podstawowy... 54 12.2. Zakres rozszerzony... 56 Rozdział II FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI 1. Podstawowe definicje i własności... 63 2. Przekształcanie wykresów funkcji... 70 3. Zadania... 74 3

Rozdział III W IELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE 1. Funkcja liniowa... 77 1.1. O nachyleniu i równaniu prostej... 79 1.2. Równania i nierówności liniowe... 82 1.3. Metoda podstawiania... 83 1.4. Metoda eliminacji Gaussa... 86 1.5. Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układu ró w n a ń... 88 1.6. Elementy optymalizacji liniowej w lic e u m... 93 1.7. Nierówności liniowe z parametrem... 96 2. Trójmian kwadratowy... 98 2.1. Wielomian drugiego s to p n ia... 98 2.2. Parabola... 100 2.3. Równanie paraboli... 100 2.4. Parabola normalna... 101 2.5. Rozkład wyrażenia kwadratowego na c z y n n ik i... 106 2.6. Podstawowe typy i położenia wykresów funkcji kwadratowej.. 109 2.7. Równanie k w ad rato w e... 110 2.8. Wzory Viete a... 110 2.9. Różne własności funkcji kwadratowej w zadaniach... 116 2.10. Położenie miejsc zerowych trójmianu kwadratowego... 120 2.11. Rozmieszczenie pierwiastków równania kwadratowego na osi liczbowej (raz je s z c z e )... 125 2.12. O równaniach kwadratowych typu a f1(x) + b f(x) + c = 0.. 131 3. Rozwiązywanie zadań prowadzących do równań i nierówności stopnia drugiego (przykłady)... 140 3.1. Rozwiązywanie równań, nierówności i układów równań stopnia drugiego z wartością bezwzględną lub parametrem... 140 3.2. Rozwiązywanie algebraiczne i graficzne układów równań z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego 144 3.3. Rozwiązywanie zadań tekstowych prowadzących do równań i nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą... 147 4. Wielomiany... 149 4.1. Wielomian jednej zmiennej... 149 4.2. Działania na wielomianach... 151 5. Nierówności wielomianowe... 162 6. Funkcja hom ograficzna... 165 6.1. Działania na wyrażeniach wymiernych... 165 6.2. Przykłady rozwiązań równań wymiernych... 166 6.3. Przykłady rozwiązań nierówności w ym iernych... 173 6.4. Funkcja wymierna i hom ograficzna... 177 7. Wzór dwumianowy N e w to n a... 179 4

8. Zadania......185 8.1. Zakres podstawowy......185 8.2. Zakres rozszerzony......195 Rozdział IV TRYGONOMETRIA 1. Określenia, własności, w z o r y......215 1.1. Kąt... 215 1.2. Miara kąta... 216 1.3. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego... 218 1.4. Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta... 218 1.5. Znaki wartości funkcji trygonometrycznych... 220 1.6. Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kątów 220 1.7. Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych... 221 1.8. Okresowość funkcji trygonometrycznych... 221 1.9. Własności funkcji okresowych... 222 1.10. Podstawowe tożsamości trygonometryczne... 222 1.11. Tożsamości trygonometryczne... 223 1.12. Wzory redukcyjne... 226 1.13. 71 Wzory dla kątów dopełniających się do (90 )... 226 1.14. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy arg u m entó w... 226 1.15. Funkcje trygonometryczne wielokrotności argumentu... 227 1.16. Suma i różnica funkcji trygonometrycznych... 229 1.17. X Wyrażenie sinx, cos.r i tgx w zależności od t = tg... 231 2. Funkcje trygonometryczne, ich wykresy i własności (sin, c o s )... 232 3. Funkcje trygonometryczne, ich wykresy i własności (tg, ctg)... 233 4. Wykresy funkcji trygonometrycznych... 234 5. Równania trygonometryczne... 241 6. Różne sposoby rozwiązania jednego równania trygonometrycznego.. 243 7. Nierówności trygonometryczne.... 248 8. Zadania... 258 8.1. Zakres podstawowy... 258 8.2. Zakres rozszerzony... 261 9. Tablice trygonometryczne... 265 Rozdział V CIĄGI LICZBOWE 1. Przykłady ciągów i ich własności... 266 2. Ciągi o g ran iczo n e... 269 3. Granica ciągu... 270 5

4. Granica ciągu określonego rekurencyjnie... 276 5. Ciąg arytmetyczny...276 5.1. Podstawowe wzory dotyczące ciągu arytmetycznego...277 5.2. Monotoniczność ciągu arytmetycznego......278 6. Ciąg geometryczny...278 6.1. Podstawowe wzory dotyczące ciągu geometrycznego:...279 6.2. Monotoniczność ciągu geometrycznego......279 7. Szereg geometryczny...282 8. Zadania...288 8.1. Zakres podstawowy......288 8.2. Zakres rozszerzony......289 Rozdział VI PLANIM ETRIA 1. Trójkąty......292 1.1. Wzory na pole dowolnego trójkąta...293 2. Czworokąty...297 3. Koło, okrąg i ich części...302 4. Twierdzenie Pitagorasa...304 5. Twierdzenie Talesa...307 5.1. Cechy przystawania tró jk ą tó w......308 5.2. Wielokąty......309 6. Twierdzenie sinusów i kosinusów...311 7. Przekształcenia geometryczne...314 8. Zadania......320 8.1. Zakres podstawowy...... 320 8.2. Zakres rozszerzony...... 323 Rozdział VII GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. O wektorach......327 1.1. Iloczyn skalamy dwóch wektorów...331 1.2. Współrzędne wektora na płaszczyźnie......333 1.3. Długość wektora...335 2. Metody geometrii analitycznej...336 2.1. Odległość punktu od prostej y = kx + q......341 2.2. Postać ogólna równania prostej......342 2.3. Postać odcinkowa równania prostej...343 2.4. Wzajemne położenie prostych oraz wektorów...345 2.5. Równanie okręgu......347 2.6. Wzajemne położenie dwóch o k rę g ó w...350 6

3. Współrzędne punktu symetrycznego do danego względem dowolnie położonej prostej na płaszczyźnie... 353 4. Zadania... 358 4.1. Zakres podstawowy... 358 4.2. Zakres rozszerzony... 360 Rozdział VIII STEREOMETRIA 1. Graniastosłupy i ostrosłupy. Walec, stożek, k u l a... 364 1.1. Prostopadłościan... 364 1.2. Sześcian... 366 1.3. Pole powierzchni i objętość graniastosłupa p ro s te g o... 368 1.4. Pole powierzchni i objętość walca... 369 1.5. Pole powierzchni i objętość ostrosłupa... 371 1.6. Pole powierzchni i objętość stożka... 374 1.7. Pole powierzchni i objętość kuli... 375 2. Wielościany foremne... 376 3. Wyznaczanie związków miarowych w bryłach z zastosowaniem trygonometrii... 378 4. Przekroje płaskie... 384 5. Bryły podobne... 387 6. Zadania... 388 6.1. Zakres podstawowy... 388 6.2. Zakres rozszerzony... 389 Rozdział IX RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Elementy kombinatoryki... 392 1.1. Związek wariacji z powtórzeniami z liczbą funkcji... 393 2. Empiryczne podstawy rachunku prawdopodobieństwa... 397 2.1. Inne pojęcia i własności prawdopodobieństwa... 400 3. Tabelki dla par zdarzeń lo s o w y c h... 402 4. Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność z d a r z e ń... 405 5. Drzewka (stochastyczne)... 408 6. Schemat Bemoulliego... 414 7. Elementy statystyki opisowej... 416 8. Zadania... 421 8.1. Zakres podstawowy... 421 8.2. Zakres rozszerzony... 424 Rozdział X FUNKCJE WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE 1. Funkcja p o tę g o w a... 428 7

1.1. Własności funkcji potęgowej......430 2. Pierwiastki...431 2.1. Własności pierwiastka arytmetycznego...... 432 3. Potęgi...... 433 4. Funkcja wykładnicza... 440 4.1. Własności funkcji wykładniczej...... 441 4.2. Wykresy funkcji wykładniczych... 442 5. Równania i nierówności wykładnicze...... 443 6. Określenie logarytmu i własności logarytmów...... 447 7. Funkcja logarytmiczna... 449-7.1. Własności funkcji logarytmicznej... 450 7.2. Podstawowe metody rozwiązywania równań logarytmicznych. 451 7.3. Podstawowe metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych 452 8. Zadania - zakres rozszerzony...457 Rozdział XI CIĄGŁOŚĆ I POCHODNA FUNKCJI 1. Pojęcie granicy funkcji... 462 1.1. Twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji 464 1.2. Sposoby obliczania granic...465 1.3. Granica niewłaściwa, granica w nieskończoności, granice jednostronne...466 1.4. Asymptoty wykresu funkcji (Asymptota - niemalstyczna)... 468 2. Ciągłość f u n k c ji......470 3. Pochodna funkcji...,...476 3.1. Przyrost argumentu i wartości funkcji...476 3.2. Pochodna funkcji w punkcie......476 3.3. Podstawowe wzory na obliczanie pochodnych...479 3.4. Twierdzenia o działaniach arytmetycznych na pochodnych... 480 3.5. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie.... 482 4. Zastosowania pochodnej funkcji...485 4.1. Monotoniczność funkcji.......485 4.2. Punkty krytyczne funkcji...486 4.3. Ekstrema lokalne funkcji...486 4.4. Warunek konieczny ekstremum......488 4.5. Warunek wystarczający ekstremum...489 4.6. Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale domkniętym 490 4.7. Badanie przebiegu zmienności funkcji......493 4.8. Zadania optymalizacyjne...495 5. Zadania......500 8

Wstęp Przedstawiony wybór przykładów, zadań i elementów teorii podyktowany jest zbiorem wymagań, któremu sprostać muszą uczniowie przystępujący do egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. W wyborze tym nie powinno już właściwie być zagadnień związanych z rachunkiem zdań oraz działu poświęconego rachunkowi różniczkowemu, jednak w ostatecznej wersji zagadnienia te występują. Złożyło się na to kilka powodów. Najważniejsze z nich są następujące: przyjmując zasadę, że podstawa programowa nie jest tożsama z programem nauczania, możemy poszerzyć program przyjęty przez szkołę, pod warunkiem jednak, że nauczyciel będzie miał czas na realizację tego poszerzenia. Nic nie stoi na przeszkodzie, by w dobrym liceum nauczać rachunku różniczkowego. Rangę nauczania dodatkowego materiału podnieść można poprzez np. wzmocnienie oceniania wewnątrzszkolnego i roli oceny końcowej. W książce znajdują się elementy teorii oraz około 300 zadań rozwiązanych jako przykłady i ponad 300 zadań do samodzielnej pracy ucznia. Do zadań tych podano odpowiedzi. Podane rozwiązania zadań nie zawsze są zredagowane w optymalny sposób, gdyż nie zawsze byłoby to z korzyścią dla Czytelnika. Czasem w rozwiązaniu zachowano więcej rachunków, niż to jest konieczne, a czasem pominięto niektóre kroki rozwiązania, uznając je za oczywiste. Poniżej podaję przykład redakcji rozwiązania zadania, którą można uznać za optymalną. I jeszcze jedna, istotna uwaga: istnieje niewiele zadań, które można rozwiązać jedną tylko metodą (sposobem). Często takich sposobów jest wiele, co jest podkreślane na kartach tej książki. ^ Przykład redakcji rozwiązania zadania ^ Zadanie Dane są dwie funkcje określone w zbiorze Rq liczb rzeczywistych nieujemnych i o wartościach w zbiorze R liczb rzeczywistych:

Wstęp fi- Ro -» R, Mx) = X3, U R0+ -> tf, / 2(x) = - i ( * - 4 ) 2 + 4. a) Pokaż, że punkt O = (0; 0) jest punktem wspólnym wykresów tych funkcji oraz wyznacz drugi punkt S = (x,; y,) przecięcia się wykresów funkcji /, i / 2; b) Nakreśl wykresy funkcji/, i / 2 w prostokątnym układzie współrzędnych xoy; c) Prosta g: x = a, 0 ^ a < xx, przecina wykresy funkcji/i i f2 w punktach. A i B. Dla jakiej wartości parametru a pole powierzchni trójkąta O AB jest maksymalne? Podaj odpowiedź z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Rozwiązanie Ad. a) Wykresami funkcji f, i f2 są odpowiednio zbiory: wfl = {(*; y) e R2\y = /(*) = *3, * g R{; } Wf2 = (x; y)e R2; y = f2(x) = - ^ - ( x - 4 ) 2 + 4, x e R j Dla punktu O = (0, 0) mamy: /(O) = O3 = 0, a więc O e Wf[ MO) = ^ ( 0 4)2 + 4 = 0, a więc Oe Wf2 Zatem OeWf nwf2. Dragi punkt S przecięcia się wykresów funkcji/, i/2 znajdziemy rozwiązując równanie X3 - --^-(x 4)2 + 4, xerq. Otrzymujemy: xx = 0, x2 = \ - J m 8 10

Wstęp zatem - 1 +./T 2 9 /- l+ y i2 9 \3 5 8 ; \ 8 ) ' [Sx (1,29; 2,17)] Ad. b) Trójkąt ma wierzchołki o współrzędnych: O = (0;0), A = (a; a3), B = ^a; -^-a2 + 2aj. Jeżeli za podstawę trójkąta AOB (Rys.) wybierzemy odcinek AB, którego długość wynosi a a2 + a 2, to jego wysokość będzie równa a. Zatem pole P powierzchni trójkąta OAB w zależności od a opisuje funkcja P(a) = a2 a2 + a 2 1 Ponieważ w przedziale (0; X,) trójmian a + a 2 przyjmuje wartości ujemne, więc P(a) = - y a 4- y a 3 + a2. 11