A4: Filtry atywne rzędu II i IV Jace Grela, Radosław Strzała 3 maja 29 1 Wstęp 1.1 Wzory Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, tórych używaliśmy w obliczeniach: 1. Związe między stałą czasową a częstością i częstotliwością graniczną dla filtrów g = 1 τ = 2πf g (1) Na podstawie tych wzorów obliczymy stałe czasowe i częstotliwości dla poszczególnych filtrów. 2. Czas narastania w funcji stałej czasowej t r = 2.2τ (2) 3. Wzmocnienie wzmacniacza operacyjnego µa741 (element czynny uładów) 4. Wzmocnienie filtru dolnoprzepustowego 2-biegunowego = 1 + R 2 R 1 (3) K(s) = ( s d g ) 2 + (3 ) s + 1 g d K() = ( (3 ) d g ) ( 2 + 1 ( d g ) 2 ) 2 (4) 5. Wzmocnienie filtru górnoprzepustowego 2-biegunowego K(s) = ( ) u 2 K() = g s + (3 ) g u s + 1 u g - Częstotliwość graniczna filtru górnoprzepustowego d g - Częstotliwość graniczna filtru dolnoprzepustowego ( (3 ) u g ) ( 2 + 1 ( ) ) (5) u 2 2 g 6. Częstotliwości graniczne w funcji parametrów obwodu g = 1 RC (6) 7. Wzmocnienie filtru dolnoprzepustowego Butterwortha IV rzędu 1 2 K() = ( 1 8. Wzmocnienie filtru pasmowoprzepustowego Butterwortha IV rzędu K() = ( ( 1 g d d g 1 2 2 2 ) ) ( 8 1 ) 8 (7) ( ) ) (8) u 8 g 1
2 Wynii pomiarów i opracowanie W tracie ćwiczenia zbadaliśmy następujące ułady: ˆ filtr dolnoprzepustowy II rzędu o tłumieniu rytycznym ˆ filtr dolnoprzepustowy Butterwortha IV rzędu ˆ filtr pasmowoprzepustowy Podstawowym elementem atywnym wyorzystanym w ćwiczeniu był wzmacniacz operacyjny µa741. 2.1 Filtr dolnoprzepustowy II rzędu Filtr dolnoprzepustowy słada się z dwóch uładów RC oraz wtórnia o = 1. Na wejściu podajemy sygnał o amplitudzie 2V P P. W oparciu o wartości RC liczymy teoretyczną częstotliwość graniczną (ze wzoru (6) i (1)), tóra wynosi f d g = 995 [Hz]. 2.1.1 Charaterystya częstotliwościowa [db] Dopasowanie (f), f g = 112.6 +/- 1.6 [Hz] (-37.61 +/-.49) [db/dec] -1-3 -35-4 1 1 1 Wy.1 Charaterystya częstotliwościowa dla filtru dolnoprzepustowego II rzędu. Na podstawie Wy.1 wyznaczamy f g = (112.6 ± 1.6) [Hz] oraz nachylenie asymptotyczne tóre wynosi ( 37.61 ±.49) [db/dec]. Pomiary zgadzają się z oczeiwanymi wartościami przewidzianymi dla filtra II rzędu (błąd względny dla częstotliwości wynosi 1.8%). 2
2.1.2 Odpowiedź filtru na so napięcia Na wejście podawaliśmy sygnał prostoątny o amplitudzie 2V P P i częstotliwości f = 1 [Hz], czyli znacznie poniżej granicznej - uład nie całuje jeszcze ściśle matematycznie. Odpowiedź prezentuje poniższy rysune: Wy.2 Odpowiedź na so napięcia. Na podstawie Wy.2 wyznaczamy czas narastania i opadania impulsu - jest on w obu przypadach tai sam i wynosi t r = 52 [µs]. 2.2 Filtr dolnoprzepustowy Butterwortha IV rzędu 2.2.1 Charaterystyaiczęstotliwościowe Uład IV rzędu słada się z dwóch filtrów dolnoprzepustowych II rzędu połączonych szeregowo, przy czym element atywny ma różne, specjalnie dobrane wzmocnienia. Pierwszy stopień wzmacniający ma 1 = 2.235 a drugi 2 = 1.152. Wartości te są dobrane ta, aby charaterystya częstotliwościowa była płasa masymalnie długo i powyżej częstotliwości granicznej sutecznie obcinała sygnał. Na wejściu podawaliśmy napięcie o amplitudzie 1.5V P P. Sygnał badaliśmy w dwóch puntach - po pierwszym członie wzmacniającym oraz na ońcu uładu. W związu z tym będziemy dysponować trzema charaterystyami, tóre później przedysutujemy. [db] 1 5 (-44.29 +/-.4) [db/dec] (f), f g = (12.5 +/- 3.7) [Hz] -1-3 1 1 1 1 Wy.3 Charaterystya pierwszego członu wzmacniającego. 3
[db] (-33.4 +/-.45) [db/dec] Dopasowanie (f), f g = (995 +/- 17) [Hz] -1 1 1 Wy.4 Charaterystya drugiego członu wzmacniającego. Powyższe wyresy są charaterystyami pierwszego i drugiego członu wzmacniającego, czyli filtru dolnoprzepustowego II rzędu. Ze znajomości 1 oraz 2 dla obu stopni dopasowujemy zależność K() na podstawie wzoru (4). Występujące w mianowniach wyrażenie 3 w obu przypadach jest mniejsze niż 4, co powoduje, że mianowni ma zespolone bieguny. Ten fat zobrazowany jest występowaniem przerzutów na wyresach charaterysty. Z tym, że dla 1 zespolony wyróżni wadratowy ma wartość stosunowo dużą, stąd urojona część bieguna ma wyraźnie dużą wartość - przerzut jest wyraźnie widoczny na Wy.3. Z olei, w przypadu 2 urojona część bieguna jest nieduża stąd na Wy.4 przerzut nie występuje. Na podstawie dysutowanego dopasowania wyznaczamy wartości częstotliwości granicznej, tóre zgadzają się z wartością teoretyczną oraz doświadczalną przedstawioną w 2.1.1. Wyznaczamy też asymptotyczne nachylenia charaterysty w zaresie wysoich częstotliwości. Wiemy, że dla filtrów II rzędu powinny one wynosić 4 [db/dec]. Wy.3 przedstawia nachylenie ( 44.29 ±.4) [db/dec], natomiast Wy.4 - ( 33.4 ±.45) [db/dec]. Obie wartości są aceptowalne jao nachylenia charaterysty II rzędu. 4
[db] 1 5 (-77.93 +/-.74) [db/dec] (f), f g = 19.5 +/- 6.3 [Hz] -1-3 1 1 1 Wy.5 Charaterystya całego filtru IV rzędu. Uład filtrujący Butterwortha IV rzędu jest opisany transmitancją, tórej mianowni jest masymalnie uproszczony - zawiera tylo wyraz najwyższego rzędu. Wszystie wyrazy niższego rzędu nie występują, co uzysujemy przez odpowiedni dobór wzmocnienia 1 oraz 2. Przemnożenie przez siebie zależności ze wzoru (4) oraz podstawienie 1 i 2 daje prosty wzór (7). Tę zależność dopasowaliśmy do puntów pomiarowych. To dopasowanie ma pełną zgodność, co widać na Wy.5. Częstotliwość graniczna filtru zgadza się z wartością teoretyczną oraz pomiarami wcześniejszymi. Ten parametr nie powinien zależeć od elementów atywnych, a tylo od wartości rezystancji i pojemności. Nachylenie charaterystyi w zaresie wysoich częstotliwości wynosi ( 77.93 ±.74) [db/dec]. Filtr IV rzędu powinien mieć nachylenie 8 [db/dec] więc nasz wyni jest bardzo zadowalający. 2.2.2 Odpowiedź na so napięcia Wy.6 Odpowiedź filtru IV rzędu na so napięcia. Na powyższym rysunu odtwarzamy ształt odpowiedzi uładu IV rzędu na so napięcia. Kształt jest znieształcony, ma wyraźne flutuacje - nie przypomina całowania obserwowanego w przypadu 2.1.2. Taa jest właściwość filtru Butterwortha, tóry ma bardzo dobrą charaterystyę, ale gorzej zachowuje się w przypadu odpowiedzi na so. Czas narastania obliczony w oparciu o Wy.6 wynosi 41 [µs]. 5
2.3 Filtr pasmowoprzepustowy Filtr pasmowy zrealizowaliśmy łącząc szeregowo 2-stopniowe ułady: całujący i różniczujący. W obu przypadach olejne stopnie mają wzmocnienia 1 i 2 o wartościach taich ja poprzednio. Wartości elementów pasywnych w uładach dobrane są ta, aby częstotliwości graniczne, wyliczone w oparciu o wzór (6) wynosiły: o. 99.5 [Hz] i 995 [Hz]. Na wejściu podajemy sygnał sinusoidalny o amplitudzie 1.5V P P. 2.3.1 Charaterystya częstotliwościowa [db] Dopasowanie (f) (78.56 +/-.47) [db/dec] (-8.29 +/-.35) [db/dec] 1 f g1 = 94.8 +/-.4 f g2 = 98 +/- 4-1 -3-4 1 1 Wy.7 Charaterystya amplitudowo-częstotliwościowa filtru pasmowego. Wzór (8) przedstawia wzmocnienie amplitudowe filtru pasmowego, obliczone analogicznie do dysusji w 2.2.2 Tę zależność dopasowujemy do naszych puntów pomiarowych, co pozwala znaleźć częstotliwości graniczne. Esperymentalne wartości częstotliwości granicznych wynoszą: (94, 8±.4) [Hz] dla filtru górnoprzepustowego oraz (98±4) [Hz] dla filtru dolnoprzepustowego. Pamiętamy, że wartości te powinny być o. 1 i 1. Nasze wynii są więc dobre. Błędy względne: 4% oraz 1.5%. Pasmo przenoszenia sygnału jest bardzo płasie, w całym zaresie częstotliwości sygnał jest przenoszony bezstratnie z tym samym wzmocnieniem. Nachylenia charaterysty z obu stron są z dużą doładnością blisie nachyleniu ±8 [db/dec], odpowiadającemu filtrom IV rzędu. 2.4 Wniosi Ułady przez nas analizowane w tym ćwiczeniu (czyli głównie filtry Butterwortha) wyazały dużą zgodność w zachowaniu charaterysty z przewidywaniami teoretycznymi. Wyznaczone analityczne formuły na wzmocnienie (wzory 7 i 8) niemal dosonale odwzorowują punty pomiarowe. 6