Rozdział Metody badania źródeł informacji Zbigniew OMIOTEK Wyższa Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu, Katedra Informatyki i Inżynierii Wiedzy zomiotek@wszia.edu.pl Franciszek GRABOWSKI Politechnika Rzeszowska, Zakład Systemów Rozproszonych fgrab@prz.rzeszow.pl Streszczenie System transmisji sieciowej jest złożoną strukturą hierarchiczną, w której jedną z kluczowych ról odgrywa warstwa najwyższa, czyli źródło informacji. Dlatego ważna jest możliwość ilościowej oceny informacji (mowy, tekstu, obrazu) generowanej przez źródło. W rozdziale przybliżono metody badania zależności występujących w tekstach. Zaprezentowano również wyniki badań obrazów oraz ilościowe kryterium różnicowania obrazów pod względem stopnia złożoności. 1. Wprowadzenie Wśród pięciu zmysłów, jakimi natura obdarzyła człowieka, wzrok i słuch są tymi, którym współczesny postęp w dziedzinie telekomunikacji nadał rangę szczególną. Możliwy jest bowiem przekaz bodźców wzrokowych i słuchowych na odległość. Celem takiego przekazu jest transmisja informacji od źródła do odbiorcy. Z tego punku widzenia niezwykle istotną kwestią staje się poznanie istoty źródła informacji, a w szczególności możliwość stwierdzenia w sposób ilościowy, czy sygnał generowany przez źródło (np. mowa człowieka lub obraz) zawiera informację, czy też nie. Można również zadać pytanie, czy w wyniku analizy matematycznej można zaliczyć badany sygnał do pewnej klasy sygnałów zawierających informację istotną z punktu widzenia percepcji przez człowieka? Uzasadnione wydaje się przyjęcie tezy, że cechą informacji jest występowanie zależności (korelacji) krótko i długoterminowych. Zatem, ogólnie można założyć, że badanie występowania korelacji powinno dać odpowiedź na wcześniej postawione pytanie.
2 Z. Omiotek, F. Grabowski 2. Języki naturalne jako źródła zależności długoterminowych Okazuje się, że sygnały wykazujące obecność zależności długoterminowych charakteryzują się również szumem typu 1/f. Występowanie takiego szumu wykryto podczas obserwacji wielu zjawisk w otaczającym nas świecie (jasność gwiazd, ruch uliczny, itp.). Szum 1/f tworzą sygnały losowe posiadające widmo mocy zmieniające α się zgodnie z odwrotnym prawem potęgowym ( P ( f) 1/ f, gdzie α 1) [1]. Już w latach 70-tych zaobserwowano, że widmo mocy zbliżone do szumu 1/f charakteryzuje sygnał dźwięku odpowiadający muzyce oraz mowie i to zarówno w odniesieniu do intensywności, jak i wysokości tonu [2]. Muzyka jest reprezentowana (kodowana) za pomocą nut, natomiast mowa za pomocą tekstu. Dlatego badanie tekstów może przybliżyć zależności występujące podczas przekazywania informacji za pomocą języka naturalnego. Wykrycie w tekstach szumu 1/f zapoczątkowało szereg badań, których celem była matematyczna i statystyczna analiza tekstów. Badania koncentrowały się na częstości występowania jednostek danego języka (np. słów) oraz rozkładzie ich długości (np. zdań). Znane są również badania dotyczące entropii oraz prawdopodobieństwa warunkowego przejścia od jednej litery do litery sąsiadującej z nią [3, 4, 5]. Szum 1/f charakteryzujący teksty nie może być jednak zidentyfikowany za pomocą widma mocy, ponieważ widma mocy nie można zdefiniować dla ciągów znaków. Podobnie, dla ciągów znaków, nie można bezpośrednio zastosować funkcji korelacji, która jest odwrotną transformatą Fouriera widma mocy (funkcja korelacji jest natomiast stosowana dla ciągów liczb). W takiej sytuacji naturalną alternatywą funkcji korelacji dla ciągów znaków staje się informacja wzajemna (ang. Mutual Information). Znanych jest wiele badań dotyczących ciągów, w których, w rozmaity sposób zastosowano informację wzajemną. Na przykład, Chaitin [6] zastosował podział badanego systemu i obliczył informację wzajemną pomiędzy poszczególnymi jego składowymi. Następnie wartość maksymalna informacji wzajemnej dla wszystkich możliwych składowych stała się podstawą do matematycznej definicji pojęć życia i organizacji. Z kolei Shaw [7] i Grassberger [8], wykorzystali informację wzajemną pomiędzy dwoma jednostronnie ograniczonymi blokami w ciągu do zdefiniowania pojęcia złożoności. Wymienione wyżej przykładowe zastosowania informacji wzajemnej prowadzą do pojedynczych wartości charakteryzujących badane ciągi, ale znane są również badania, w których wykorzystano informację wzajemną jako funkcję odległości pomiędzy elementami ciągu [9]. 3. Metody badania zależności występujących w tekstach 3.1. Funkcja korelacji Rozważmy możliwość zastosowania funkcji korelacji do zbadania zależności x i i= 1, 2,..., N, gdzie występujących w tekście. Niech dany będzie ciąg liczb { } ( ) wartość dla danej pozycji odpowiada stanowi zmiennej x i { a } ( α =1, 2,..., M) α.
Metody badania źródeł informacji 3 Jeżeli prawdopodobieństwo łączne tego, że i-ta pozycja ma wartość a α oraz pozycja j = i+ d ma wartość β jest wyrażona następująco: a wynosi P ( d) P x = a, x a ) αβ =, to funkcja korelacji ( i α j = β Γ( d ) a ( ) αaβ Pαβ d aα Pα (1) α β α Przykład zastosowania funkcji korelacji jest zawarty w pozycji [9]. Wykorzystano tam inauguracyjne przemówienie Kennediego, którego tekst zawierał 7391 liter. Tekst został wstępnie przygotowany do analizy w ten sposób, że litery zostały losowo mapowane na liczby z zakresu 2 27, białe znaki zostały zamienione na liczbę 0, a znaki interpunkcyjne na liczbę 1. Na rys. 1. w skali log-log wykreślono wartości Γ d dla 10-ciu różnych losowych przekształceń. bezwzględne funkcji korelacji ( ) 2 Rys. 1. Wartości bezwzględne funkcji korelacji dla ciągów losowych utworzonych na podstawie tekstu przemówienia Kennediego [9] Na powyższym rysunku widać wyraźnie, że bez względu na transformację funkcje korelacji zmieniają się zależnie od zakresu odległości. Takie zachowanie funkcji korelacji zostało czytelnie przedstawione w ramce znajdującej się w prawym górnym rogu rysunku. Została tam narysowana krzywa będąca średnią wszystkich funkcji Γ ( d), do której następnie dopasowano linię prostą dla odległości d zawartych w przedziale 1 15. Wykreślona prosta opada z nachyleniem 0,93, co wskazuje, że w zakresie odległości d występują silne zależności między literami.
4 Z. Omiotek, F. Grabowski 3.2. Funkcja informacji wzajemnej Funkcja korelacji jest stosowana dla ciągów liczbowych, natomiast dla ciągów znakowych wykorzystywana jest funkcja informacji wzajemnej. Rozważmy zatem sekwencje znaków, gdzie stany zmiennych { a α} nie są liczbami. Funkcja informacji wzajemnej między dwoma pozycjami w ciągu może być zdefiniowana następująco: M M M α β [1] ( d) P ( d) ( d) gdzie: P αβ ( d) jest definiowane tak, jak w równaniu (1); Pαβ [1] [2] αβ log2 = 2H H ( d) (2) P P P α jest gęstością prawdopodobieństwa dla symbolu a α ; [1] H jest entropią dla pojedynczej pozycji w ciągu; H 2] ( d) α [ jest entropią dla połączonego bloku utworzonego z dwóch pozycji znajdujących się w odległości d. Podobnie można zdefiniować informację wzajemną pomiędzy dwoma blokami o długości L, tj. blokami zawierającymi L pozycji, oddzielonymi odległością wynoszącą d pozycji. Prawdopodobieństwa P α są wówczas prawdopodobieństwami bloków o długości L, a P αβ ( d) są łącznymi prawdopodobieństwami dla dwóch bloków o długości L. Funkcję informacji wzajemnej dla dwóch bloków o długości L można zatem zdefiniować następująco: M L L M M [ L] ( d) P ( d) α β αβ β ( d) Pαβ log P P Powyższa zależność definiuje informację wzajemną między dwoma blokami M d [2 ), trzypozycyjnymi ( M ( d) [3] ), itd. dwupozycyjnymi ( ( ) ] Funkcja informacji wzajemnej pozwala mierzyć zależności między znakami występującymi na dwóch pozycjach w ciągu. Jeżeli te znaki są niezależne, to informacja wzajemna między nimi wynosi zero. Jeżeli są one silnie zależne, informacja wzajemna pomiędzy nimi jest duża. Występowanie szumu typu 1/f, a tym samym zależności długoterminowych dla danego ciągu znaków, można sprawdzić badając, czy funkcja informacji wzajemnej M ( d) dla tego ciągu ma postać odwrotnej funkcji potęgowej. Jeżeli tak, należy ekstrapolować wykładnik M ( d) do wykładnika odpowiadającego funkcji Γ ( d) i sprawdzić, czy odpowiada on widmu mocy typu 1/f. W przypadku ciągów binarnych oznacza to, że dla widma mocy typu 1/f wymagana jest funkcja informacji wzajemnej postaci α β 1 M ( d) ( ) ( 0< β < 1) (4) 2 1 β d (3)
Metody badania źródeł informacji 5 Na rys. 2. zaprezentowano przebieg trzech funkcji informacji wzajemnej dla tekstu przemówienia Kennediego. Pierwsza krzywa ( M ( d) [1] ) odpowiada ciągowi typów liter, zawierającemu 4 znaki zależne od tego, czy oryginalna litera była samogłoską, spółgłoską, spacją, czy znakiem interpunkcyjnym. Druga krzywa odpowiada funkcji M ( d) [2] dla ciągu identycznego, jak powyższy. Natomiast trzecia krzywa ( M ( d) [1] ) odpowiada ciągowi liter zawierającemu 28 znaków. Rys. 2. Funkcja informacji wzajemnej dla ciągów otrzymanych z przemówienia Kennediego. ciąg typów liter M ( d) [1] (4 znaki), ciąg typów liter M ( d) [2] (4 znaki), ciąg liter ( ) [1] Obserwując przebieg krzywych ( d) M d (28 znaków) [9] M widać, iż na krótszych odległościach opadają one zgodnie z odwrotnym prawem potęgowym, z wykładnikiem równym ok. 3. Zatem, funkcje nie prowadzą w tych przypadkach do szumu typu 1/f, nie mniej jednak wskazują na przynależność badanych ciągów znaków do pewnej wspólnej klasy źródeł informacji. Takie zachowanie funkcji informacji wzajemnej potwierdzają również, zaprezentowane w pozycji [9], wyniki analizy innych tekstów, charakteryzujących się większą długością, niż przemówienie Kennediego. Wspomniane teksty to: artykuły serwisu informacyjnego Associated Press, Biblia w języku niemieckim, tekst sztuki Szekspira Hamlet oraz zbiór 11-tu innych sztuk tego autora. 4. Ocena stopnia złożoności obrazów W wielu dziedzinach nauki istnieje potrzeba oceny stopnia złożoności analizowanych obrazów. Narzędziem stosowanym do oceny tej złożoności jest analiza fraktalna, która dostarcza miary ilościowej w postaci wymiaru fraktalnego.
6 Z. Omiotek, F. Grabowski Zakres wykorzystania wymiaru fraktalnego jest dość szeroki i obejmuje, m. in. analizę i interpretację obrazów medycznych (sieć naczyń krwionośnych siatkówki oka, nowotwory tkanki nabłonkowej, itp.), analizę i rozpoznawanie skupisk zieleni (np. drzew), zmienności gatunkowej roślin, linii brzegowych, a nawet zjawisk atmosferycznych. Wymiar fraktalny charakteryzuje stopień złożoności obiektów wykorzystując ocenę tego, jak szybko wzrastają długość, powierzchnia czy objętość, jeśli pomiar dokonywany jest z coraz większą dokładnością. W przypadku obiektów fraktalnych wykorzystana jest zasada, że dwie wielkości długość, powierzchnia czy objętość z jednej strony, a stopień dokładności z drugiej nie zmieniają się w sposób d dowolny, lecz są związane prawem potęgowym o postaci y x, które pozwala wyznaczyć jedną wartość na podstawie drugiej. Istnieje wiele estymatorów wymiaru fraktalnego, z których najwięcej zastosowań mają wymiar pudełkowy oraz estymator Fouriera. Historia wymiaru fraktalnego sięga pracy Hausdorffa z 1918 r. Jakkolwiek definicja tego, co później zostało nazwane wymiarem Hausdorffa, nie jest przydatna w praktyce, ma jednak duże znaczenie teoretyczne i wykazuje istotny związek z wymiarem pudełkowym. 5. Wybrane metody wyznaczania wymiaru fraktalnego 5.1. Metoda pudełkowa W celu obliczenia wymiaru pudełkowego badany obraz należy umieścić na regularnej siatce składającej się z elementów o długości boków równej δ, a następnie policzyć ile elementów siatki (pudełek) pokrywa obraz. Liczba, którą otrzymamy ( N ( δ) ), będzie zależna od rozmiaru elementów siatki. W dalszych iteracjach należy stopniowo N δ. Istota określenia zmniejszać wartość δ i określać odpowiednie wartości ( ) wymiaru pudełkowego polega na obserwacji, jak zmienia się ( δ) [10]. N przy zmianie δ Dla obrazów występujących w naturze liczba elementów występujących w kolejnych iteracjach nie jest stała, dlatego wymiar pudełkowy określa się jako wartość graniczną, gdzie długość pudełka zmierza do zera. Zakładając, że N ( δ) jest liczbą pudełek o długości boku δ pokrywających obraz, wymiar pudełkowy takiego obrazu jest zdefiniowany następująco: D b ( N( δ) ) ( δ) log = lim (5) 0 δ log1/ przy założeniu, że granica istnieje. Praktycznie, wymiar pudełkowy określa się w ten sposób, że rysujemy wykres log ( N( δ) ) w funkcji log ( 1/δ) i aproksymujemy go linią prostą. Nachylenie otrzymanej prostej jest wymiarem pudełkowym. Na rys. 3 przedstawiono metodę obliczania wymiaru pudełkowego dla trzech wielkości elementów siatki. Dane wykorzystane do sporządzenia wykresu z rys. 3 zamieszczono w tab. 1.
Metody badania źródeł informacji 7 Tabela 1. Obliczanie wymiaru pudełkowego δ N ( δ) log ( 1/δ) ( N( δ) ) 0,2500 8 0,6021 0,9031 0,1667 19 0,7781 1,2787 0,0833 59 1,0793 1,7708 log D b 1,798 Rys. 3. Ilustracja metody obliczania wymiaru pudełkowego dla danych z tabeli 1 5.2. Metoda Fouriera Niech funkcja ( t) V H będzie liniową funkcją ruchu Browna lub ułamkowego ruchu Browna z zerową wartością średnią przyrostów Gaussa oraz wariancją gdzie ( 0, 1) H. E 2 2H ([ V ( t δ) V ( t) ] ) δ H + (6) H
8 Z. Omiotek, F. Grabowski Parametr H jest współczynnikiem Hursta ruchu Browna i jak zostało wykazane przez Pentlanda [11] jest on bezpośrednio związany z wymiarem fraktalnym D F funkcji V H ( t) zależnością D F = E+ 1 H (7) gdzie E jest wymiarem topologicznym. W pozycji [11] wykazano również, że V H ( t) ma widmo Fouriera o mocy F H ( f) takie, że β ( f) f oraz H jest związane z parametrem β zależnością F H (8) β = 2 H +1 (9) Ponieważ każda poprzeczna sekcja dwuwymiarowej fraktalnej powierzchni Browna x, y jest liniową funkcją ruchu Browna z identycznym H, możemy zapisać V H ( ) E 2 2H ([ V ( x δ cosγ, y+ δ sinγ) V ( x, y) ] ) δ H + (10) dla niezależnych kątów λ. Funkcję, która wypełnia ten warunek nazywamy dwuwymiarowym ułamkowym ruchem Browna. W pozycji [12] Voss wykazał, że taki ruch posiada dwuwymiarowe widmo mocy o powierzchni opisanej zależnością gdzie β ( f θ) f H F H, (11) β = 2 H + 2 (12) Nachylenie widma obrazu β możemy wykorzystać do estymacji wymiaru fraktalnego D stosując zależność β D = 4 (13) 2 gdzie 2 β 4. W przypadku małego samopodobieństwa badanego obrazu, estymacja wymiaru fraktalnego za pomocą metody Fouriera jest dokładniejsza, niż estymacja za pomocą wymiaru pudełkowego [13]. 6. Badanie obrazów metodą pudełkową Większość obrazów obserwowanych w naturze (drzewa, twarze, domy, góry, chmury, itd.) wykazuje własność samopodobieństwa. Wyraża się ona w tym, iż obraz składa się z kopii (odpowiednio przekształconych) części samego siebie. Poziom samopodobieństwa charakteryzującego obraz można wyznaczyć wykorzystując wymiar fraktalny obrazu oraz jego związek ze współczynnikiem Hursta.
Metody badania źródeł informacji 9 Cechy obrazów, istotne w wielu obszarach cyfrowego przetwarzania (kompresja, analiza i rozpoznawanie), to między innymi: kształt obiektów tworzących obraz, ich kolor, położenie oraz tekstura tych obiektów [14]. Z kolei najważniejsze atrybuty tekstur, wykorzystywane do ich klasyfikacji, to: szorstkość (gładkość lub ziarnistość), kierunkowość, regularność i nieregularność oraz kontrast. W dalszej części pracy przedstawiono wybrane wyniki analizy fraktalnej obrazów występujących w naturze (rys. 4), obrazów stanowiących wynik działalności człowieka oraz przykładowych tekstur (rys. 5) [15]. Wyniki obejmujące pełny zakres przeprowadzonych badań zaprezentowano w [16]. Badane obrazy, po przekształceniu do skali szarości, poddawane były analizie za pomocą metody pudełkowej. Do analizy wykorzystano oprogramowanie Fractal Analysis System [17]. Podczas badań przeprowadzono analizę fraktalną wybranych zdjęć przedstawiających góry (1-4), drzewa (5-8), linie horyzontu (9-12) oraz wybrane krajobrazy (13-16). Dane zawarte w tab. 2 pozwalają porównać między sobą 4 wymienione wcześniej kategorie. Średnia wartość współczynnika Hursta obrazów poddanych analizie jest największa dla horyzontu (0,6843), nieco mniejsza dla gór (0,6253) i zdecydowanie najmniejsza dla drzew (0,4676). Taka relacja jest charakterystyczna również dla wielu innych zdjęć, które zostały zbadane, ale nie zostały zamieszczone w niniejszym opracowaniu. Zdjęcia przedstawiające efekty działalności człowieka (17-20) charakteryzują się dużo mniejszym samopodobieństwem, w porównaniu z obrazami naturalnymi. Średnia wartość współczynnika Hursta zdjęć 17-20 wyniosła 0,5057. Dla porównania, uśredniona wartość tego parametru dla gór wyniosła 0,6253, a dla horyzontu 0,6843. Wcześniejszą tezę potwierdzają wyniki analizy zdjęć satelitarnych aglomeracji miejskich (21-24), które swą postać zawdzięczają przecież działalności człowieka. Współczynnik Hursta osiąga w tym przypadku bardzo małe wartości, zmieniające się od 0,258 do 0,402, a jego wartość średnia dla analizowanych zdjęć wynosi 0,3367. Obrazy 25-28 przedstawiają przykładowe tekstury o różnym stopniu szorstkości. Ziarnistość powierzchni zmieniała się od stosunkowo drobnej, dla tkaniny (tekstura nr 25), do grubej, charakteryzującej powierzchnię żwirową (tekstura nr 28). Wyniki analizy wskazują na związek między poziomem ziarnistości, a współczynnikiem Hursta. Tekstury gładsze charakteryzują się mniejszą, a bardziej ziarniste większą wartością tego parametru. Druga kategoria tekstur charakteryzowała się różnym poziomem regularności kształtów występujących na ich powierzchni (29-32). Większa regularność oraz większy rozmiar obiektów (31 i 32) wiąże się z większą wartością współczynnika Hursta, w przeciwiństwie do tekstur mniej regularnych, z drobniejszą fakturą powierzchni (29 i 30). Analiza fraktalna pozwoliła porównać między sobą obrazy naturalne oraz tekstury pod kątem występowania samopodobieństwa. Wyniki badań pokazały, iż generalnie, w przypadku obrazów naturalnych, własność samopodobieństwa występuje i to na stosunkowo wysokim poziomie (współczynik Hursta znacznie przekracza poziom 0,5). Odwrotnie jest w przypadku tekstur, gdzie nie zaobserwowano wspomnianej cechy. Dla niemalże wszystkich analizowanych tekstur współczynik Hursta był znacznie mniejszy od 0,5.
10 Z. Omiotek, F. Grabowski Tabela 2. Wyniki analizy fraktalnej obrazów z rys. 4 Nr D b H Kategoria Nr D b H Kategoria 1 2,4956 0,5044 9 2,4455 0,5545 2 2,4017 0,5983 10 2,3702 0,6298 Góry 3 2,3324 0,6676 11 2,2748 0,7252 Horyzont 4 2,2692 0,7308 12 2,1625 0,8375 5 2,6375 0,3625 13 2,4805 0,5195 6 2,5495 0,4505 14 2,3955 0,6045 Drzewa 7 2,4998 0,5002 16 2,1231 0,8769 Krajobraz 8 2,3914 0,6086 16 2,0502 0,9498 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Rys. 4. Zdjęcia przedstawiające obrazy naturalne (rozmiar org. 800 600 pikseli)
Metody badania źródeł informacji 11 Tabela 3. Wyniki analizy fraktalnej obrazów z rys. 5 Nr 17 18 19 20 21 22 23 24 Db 2,5086 2,5058 2,4499 2,4280 2,7420 2,6950 2,6427 2,5980 H 0,4914 0,4942 0,5501 0,5720 0,2580 0,3050 0,3573 0,4020 Kategoria Działalność człowieka Aglomeracje Nr 25 26 27 28 29 30 31 32 Db 2,6368 2,6303 2,6165 2,5510 2,6792 2,6222 2,5874 2,4925 H 0,3632 0,3697 0,3835 0,4490 0,3208 0,3778 0,4126 0,5075 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Kategoria Tekstury (szorstkość) Tekstury (regularność) Rys. 5. Zdjęcia przedstawiające efekt działalności człowieka oraz wybrane tekstury (rozmiar oryginalny 512 512 pikseli)
12 Z. Omiotek, F. Grabowski 7. Podsumowanie Zacytowane wyżej wyniki badań plików tekstowych pokazały specyficzne zachowanie (w pewnym zakresie) funkcji korelacji oraz funkcji informacji wzajemnej. Wskazuje ono na przynależność badanych ciągów znaków do pewnej wspólnej klasy źródeł informacji, do której należą wszystkie teksty napisane w językach naturalnych. Z kolei, w odniesieniu do obrazów, zaprezentowano możliwość ich różnicowania i klasyfikacji pod kątem wartości wymiaru pudełkowego (lub poziomu samopodobieństwa) charakteryzującego obraz. Zatem, informacja generowana przez źródło, niezależnie od tego, czy jest to mowa, tekst, czy obraz, może być scharakteryzowana w sposób ilościowy. Literatura 1. Edoardo M.: 1/f noise: a pedagogical review. eprint arxiv:physics/0204033. 2. Voss R., Clarke J.: 1/f Noise in Music and Speech. Nature 258, pp. 317 318, 1975. 3. Shannon C. E.: Prediction and entropy of printed English. Bell Syst. Techn. Journal, pp. 50 64, 1951. 4. Cover T. M., King R. C.: A Convergent Gambling Estimate of the Entropy of English. IEEE Transactions on Information Theory IT-24(4), pp. 413 421, 1978. 5. Grassberger P.: Estimating the information content of symbol sequences and efficient codes. Univ. of Wuppertal preprint, WU-B-87-11, 1987. 6. Chaitin G. J.: Toward a mathematical definition of life. The Maximum Entropy Formalism, Levine and Tribus, eds. MIT Press, 1979. 7. Shaw R.: The Dripping Faucet as a Model Chaotic System. Aerial Press, 1984. 8. Grassberger P.: Towards a quantitative theory of self-organized complexity. Int. J. Theor. Phys. 25, pp. 907 938, 1986. 9. Li W.: Mutual information functions of natural language texts. Santa Fe Institute preprint, SFI-89-008, 1989. 10. Peitgen H.-O., Jürgens H., Saupe D.: Granice chaosu. Fraktale. Cz. 1, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 2002. 11. Pentland A.: Fractal-based description of natural scenes. IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Vision, 6:661-674, 1984. 12. Voss R. F.: Random fractal forgeries. In R.A. Earnshaw, editor, Fundamental Algorithms in Computer Graphics. Springer-Verlag, 1985. 13. Freeborough P. A.: A comparison of fractal texture descriptors. http://www.bmva.ac.uk/bmvc/1997/papers/002/fractal.html 14. R. Tadeusiewicz, P. Korohoda: Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów. Wydawnictwo Fundacji Postępu Telekomunikacji, Kraków 1997. Publikacja dostępna online: http://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0098/default.htm 15. The USC-SIPI Image Database. http://sipi.usc.edu/database/ 16. Wyniki fraktalnej analizy obrazów. http://zo.wszia.edu.pl/badania/analiza_fraktalna.htm 17. Fractal analysis system. http://cse.naro.affrc.go.jp/sasaki/fractal/fractal-e.html