TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005
Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia Talesa brzmi Jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema (lub więcej) prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu tego kąta Założenie: AC BD Teza: OA OB OC OD Dowód twierdzenia wykorzystuje cechy podobieństwa trójkątów: Trójkąty OAC oraz OBD są podobne, ponieważ mają równe kąty: i ' oraz i ' są to kąty odpowiadające i równe (ponieważ proste, przy których się znajdują są równoległe) a kąt mają wspólny. Stąd odpowiednie odcinki w tych trójkątach są proporcjonalne, a zatem zachodzi równość z twierdzenia Talesa: OA OC. OB OD
W przestrzeni: Przeniesienie twierdzenia Talesa z płaszczyzny na przestrzeń nie jest takie oczywiste. Po pierwsze nie wiadomo, jaki kąt przestrzenny wziąć za analogon kąta płaskiego, jak interpretować proste równoległe i co będzie odpowiednikiem proporcjonalnych odcinków. Podczas wielu prób zinterpretowania tego problemu powstało wiele koncepcji, wiele z nich odrzuciłam, niektóre były trywialne (gdyż ostatecznie sprowadzały problem do płaszczyzny), ale powstały również ciekawe pomysły. Niektóre z nich przedstawię poniżej: I. Pierwszy pomysł kąt kąt dwuścienny proste płaszczyzny równoległe do krawędzi kąta dwuściennego odcinki nieograniczone pasy W przypadku tym analogicznie jak to jest w twierdzeniu Talesa długości odcinków możemy myśleć, że będziemy porównywać pola tych pasów. Praktycznie jednak trudno jest powiedzieć jak to porównanie miałoby wyglądać, ponieważ pasy mają nieskończoną długość. Jeśli by jednak przyjąć, że pole takiego pasa jest równe równy ( szer _ pasa), to przy porównaniu pól i tak -ści się poskracają i otrzymamy płaskie twierdzenie Talesa. II. Drugi pomysł Podobnie jak wyżej: kąt kąt dwuścienny proste płaszczyzny równoległe do krawędzi kąta dwuściennego
z tą różnicą, że bierzemy: odcinki płaskie figury geometryczne: prostokąty, równoległoboki lub trapezy w zależności od tego w jaki sposób obetniemy nieskończone pasy z poprzedniego przypadku płaszczyznami nierównoległymi do krawędzi kąta. W przypadku, gdy te płaszczyzny będą prostopadłe do krawędzi kąta otrzymamy takie prostokąty, których jedna krawędź będzie równa odległości x pomiędzy tymi płaszczyznami. Porównując pola tych prostokątów długość ta upraszcza się jednak i znów nasz przypadek się spłaszcza. Mamy: a x ( a b) x c x ( c d) x a więc a c. a b c d Podobnie jest dla równoległoboków. Dla trapezów natomiast próbując uogólnić dochodziłam do wielkiego wzoru, ale myślę że również po dokładnych przekształceniach zadanie sprowadzi się do rozpatrzenia płaskiego twierdzenia Talesa. III. Trzeci pomysł kąt kąt dwuścienny proste płaszczyzny równoległe między sobą i nierównoległe do krawędzi kąta dwuściennego odcinki kąty (części półpłaszczyzn będących ścianami kąta dwuściennego zawarte pomiędzy dwiema półprostymi o wspólnym początku i ramieniu zawartym w krawędzi kąta dwuściennego)
Zarówno zaznaczone na czarno jak i na zielono kąty zawierają się w jednych płaszczyznach (odpowiednio czarne w jednej i zielone w jednej) i są przystające, ponieważ są to kąty odpowiadające. Kąty te są więc przystające. Jakakolwiek próba przeformułowania twierdzenia Talesa na ten przypadek nie ma zatem większego sensu. IV. Czwarty pomysł Kolejno pomyślałam więc o kącie wielościennym. Nasza kolejna sytuacja: kąt kąt wielościenny proste równoległe płaszczyzny odcinki trójkąty Jak łatwo z rysunku zauważyć odpowiednie trójkąty są podobne, a więc i ich długości boków i ich pola są proporcjonalne (odcinki skala k, pole skala k 2 ). Jak również pola powstałych w przekroju figur są w stosunku k 2, co łatwo pokazać np. w taki sposób:
rys.1 rys.2 Dzielimy kąt wielościenny na kąty trójścienne, gdzie łatwo widać przystawanie trójkątów powstałych w przekroju płaszczyznami równoległymi (rys.2): zaznaczone odpowiednie kąty na rys.2 są równe, ponieważ są to kąty odpowiadające a płaszczyzny, które przecinały kąt są równoległe, analizując po kolei kąty i odcinki można sprawdzić, że wszystkie pary odpowiednich odcinków w trójkątach powstałych w przekroju są proporcjonalne, stąd też i trójkąty są podobne, a zatem ich pola proporcjonalne Ostatecznie więc odpowiednie trójkąty na rys.1 są podobne, więc i całe te przekroje są figurami podobnymi. V. Piąty pomysł Na koniec powstała jeszcze inna, całkiem różna od poprzednich koncepcja. W tym celu przeformułowałam płaskie twierdzenie Talesa w taki oto sposób: Rzut równoległy na prostą zachowuje stosunek odcinków równoległych wzajemnie do odcinków będących ich rzutami. I taka interpretacja przełożenia na przestrzeń: Rzut równoległy na płaszczyznę zachowuje stosunek pól powierzchni figur (płaskich) równoległych wzajemnie do odpowiednich figur będących ich rzutami.
Na podstawie dołączonych dalej rysunków widać, że tak jest. Można również przy programu C.a.R zasymulować taką sytuację i obserwować że stosunek dynamicznie zmieniających się wartości pól zadanych figur nie zmienia się. Uzasadnienie tego faktu jest więc zapewne możliwe, ale z pewnością nie elementarne.