Projekt dyplomowy inżynierski

Katedra Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek Matematyka Specjalność Matematyka finansowa Studia stacjonarne Karolina Pelcer Projekt dyplomowy inżynierski Temat projektu: Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykładzie indeksu giełdowego mwig40 w latach 2005-2009 z wykorzystaniem pakietu SAS. Zakres projektu: Przedstawienie podstawowych pojęć: miara ryzyka i jej aksjomaty. Pomiar ryzyka inwestycyjnego indeksu giełdowego mwig40 w latach 2005-2009 przy pomocy miar ryzyka: Value at Risk i Expected Shortfall. Porównanie obydwu miar. Potwierdzenie przyjęcia projektu: Opiekun projektu dr hab. Karol Dziedziul Gdańsk, 3 stycznia 2011

OŚWIADCZENIE AUTORA PRACY Świadoma odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora

Oświadczenie Imię i nazwisko... data i adres urodzenia... adres... rodzaj studiów... wyrażam/nie wyrażam zgodę na korzystanie z mojej pracy dyplomowej:...... do celów dydaktycznych lub naukowych. Podpis dyplomanta... - niepotrzebne skreślić

Spis treści Wstęp 5 1 Giełda papierów wartościowych 7 1.1 Indeks mwig40......................... 8 2 Miary ryzyka 12 2.1 Miara ryzyka........................... 12 2.2 Value at Risk........................... 14 2.3 Expected Shortfall........................ 17 3 Ocena ryzyka inwestycyjnego portfela 22 3.1 VaR - wartość zagrożona..................... 22 3.2 ES................................. 31 3.3 Porównanie Value at Risk z Expected Shortfall........ 31 Podsumowanie 32 Załącznik 33 Bibliografia 34 4

Wstęp Kiedy w latach 90-tych ubiegłego stulecia na światowych rynkach wiele instytucji finansowych i przedsiębiorstw zbankrutowało wzrosło zainteresowanie dotyczące zarządzania ryzykiem. Zaczęto poszukiwać skuteczną metodę mierzenia ryzyka. Jedną z nich zaproponował J.P Morgan: tzw. system RiskMetrics, który opierał się na metodologii wartości zagrożonej, inaczej Value at Risk - VaR. Obecnie zarządzanie ryzykiem rynkowym jest jednym z najważniejszych zagadnień procesu zarządzania instytucjami finansowymi jak również przedsiębiorstwami niefinansowymi, ponieważ chcemy minimalizować możliwość bankructwa oraz stabilizować zyski. Jednak należy także pamiętać, że czasem warto podjąć ryzyko, ponieważ im większe ryzyko tym większy potencjalny zysk. Niekiedy również i strata, narażająca osoby trzecie, które powierzyły nam swoje pieniądze. Dlatego powstały instytucje, które nadzorują by środki pieniężne powierzone instytucjom finansowym były bezpieczne. Najważniejszym takim organem jest Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego. Niniejsza praca przedstawia ocenę ryzyka inwestycyjnego na przykładzie indeksu giełdowego mwig40. Dlatego w pierwszym rozdziale pokrótce opisano warszawską Giełdę papierów wartościowch: kiedy powstała, kto jest jej uczestnikiem, co jest przedmiotem handlu, jak wygląda obrót instrumentami finansowymi. Następnie przedstawiono niezbędną część teoretyczną związaną z indeksem, wykres oraz dane z początku każdego miesiąca z lat 2005-2009. Drugi rozdział poświęcono na zmierzenie ryzyka, które można ponieść inwestując w indeks giełdowy, czyli próbowano odpowiedzieć na pytanie: Ile można stracić inwestując w indeks mwig40? Aby tego dokonać wykorzystano dwie najpopularniejsze metody mierzenia ryzyka: Value at Risk (wartość zagrożona) i Expected Shortfall. Na początku tej części przedstawiono definicję miary, jej aksjomaty wywodzące się z pracy Artznera oraz pojęcie koherentnej miary ryzyka. By obliczyć podane miary przytoczono odpowiednią teorię oraz posłużono się metodą symulacji historycznej. Wykorzystując program SAS narysowano histogram i dopasowano rozkład do stóp strat. Jak również porównano miarę Expected Shortfall z Value at Risk. 5

6 Niektóre zagadnienia dotyczące obliczenia VaR i Expected Shortfall zostały wykonane przez autorkę i Agnieszkę Piórkowską na projekcie z przedmiotu Awarie i ubezpieczenia przemysłowe: m.in. program w pakiecie SAS rysujący histogram i dopasowujący rozkład do danych.

Rozdział 1 Giełda papierów wartościowych Giełda papierów wartościowych w Warszawie[12] jest spółką akcyjną, którą powołał Skarb Państwa. Powstała 16.04.1991r. Do 19 listopada 2009 r. jej uczestnikami było 35 podmiotów: domy maklerskie, spółka giełdowa, banki oraz Skarb Państwa. Kapitał zakładowy spółki wynosi 41 972 000zł, gdzie 35% jest w posiadaniu Skarbu Państwa. Giełda jest rynkiem kierowanym zleceniami. Jej zadaniem jest organizacja obrotu instrumentami finansowymi, który charakteryzuje się tym, że odpowiednie kursy instrumentów finansowych ustalane są w oparciu o zlecenia kupujących i sprzedających. Dlatego w celu ustalenia ceny instrumentu sporządza się zestawienie zleceń zawierających dyspozycje sprzedaży i kupna. Kojarzenia tych zleceń dokonuje się według określonych ściśle zasad, a realizacja transakcji odbywa się w trakcie sesji giełdowych. Przedmiotem handlu na GPW są : -akcje, -obligacje, -prawa poboru, -prawa do akcji, -certyfikaty inwestycyjne, -instrumenty pochodne np: kontrakty terminowe, opcje. Obrót instrumentami finansowymi odbywa się na trzech rynkach: -Główny Rynek GPW, który działa od dnia uruchomienia giełdy. Rynek ten podlega nadzorowi Komisji Nadzoru Finansowego i został wskazany Komisji Europejskiej jako rynek regulowany. -NewConnect, który został zorganizowany i jest prowadzony przez giełdę jako alternatywna formuła systemu obrotu. Stworzony został z myślą o obiecujących, młodych i dynamicznie rozwijających się firmach, działających głównie w obszarze nowych technologii. Powstał 30 sierpnia 2007r. Przedmiotem obrotu na tym rynku mogą być: 7

ROZDZIAŁ 1. GIEŁDA PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH 8 -akcje, -prawa poboru, -prawa do akcji (PDA), -kwity depozytowe, -inne udziałowe papiery wartościowe. -Catalyst[12] - jest to rynek instrumentów dłużnych - obligacji komunalnych, korporcyjnych i listów zastawnych. Powstał 30 września 2009r. W jego skład wchodzą dwie platformy obrotu prowadzone w formule rynku regulowanego i alternatywnego systemu obrotu (ASO) - przeznaczone dla klientów detalicznych oraz dwa analogiczne rynki, przeznaczone dla klientów hurtowych. Obecnie polska giełda jest liderem w Europie Środkowej i Wschodniej oraz liczącym się w Europie rynkiem kapitałowym. 1.1 Indeks mwig40 W pracy analizowano indeks mwig40[12]. Jest to indeks giełdowy, obliczany od 31 grudnia 1997r. W jego skład wchodzi czterdzieści średnich spółek notowanych na Giełdzie Warszawskiej. Do 16 marca 2007r. nazywany był MIDWIG i jego początkowa wartość wynosi 1000 punktów. mwig40 jest to indeks cenowy i obliczając go bierze się jedynie pod uwagę kursy jego uczestników. Oblicza się go zgodnie ze wzorem[12]: mw IG40 = 1000 P (i) S(i) P (0) S(0) K(t) 1000- wartość bazowa; S(i)- pakiet uczestnika indeksu i na danej sesji; P (i)- kurs uczestnika indeksu i na danej sesji; S(0)- pakiet uczestnika indeksu i na sesji w dniu bazowym (31.12.1997r); P (0)- kurs uczestnika indeksu i na sesji w dniu bazowym; K(t)- współczynnik korygujący indeksu na danej sesji. Wartość bieżąca indeksu jest podawana co 60 sekund w trakcie notowań ciągłych, zaś wartość zamknięcia po zakończeniu sesji o 16:35. Pakiety[12] akcji uczestników indeksu wyznaczane są w oparciu o liczbę akcji w wolnym obrocie i zaokrąglane do pełnych tysięcy akcji. Jeśli liczba akcji w wolnym obrocie jest wyższa niż liczba akcji wprowadzonych do obrotu, to pakiet stanowi liczba akcji wprowadzonych do obrotu. W skład indeksu mogą wejść spółki, ktore spełniają poniższe kryteria: -liczba akcji w wolnym obrocie większa od 10%, -wartość akcji w wolnym obrocie większa od 1 mln EURO, -spółka nie może być oznaczona w sposób szczególny.

ROZDZIAŁ 1. GIEŁDA PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH 9 Dla indeksów WIG20, mwig40 i swig80 tworzony jest wspólny ranking, dlatego pozycja spółki zależy od liczby punktów rankingowych. W indeksie mwig40 uczestniczą spółki pozycjonowane w rankingu do rewizji rocznej na miejscu 50 lub wyższym (45 lub wyższej w rankingu do korekty kwartalnej). Nie uczestniczą spółki z miejsca 66 lub niższego w rankingu do rewizji rocznej (71 lub niższej w rankingu do korekty kwartalnej).

ROZDZIAŁ 1. GIEŁDA PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH 10 Rysunek 1.1: Wykres mwig40 w latach 2005-2009 sporządzony w programie MetaStock.

ROZDZIAŁ 1. GIEŁDA PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH 11 Poniższa tabela przedstawia dane z początku każdego miesiąca z lat 2005-2009: L.p. Data Wartość zamknięcia w zł L.p. Data Wartość zamknięcia w zł 1 2005/01/03 1731.57 31 2007/07/03 5644.34 2 2005/02/01 1720.80 32 2007/08/01 4928.74 3 2005/03/01 1751.98 33 2007/09/03 4816.29 4 2005/04/01 1733.41 34 2007/10/02 4532.52 5 2005/05/04 1657.64 35 2007/11/02 4597.72 6 2005/06/01 1676.33 36 2007/12/03 4104.09 7 2005/07/01 1778.39 37 2008/01/03 4059.15 8 2005/08/02 1836.90 38 2008/02/01 3459.97 9 2005/09/01 1862.84 39 2008/03/03 3231.44 10 2005/10/03 1906.89 40 2008/04/01 3383.14 11 2005/11/02 1973.59 41 2008/05/05 3252.17 12 2005/12/01 2055.63 42 2008/06/03 3112.78 13 2006/01/03 2270.13 43 2008/07/01 2585.41 14 2006/02/01 2659.63 44 2008/08/01 2495.88 15 2006/03/01 2672.81 45 2008/09/02 2499.05 16 2006/04/03 2829.37 46 2008/10/01 2279.83 17 2006/05/04 2962.50 47 2008/11/03 1639.73 18 2006/06/01 2660.50 48 2008/12/02 1553.49 19 2006/07/03 2650.97 49 2009/01/05 1547.75 20 2006/08/01 2936.11 50 2009/02/03 1320.98 21 2006/09/01 2932.54 51 2009/03/03 1252.47 22 2006/10/03 3226.73 52 2009/04/01 1376.64 23 2006/11/02 3571.71 53 2009/05/04 1717.30 24 2006/12/01 3926.59 54 2009/06/02 1794.28 25 2007/01/03 3736.27 55 2009/07/01 1776.17 26 2007/02/01 4282.46 56 2009/08/03 2078.30 27 2007/03/01 4155.91 57 2009/09/01 2251.22 28 2007/04/03 4712.03 58 2009/10/01 2249.85 29 2007/05/02 5050.98 59 2009/11/03 2202.68 30 2007/06/01 5660.64 60 2009/12/01 2296.36 Tabela 1. Wybrane wartości zamknięcia indeksu mwig40 z lat 2005-2009.

Rozdział 2 Miary ryzyka Ryzyko oznacza jakąś szkodę, stratę lub ocenę zagrożenia wystąpienia jakiegoś niepożądanego zjawiska na skutek podjętych przez nas decyzji lub z prawdopodobnych zdarzeń od nas niezależnych. W prezentowanej pracy ryzyko inwestycyjne oznacza poniesienie straty pieniężnej w wyniku zainwestowania w indeks mwig40. 2.1 Miara ryzyka Definicja 1 Zmienna losowa[5] Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Mówimy, że funkcja X : Ω R jest zmienną losową, gdy: B βr X 1 (B) = {ω Ω : X(ω) B} F. (2.1) Niech [9] L 0 (Ω, F, P ) będzie zbiorem zmiennych losowych określonym na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ). Ryzyko finansowe jest przedstawione jako zbiór M L 0 (Ω, F, P ) zmiennych losowych L, które interpretujemy jako straty generowane w sposób losowy przez portfel inwestycyjny w określonym horyzoncie czasowym. Oprócz tego zakładamy, że M jest wypukłym stożkiem, tzn. że: L1,L 2 M L 1 + L 2 M i L M λ>0 λl M. Definicja 2 Miara ryzyka[9] Miara ryzyka jest zdefiniowana jako funkcja: q : M R. (2.2) 12

ROZDZIAŁ 2. MIARY RYZYKA 13 Wartości przyjmowane przez q są rzeczywiste, dlatego w łatwy sposób można porównywać pod względem ryzyka różne inwestycje. Interpretacja q(l) jest taka: -jeśli q(l) > 0, to jest to kapitał, który powinnien zostać dodany do portfela inwestycyjnego, czyli tworzymy rezerwę na wypadek strat; -jeśli q(l) < 0, to kapitał dodany do portfela inwestycyjnego zostanie wycofany, czyli możemy zmniejszyć rezerwę. Funkcja q, aby być miarą, która prawidłowo określa rzeczywiste ryzyko inwestycji musi spełniać cztery aksjomaty [9] podane w 1999 roku przez Artznera i innych. Aksjomat 1. Subaddytywność L1,L 2 M q(l 1 + L 2 ) q(l 1 ) + q(l 2 ) (2.3) Subaddytywność oznacza, że suma kapitałów dodanych do portfeli, czyli rezerw dla poszczególnych części inwestycji daje górne oszacowanie kapitału dodanego do portfela całej inwestycji. Aksjomat 2. Dodatnia jednorodność L M λ>0 q(λl) = λq(l) (2.4) Dodatnia jednorodność wynika po cześci z subaddytywności, mówi o tym, że jeśli mamy stratę powiększoną λ razy to kapitał dodany do portfela, czyli rezerwa na wypadek straty L jest λ razy większa. Aksjomat 3. Niezmienniczość ze względu na translacje L M l R q(l + l) = q(l) + l (2.5) Jeśli dodamy do straty L pewną deterministyczną stratę l to zmienimy swoje wymogi kapitałowe, dodane do portfela inwestycyjnego, czyli rezerwę na wypadek straty L o taką samą wielkość l. Aksjomat 4. Monotoniczność L1,L 2 M L 1 L 2 q(l 1 ) q(l 2 ) (2.6) Mając dwie inwestycje L 1 i L 2 takie, że L 2 generuje zawsze (prawie zawsze) większą stratę niż L 1, to rezerwy, czyli dodany kapitał do drugiej inwestycji q(l 2 ) jest większy lub równy kapitałowi, który został dodany do pierwszej inwestycji q(l 1 ). Lemat 1 Równoważny zapis monotoniczności[9] Przy założeniu, że miara q spełnia aksjomaty subaddytywności i dodatniej jednorodności oraz 0 M, aksjomat monotoniczności można zapisać równoważnie: [ L1,L 2 M L 1 L 2 q(l 1 ) q(l 2 )] [ L1 M L 1 0 q(l 1 ) 0](2.7)

ROZDZIAŁ 2. MIARY RYZYKA 14 Definicja 3 [9] Miara ryzyka q, która jest określona na wypukłym stożku M, jest nazywana koherentną miarą (na M), jeżeli spełnia aksjomaty 1,2,3 i 4. 2.2 Value at Risk W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy pojęcie miary ryzyka. Aby obliczyć ryzyko posłużymy się dwiema najbardziej popularnymi miarami: - Value at Risk - wartość zagrożona (V ar α ); - Expected Shortfall (ES α ). Definicja 4 Dystrybuanta[5] Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję rzeczywistą, określoną wzorem: F X (t) = P (ω Ω : X(ω) t). (2.8) Definicja 5 [9] Dana jest funkcja rosnąca F : R R, uogólniona funkcja odwrotna funkcji F jest zdefiniowana jako: F (y) = inf{x R : F (x) y}, (2.9) gdzie wykorzystujemy konwencję, że infimum zbioru pustego wynosi. Własności F [9] Załóżmy, że F jest niemalejąca i nie jest stała, wówczas: 1. F jest niemalejąca i lewostronnie ciągła; 2. Jeśli F jest prawostronnie ciągła, to F (x) y F (y) x; 3. F F (x) x; 4. F jest prawostronnie ciągłą funkcją i < F < + F F (y) y; 5. F jest ściśle rosnąca F F (x) = x; 6. Jeżeli F jest ciągła i < F < + F F (y) = y; 7. F jest ciągła F jest ściśle rosnąca: x < y F (x) < F (y) o ile F (x) +, F (y) ;

ROZDZIAŁ 2. MIARY RYZYKA 15 8. F jest ściśle rosnąca F jest ciągła. Definicja 6 [9] Dana jest dystrybuanta F, uogólniona funkcja odwrotna funkcji F- F jest nazywana kwantylem funkcji F. Dla α (0, 1) α-kwantyl funkcji F jest postaci: q α (F ) = F (α) = inf{x R : F (x) α}. (2.10) Twierdzenie 2 [9] Niech dana jest dystrybuanta F oraz uogólniona funkcja odwrotna F określona wzorem F (y) = inf{x R : F (x) y}. 1. Jeśli U U(0, 1) ma standardowy rozkład jednostajny, to P (F (U) x) = F (x). (2.11) 2. Jeśli Y ma dystrybuantę F, gdzie F jest ciągłą jednowymiarową dystrybuantą, to F (Y ) U(0, 1). (2.12) Definicja 7 Wartość zagrożona-var [9] Dla zadanego poziomu ufności α (0, 1). VaR naszego portfela jest dana jako najmniejsza liczba l taka, że prawdopodobieństwo straty L przewyższające l jest nie większe od poziomu istotności 1 α: V ar α = inf{l R : P (L > l) 1 α} = inf{l R : F L (l) α}(2.13) Zatem Value at Risk jest po prostu kwantylem funkcji (straty) F L. Value at Risk określa wielkość maksymalnej straty wartości rynkowej, którą możemy ponieść z badanego portfela z prawdopodobieństwem równym zadanemu poziomowi ufności w określonym przedziale czasu. Dlatego VaR zależy od[8]: -poziomu ufności (najcześciej jest to 0.95) -przedziału czasu ( dla banków jest to 1 dzień, a dla funduszy inwestycyjnych i niektórych przedsiębiorstw miesiąc). Należy również pamiętać, że[8]: 1. Im dłuższy przedział czasu, tym większa wartość VaR. 2. Im niższy poziom tolerancji, tym większa wartość VaR.

ROZDZIAŁ 2. MIARY RYZYKA 16 Koherentność VaR Lemat 3 Niech L M będzie zmienną losową, to: Dowód. L M λ>0 V ar α (λl) = λv ar α (L) (2.14) L M l R V ar α (L + l) = V ar α (L) + l (2.15) L1,L 2 M L 1 L 2 V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ) (2.16) 2.12 V ar α (λl) = inf{t R : F λl (t) α} = = inf{t R : P (λl t) α} = inf{t R : P (L t λ ) α} = = λinf{ t λ R : F L( t λ ) α} = λv ar α(l). 2.13 V ar α (L + l) = inf{t R : F L+l (t) α} = = inf{t R : P (L + l t) α} = inf{t R : P (L t l) α} = = inf{t l + l R : F L (t l) α} = l + inf{t l R : F L (t l) α} = V ar α (L) + l. 2.14 Kapitał zabezpieczający dla mniejszej straty jest mniejszy, V ar α (L 1 ) = F L 1 (α) = inf{t R : F L1 (t) α} V ar α (L 2 ) = F L 2 (α) = inf{t R : F L2 (t) α} F L1 (t) F L2 (t), zatem infimum po zbiorze większym jest mniejsze inf{t R : F L1 (t) α} inf{t R : F L2 (t) α} V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ). Przykład 1. Brak subaddytywności VaR[9] Załóżmy, że instytucja finansowa może dokonać zakupu obligacji stu różnych korporacyji, z których każda ma warość nominalną: 100 z terminem wykupu za rok i 5% stopą zwrotu. Załóżmy także, że: prawdopodobieństwo niewypłacalności wynosi 2%, zaś prawdopodobieństwo, że otrzymamy 105 wynosi 98% oraz niewypłacalności obligacji są niezależne. W przypadku braku wypłacalności wartość obligacji spada do 0, zatem L i - strata i-tej obligacji - jest równa 100, w przeciwnym wypadku jest równa -5. Dostajemy funkcje straty określone jako L i = 100Y i 5(1 Y i ) = 105Y i 5, gdzie Y i jest zmienną binarną taką, że Y i = 0 L i = 5 oraz Y i = 1 L i = 105. Będziemy zakładać, że L i jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie P (L i = 5) = 0.98, P (L i = 100) = 0.02. Porównajmy dwa portfele o wartości 10000: -portfel A: 100 obligacji jednej korporacji z funkcją straty L 1 ; -portfel B: 100 obligacji niezależnie działających stu korporacji

ROZDZIAŁ 2. MIARY RYZYKA 17 z niezależnymi funkcjami straty L i dla i=1,...,100. Z ekonomicznego punktu widzenia portfel B powinnien być mniej ryzykowny niż portfel A, czyli wartość VaR powinna być mniejsza dla portfela B. Obliczamy dla każdego z portfeli miarę ryzyka VaR na poziomie ufności 95%. Portfel A: Strata wynosi: L A = 100L 1, ponieważ VaR jest dodatnio jednorodna zatem V ar 0.95 (L A ) = 100V ar 0.95 (L 1 ) V ar 0.95 (L 1 ) = 5, ponieważ P (L 1 = 5) = 0.98 > 0.95 i P (L 1 l) = 0 < 0.95 dla l < 5. Zatem: V ar 0.95 (L A ) = 100V ar 0.95 (L 1 ) = 100 ( 5) = 500. Stąd 100V ar 0.95 (L 1 ) = 500, co oznacza, że kapitał dodany do portfela A można wycofać, czyli możemy zmniejszyć wielkość rezerw o 500. Portfel B: Strata wynosi: L B = 100 i=1 L i = 105 100 i=1 Y i 500, stąd V ar 0.95 (L B ) = 105 q 0.95 ( 100 i=1 Y i) 500. M := 100 i=1 Y i ma rozkład dwumianowy B(100, 0.02), q 0.95 ( 100 i=1 Y i) wynosi 5, ponieważ P (M 5) = 0, 984 > 0, 95 i P (M 4) = 0.949 < 0.95. Zatem: V ar 0.95 (L B ) = 105 5 500 = 25. Stąd V ar 0.95 ( 100 i=1 L i) = 25. W tym przypadku do portfela B należy dodać kapitał o wartości 25, by zabezpieczyć go przed stratą. Zatem nie jest spełniony aksjomat subaddytywności, który mówi o tym, że L1,L 2 M V ar α (L 1 + L 2 ) V ar α (L 1 ) + V ar α (L 2 ). Miara ryzyka VaR nie jest koherentną miarą, ponieważ nie spełnia aksjomatu dotyczącego subaddytywności. Wówczas suma poszczególnych ryzyk szacuje łączne ryzyko z dołu, co daje nam z punktu widzenia zarządzania ryzykiem informację bezwartościową. 2.3 Expected Shortfall VaR informuje jedynie o maksymalnej stracie z zadanym prawdopodobieństwem w określonym czasie. Natomiast nie mówi jak poważne mogą być starty po przekroczeniu wyznaczonego progu ufności- α. Dlatego rozważania dotyczące wartości oczekiwanej straty, którą można ponieść dla danej inwestycji w 1 α najgorszych przypadkach doprowadziły do zdefiniowania miary Expected Shortfall.

ROZDZIAŁ 2. MIARY RYZYKA 18 Definicja 8 Expected Shortfall-ES [9] Dla straty L, gdzie E( L ) < i dystrybuantą F L na poziomie ufności α (0, 1) jest zdefiniowany jako: Expected Shortfall ES α = 1 1 q u (F L )du, (2.17) 1 α α gdzie q u (F L ) = F L (u) jest kwantylem funkcji F L. VaR i Expected Shortfall łączy wspólna relacja[9]: ES α = 1 1 V ar u (L)du. 1 α α Expected Shortfall zależy od rozkładu L, poziomu ufności, przedziału czasowego i u α. Zauważmy, że ES α V ar α, gdyż funkcja zmiennej u - V ar u (L) jest niemalejąca, co wynika z 1. własności uogólnionej funkcji odwrotnej, czyli V ar u (L) V ar α (L) dla u [α; 1). Stąd ES α = 1 1 1 α α V ar u(l)du 1 1 1 α α V ar α(l)du = V ar α. Lemat 4 [9] Dla całkowalnej L zmiennej losowej z ciągłą dystrybuantą F L i α (0, 1), zachodzi: ES α = E(L; L q α(l)) 1 α = E(L L V ar α ), (2.18) gdzie będziemy używać zapisu E(X; A) = E(XI A ) = Ω XI A dla całkowalnej zmiennej losowej X i zbioru A F - (Ω, F, P ) jest przestrzenią probabilistyczną. Dowód.[9] Wiemy, że q α (L) = V ar α. Korzystając z definicji warunkowej wartości oczekiwanej i wartości oczekiwanej możemy zapisać, że E(X A) = 1 XdP = 1 E(X; A) P (A) A P (A) E(L L V ar α ) = E(L; L V ar α) P (L V ar α ) = E(L; L q α(l)) P (L q α (L)). Dlatego musimy pokazać, że E(L; L q α (L)) = 1 oraz α F L (u)du ( )

ROZDZIAŁ 2. MIARY RYZYKA 19 P (L q α (L)) = 1 α. ( ) Wówczas otrzymamy zgodność z definicją Expected Shortfall, gdyż ES α = E(L L V ar α ) = E(L;L qα(l)) P (L q α(l)) = = 1 1 1 α α q u(f L )du = 1 1 1 α α F L (u)du. Udowodnijmy równość ( ). Niech U ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. Ponieważ FL (U) ma taki sam ciągły rozkład jak strata L, co wynika z twierdzenia 2.1. stąd E(L; L q α (L)) = E(L; L F L (α)) = E(F L (U); F L (U) F L (α)). F L jest ściśle rosnąca (ponieważ F L jest ciągła co wynika z własności 7. uogólnionej funkcji odwrotnej) oraz zgodnie z definicją wartości oczekiwanej i tego, że U ma rozkład jednostajny otrzymujemy E(F L (U); F L (U) F L (α)) = E(F L (U); U α) = Przejdźmy do równości ( ) 1 α F L (u)du. P (L q α (L)) = 1 P (L < q α (L)). Ponieważ L jest ciągła, to P (L = q α (L)) = 0. Zatem możemy zapisać, że P (L q α (L)) = 1 P (L q α (L)). Korzystając z definicji dystrybuanty i własności 6. uogólnionej funkcji odwrotnej otrzymujemy 1 P (L q α (L)) = 1 F L (q α (L)) = 1 F L (F L (α)) = 1 α. Udowodniliśmy zatem, że co kończy dowód ( ). P (L q α (L)) = 1 α, Acerbi i Tasche przedstawili pojęcie Expected Shortfall próbkowego tzn. dla określonej ilości danych (gdy zmienna losowa jest typu dyskretnego).

ROZDZIAŁ 2. MIARY RYZYKA 20 Lemat 5 [9] Dla ciągu (L i ) i N niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie df L zachodzi: [n(1 α)] i=1 L i,n lim n [n(1 α)] = ES α, (2.19) gdzie L 1,n L 2,n... L n,n są statystykami pozycyjnymi zmiennych L 1,..., L n oraz [n(1 α)] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niż n(1 α). Twierdzenie 6 Expected Shortfall (ES α ) jest koherentną miarą ryzyka. Dowód.[9] Chcemy wykazać, że miara ES spełnia aksjomat subaddytywności, czyli L,L M ES α (L + L ) ES α (L) + ES α (L ). (2.20) Załóżmy, że dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych (L i ) dla i = 1,..., n, który ma rozkład identyczny z rozkładem zmiennej losowej L, a L 1,n L 2,n... L n,n są statystykami pozycyjnymi zmiennych L 1,..., L n. Wówczas dla [n(1 α)] spełniającego 1 [n(1 α)] n zauważmy, że mamy własność [n(1 α)] i=1 L i,n = sup{l i1 + L i2 +... + L i[n(1 α)] : 1 i 1 <... < i [n(1 α)] n}. Niech dany będzie ciąg niezależnych wektorów losowych (L i, L i ) dla i = 1,..., n zgodny z rozkładem (L, L ). Przyjmując (L + L ) i := L i + L i i statystyki pozycyjne (L + L ) i,n zmiennych (L + L ) 1,..., (L + L ) n, zatem zauważmy z powyższej własności, że mamy [n(1 α)] i=1 (L + L ) i,n = sup{(l+l ) i1 +(L+L ) i2 +...+(L+L ) i[n(1 α)] : 1 i 1 <... < i [n(1 α)] n} sup{l i1 + L i2 +... + L i[n(1 α)] : 1 i 1 <... < i [n(1 α)] n} +sup{l i 1 + L i 2 +... + L i [n(1 α)] : 1 i 1 <... < i [n(1 α)] n} = [n(1 α)] i=1 L i,n + [n(1 α)] i=1 L i,n. Przyjmując, że n wnioskujemy z lematu 4., że ES α (L + L ) ES α (L) + ES α (L ). Następnie wykażmy dodatnią jednorodność ES, czyli L M λ>0 ES α (λl) = λes α (L). (2.21)

ROZDZIAŁ 2. MIARY RYZYKA 21 Korzystając z tego, że VaR jest dodatnio jednorodna V ar u (λl) = λv ar u (L) mamy ES α (λl) = 1 1 1 α α V ar u(λl)du = λ 1 1 α α V ar u(l)du = λes α (L). Wykażmy monotoniczność ES, czyli L1,L 2 M L 1 L 2 ES α (L 1 ) ES α (L 2 ). (2.22) Korzystając z tego, że VaR jest monotoniczna dla L 1 L 2 V ar u (L 1 ) V ar u (L 2 ) mamy ES α (L 1 ) = 1 1 1 α α V ar u(l 1 )du 1 1 1 α α V ar u(l 2 )du = ES α (L 2 ). Pokażmy, że ES jest niezmiennicza ze względu na translacje, czyli L M l R ES α (L + l) = ES α (L) + l. (2.23) Korzystając z tego, że VaR jest niezmiennicza na translacje V ar u (L + l) = V ar u (L) + l mamy ES α (L + l) = 1 1 1 α α V ar u(l + l)du = 1 1 1 α α (V ar u(l) + l)du = = 1 1 1 α α V ar u(l)du + 1 1 1 α α ldu = ES α(l) + l. Expected Shortfall jest koherentną miarą ryzyka, spełnia wszystkie aksjomaty.

Rozdział 3 Ocena ryzyka inwestycyjnego portfela 3.1 VaR - wartość zagrożona Przyjmujemy, że poziom ufności α = 0.95 oraz przedział czasu wynosi miesiąc. Zakładamy także, że inwestujemy w indeks mwig40 kwotę 100000zł. Aby obliczyć VaR (wartość zagrożoną) stosujemy metodę symulacji historycznej[4], która polega na wykorzystaniu historycznych stóp strat analizowanego portfela. Korzystamy ze wzoru: v i v i+1 v i, gdzie: i=1,... n; n=60 - zestaw danych; v i - i-te notowanie w badanym okresie; v i+1 - i+1 notowanie w badanym okresie. Otrzymane wartości z powyższego wzoru przedstawiają stopy strat z poszczególnych miesięcy (patrz Tabela 2). Umożliwiają one określenie emipirycznego rozkładu stóp strat, co pozwala na wyznaczenie kwantyla tego rozkładu, potrzebnego do wyznaczenia wartości zagrożonej z funkcji strat (inwestowana kwota L), gdzie L oznacza zmienną losową o wyznaczonym powyżej rozkładzie strat. Dzięki tej metodzie jeśli zainwestowaliśmy w indeks mwig40 możemy przewidzieć ile możemy stracić w przyszłym miesiącu. 22

ROZDZIAŁ 3. OCENA RYZYKA INWESTYCYJNEGO PORTFELA 23 L.p. Obliczona stopa straty L.p. Obliczona stopa straty 1 0.00622 31 0.122964 2-0.01812 32 0.022815 3 0.010599 33 0.062831 4 0.042892 34-0.01862 5-0.01041 35 0.107364 6-0.06088 36 0.006284 7-0.02412 37 0.151615 8-0.02282 38 0.06605 9-0.02365 39-0.04695 10-0.03498 40 0.038713 11-0.04157 41 0.045247 12-0.08352 42 0.167345 13-0.19409 43 0.034629 14-0.00496 44 0.032145 15-0.05858 45 0.056225 16-0.04229 46 0.280767 17 0.097836 47 0.065749 18 0.003582 48-0.01033 19-0.10756 49 0.128632 20 0.001216 50 0.076083 21-0.09458 51-0.1048 22-0.11272 52-0.24746 23-0.09936 53-0.0379 24 0.04749 54 0.003484 25-0.14499 55-0.1701 26 0.029551 56-0.0832 27-0.12394 57 0.000609 28-0.08135 58 0.009232 29-0.1207 59-0.03018 30 0.00722 Tabela 2. Obliczone w programie Microsoft Office Excel stopy strat.

ROZDZIAŁ 3. OCENA RYZYKA INWESTYCYJNEGO PORTFELA 24 Aby obliczyć kwantyl rozkładu powyższych stóp strat musimy dowiedzieć się jaki mają rozkład. Rozpatrujemy cztery rozkłady: -normalny; -lognormalny; -gamma; -Weibulla. Na podstawie histogramu możemy stwierdzić, że stopom strat w poszczególnych miesiącach można dopasować rozkład normalny, lognormalny, Weibulla lub gamma (kod źródłowy programu znajduje się w załączniku).

ROZDZIAŁ 3. OCENA RYZYKA INWESTYCYJNEGO PORTFELA 25 Rysunek 3.1: Histogram przedstawiający dopasowane rozkłady do stóp strat narysowany w programie SAS.

ROZDZIAŁ 3. OCENA RYZYKA INWESTYCYJNEGO PORTFELA 26 Wyniki: Rysunek 3.2: Wynik dla rozkładu normalnego.

ROZDZIAŁ 3. OCENA RYZYKA INWESTYCYJNEGO PORTFELA 27 Rysunek 3.3: Wynik dla rozkładu lognormalnego.

ROZDZIAŁ 3. OCENA RYZYKA INWESTYCYJNEGO PORTFELA 28 Rysunek 3.4: Wynik dla rozkładu Weibulla.

ROZDZIAŁ 3. OCENA RYZYKA INWESTYCYJNEGO PORTFELA 29 Rysunek 3.5: Wynik dla rozkładu gamma.

ROZDZIAŁ 3. OCENA RYZYKA INWESTYCYJNEGO PORTFELA 30 Wnioski: Badając dopasowanie rozkładu stóp strat interesuje nas wartość p[7] dla testów nieparametrycznych. Wartość p jest to minimalna wartość poziomu istotności, dla której hipoteza zerowa może być odrzucona na podstawie wyników z próby. Dlatego jeśli wartość p jest większa od poziomu istotności to przyjmujemy hipotezę zerową. W pracy: H 0 : stopy strat mają rozkład zgodny z rozkładem: normalnym, lognormalnym, Weibulla lub gamma. H 1 : stopy strat nie mają rozkładu zgodnego z rozkładem: normalnym, lognormalnym, Weibulla lub gamma. Używamy testów: 1. Kołmogorow-Smirnow 2. Cramer-von Mises 3. Anderson-Darling Dla rozkładu: normalnego, lognormalnego, Weibulla i gamma wartość parametru p dla poszczególnych testów jest większa od poziomu istotności α = 0.05. Zatem nie ma podstaw do odrzucenia tezy, że stopy strat mają rozkład zgodny z rozkładem: normalnym, lognormalnym, Weibulla oraz gamma. W definicji VaR podano, że jest to kwantyl funkcji strat (100000 L). Z uwagi na to, że VaR jest dodatnio jednorodna: V ar α (100000 L) = 100000 V ar α (L), wartość zagrożoną wyznaczamy w następujący sposób: odczytujemy kwantyl szacunkowy rozkładu lognormalnego dla poziomu α = 0.95, ponieważ wartość tego kwantyla jest największa w porównaniu z innymi rozkładami, co daje najbardziej ostrożną wycenę inwestycji q 0.95 = 0.15134 i mnożymy go przez kwotę naszej inwestycji. Strata jaką poniesiemy z prawdopodobieństwem 95% inwestując w indeks mwig40 kwotę 100000zł na okres miesiąca nie będzie większa niż: V ar 0.95 = 100000 q 0.95 = 100000 0.15134 = 15134zł.

3.2 ES Aby obliczyć Expected Shortfall należy skorzystać rownież z metody symulacji historycznej oraz z lematu 4. Dlatego posortujmy dane z Tabeli 2 i weźmy dwie największe wartości (ponieważ n = 59, α = 0.95, zatem n(1 α) = 59(1 0.95) = 2.95, bierzemy zgodnie z lematem najwiekszą liczbę całkowitą nie większą niż 2.95 czyli 2), których sumę należy podzielić przez dwa i pomnożyć przez kwotę naszej inwestycji, ponieważ ES jest dodatnio jednorodna: ES α (100000 L) = 100000 ES α (L). Z naszych danych wynika, że największe wartości to: Stąd: ES 0.95 = 0.280766548 0.167345138 100000 0.280766548 + 0.167345138 2 = 100000 0.22406 = 22406 [zł]. Wartość oczekiwanej straty jaką poniesiemy w 5% najgorszych przypadkach inwestując w indeks mwig40 kwotę 100000zł wyniesie: ES 0.95 = 22406zł. 3.3 Porównanie Value at Risk z Expected Shortfall Porównując ES z VaR, możemy stwierdzić, że: 1. Strata dla ES wyliczona na przykładzie indeksu mwig40 jest większa od straty dla VaR, a tym samym jest dokładniejsza. 2. VaR nie uwzględnia strat ponad ustalony poziom ufności, a ES uwzględnia takie straty. 3. Stosowane w obliczeniach wartości zagrożonej rozkłady jedynie przybliżają rozkłady rzeczywiste nie uwzględniając anomalii, z którymi mamy do czynienia w rzeczywistości. 4. Obie miary wyliczamy na podstawie przeszłych danych. 5. VaR nie jest koherentna, zaś Exspected Shortfall jest koherentną miarą ryzyka, co oznacza, że połączenie dwóch inwestycji nie generuje dodatkowego ryzyka. Wniosek: Espected Shortfall jest uzupełnieniem Value at Risk oraz jest lepszą i dokładniejszą miarą ryzyka. 31

Podsumowanie Celem tej pracy było zmierzenie ryzyka inwestycyjnego na przykładzie indeksu mwig40. Zagadnienie to zrealizowano dzięki miarom: Value at Risk i Expected Shortfall. Dla danych indeksu mwig40 w prosty sposób obliczono ryzyko inwestycyjne, korzystając z metody symulacji historycznej. Miara VaR ma szerokie zastosowanie w praktyce, ale nie jest ona odpowiednią miarą do pomiaru ryzyka, gdyż nie jest subaddytywna. Zaprezentowano zestawienie obu miar wnioskując, że Expected Shortfall ma przewagę nad VaR, ponieważ spełnia wszystkie aksjomaty i jest koherentna. Dzięki czemu można stwierdzić, że stosowanie miary Expected Shortfall pozwala precyzyjniej ocenić ryzyko, co może przynieść pozytywne skutki w inwestowaniu. 32

Załącznik Kod programu wykonany w programie SAS, dzięki któremu narysowano histogram i dopasowano rozkład do danych z Tabeli 2: data Var; input Straty @@; label Straty = Dopasowany rozkład do stóp strat ; datalines; 0.00622 0.122964-0.01812 0.022815 0.010599 0.062831 0.042892-0.01862-0.01041 0.107364-0.06088 0.006284-0.02412 0.151615-0.02282 0.06605-0.02365-0.04695-0.03498 0.038713-0.04157 0.045247-0.08352 0.167345-0.19409 0.034629-0.00496 0.032145-0.05858 0.056225-0.04229 0.280767 0.097836 0.065749 0.003582-0.01033-0.10756 0.128632 0.001216 0.076083-0.09458-0.1048-0.11272-0.24746-0.09936-0.0379 0.04749 0.003484-0.14499-0.1701 0.029551-0.0832-0.12394 0.000609-0.08135 0.009232-0.1207-0.03018 0.00722 ; title ; proc print data=var; run; title Dopasowany rozkład do stóp strat ; ods select ParameterEstimates GoodnessofFit FitQuantiles MyHist; proc univariate data=var; var Straty; /*rysuje histogram*/ histogram / midpoints=-0.3 to 0.4 by 0.08 /*rozkłady, które sprawdzam:*/ normal lognormal (THETA=EST) 33

weibull (THETA=EST) gamma (THETA=EST) vaxis = axis1 name = MyHist ; /*podaje w narysowanym histogramie liczbę danych, które pobrałam-n, średnią-mean, odchylenie standardowe-std i skośność-skewness*/ inset n mean(5.3) std= Std Dev (5.3) skewness(5.3) / pos = ne header = Summary Statistics ; axis1 label=(a=90 r=0); run; 34

Bibliografia [1] Bijak W., M. Mączyńska: Efekt dywersyfikacji ryzyka w ubezpieczeniowych grupach kapitałowych, Instytut Ekonometrii Szkoła Główna Handlowa w Warszawie. Dostępny w http://coin.wne.uw.edu.pl/ka2008/prezentacje/bijak,maczynska.pdf [2] Cody R.: Learning SAS by Example. A Programmer s Guide., Cary, NC: SAS Institute Inc. 2007r. [3] Hull J. C.: Options, futures, and other derivatives, Maple Financial Group Professor of Derivatives and Risk Managment Joseph L. Rotman School of Manegment Uniwesity of Toronto,str.451-475. [4] Jajuga K.: Zarządzanie ryzykiem, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007r., str.99-104. [5] Jakubowski J., R. Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Script, Warszawa 2001r. [6] Kendall R.: Zarządzanie ryzykiem dla menadżerów. Praktyczne podejście do kontrolowania ryzyka, Wydawnictwo K.E. Liber s.c., Warszawa 2000r, str.84-88. [7] Kozdraj T.,Wnioskowanie statystyczne w badaniach medycznych, Zakład Informatyki i Statystyki Medycznej Uniwersytet Medyczny w Łodzi. Dostępny w http://protetyka.lodz.pl/ stn//downloads/ Wnioskowanie statystyczne w badaniach medycznych.pdf [8] Kuziak K.: Koncepcja wartości zagrożónej VaR (Value at Risk). Dostępny w http://www.statsoft.pl/czytelnia/finanse/pdf/kuziak.pdf [9] McNeil A. J., R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk Management, Princeton University Press Princeton and Oxford, Warszawa 2005r., str. 37-46,238. [10] Mazur K.: Miary ryzyka z punktu widzenia strat, MIMUW, 2007r. 35

[11] Unijewski P., R. Weron: Koherentne miary ryzyka, Wrocław 2004. Dostępny w http://www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/weron/prace/ Uniejewski04.pdf [12] http://www.gpw.pl/ 36