ZASTOSOWANIE GRAFU WIDOCZNOŚCI W PLANOWANIU TRASY PRZEJŚCIA STATKU APPLICATION OF A VISIBILITY GRAPH IN SHIP S PATH PLANNING

Podobne dokumenty
PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE W ROZMYTYM OTOCZENIU DO STEROWANIA STATKIEM

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Metody zrównoleglania algorytmów wyznaczania najkrótszej drogi w transporcie morskim

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

PROBLEMY WYZNACZANIA OPTYMALNEJ TRAJEKTORII OBIEKTU NA OBSZARZE OGRANICZONYM

Grafy i sieci w informatyce - opis przedmiotu

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko

Matematyczne Podstawy Informatyki

Sprawozdanie do zadania numer 2

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera

Digraf. 13 maja 2017

Informatyka w szkole - algorytm Dijkstry dla każdego. Krzysztof Diks Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski

Automatyzacja i sterowanie statkiem

Ogólne wiadomości o grafach

Algorytm wyznaczania najkrótszej ścieżki w grafie skierowanym w zbiorze liczb rozmytych

Porównanie wydajności CUDA i OpenCL na przykładzie równoległego algorytmu wyznaczania wartości funkcji celu dla problemu gniazdowego

Metody Programowania

Działanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).

Heurystyczne metody przeszukiwania

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ. E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków

PLANOWANIE TRASY PRZEJŚCIA STATKU Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU MRÓWKOWEGO

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

ZASTOSOWANIE WIELOPOPULACYJNEGO ALGORYTMU EWOLUCYJNEGO DO PROBLEMU WYZNACZANIA ŚCIEŻKI PRZEJŚCIA

Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa

Algorytm dyskretnego PSO z przeszukiwaniem lokalnym w problemie dynamicznej wersji TSP

Literatura. 1) Pojęcia: złożoność czasowa, rząd funkcji. Aby wyznaczyć pesymistyczną złożoność czasową algorytmu należy:

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

O strukturze przestrzeni konfiguracji w trójwymiarowym ruchu obrotowym

PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

WPŁYW METODY DOPASOWANIA NA WYNIKI POMIARÓW PIÓRA ŁOPATKI INFLUENCE OF BEST-FIT METHOD ON RESULTS OF COORDINATE MEASUREMENTS OF TURBINE BLADE

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/ Kod przedmiotu:aisd2

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Projektowanie i Analiza Algorytmów

Minimalne drzewa rozpinające

Planowanie ruchu brył i robotów

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

ALGORYTM PROJEKTOWANIA ROZMYTYCH SYSTEMÓW EKSPERCKICH TYPU MAMDANI ZADEH OCENIAJĄCYCH EFEKTYWNOŚĆ WYKONANIA ZADANIA BOJOWEGO

ZESZYTY NAUKOWE NR 6(78) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

Przykład planowania sieci publicznego transportu zbiorowego

PROBLEM ROZMIESZCZENIA MASZYN LICZĄCYCH W DUŻYCH SYSTEMACH PRZEMYSŁOWYCH AUTOMATYCZNIE STEROWANYCH

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH

OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Programowanie dynamiczne cz. 2

KONCEPCJA DIAGNOSTYKI ELEKTRYCZNEGO PĘDNIKA OKRĘTOWEGO IDEA OF DIAGNOSTIC FOR SHIP ELECTRICAL THRUSTERS

BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych

WYKORZYSTANIE MES DO WYZNACZANIA WPŁYWU PĘKNIĘCIA W STOPIE ZĘBA KOŁA NA ZMIANĘ SZTYWNOŚCI ZAZĘBIENIA

Struktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

MODYFIKACJA WARIANTÓW SUKCESJI W EWOLUCYJNEJ METODZIE PLANOWANIA ŚCIEŻKI PRZEJŚCIA

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów

Spis treści. Przykład. Przykład 1 Przykład 2. Twórcy Informacje wstępne Pseudokod Przykład. 1 Grafy skierowane z wagami - przypomnienie

Harmonogramowanie przedsięwzięć

Podstawy sztucznej inteligencji

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Projektowanie systemów zrobotyzowanych

Metody przeszukiwania

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik

Algorytmika Problemów Trudnych

Porównanie algorytmu mrówkowego oraz programowania dynamicznego do wyznaczania bezpiecznej trajektorii statku

Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

KARTA PRZEDMIOTU. Badania operacyjne kod: C14. Operational research

PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Grafy w MATLABie. LABORKA Piotr Ciskowski

Rok akademicki 2005/2006

1. Analiza algorytmów przypomnienie

TEORIA GRAFÓW I SIECI

Planowanie ruchu bryły sztywnej

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A

Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Marcel Stankowski Wrocław, 23 czerwca 2009 INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH

Instrukcja. Laboratorium Metod i Systemów Sterowania Produkcją.

Wstęp do programowania

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E''

WYKŁAD 3 WYPEŁNIANIE OBSZARÓW. Plan wykładu: 1. Wypełnianie wieloboku

Zastosowanie teorii grafów w Geograficznych Systemach Informacyjnych

Problemy z ograniczeniami

Algorytmy zachłanne. dr inż. Urszula Gałązka

XII International PhD Workshop OWD 2010, October Metodyka pozyskiwania i analizy wyników badań symulacyjnych ścieżek klinicznych

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

PROPOZYCJA ZASTOSOWANIA WYMIARU PUDEŁKOWEGO DO OCENY ODKSZTAŁCEŃ PRZEBIEGÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH

UNIKANIE IMPASÓW W SYSTEMACH PROCESÓW WSPÓŁBIEŻNYCH

SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD

METODY STEROWANIA INTELIGENTNEGO W OPROGRAMOWANIU LABVIEW METHODS OF INTELLIGENT CONTROL IN LABVIEW PROGRAMMING

Projektowanie i analiza algorytmów

MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem

Transkrypt:

Zeszyty Naukowe Akademii Morskiej w Gdyni Scientific Journal of Gdynia Maritime University Nr /, ISSN - e-issn - ZASTOSOWANIE GRAFU WIDOCZNOŚCI W PLANOWANIU TRASY PRZEJŚCIA STATKU APPLICATION OF A VISIBILITY GRAPH IN SHIP S PATH PLANNING Agnieszka Lazarowska Akademia Morska w Gdyni, Morska, - Gdynia, Wydział Elektryczny, Katedra Automatyki Okrętowej, e-mail: a.lazarowska@we.am.gdynia.pl W artykule przedstawiono propozycję rozwiązania problemu wyznaczania trasy przejścia statku przy zastosowaniu jednej z metod teorii grafów. Celem pracy była ocena możliwości zastosowania wybranej metody teorii grafów w planowaniu globalnej trasy przejścia statku, uwzględniającej statyczne ograniczenia nawigacyjne (lądy, mielizny). Środowisko nawigacyjne zostało zamodelowane w postaci grafu widoczności przy zastosowaniu algorytmu obrotowego zamiatania płaszczyzny. Najkrótsza trasa przejścia statku wyznaczono następnie za pomocą algorytmu Dijkstry. Słowa kluczowe: algorytm Dijkstry, graf widoczności, planowanie trasy przejścia, teoria grafów, unikanie kolizji. Abstract: The article presents a proposal for solving the problem of determining a ship s safe path using one of the graph theory methods. The aim of the study was to evaluate the possibility of the selected graph theory method application in planning a ship s global route, taking into account the static navigational restrictions (lands, shallows). The navigational environment was modelled as a visibility graph using a rotational plane sweep algorithm. The shortest ship s path is then determined using a Dijkstra's algorithm. Keywords: Dijkstra s algorithm, visibility graph, ship s path planning, graph theory, collision avoidance.. WSTĘP Unikanie kolizji jest aktualnym problemem występującym w wielu dziedzinach, m.in. w robotyce oraz transporcie lądowym, powietrznym i morskim. W transporcie morskim w procesie nawigacji statku występuje problem unikania kolizji z przeszkodami statycznymi (lądy, mielizny) oraz dynamicznymi (spotkane statki). Scientific Journal of Gdynia Maritime University, No., March

Zastosowanie grafu widoczności w planowaniu trasy przejścia statku W celu rozwiązania tego problemu opracowywane są różne algorytmy wyznaczania bezpiecznej trasy przejścia statku. Problem ten można podzielić na dwa zagadnienia: wyznaczanie globalnej i lokalnej trasy przejścia statku. W zadaniu wyznaczania globalnej trasy przejścia uwzględniane są statyczne ograniczenia nawigacyjne. Wyznaczanie lokalnej trasy przejścia polega na obliczeniu bezpiecznej trajektorii pomiędzy aktualnym położeniem statku a kolejnym punktem zwrotu przy uwzględnieniu występujących w środowisku ograniczeń statycznych oraz dynamicznych. Zadanie wyznaczania globalnej trasy przejścia jest często określane jako tryb off-line ze względu na to, że realizowane jest przed rozpoczęciem procesu sterowania statkiem po zadanej trajektorii i uwzględnia tylko znane przeszkody występujące w środowisku. Natomiast zadanie wyznaczania lokalnej trasy przejścia definiowane jest jako praca w trybie on-line ze względu na to, że polega na modyfikacji zadanej globalnej trasy przejścia w czasie rzeczywistym lub zbliżonym do rzeczywistego na podstawie informacji o przeszkodach statycznych i dynamicznych znajdujących się w najbliższym otoczeniu statku [Kuczkowski i Śmierzchalski ]. Celem tej pracy jest przedstawienie możliwości zastosowania wybranej metody teorii grafów w planowaniu globalnej trasy przejścia statku.. REPREZENTACJA ŚRODOWISKA Wyznaczanie globalnej trasy przejścia statku może zostać zdefiniowane jako problem obliczania ścieżki przejścia pomiędzy określonym położeniem początkowym statku p a określonym położeniem końcowym, która nie przekracza żadnego ze statycznych ograniczeń nawigacyjnych (lądy, mielizny), znajdujących się w otoczeniu (rys. ) i minimalizuje funkcję celu, zdefiniowaną jako długość trasy. Statyczne ograniczenia nawigacyjne są modelowane w postaci wielokątów wklęsłych oraz wypukłych. Optymalną globalną trasę przejścia statku można zatem zdefiniować za pomocą równania (). Trasa opt { p = x, y, ψ ], p = [ x, y, ψ ],..., p = [ x, y, ψ ]} = () [ k k k k Pierwszym etapem opracowywania metody wyznaczania bezpiecznej trasy przejścia statku jest zdefiniowanie sposobu modelowania środowiska nawigacyjnego. Do metod opisu środowiska należą m.in. metoda diagramu Woronoja (ang. Voronoi diagram), grafu widoczności (ang. visibility graph), dekompozycji komórkowej (ang. cell decomposition). Zeszyty Naukowe Akademii Morskiej w Gdyni, nr, marzec

Agnieszka Lazarowska a) b) - - - - - - p p - - - - - Rys.. Graficzne przedstawienie problemu planowania trasy przejścia statku Fig.. Graphical presentation of the ship s safe path planning problem W tej pracy zastosowano metodę grafu widoczności. Graf widoczności jest to graf złożony z pewnej liczby wierzchołków oraz krawędzi łączących wierzchołki widzące się wzajemnie. Wierzchołki widzą się wzajemnie, jeśli krawędź łącząca te wierzchołki nie przekracza żadnej z przeszkód znajdujących się w środowisku. Wierzchołkami grafu widoczności są wierzchołki wielokątów reprezentujących przeszkody występujące w środowisku oraz punkt początkowy i punkt końcowy poszukiwanej trasy przejścia statku. Krawędziami grafu widoczności są także odcinki, stanowiące boki poszczególnych wielokątów (przeszkód). Definiowanie grafu widoczności polega na sprawdzeniu dla każdej pary wierzchołków, czy łączący je odcinek nie przekracza żadnego z ograniczeń. W celu skrócenia czasu obliczeń w procesie wyznaczania grafu widoczności dla danego środowiska nawigacyjnego stosuje się algorytm obrotowego zamiatania płaszczyzny (ang. rotational plane sweep algorithm) [Berg i in. ]. Metoda ta jest podobna do algorytmu zamiatania płaszczyzny (ang. plane sweep algorithm), stosowanego do wyznaczania par przecinających się odcinków, w którym przesuwana jest po płaszczyźnie od góry do dołu pozioma prosta. W algorytmie obrotowego zamiatania płaszczyzny, zamiast poziomej prostej, obracana jest na płaszczyźnie półprosta wokół wierzchołka p, dla którego sprawdza się widoczność innych wierzchołków grafu. Metoda ta polega na sprawdzaniu wierzchołków posortowanych według kolejności występowania kątów, jakie tworzą odcinki pomiędzy poszczególnymi wierzchołkami i wierzchołkiem p a dodatnią półosią osi odciętych. Graf widoczności otrzymany przy zastosowaniu algorytmu obrotowego zamiatania płaszczyzny dla dwóch przykładowych sytuacji nawigacyjnych został przedstawiony na rysunku. Scientific Journal of Gdynia Maritime University, No., March

Zastosowanie grafu widoczności w planowaniu trasy przejścia statku a) b) - - - - - - p p - - - - - Rys.. Reprezentacja środowiska nawigacyjnego w postaci grafu widoczności Fig.. Representation of the navigational environment in the form of a visibility graph. ALGORYM WYZNACZANIA TRASY PRZEJŚCIA Wyznaczanie bezpiecznej trasy przejścia statku polega na zastosowaniu jednej z metod teorii grafów, stosowanej do wyznaczania najkrótszej ścieżki w grafie. Do takich metod należą algorytm Bellmana-Forda, Dijkstry, Floyda-Warshalla, A* [Cormen i in. ]. W artykule zastosowano algorytm Dijkstry, który w każdym kroku działania minimalizuje funkcję g(n) zdefiniowaną jako droga pomiędzy aktualnie rozpatrywanym wierzchołkiem n a wierzchołkiem początkowym [Wojciechowski i Pieńkosz ]. Dla porównania, w każdym kroku działania algorytmu A* realizowana jest minimalizacja funkcji f(n), stanowiącej sumę funkcji g(n) oraz h(n), gdzie funkcja h(n) jest funkcją heurystyczną, oszacowującą drogę od aktualnie rozpatrywanego wierzchołka n do wierzchołka docelowego. W przedstawionym tutaj rozwiązaniu w wyniku obliczeń grafu widoczności otrzymywany jest nieskierowany graf ważony, w którym wagą krawędzi jest odległość pomiędzy łączącymi ją wierzchołkami. W algorytmie Dijkstry stosowana jest metoda relaksacji krawędzi. Dla danej krawędzi (x, y) metoda ta polega na sprawdzeniu, czy przechodząc przez wierzchołek x do wierzchołka y, zyska się krótszą drogę do wierzchołka y od dotychczas otrzymanej najkrótszej drogi. W wyniku działania otrzymuje się drogę ważoną, która jest sumą wag krawędzi ją stanowiących. Wyznaczone przez algorytm trasy przejścia statku dla dwóch przykładowych sytuacji nawigacyjnych zostały pokazane na rysunku. Dla sytuacji, przedsta- Zeszyty Naukowe Akademii Morskiej w Gdyni, nr, marzec

Agnieszka Lazarowska wionej na rysunku a, czas obliczeń wyniósł, s, a wyznaczona trasa przejścia o długości, Mm składała się z trzech wierzchołków (punktów zwrotu statku). Natomiast dla sytuacji, pokazanej na rysunku b, została wyznaczona trasa przejścia o długości, Mm, składająca się z pięciu punktów zwrotu, w czasie, s. a) b) - - - - - - p p - - - - - Rys.. Trasa przejścia statku wyznaczona przez algorytm Dijkstry Fig.. The ship s safe path determined by a Dijkstra s algorithm W tabeli zostały zestawione wyniki obliczeń dla kilku przykładowych sytuacji nawigacyjnych, przy występowaniu od do statycznych ograniczeń w otoczeniu. Obliczenia zostały wykonane na komputerze PC z procesorem Intel Core i M, GHz, GB RAM, z -bitowym systemem Windows Professional. Tabela. Przykładowe wyniki obliczeń otrzymane z zastosowaniem proponowanej metody Table. The exemplary results of calculations with the use of the proposed method Liczba ograniczeń statycznych Liczba wierzchołków ograniczeń Czas obliczeń [s] Długość trasy Liczba odcinków trasy,,,,,,,,,, Scientific Journal of Gdynia Maritime University, No., March

Zastosowanie grafu widoczności w planowaniu trasy przejścia statku. PODSUMOWANIE W artykule zaproponowano metodę wyznaczania bezpiecznej trasy przejścia statku, opartą na zastosowaniu teorii grafów. Za pomocą przedstawionego podejścia może zostać wyznaczona globalna trasa przejścia statku, uwzględniająca statyczne ograniczenia nawigacyjne. Wyniki obliczeń otrzymane dla przykładowej sytuacji nawigacyjnej dowodzą, że metoda może stanowić skuteczne rozwiązanie rozpatrywanego problemu. Metoda oparta na reprezentacji środowiska za pomocą grafu widoczności charakteryzuje się tym, że wyznaczona trasa przejścia może stykać się z ograniczeniami, przez co jest metodą bardzo dokładną. Jednakże cecha ta może być też traktowana jako ograniczenie stosowalności metody, dlatego w docelowym zastosowaniu praktycznym należałoby uwzględnić dodatkowe strefy bezpieczeństwa wokół przeszkód, wymuszające zachowanie określonej odległości bezpiecznej podczas ruchu statku po wyznaczonej trasie przejścia. Zaletami przedstawionej metody są: krótki czas obliczeń, a także uzyskiwanie powtarzalnego, optymalnego rozwiązania. W dalszych pracach planowane jest zastosowanie do wyznaczania globalnej trasy przejścia statku innych istniejących metod teorii grafów, takich jak np. algorytm A*, innych sposobów reprezentacji środowiska (diagram Woronoja, dekompozycja komórkowa) oraz porównanie otrzymanych wyników. Ponadto dalsze badania mogą dotyczyć zastosowania metod teorii grafów do wyznaczania lokalnej trasy przejścia statku. LITERATURA Berg, M., Cheong, O., Kreveld, M., Overmars, M.,, Computational Geometry: Algorithms and Applications, Springer-Verlag. Cormen, T.H., Stein, C., Rivest, R.L., Leiserson, C.E.,, Introduction to Algorithms, McGraw- Hill Higher Education. Kuczkowski, Ł., Śmierzchalski, R.,, Zastosowanie wielopopulacyjnego algorytmu ewolucyjnego do problemu wyznaczania ścieżki przejścia, Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej, nr. Wojciechowski, J., Pieńkosz, K.,, Grafy i sieci, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Zeszyty Naukowe Akademii Morskiej w Gdyni, nr, marzec