Fraktale w Cinderelli Iteracje przekształceń afinicznych i inwersyjnych

Fraktale w Cinderelli Iteracje przekształceń afinicznych i inwersyjnych Andrzej Sendlewski 1. Wstęp W tej miniaturze kontynuujemy prezentację metody generowania fraktali w schemacie IFS rozpoczętą w[14]. Znajomość miniatury[14] nie jest konieczna dla zrozumienia przedstawianych tutaj treści, ale może w znacznym stopniu to ułatwić. Przypomnijmy w zarysie metodę IFS. Definicja 1. Funkcję f : Π Π nazywamy przekształceniem zwężającym(kontrakcją) płaszczyzny Π, jeśli istnieje pewna liczba rzeczywistac,0 c<1taka,żedladowolnychpunktówa,b Π zachodzi nierówność f(a)f(b) c AB. Liczbę c nazywamy współczynnikiem zwężenia. Można udowodnić następujące twierdzenie. Twierdzenie2.Dladowolnegoskończonegoukładu{f 1,f 2,...,f k } przekształceń zwężających płaszczyzny Π istnieje jedyna niepusta, ograniczona i domknięta(zawierająca swoje punkty brzegowe) figura F taka, że F=f 1 (F) f 2 (F)... f k (F). 1

2 Figurę F nazywamy atraktorem, albo fraktalem wyznaczonym przez ten układ. Aby wyznaczyć fraktal F dla danego układu definiujemy funkcję F(operator) działającą na figurach kładąc F(A)=f 1 (A) f 2 (A)... f k (A), dla dowolnej figury płaskiej A. Teraz, ustalając na płaszczyźnie figurę ograniczoną i domkniętą B wyznaczmy kolejno figury: F(B),F(F(B)),F(F(F(B))),... Figury te będą coraz bardziej przypominać atraktor F, niezależnie od tegojakąfigurąbyłafigura B.Wpraktyceza Bbierzemyfiguręjednopunktową,tj.punktP 0 ipostępujemywedługnastępującegoalgorytmu: (1) Losujemy jedno przekształcenie f spośród przekształceń układu(f=f i dlapewnegoi {1,2,...,k}). (2)WyznaczamypunktP 1 =f(p 0 ). (3) Ponownie losujemy jedno przekształcenie g spośród przekształceńukładu(g=f j dlapewnegoj {1,2,...,k}). (4)WyznaczamypunktP 2 =g(p 1 ). (5) Losujemy jedno przekształcenie h spośród przekształceń układu(h=f s dlapewnegos {1,2,...,k}). (6)WyznaczamypunktP 3 =f(p 2 )..... W wyniku tego postępowania otrzymamy nieskończony ciąg punktów P 0,P 1,P 3,...Zbiórtychpunktówtworzyfigurębędącąprzybliżeniem poszukiwanego atraktora F układu przekształceń, a sposób w jaki on powstaje nazywamy metodą IFS. Dodajmy, że prawdopodobieństwa z jakimi losujemy przekształcenia nie muszą być równe. Można niektóre przekształcenia uprzywilejować ustalając inny rozkład prawdopodobieństwa. Fraktale będziemy tutaj generowali za pomocą metody IFS zaimplementowanej w programie Cinderella 2.0, tak jak w miniaturze[14], ale teraz układy funkcji iteracyjnych będą tworzyły przekształcenia afiniczne(fraktale samoafiniczne) albo inwersje względem okręgów(fraktale samoinwersyjne).

2. Przekształcenia afiniczne W szkolnym programie matematyki nie ma nic na temat przekształceń afinicznych, które będziemy tutaj stosować, Dlatego postaramy się przybliżyć najważniejsze pojęcia i fakty niezbędne do zrozumienia przedstawianych treści. Czytelnika zainteresowanego poszerzeniem wiadomości z tego zakresu odsyłamy do książki J. Bednarczuka[1], gdzie zagadnienie przedstawiono bardzo elementarnie i elegancko. Definicja3.Funkcjęf:Π Π,gdzieΠjestzbiorempunktów płaszczyzny, nazywamy przekształceniem afinicznym jeśli: a) f jest funkcją odwracalną, a więc różnowartościową i na, b) obrazem dowolnej prostej w przekształceniu f jest prosta. Bezpośrednio z definicji, za pomocą elementarnych rozumowań, można wyprowadzić wiele własności przekształceń afinicznych. Niektóre z nich zebrano w poniższym wniosku(spróbuj samodzielnie to wywnioskować). Wniosek 4. Dla dowolnego przekształcenia afinicznego f, punktów A,B,C,Dorazprostychaibzachodzą: a)jeżeliprosteaibprzecinająsięwjednympunkciep,toichobrazy f(a)if(b)przecinająsięwpunkcief(p), b)jeżelia b,tof(a) f(b), c) jeżeli punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku,topunktyf(a),f(b),f(c),f(d)sątakżekolejnymiwierzchołkami równoległoboku, d)obrazemśrodkaodcinkaokońcachaibjestśrodekodcinkaokońcachf(a)if(b). Własność z punktu c) powyższego wniosku jest jedną z podstawowych cech charakterystycznych przekształceń afinicznych. Okazuje się, że określenie wartości przekształcenia afinicznego na wierzchołkach równoległoboku(w istocie na trzech jego wierzchołkach bo czwarty jest jednoznacznie konstruowalny za pomocą prostych równoległych) jednoznacznie wyznacza to przekształcenie. Twierdzenie 5. Każde dwa trójkąty są afinicznie przystające, tzn. dla dowolnych dwóch trójek niewspółliniowych punktów A, B, C oraz 3

4 A,B,C istniejedokładniejednoprzekształcenieafiniczneftakie,że f(a)=a,f(b)=b if(c)=c. Fakt ten zaimplementowano w programie Cinderella i w taki właśnie sposób będziemy zadawać przekształcenia afiniczne. Tutaj jedna uwaga, nasza wyobraźnia lepiej pracuje, gdy widzimy równoległoboki, a więc jeśli będziemy chcieli określić interesujące nas przekształcenie, to powinniśmy widzieć dwa równoległoboki, początkowy i ten który ma być jego obrazem. Wtedy wystarczy wybrać sobie jakiekolwiek 3 wierzchołki wyjściowego równoległoboku i każdemu z nich przyporządkować jako ich wartości po jednym z 3 dowolnie wybranych wierzchołków równoległoboku, który ma być obrazem. Jeśli zależy nam na tym, aby definiowane przekształcenie zachowywało orientację płaszczyzny, to trójka uporządkowana wybranych wierzchołków i odpowiadająca jej trójka punktów będących ich obrazami powinny być trójkami jednakowo zorientowanymi. Oczywiście każde podobieństwo(a więc i każda izometria) jest przekształceniem afinicznym. Jak znajdować najprostsze przykłady przekształceń afinicznych, które nie są podobieństwami? Otóż, wybieramy sobie dwa punkty A, B i deklarujemy je jako punkty stałe przekształcenia,anastępniedwapunktyc,dpozaprostąabideklarujemyjedenz nich jako obraz drugiego. W takim przekształceniu każdy punkt prostej AB jest punktem stałym. Przekształcenia te nazywamy powinowactwamiosiowymioosiab.rolapowinowactwjestbardzoważnacowynika z następującego twierdzenia. Twierdzenie 6. Każde przekształcenie afiniczne płaszczyzny Π jest złożeniem pewnego podobieństwa i pewnego powinowactwa osiowego. Narysunku1przedstawionoobraztrójkątaPQRiokręgunanim opisanego w powinowactwie f o osi AB. Z rysunku widzimy, że przekształcenia afiniczne nie zachowują kątów pomiędzy prostymi, a obrazami okręgów są elipsy(okrąg to też elipsa, ale bardzo szczególna). Pozostaje jeszcze jedna ważna dla nas kwestia, jak stwierdzić, czy nasze przekształcenie afiniczne jest przekształceniem zwężającym, czy nie? Otóż sprawa jest równie prosta jak w przypadku podobieństw. Wystarczy tym razem zadbać o to, aby każdy z boków trójkąta, który ma być obrazem, był krótszy od odpowiedniego boku trójkąta wyjściowego użytego do definicji tego przekształcenia.

5 Rysunek 1. Obrazy figur w powinowactwie osiowym Wtedy nasze przekształcenie będzie przekształceniem zwężającym, zaś jeśli ten warunek nie będzie spełniony, to przekształcenie nie będzie przekształceniem zwężającym. 3. Przykłady fraktali samoafinicznych Skupimy naszą uwagę na dwóch fraktalach samoafinicznych, smoku Heigweya i paproci Barnsleya, zaliczanych obecnie do klasyki geometrii fraktalnej(zobacz[5]). 3.1. Smok Heighwaya. Rozważmy dwa kwadraty ABCD, ANBM i równoległobok AMQP(AP = AB) położone względem siebie tak jak na rysunku 2. Zdefiniujmy dwa przekształcenia afiniczne: f, przekształcające kwadrat ABCD na równoległobok AMQP, podobieństwo g, przekształcające kwadrat ABCD na kwadrat ANBM. Atraktor takiego układu przekształceń, zwany smokiem Heighwaya, wygenerowany metodą IFS przedstawia rysunek 3. Zauważmy, że jeśli czterokrotnie obrócimy układ dwóch kwadratów irównoległobokuzrysunku2wokółpunktuaokątprosty,tootrzymamy konfigurację z rysunku 4(wielkości figur i oznaczenia punktów

6 Rysunek 2. Konfiguracja Heighwaya Rysunek 3. Smok Heighwaya zostały zmienione!). Mogłoby sie wydawać, że aby narysować te cztery figury jako fraktale będziemy potrzebowali ośmiu przekształceń, ale wystarczy tylko sześć widocznych na rysunku 4, bo niektóre z nich definiowane z uwzględnieniem obrotu pokryją się. Oznacza to, że cztery

7 Rysunek 4. Konfiguracja dla czterech smoków Rysunek 5. Cztery smoki smoki Heigwaya dla tych czterech układów będą do siebie pasowały. Przedstawia to rysunek 5, gdzie każdy ze smoków jest rysowany inną parą zbliżonych do siebie kolorów(smoki: zielony, czerwony, niebieski,

8 czarny). Z tego, że całą płaszczyznę można przykryć kwadratami wnioskujemy, że można ją także przykryć smokami Heigwaya tak, aby na siebie nie nachodziły(mają tylko wspólne brzegi). 3.2. Paproć Barnsleya. Rozważmy prostokąt ABDC i cztery inne prostokąty, będące obrazami tego wyjściowego prostokąta: najmniejszy prostokąt HGEF, definiuje pierwsze przekształcenie na liście, duży prostokąt LKNM, definiuje drugie przekształcenie na liście, dwaśredniejwielkościprostokątyprqoiustv definiują odpowiednio trzecie i czwarte przekształcenie na liście. Rysunek 6. Konfiguracja Barnsleya Fraktal tego układu czterech przekształceń afinicznych przypomina swoim kształtem liść paproci i nazywany jest od nazwiska jego odkrywcy- paprocią Barnsleya(patrz rysunek 7). Generowanie tego fraktala wymaga nierównomiernego doboru prawdopodobieństw losowania przekształceń. Aby otrzymać taki efekt jak na rysunkach trzeba losować drugie z przekształceń z największym prawdopodobieństwem

9 Rysunek 7. Paproć Barnsleya Rysunek 8. Paproć Barnsleya bliskim 0,8. Aby ostatecznie upodobnić ten fraktal do rzeczywistej paproci wystarczy jeszcze odpowiednio dobrać kolory rysowania obrazów względem odpowiednich przekształceń (rysunki 8 i 9).

10 Rysunek 9. Paproć Barnsleya na sferze 4. Trzy powinowactwa osiowe Podobnie jak to uczyniliśmy w miniaturze[14], spróbujmy wygenerować swoje własne fraktale. Weźmy trójkąt równoboczny ABC i trzy swobodne punkty D, E, F leżące na dwusiecznych kątów wewnętrznych odpowiednio o wierzchołkach C, A, B(patrz rysunek 10). Rozważmy układ trzech prostokątnych powinowactw p, q i r: p, oosi AB i p(i)=d, q, oosi BC i q(i)=e, r, oosi CA i r(i)=f. Manipulując trzema swobodnymi punktami D, E i F możemy zmieniać układ przekształceń i obserwować generowane fraktale. Rysunki od 11 do 14 przedstawiają przykłady fraktali otrzymanych tym sposobem. Efekty z pewnością nie są oszałamiające, ale mogą budzić naszą ciekawość.

11 Rysunek 10 Rysunek 11

12 Rysunek 12 Rysunek 13

13 Rysunek 14 5. Inwersje względem okręgu Pojęcie przekształcenia płaszczyzny zwanego inwersją, albo symetrią względem okręgu, należy do działu klasycznej geometrii zwanego geometrią okręgów. Inwersję można zdefiniować na wiele rozmaitych sposobów. Tutaj zrobimy to w sposób możliwie najbardziej elementarny(zobacz[10]). Rozwiążmy następujące zadanie konstrukcyjne dotyczące okręgu. Zadanie1.DladanegookręguośrodkuOipromieniurorazpunktuP,P O,skonstruujtakipunktP napółprostejowierzchołkuo przechodzącej przez P, aby OP OP =r 2. PrzedstawmydwieróżnekonstrukcjepunktuP,pozostawiającuzasadnienie ich poprawności czytelnikowi. Konstrukcja za pomocą siecznych(rysunek 15). (1) Prowadzimy przez punkt P sieczną okręgu przecinającą go w punktachaib.

14 (2) Odbijamy symetrycznie względem prostej OP jeden z punktów B(albo A) otrzymując punkt okręgu C. (3)ZnajdujemypunktP jakoprzecięcieprostejopzsiecznąac (albobc). Rysunek 15. Konstrukcja za pomocą siecznych Konstrukcja za pomocą cyrkla(rysunek 16). (1) Znajdujemy punkty A i B przecięcia okręgu danego z okręgiem ośrodkuwpipromieniudługościop. (2)RysujemydwaokręgiośrodkachwAiBipromieniachr, które oczywiście przecinają się w punkcie O. (3)ZnajdujemypunktP jakodrugi(różnyodo)punktprzecięcia tych dwóch okręgów. Rysunek 16. Konstrukcja za pomocą cyrkla Definicja7.InwersjąpłaszczyznyobiegunieOiwykładnikur 2 nazywamyfunkcjęf:π\{o} Π\{O}taką,żedladowolnego

punktupróżnegoodo f(p)=p, gdziep jestjedynympunktempółprostejowierzchołkuoprzechodzącejprzezpunktptakim,żeop OP =r 2. OkrągośrodkuOipromieniurnazywamyokręgieminwersjif. Z definicji wynika, że inwersja jest przekształceniem odwracalnym, a przekształceniem do niej odwrotnym jest ta sama inwersja. Zauważmy jeszcze, że każdy punkt okręgu inwersji jest jej punktem stałym, obrazy punktów leżących w kole wyznaczonym przez okrąg inwersji leżą poza tym kołem i odwrotnie(stąd nazwa symetria względem okręgu). 15 Rysunek 17. Obrazy okręgów i prostych w inwersji Rysunek 17 przedstawia obraz okręgu o środku A i dwóch prostopadłych prostych(figury koloru pomarańczowego) w inwersji względem zielonego okręgu. Są nimi odpowiednio okrąg nie przechodzący przez biegun i dwa prostopadłe okręgi bez punktu O(figury koloru fioletowego). Wtedy obrazami figur koloru fioletowego w tej inwersji są odpowiednie figury koloru pomarańczowego, bo przekształceniem odwrotnym do inwersji jest ta sama inwersja. Z tego eksperymentu wynika, że

16 z dokładnością do bieguna, obrazami okręgów mogą być okręgi bądź proste, a obrazami prostych proste bądź okręgi. Jak zmienia sie odległość pomiędzy obrazami punktów w inwersji w zależności od odległości pomiędzy tymi punktami? Odpowiedzi na to pytanie udziela następujące twierdzenie. Twierdzenie 8. Niech f będzie inwersją o biegunie O i wykładnikur 2.DladowolnychpunktówAiBpłaszczyznyzachodzirówność r 2 f(a)f(b)= OA OB AB. Z twierdzenia tego wynika, że przekształcenia inwersyjne nie są odwzorowaniami zwężającymi płaszczyzny. Tym niemniej sposób zmiany odległości w tych przekształceniach daje nadzieję na generowanie ciekawych fraktali metodą IFS, chociażby lokalnie w pewnych fragmentach płaszczyzny(wszystko zależy od wzajemnego położenia okręgów inwersji danego układu). 6. Przykłady fraktali samoinwersyjnych Rozważmy pięciokąt foremny gwiaździsty jak na rysunku 18. Rysunek 18. Konfiguracja okręgów pięciokąta gwiaździstego

Weźmy pięć okręgów o środkach w wierzchołkach ramion gwiazdy, które przechodzą przez punkty na ramionach dzielących każde z tych ramion wzłotymstosunku żółteokręgi,orazokrągośrodkuwśrodkugwiazdy i swobodnym promieniu zielony okrąg. Zdefiniujmy układ funkcji iteracyjnych jako układ inwersji względem każdego z tych okręgów Możemy teraz wygenerować metodą IFS fraktal dla tego układu. 17 Rysunek 19 Manipulując wielkością zielonego okręgu możemy zmieniać warunki początkowe układu zmieniając jedno z przekształceń tego układu (inwersję względem zielonego okręgu) i obserwować otrzymywane fraktale. Celowo na wszystkich rysunkach nie ukrywamy ani gwiazdy, ani okręgów inwersji, abyśmy mogli obserwować rezultaty w zależności od wzajemnego położenia tych okręgów. Przykładowe rezultaty tego eksperymentu, które uznaliśmy za warte uwagi, przedstawiają rysunki 19, 20i21. Jak sprawdzić czy na rysunku jest cały fraktal, czy jedynie jego część? Może nam w tym pomóc odwzorowanie płaszczyzny na sferę, gdyż wtedy będziemy widzieli całą płaszczyznę, a nie tylko jej fragment. Rysunki 22, 23 i 24 przedstawiają widoki sferyczne fraktali odpowiednio

18 Rysunek 20 Rysunek 21

19 Rysunek 22 Rysunek 23 z rysunków 19, 20 i 21. Wynika z nich niezbicie, że na rysunku 19 widzimy tylko część fraktala, a na dwóch pozostałych rysunkach znajdują się całe fraktale.

20 Rysunek 24 7. Podsumowanie Drogi Czytelniku, wszystkie ilustracje z tej miniatury i wcześniejszej miniatury [14] zostały wyeksportowane do apletów Javy i opublikowane na pod adresem internetowym: http://www.mat.umk.pl/~sendlew/miniatura/fraktale.html Zapraszam wszystkich do eksperymentowania tymi ilustracjami w trakcie czytania tej miniatury, co ułatwi zrozumienie przedstawionych treści. Co więcej, zachęcam wszystkich do samodzielnego generowania swoich nowych fraktali. Program geometryczny Cinderella w wersji 2.0 można pobrać z witryny [20]. Wersja demo programu wymaga jednakże sporej sprawności, gdyż działa tylko przez kwadrans, a zapis pracy nie jest kompletny (autorzy programu udostępniają pełną darmową, ale uboższą wersję 1.4, w której niestety nie zaimplementowano metody IFS). W trakcie pracy z programem proponujemy oglądnie fraktali w różnych geometriach. Dodajmy jeszcze, że program Cinderella 2.0 nie tylko zawiera wiele narzędzi do eksperymentowania z obiektami geometrycznymi w różnych geometriach (euklidesowa, sferyczna, itp.) ale

jest prawdziwym laboratorium fizycznym do symulacji zjawisk fizycznych(układy punktów materialnych, układy ładunków elektrycznych, układy planetarne, odbicia sprężyste, itp.). Co więcej, zainteresuje to czytelników lubiących programować, jest także środowiskiem programistycznym, które pozwala na pisanie własnych skryptów zarządzających zachowaniem się badanych obiektów. Obszerny spis literatury zawiera także pozycje, które nie są cytowane w tekście. Ma on ułatwić wszystkim zainteresowanym tematyką miniatury znajdowanie materiałów w języku polskim. Literatura [1] J. Bednarczuk, Urok przekształceń afinicznych, WSP, Warszawa 1978. [2] J. Ciesielski, Z. Pogoda Złamany wymiar, Wiedza i Zycie, nr 11-12(1989). [3]A.Fuliński,Ochaosieiprzypadku,FizykawSzkole,nr2(1994). [4] L. Jabłoński, Istota chaosu, Fizyka w Szkole nr 1(1992). [5] J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 1994. [6]T.KwastChaosjestwszędzie,Delta,nr10(1993). [7] H. O. Peitgen, H Jürgens, D. Saupe, Granice chaosu: fraktale, PWN, Warszawa 1995. [8] H. O. Peitgen, H Jürgens, D. Saupe, C. Zahlten, Fraktale. Animacje, eksperymenty i wywiady z E. Lorenzem i B. Mandelbrotem, PWN, Warszawa 1995. [9] P. Pierański, Fraktale. Od geometrii do sztuki, Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań 1992. [10] W. W. Prasołow, Zadaczi po płanimetrii tom 2, Nauka, Moskwa 1991(po rosyjsku). [11] P. Przytycki, ZOO na płaszczyźnie Delta, nr 2(1985). [12] P. Raczka, Turbulencje i fraktale, Delta, nr 2(1985). [13] J. Ryll, Ułamkowy wymiar, Delta, nr 2(1985). [14] A. Sendlewski, Fraktale w Cinderelli. Iteracje podobieństw, Miniatury Matematyczne 28, Aksjomat, Toruń 2009. [15] H. G. Schuster, Chaos deterministyczny, PWN, Warszawa 1995. [16] D. Smith, Jak wygenerować chaos domowym sposobem, Świat Nauki, nr 3 (1992). [17] I. Stewart, Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, PWN, Warszawa 1994. [18] J. Stoer, Wstep do analizy numerycznej, PWN, Warszawa 1987. [19]J.Turnau,Chaos,Wiedzaiżycie,nr2(1992). [20] Witryna internetowa programu The Interactive Geometry Software Cinderella, http://cinderella.de/tiki-index.php 21