Prognozowanie wielkości błędów interpolacji parametrów złożowych pokładów węgla kamiennego GZW

WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Mat. Symp. str. 311 324 Jacek MUCHA, Monika WASILEWSKA Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków Prognozowanie wielkości błędów interpolacji parametrów złożowych pokładów węgla kamiennego GZW Streszczenie Stosując geostatystyczną procedurę krigingu punktowego i blokowego oszacowano wartości maksymalnych błędów interpolacji miąższości pokładów węgla, zawartości siarki i popiołu dla różnych wariantów rozmiarów sieci opróbowań (od 1400x1400 m do 100x100 m). Stwierdzono, że jedynie interpolacja punktowa miąższości pokładów spełnia przyjęte kryteria dokładności możliwej do zaakceptowania w praktyce geologiczno-górniczej z błędem <40% natomiast interpolacja wartości parametrów opisujących jakość węgla spełnia je tylko częściowo. Jako główną przyczynę małej wiarygodności interpolacji zawartości siarki i popiołu uznano dużą zmienność lokalną tych parametrów (silnie zaznaczony składnik losowy zmienności). W oparciu o liniowe modele regresji wielokrotnej zaproponowano dwie formuły umożliwiające szybką ale przybliżoną prognozę wielkości błędu interpolacji. Mogą one być przydatne przy ocenie zasadności ilustrowania rozmieszczenia wartości rozpatrywanych parametrów za pomocą map izoliniowych i w konsekwencji ułatwiać decyzję o sporządzaniu albo rezygnacji z ich sporządzania. 1. Wprowadzenie Mapy izoliniowe oparte na wynikach interpolacji wartości parametrów złożowych w węzłach założonej sieci interpolacyjnej są jedną z najpopularniejszych form ilustrowania ich przestrzennego rozmieszczenia w złożu. W fazie wstępnego, wiertniczego rozpoznania złóż węgla kamiennego (w kategorii C 1 a zwłaszcza w kategorii C 2) wiarygodność takich map jest mała z uwagi na niską dokładność interpolacji szczególnie w odniesieniu do niektórych parametrów opisujących jakość węgla takich jak zawartość siarki i popiołu (Mucha, Wasilewska 2005). Czyni to celowość konstruowania tego typu map, co najmniej dyskusyjną. Głównymi czynnikami wpływającymi na taki stan rzeczy są: duża zmienność naturalna parametrów, wysoki udział losowego składnika zmienności i niejednorodność rozmieszczenia wartości parametrów wyrażająca się zróżnicowaniem poziomów ich średnich wartości między różnymi partiami pokładów. Jak wynika z analiz teoretycznych, potwierdzonych badaniami eksperymentalnymi, błędy opróbowania i analiz chemicznych obniżają tylko nieznacznie dokładność interpolacji. Nie do końca wyjaśniony jest wpływ rozstawu punktów opróbowań (otworów wiertniczych) na wielkość błędów interpolacji. Pożyteczne i potrzebne wydaje się w tej sytuacji uchwycenie w postaci prostej formuły matematycznej zależności wiążącej wielkość prognozowanych błędów interpolacji (maksymalnych lub przeciętnych) z liczbowo wyrażonymi charakterystykami zmienności parametrów złożowych i rozmiarem sieci punktów opróbowań. Umożliwiłoby to szybką 311

M. WASILEWSKA, J. MUCHA Kriging jako metoda interpolacji parametrów złożowych... prognozę dokładności interpolacji a zarazem dało podstawę do oceny zasadności prezentowania wartości parametrów złożowych pokładów węgla za pomocą map izoliniowych. 2. Cel i zakres pracy Zasadniczym celem badań była symulacja dokładności interpolacji, wyrażonej za pomocą wielkości prognozowanego błędu interpolacji, dla różnych wariatów rozmiaru założonej kwadratowej sieci rozpoznawczej oraz struktury zmienności rozpatrywanych parametrów złożowych. Przedmiotem analizy były wybrane parametry złóż węgla kamiennego: miąższość pokładu oraz zawartości siarki całkowitej i popiołu. Symulację opartą na wynikach geostatystycznej analizy zmienności parametrów złożowych w wytypowanych pokładach GZW wykonano przy zastosowaniu procedury krigingu. Uzyskane rezultaty posłużyły do określenia zależności miedzy wielkością błędu interpolacji oraz wartościami rozpatrywanych parametrów zmienności i rozstawu punktów opróbowań. Cel ten zrealizowano stosując liniową analizę regresji prostej i wielokrotnej (wielorakiej). 3. Materiał podstawowy badań Materiał podstawowy badań stanowiły dane uzyskane na etapie rozpoznania złóż otworami wiertniczymi (dane OW) i opróbowania pokładów w wyrobiskach górniczych (dane WG) wybranych pokładów złóż węgla kamiennego Murcki, Janina, Wisła Północ, Wisła I-II (rys. 3.1). Analizie poddano informacje o zawartości siarki całkowitej (S t), zawartości popiołu w stanie roboczym (A r) i miąższości pokładu (M). Średni rozstaw otworów wynosił 1000 1500 m, natomiast średni rozstaw próbek wzdłuż wyrobisk górniczych 150 500 m. Liczebność zbiorów danych zestawiono w tabeli 5.1. Rys. 3.1. Lokalizacja złóż Janina, Murcki, Wisła Północ, Wisła I-II Fig. 3.1. Localization of the Janina, Murcki, Wisła Północ and Wisła I-II deposits 312

WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie 4. Metodyka badań W pierwszej kolejności scharakteryzowano względną zmienność badanych parametrów w rozpatrywanych zbiorach danych wykorzystując do tego celu statystyczny współczynnik zmienności wyznaczany ze wzoru: s v 100% (4.1) z gdzie: s odchylenie standardowe parametru, z średnia arytmetyczna wartość parametru. Do określenia wielkości przewidywanego błędu interpolacji zastosowano geostatystyczną procedurę krigingu w wariantach punktowym i blokowym (Mucha 1994). Pierwsza z nich umożliwia prognozę błędu szacowania wartości parametrów złożowych w punktach założonej sieci interpolacyjnej natomiast druga wartości średnich parametrów w blokach o rozmiarach równych rozstawowi punktów regularnej sieci opróbowań. Stosowanie geostatystycznej procedury krigingu punktowego i blokowego wymaga znajomości modelu zróżnicowania parametru. Dla uzyskania bezpośredniej prognozy względnego błędu interpolacji konieczne jest opisanie względnego zróżnicowania parametru w zależności od odległości punktów opróbowań. W geostatystyce realizuje się to za pomocą dyskretnej funkcji zwanej semiwariogramem relatywnym R(h), który wyznacza się ze wzoru (David 1977): N h 1 2 ( zi h zi ) 2N h i 1 R( h ) (4.2) 2 ( z ) gdzie: N h liczba par próbek odległych o h, z i+h, z i wartości parametrów w próbkach odległych o h, z średnia wartość parametru we wszystkich parach punktów pomiarowych odległych o h. h Model teoretyczny relatywnego zróżnicowania zawartości parametru tworzy się przez przybliżenie semiwariogramów relatywnych za pomocą odpowiednich funkcji analitycznych ciągłych. Przykłady takich funkcji nazywanych geostatystycznymi modelami zmienności wraz z opisującymi je parametrami przedstawiono na rys. 4.1. Modele semiwariogramów relatywnych umożliwiają bezpośrednie porównanie siły i struktury zmienności parametrów różnego typu (również wyrażanych w różnych jednostkach) oraz porównanie uzyskanych z procedury krigingu wartości błędów ich interpolacji. Strukturę zmienności parametrów charakteryzują następujące parametry modeli geostatystycznych (rys. 4.1): a zasięg semiwariogramu określający maksymalny zakres odległościowy występowania autokorelacji między wartościami badanego parametru, C 0R wariancja relatywna losowego składnika zmienności parametru, C R wariancja relatywna składnika nielosowego zmienności parametru. 313 h

M. WASILEWSKA, J. MUCHA Kriging jako metoda interpolacji parametrów złożowych... Wielkości C 0R i C R odniesione indywidualnie do ich sumy (C R+C 0R) wyrażają liczbowo znaczenie obu składników w całkowitej zmienności badanego parametru złożowego: C0R wl 100% wskaźnik minimalnego udziału losowego składnika zmienności, C C w N 0R R CR 100% wskaźnik maksymalnego udziału nielosowego składnika zmienności. C C 0R R Rys.4.1. Przykłady geostatystycznych modeli zmienności. Objaśnienia: 1 pole zmienności nielosowej; 2 pole zmienności losowej; C0R relatywna wariancja losowego składnika zmienności parametru; CR - relatywna wariancja nielosowego składnika zmienności parametru; a - zasięg semiwariogramu (autokorelacji); wn(h) udział nielosowego składnika zmienności; wl(h) udział losowego składnika zmienności Fig. 4.1. Examples of the geostatistical models of variability. Explanations: 1 area of non-random variability; 2 - area of random variability; C0R - relative variance of random component of variability; CR - relative variance of non-random component of variability; a - the range of the semivariogram; wn(h) contribution of non-random component of variability to the total variability; wl(h) contribution of random component of variability to the total variability Jako miarę prognozowanej dokładności interpolacji przyjęto wielkość relatywnego standardowego błędu interpolacji zwanego błędem krigingu KR, który wyznacza się ze wzoru: 2 KR N 2 wik R( Si,A) wi w j R( Si,S j ) R( A,A) i 1 314 N i 1 N gdzie: N liczba obserwacji (próbek) uwzględnionych w procedurze krigingu, w ik współczynnik wagowy przypisany w procedurze krigingu i tej obserwacji (próbce), R ( Si,A) wartość średnia semiwariogramu dla odległości między próbką (S i) i punktem (blokiem) interpolacji (A), R(S i, S j) wartość semiwariogramu dla odległości między próbką (S i) i (S j), R ( A,A) wartość średnia semiwariogramu w obrębie bloku A (dla interpolacji punktowej ten element wzoru jest równy zero). j 1 (4.3)

WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Procedurę krigingu punktowego i blokowego przeprowadzono dla 8 wariantów rozmiarów kwadratowej sieci rozpoznawczej z rozstawami d: 100 m, 200 m, 400 m, 600 m, 800 m, 1000 m, 1200 m, 1400 m. Skrajne odległości między punktami opróbowania odpowiadały w przybliżeniu średniej odległości najbliższych otworów wiertniczych (d=1400 m) i minimalnej odległości między punktami opróbowania pokładów w wyrobiskach górniczych (d=100m). Każdorazowo przy obliczaniu błędów krigingu uwzględniano dane z 12 najbliższych punktów opróbowań. Lokalizację punktu interpolacji i bloku interpolacji (bloku szacowania średniej wartości parametru) na tle punktów opróbowań przedstawiono na rysunku 4.2. Rys. 4.2. Schemat doboru danych w procedurze interpolacyjnej krigingu. Objaśnienia: 1 punkt interpolacji; 2 blok interpolacji (szacowania średnich wartości parametrów); 3 punkt rozpoznania (otwór wiertniczy); 4 punkt rozpoznania uwzględniony w procedurze krigingu; 5 kołowa strefa zliczania danych; d odległość między punktami rozpoznania Fig. 4.2. Scheme of selection of data in interpolation procedure. Explanations: 1 - point of interpolation; 2 - block of interpolation; 3 borehole; 4 core sample used in kriging procedure; 5 - circular zone of data used in kriging; d - distance between boreholes 315

M. WASILEWSKA, J. MUCHA Kriging jako metoda interpolacji parametrów złożowych... Przy takim położeniu punktów i bloków interpolacji względem punktów rozpoznania błąd krigingu przyjmuje wartości maksymalne. Obliczenie wielkości błędu krigingu punktowego i blokowego KR zrealizowano przy zastosowaniu programu komputerowego GeoEAS (Englund i Sparks 1991). W dalszej kolejności stosując analizę liniowej regresji i korelacji wielorakiej podjęto próbę ustalenia zależności wiążącej wielkość względnego błędu krigingu ( KR) z geostatystycznymi parametrami zmienności (C 0R, C 0R,, w N), współczynnikiem zmienności (v) i rozstawem punktów opróbowań (d). Ogólne równanie liniowej regresji wielorakiej ma postać: Y b (4.2) 0 b1 X1 b2 X 2... bpx p gdzie: Y wartość zmiennej zależnej (objaśnianej), X 1, X 2,..., X p wartości zmiennych niezależnych (objaśniających), b 0 wyraz wolny, b 1, b 2,..., b p współczynniki regresji wielorakiej. W podanym równaniu współczynniki regresji wielokrotnej b i określają niezależne wkłady każdej ze zmiennych objaśniających do przewidywania wartości zmiennej zależnej. Miernikiem dobroci dopasowania płaszczyzny regresji do danych empirycznych jest współczynnik determinacji R 2 przyjmujący wartości z przedziału od 0 (brak korelacji) do 1 (ścisła zależność funkcyjna). Wartości R 2 bliskie 1 świadczą więc o silnym związku korelacyjnym wiążącym zmienną objaśnianą ze zmiennymi objaśniającymi. Analizę korelacji i regresji wielorakiej wykonano wykorzystując program STATGRAPHICS Plus 5.1. 5. Wyniki badań 5.1. Charakterystyka zmienności parametrów Obliczone współczynniki zmienności badanych parametrów przyjmują zbliżone zakresy wartości dla zawartości siarki (40-64%) i zawartości popiołu (34-77%). Można więc stwierdzić, że zmienność wymienionych parametrów jest w sensie klasyfikacji Baryszewa (Smirnow i Prokofiew 1960) duża lub wyjątkowo umiarkowana. Skrajne wartości współczynników zmienności miąższości pokładów wynoszą: 18% i 72% co świadczy, że zmienność tego parametru może być praktycznie klasyfikowana tak samo jak zmienność zawartości siarki i popiołu (tab. 5.1). Zestawione w tab. 5.1 statystyczne parametry zmienności (v) i geostatystyczne parametry modeli semiwariogramów relatywnych (C 0R, C R, a, w N) dla różnych pokładów wykazują na ogół silne zróżnicowanie, co uniemożliwia skonstruowanie jednego, uniwersalnego geostatystycznego modelu zmienności parametrów. Znajduje to wizualne potwierdzenie na wykresach semiwariogramów i ich modeli (rys. 5.1). 316

WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Tabela 5.1. Parametry modeli teoretycznych dopasowanych do semiwariogramów relatywnych dla danych rozpoznania otworami wiertniczymi (OW) i wyrobiskami górniczymi (WG) Table 5.1. Parameters of geostatistical models fitted to the relative semivariograms for the data from drilling (OW) and mining exploration (WG) Parametr Pokład N S t [%] A r [%] M [m] v [%] Model C0R CR a [km] wn [%] w N [%] Murcki 330 (OW) 32 45.7 sferyczny 0.06 0.22 7.5 78.6 Murcki 334/2 (OW) 61 61.0 sferyczny 0.22 0.18 7.0 45.0 Murcki 349(OW) 39 54.8 sferyczny 0.13 0.23 6.2 63.9 Janina 203 (OW) 31 55.4 sferyczny 0.225 0.12 5.0 34.8 Wisła 209 (OW) 42 63.6 sferyczny 0.2 0.3 2.2 60.0 Murcki 330 (WG) 84 39.6 sferyczny 0.08 0.12 3.5 60.0 Murcki 330 (OW) 36 44.7 sferyczny 0.03 0.24 7.0 88.9 Murcki 334/2 (OW) 71 77.2 liniowy 0.55 0.1 7.5 15.4 Murcki 349 (OW) 40 53.3 sferyczny 0.195 0.14 7.8 41.8 Wisła 209 (OW) 55 34.1 sferyczny 0.05 0.03 2.0 37.5 Murcki 330 (WG) 85 38.0 sferyczny 0.05 0.11 2.1 32.2 Murcki 334/2 (WG) 108 56.8 liniowy 0.2 0.25 5.0 9.6 Murcki 318 (OW) 80 56.0 sferyczny 0.05 0.355 3.8 87.7 Murcki 330 (OW) 68 72.3 sferyczny 0.015 0.6 4.75 97.6 Murcki 333-1 (OW) 104 61.7 sferyczny 0.2 0.3 8.5 60.0 Murcki 349 (OW) 81 61.1 sferyczny 0.035 0.49 6.0 93.3 Wisła I-II 209 (OW) 29 31.0 sferyczny 0.055 0.075 9.0 57.7 Wisła PN 209 (OW) 42 32.7 sferyczny 0.03 0.09 8.0 75.0 Murcki 318 (WG) 613 34.9 sferyczny 0.03 0.11 4.3 78.6 Murcki 349 (WG) 548 18.2 sferyczny 0.002 0.033 2.75 94.3 Objaśnienia: N liczba punktów obróbowania; v współczynnik zmienności; C0R - relatywna wariancja losowego składnika zmienności parametru; CR relatywna wariancja nielosowego składnika zmienności parametru, a - zasięg semiwariogramu; wn udział nielosowego składnika zmienności. Explanations: N number of data; v - coefficient of variation; C0R relative variance of random component of variability; CR relative variance of non-random component of variability; a - the range of the semivariogram; wn contribution of non-random component of variability to the total variability. 5.2. Prognoza błędów interpolacji metodą krigingu Wartości względnych błędów krigingu punktowego i blokowego KR dla różnych wariantów odległości między punktami obserwacji d przedstawiono graficznie na wykresach (rys. 5.2.1, 5.2.2). Przyjmując arbitralnie jako górną granicę dopuszczalnej wielkości maksymalnego błędu interpolacji punktowej wartość: 40% można stwierdzić, że dla rozstawu otworów d=1400 m warunek ten spełniają: - miąższość wszystkich pokładów z wyjątkiem pokładu 333/1 (KWK Murcki), - zawartość popiołu w pokładzie 209 (połączony zbiór danych Wisła PN i Wisła I-II), 330 (KWK Murcki - partie rozpoznane otworami wiertniczymi jak i wyrobiskami górniczymi), - zawartość siarki w pokładzie 330 (w jego partiach rozpoznanych zarówno otworami wiertniczymi jak i górniczymi). 317 57.1 37.6 80.5

M. WASILEWSKA, J. MUCHA Kriging jako metoda interpolacji parametrów złożowych... Rys. 5.1. Wykresy wybranych semiwariogramów relatywnych i modeli teoretycznych parametrów dla danych pochodzących z rozpoznania pokładów otworami wiertniczymi (OW). Objaśnienia: 318, 330, 333-1, 334-2, 349 pokłady złoża Murcki; 209 pokład 209, dane z obszaru Wisła Północ i Wisła I-II; 209(PN) pokład 209, złoże Wisła Północ; 209(I-II) pokład 209, złoże Wisła I-II Fig. 5.1. Relative semivariograms and geostatistical models of the parameters for the data from drilling (OW) and mining exploration (WG) Należy zwrócić uwagę na fakt, iż zagęszczenie sieci opróbowań nawet do rozstawu 100x100 m teoretycznie nie powinno skutkować (z jednym wyjątkiem) obniżeniem względnego błędu interpolacji poniżej 40%. Dosyć liberalne kryterium, jakie przyjęto dla oceny jakości interpolacji spełnione jest w zasadzie jedynie w odniesieniu do miąższości pokładów i co najwyżej połowicznie w odniesieniu do parametrów opisujących jakość węgla. Wynik taki w odniesieniu zawartości siarki i popiołu można tłumaczyć generalnie dużą zmiennością tych parametrów w wymienionych pokładach a przede wszystkim silnie zaznaczonym losowym składnikiem zmienności zawartości siarki i popiołu (wysokimi wartościami wskaźnika w L). Zdecydowanie odmienne rezultaty uzyskano natomiast w przypadku szacowania średnich wartości parametrów w blokach o rozmiarach odpowiadających oczkom sieci opróbowań (rys. 4.2, 5.2.2). Z analizy wartości względnego błędu krigingu blokowego wynika, iż akceptowalne wartości błędu interpolacji (<40%), dla rozstawu sieci opróbowania 1400 m, uzyskano we wszystkich analizowanych przypadkach. Ponadto zmiany wielkości tego błędu przy zagęszczaniu sieci są wyraźne. Zagęszczanie sieci opróbowań z d=1400 m do d=100 m powoduje zmniejszenie błędu przeciętnie o połowę. 318

WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Rys. 5.2.1. Prognoza wielkości względnego błędu krigingu punktowego KR dla różnych rozmiarów sieci rozpoznawczej d Fig. 5.2.1. The prediction of relative point kriging error KR for different sizes of sampling grid d 5.3. Prognoza błędów interpolacji na podstawie modelu regresji wielokrotnej Ujęcie zależności wielkości błędu interpolacji od miar charakteryzujących zmienność parametrów złożowych i średniego rozstawu punktów opróbowań w postaci prostej formuły matematycznej może mieć ważne znaczenie w praktyce geologiczno-górniczej. W przypadku stwierdzenia statystycznie istotnej korelacji wiążącej te wielkości możliwe jest szybkie określenie przykładowo maksymalnego poziomu wartości błędów interpolacji a więc i zarazem wstępną ocenę wiarygodności przewidzianych do sporządzenia map izoliniowych parametrów złożowych. Uzyskane wyniki przy przyjęciu odpowiednich kryteriów, co do oczekiwanej dokładności takich map mogłyby więc stanowić podstawę decyzji co do celowości ich kreślenia. 319

M. WASILEWSKA, J. MUCHA Kriging jako metoda interpolacji parametrów złożowych... Rys. 5.2.2. Prognoza wielkości względnego błędu krigingu blokowego KR dla różnych rozmiarów sieci rozpoznawczej d Fig. 5.2.2. The prediction of relative block kriging error KR for different sizes of sampling grid d Próbę określenia takiego związku korelacyjnego podjęto przy zastosowaniu liniowego modelu regresji wielokrotnej (4.2). Rozpatrzono dwa warianty zbiorów zmiennych niezależnych (objaśniających). Pierwszy zbiór danych obejmował parametr statystyczny współczynnik zmienności v, rozstaw sieci opróbowań d i geostatystyczne parametry zmienności relatywną wariancję zmienności lokalnej C 0R oraz wskaźnik udziału nielosowego składnika zmienności w N natomiast drugi tylko dwie pierwsze zmienne: v i d. W obliczeniach wykorzystano wykonane wcześniej metodą krigingu punktowego i blokowego oszacowania względnego błędu interpolacji dla różnych rozstawów sieci opróbowań (rys. 5.2.1, 5.2.2) oraz względne miary zmienności parametrów w pokładach (v, C 0R, w N) zamieszczone w tabeli 5.1. Z uwagi na relatywny charakter wszystkich rozpatrywanych miar zmienności i błędów interpolacji analizę korelacji i regresji wielokrotnej wykonano dla połączonych zbiorów danych trzech rozpatrywanych parametrów złożowych: miąższości pokładów, zawartości siarki i popiołu. 320

WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie Wyniki analizy w formie wykresów i równań modeli przedstawiono na rys. 5.3 zaś weryfikację statystycznej istotności korelacji w tab. 5.3. Zgodnie z klasyfikacją Niecia (1990) w przypadku interpolacji punktowej korelacje można uznać za silną (ze współczynnikiem korelacji r>0.9) a w przypadku interpolacji blokowej za wyraźną (0.7<r<0.9). Formuła podstawowa (z 4 zmiennymi objaśniającymi) daje nieco lepsze rezultaty niż uproszczona (z 2 zmiennymi objaśniającymi) ale w obu przypadkach brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy o statystycznej istotności korelacji wielokrotnej dla obu typów interpolacji. Rys. 5.3. Wykresy zależności między wartościami błędów interpolacji określonymi metodą krigingu (punktowe go lub blokowego) i w oparciu o modele regresji wielokrotnej. Objaśnienia: KR - błąd względny interpolacji (krigingu); d rozstaw kwadratowej sieci opróbowań (lub rozmiar bloku); v współczynnik zmienności; C0R względna wariancja lokalnej zmienności parametru; wn - wskaźnik maksymalnego udziału składnika nielosowego w całkowitej zmienności parametru; r współczynnik korelacji wielokrotnej Fig. 5.3. Relationship between interpolation errors predicted by kriging ( KR) and multiple regression ( KR*). Explanations: KR relative kriging error, d size of square sampling grid (or size of block), v - coefficient of variation, C0R relative variance of local parameter variability, wn - contribution of nonrandom component to the total variability of parameter, r coefficient of multiple correlation Oznacza to możliwość stosowania także uproszczonej formuły, opartej tylko na znajomości średniego rozstawu sieci opróbowań i wielkości współczynnika zmienności badanego 321

M. WASILEWSKA, J. MUCHA Kriging jako metoda interpolacji parametrów złożowych... parametru, do wstępnego prognozowania błędów interpolacji. Ma to ogromne znaczenie praktyczne gdyż nie wymaga wykonywania żmudnego i niekiedy trudnego modelowania geostatystycznego zmienności. W przypadku interpolacji punktowej formuła uproszczona może dawać oszacowania błędów interpolacji obarczone wyraźnie większymi odchyłkami od błędów rzeczywistych niż formuła podstawowa. Należy zwrócić uwagę, że przy prognozowaniu błędów interpolacji w oparciu o model regresyjny zakres zmienności zmiennych niezależnych nie powinien odbiegać zbyt silnie od zakresu zmienności parametrów dla których zbudowano model regresji liniowej. Również sieć opróbowań winna być regularna lub przynajmniej zapewniać zbliżoną gęstość punktów rozpoznania w różnych częściach złoża. Weryfikacja statystycznej istotności liniowej korelacji wielokrotnej Statistical significance of linear model of multiple correlation Rodzaj interpolacji Kriging punktowy Kriging blokowy Tabela 5.3. Table 5.3. Charakter zależności R 2 [%] s E [%] ε A [%] R 2 [%] s E [%] ε A [%] KR f ( d, v, C0R, wn ) (Formuła podstawowa) KR f ( d, v) (Formuła uproszczona) 94.7 3.7 2.7 83.2 2.2 1.4 62.5 9.8 7.1 79.2 2.4 1.7 Objaśnienia: KR - błąd względny interpolacji (krigingu); d rozstaw kwadratowej sieci opróbowań (lub rozmiar bloku); v - współczynnik zmienności; C0R - relatywna wariancja lokalnej zmienności parametru; wn - wskaźnik maksymalnego udziału składnika nielosowego w całkowitej zmienności parametru; R 2 współczynnik determinacji; se odchylenie standardowe odchyłek wartości obserwowanych od modelu; εa - średni błąd bezwzględny odchyłek Explanations: KR relative kriging error; d size of square sampling grid (or size of block); v - coefficient of variation; C0R - relative variance of local parameter variability; wn contribution of nonrandom component to the total variability of parameter; R 2 coefficient of determination; se standard deviation of residuals; εa mean absolute value of residuals 6. Podsumowanie i wnioski Wiarygodność map izoliniowych skonstruowanych w oparciu o wyniki interpolacji wartości parametrów złożowych w węzłach założonej sieci punktów interpolacji z reguły nie budzi większego zainteresowania jej wykonawców i potencjalnych użytkowników. Cytowane w tekście wyniki badań (Mucha i Wasilewska 2005) dowodzą generalnie małej wiarygodności map zawartości popiołu i siarki w pokładach węgla kamiennego GZW. Do podobnych wniosków skłaniają również przedstawione w artykule wyniki badań symulacyjnych nad dokładnością interpolacji punktowej miąższości pokładów węgla a w szczególności zawartości siarki i popiołu dla różnych wariantów rozmiaru sieci opróbowań. Wymienione parametry cechują się zbliżonym zakresem zmienności ale różni je odmienna struktura zmienności wyrażająca się różnymi proporcjami obu składników zmienności: losowego i nielosowego. Najwyższe udziały składnika nielosowego, charakteryzującego siłę prawidłowości zmian 322

WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie wartości parametrów, odnotowano (tab. 5.1) dla miąższości pokładów (średni udział: 80.5%), pośrednie dla zawartość siarki (57.1%) natomiast najniższe dla zawartości popiołu (37.6%). Czynnik ten znajduje pełne odzwierciedlenie w wielkościach prognozowanych metodą krigingu maksymalnych błędów interpolacji punktowej, które przyjmują najwyższe wartości dla zawartości popiołu i najniższe dla miąższości pokładów. Przykładowo dla regularnych sieci opróbowań o silnie zróżnicowanych rozstawach 1000 m i 100 m błędy interpolacji parametrów mieszczą się w przedziałach (po zaokrągleniu wyników): w przypadku miąższości pokładów: 10-50% i 5-45%, w przypadku zawartości siarki: 30-60% i 25-50%, w przypadku zawartości popiołu: 30-80% i 20-75%. Zestawienie to pokazuje szeroki zakres wartości błędów interpolacji w pokładach i dowodzi generalnie umiarkowanej dokładności interpolacji miąższości pokładów i bardzo niskiej dokładności interpolacji zawartości siarki i popiołu oraz zaskakująco małego wpływu zagęszczania sieci opróbowań na obniżenie błędów interpolacji. Znacznie bardziej optymistyczne rezultaty, w pełni akceptowalne w praktyce geologiczno górniczej, uzyskuje się dla interpolacji blokowej. Błędy maksymalne oszacowania średnich wartości parametrów w blokach o rozmiarach 1000x1000 m (opróbowanych w swych narożach) nie przekraczają 20% w przypadku miąższości, 25% w przypadku zawartości popiołu oraz 30% w przypadku zawartości siarki. Decyzja o wizualizacji punktowego rozmieszczenia wartości analizowanych parametrów za pomocą map izoliniowych winna być poprzedzona oceną wielkości błędów interpolacji punktowej. Można do tego celu wykorzystać zaproponowane w dwóch formułach modele regresji wielokrotnej (rys. 5.3) wiążące wielkość błędów interpolacji z parametrami charakteryzującymi zmienność parametrów i rozstawem sieci opróbowań. Formuła podstawowa gwarantuje uzyskanie dokładniejszych ocen błędów interpolacji ale wymaga przeprowadzenia żmudnej i niekiedy trudnej analizy geostatystycznej dla określenia geostatystycznych parametrów zmienności. Formuła uproszczona daje wprawdzie mniej dokładne oszacowania ale pozwala na szybkie wyznaczenie wielkości błędu interpolacji jako funkcji rozstawu sieci opróbowań i wielkości współczynnika zmienności. Zagadnienie dopuszczalnych wielkości błędów interpolacji jest kwestią otwartą i powinno być przedmiotem dyskusji. Autorzy proponują wstępnie aby uznać interpolację punktową za wysoce satysfakcjonującą gdy maksymalny błąd interpolacji nie przekracza 20% zaś za możliwą jeszcze do zaakceptowania gdy błąd ten nie przekracza 40%. Literatura [1] David M. 1977: Geostatistical ore reserve estimation. Elsevier SPC, Amsterdam-Oxford-New York, s. 364. [2] Englund E., Sparks A. 1991: Geostatistical Environmental Assessment Software, Version 1.2.1. EPA: Las Vegas, Nevada, s.172. [3] Mucha J. 1994: Metody geostatystyczne w dokumentowaniu złóż. Skrypt Katedry Geologii Kopalnianej AGH, s.155. [4] Mucha J., Wasilewska M. 2005: Dokładność interpolacji zawartości siarki i popiołu w wybranych pokładach węgla kamiennego GZW. Gosp. Sur. Min., T.21, z.1. [5] Nieć M. 1990: Geologia Kopalniana. Wyd. Geol., Warszawa, s.504. [6] Smirnow W.I., Prokofiew A.P. 1960: Podscziot zapasow mestorożdenij poleznych iskopaemych. Gosgeoltechizdat, Moskwa, s.672. 323

M. WASILEWSKA, J. MUCHA Kriging jako metoda interpolacji parametrów złożowych... Predicting of interpolation error of coal seam parameters in Upper Silesian Coal Basin (USCB) The most common form of presenting the distribution of various parameters values characterizing coal seams in the USCB (Poland) explored by boreholes are contour maps. The maps are prepared on the basis of the interpolated values of studied parameters in regular grid nodes. Using geostatistical procedure of point and block kriging the interpolation accuracy of seam thickness, sulphur and ash contents was assessed for various sizes of square borehole grid (from 1400x1400 m to 100x100 m). Generally, the accuracy of ash and sulphur content interpolation in points is very low, with relative kriging errors of 20-80%, mainly caused by a considerable local variability of these parameters. Presenting spatial distribution of ash and sulphur contents in the coal seams based on results of drill core sampling by means of contour maps is useless because of low reliability of such maps. Accuracy of point interpolation of seam thickness is higher with relative errors of 5-50% and can be accepted in mining practice. Block kriging gives better results with relative errors of mean values estimation of studied parameters lower than 30%. Applying linear model of multiple regression, statistically significant relationship between interpolation errors, statistical and geostatistical parameters of variability, and size of borehole grid was established. Two formulas were proposed for quick but approximate predicting of interpolation error values and determining of contour map reliability. Przekazano: 4 kwietnia 2005 r. 324