Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych

Podobne dokumenty
Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych

Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych

Sprzedaż online. Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa p. 1/40

Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2

Algorytmika Problemów Trudnych

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski. Dane w sieciach. (i inne historie) Marcin Bieńkowski

Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Matematyka dyskretna

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie liniowe

Algorytmiczna teoria grafów

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne

Drzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany

Kolorowanie wierzchołków grafu

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej

Temat: Algorytmy zachłanne

Lista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016

Graf. Definicja marca / 1

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa

Matematyczne Podstawy Informatyki

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

Łyżwy - omówienie zadania

Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Metody Programowania

Dynamiczne drzewa. Piotr Sankowski. - p. 1/27

Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

Komiwojażer na płaszczyźnie

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

Algorytmy dynamiczne. Piotr Sankowski. - p. 1/14

Kombinatoryczne problemy optymalizacyjne to problemy wyboru najlepszego rozwiązania z pewnego zbioru rozwiązań

Algorytmy i Struktury Danych.

Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Digraf. 13 maja 2017

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Kolejka priorytetowa. Często rozważa się kolejki priorytetowe, w których poszukuje się elementu minimalnego zamiast maksymalnego.

Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Kolorowanie wierzchołków

Programowanie dynamiczne cz. 2

Algorytmy stochastyczne laboratorium 03

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Zadania z egzaminów z Algorytmiki

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

Optymalizacja ciągła

Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa

Algorytmy i struktury danych.

Modelowanie sieci złożonych

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Zadania z egzaminów z Algorytmiki

Prawdopodobieństwo i statystyka

Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana

Działanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Matematyka dyskretna dla informatyków

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia

Zmienne losowe i ich rozkłady

Metody przeszukiwania

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Transkrypt:

Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski PhD Open, 5-6 grudzień, 2008 - p. 1/47

Plan - Wykład III Aproksymacyjne algorytmy online Aproksymacyjne stochastyczne algorytmy online Problem drzewa Steinera online dolne ograniczenia górne ograniczenia Stochastyczny problem drzewa Steinera online dolne ograniczenia górne ograniczenia - p. 2/47

Algorytmy online W algorytmach online chcemy rozwiazywać problemy, w których dane wejściowe ujawniane sa krok po kroku. Zazwyczaj zakłada się, że nasze decyzje sa nieodwracalne. Algorytmy dynamiczne wpp. Badamy wpływ niewiedzy o przyszłości, a nie czas działania. Interesuja nas też algorytmy wykładnicze. - p. 3/47

Algorytmy online Zadaniem algorytmu online jest przetworzenie nieprzewidywalnej sekwencji żadań, wykonujac każde z nich bez wiedzy o przyszłości. W analizie kompetytywnej algorytmów online badamy zachowanie: algorytmu online, który nie zna przyszłości, porównujac go do: optymalnego algorytmu offline, który zna cała sekwencję żadań. - p. 4/47

Współczynnik kompetytywności Zakładamy, że sekwencja żadań pochodzi z uniwersum Ω, oraz, że przeciwnik wybiera sekencję ω = ω 1, ω 2,... nieznanej długości. Niech Ω l oznacza zbiór sekwencji długości l. Klasyczny współczynnik kompetytywności (randomizowanego) algorytmu A zdefiniowany jest jako: max k E r [A(ω, r)] max ω Ω k OPT(ω), gdzie r jest zbiorem losowych wyborów algorytmu. - p. 5/47

Drzewo Steinera online W problemie online drzewa Steinera mamy dany: graf G = (V, E) o zadanym korzeniu r oraz koszty krawędzi c : E 0 ; b.s.o. koszty spełniaja nierówność trójkata; przeciwnik wybiera sekwencję wierzchołków (z powtórzeniami) v 1, v 2,... z V; w każdym momencie czasu t, utrzymujemy spójny podgraf S t G zawierajacy r oraz wszystkie dotychczas ujawnione wierzchołki {v 1,..., v t }; zakładamy, że decyzje algorytmu sa nieodwracalne, a więc S t S t+1. - p. 6/47

Algorytm zachłanny Rozwiazanie zachłanne zawsze podłacza kolejny otrzymany wierzchołek z aktualnie wykupionym podgrafem przy pomocy ścieżki o najmniejszym koszcie. Twierdzenie 1 (Imase and Waxman 91) Współczynnik kompetytywności dla dowolnego algorytmu dla drzewa Steinera online wynosi Ω(log n). Twierdzenie 2 (Imase and Waxman 91) Współczynnik kompetytywności dla zachłannego algorytmu dla drzewa Steinera online wynosi O(log n). - p. 7/47

Algorytm zachłanny Prosty przykład pokazuje, że algorytm zachłanny płaci co najmniej log n. Pierwsze wierzchołki w złej sekwencji to skrajny lewy i skrajny prawy, a następne to wierzchołki z środka. - p. 8/47

Dolne ograniczenie W przypadku dowolnych algorytmów. Zdefiniujmy grafy G k = (V k, E k ), dla k Z + 0 kosztu c k. G 0 jest grafem o dwóch wierzchołkach i jednej krawędzi o koszcie 1. o funkcji Aby otrzymać G k każda krawędź (u, v) w G k 1 zamieniamy na dwie ścieżki (u, α, v) oraz (u, β, v) o krawędziach o wadze 2 k. Wierzchołki dodane w G k maja poziom k. - p. 9/47

Dolne ograniczenie Sekwencję zaczynamy zadajac v 0 i v 1. Następnie dla każdego poziomu wybieramy wierzchołki jeszcze nie połaczone z par α i β. - p. 10/47

Dolne ograniczenie Niech N i to ciag żadań na poziomie i. Niech T = {T 0, T 1,..., T k } będzie sekwencja drzew wygenerowanych przez algorytm dla ciagu żadań N = {N 0, N 1,..., N k }. Niech ˆT = { ˆT 0, ˆT 1,..., ˆT k } będzie sekwencja minimalnych drzew otrzymana z T, i.e., ˆT i jest minimalnym w sensie zawierania drzewem łacz acym aktualne wierzchołki. Pokażemy, że c( ˆT i ) c( ˆT i 1 ) + 1 2, a zatem c( ˆT i ) 1 2 i + 1. - p. 11/47

Dolne ograniczenie Ponieważ ˆT i 1 jest minimalne to nie zawiera cykli oraz każdy liść musi być elementem jakiegoś N j. Rozważmy wierzchołek v z N i 1, jest on sasiedni z czterema wierzchołkami poziomu i. Z każdej z sasiednich par w ˆT i 1 może być tylko jeden wierzchołek, gdyż inaczej mielibyśmy: liść na poziomie i, badź cykl. - p. 12/47

Dolne ograniczenie Dla każdego wierzchołka v N i 1 wybieramy do N i sasiednie wierzchołki z poziomu i które nie należa do ˆT i 1. Zauważmy, że jak istniała wcześniej ścieżka o koszcie 1 zawierajaca wszystkie żadania, to istnieje ona nadal. W N i jest 2 i 1 wierzchołków i za podłaczenie każdego musimy zapłacić co najmniej 2 i. Tak więc c( ˆT i ) c( ˆT i 1 ) + 1 2. - p. 13/47

Algorytm zachłanny Udowodniliśmy więc pierwsze z twierdzeń. Twierdzenie 3 (Imase and Waxman 91) Współczynnik kompetytywności dla dowolnego algorytmu dla drzewa Steinera online wynosi Ω(log n). Przejdźmy teraz do drugiego dowodu. Twierdzenie 4 (Imase and Waxman 91) Współczynnik kompetytywności dla zachłannego algorytmu dla drzewa Steinera online wynosi O(log n). - p. 14/47

Górne ograniczenie Aby pokazać górne ograniczenie założymy, że n jest parzyste. Niech T będzie optymalnym drzewem Steinera. Rozważmy cykl Eulera E otrzymany z drzewa T, jego koszt wynosi co najwyżej 2c(T). W cyklu tym korzystamy ze wszystkich możliwych skrótów. Długość E jest parzysta, a więc możemy rozbić go na dwa skojarzenia. Niech M oznacza to które waży mniej niż c(t). - p. 15/47

Górne ograniczenie Rozważmy (u, v) M. Bez starty ogólności możemy założyć, że u występuje w sekwencji przez v. Po ujawnieniu v mogliśmy wybrać krawędź (u, v). Taka możliwość mamy dla połowy wierzchołków, to połaczenie tej połowy wierzchołków nie kosztuje więcej niż koszt skojarzenia. Możemy rozważyć pozostałe n 2 wierzchołków i zastosować ten sam argument. Po log n powtórzeniach zostanie nam jeden wierzchołek. - p. 16/47

Algorytmy stochastyczne online W problemie stochastycznym online: algorytm ma dany jako wejście rozkład prawdopodobieństwa, jesteśmy zainteresowani oczekiwanym kosztem algorytmu. Taki model został dobrze przebadany w przypadki problemów takich jak stronicowanie, czy problem k-serwerów. Natomiast nie wiadomo wiele o problemach optymalizacji kombinatorycznej, np. drzewie Steinera. - p. 17/47

Algorytmy stochastyczne online W przypadki stochastyczmym adwersarz może wybrać rozkład prawdopodobieństwa π : Ω [0, 1] nad przestrzenia żadań oraz długość sekwencji żadań k. Sekwencja ω będzie wygenerowana przez k krotne niezależne losowanie z π. Będziemy rozważać przypadki kiedy algorytm może znać k badź π. - p. 18/47

Stochastatyczna kompetytywność W przypadku stochastycznym możemy rozważać dwie miary zachowania algorytmów. ratio-of-expectations (RoE): RoE(ALG) = max π expectation-of-ratios (EoR): RoE(ALG) = max π max k max k E ω π k,r[alg(ω, r)] E ω π k[opt(ω)] E ω π k,r [ ALG(ω, r) OPT(ω). ]. - p. 19/47

Stochatyczna kompetytywność Współczynniki te sa nieporównywalne ale EoR wydaje się być trudniejszy. Rozważmy L + 1 scenariuszy. RoE = L 1 + 1 2L2 L 1 + L = 1 + 2L L, 2 EoR = 1 L + 1 (L = 2L L + 1 2. 11 + L2 L ) Rozważmy 2L scenariuszy. RoE = L L + L 2L L L + L = 2L2 L 2 + L 2, EoR = 1 2L = L + 2L2 2L ( L L L + L 2L 1 L. ) - p. 20/47

Stochastyczne d. S. online W stochastycznym problemie drzewa Steinera online mamy dany: graf G = (V, E) o zadanym korzeniu r, oraz koszty krawędzi c : E 0 ; przeciwnik wybiera rozkład prawdopodobieństwa π na Voraz k; sekwencja to k wierzchołków wylosowanych niezależnie z π; w momencie czasu t utrzymujemy spójny podgraf S t G zawierajacy r oraz {v 1,..., v t }; decyzje algorytmu sa nieodwracalne S t S t+1. - p. 21/47

Drzewo Steinera Twierdzenie 5 (Drzewo Steiner RoE) Istnieje stochastyczny algorytm online dla problemu drzewa Steinera taki, że RoE(A) = O(1), gdy jako wejście dane jest π. Wynik ten można uogólnić także do innych problemów Twierdzenie 6 Istnieją stochastyczne algorytmy online dla problemów lasu Steinera, lokalizacji fabryk oraz pokrycia wierzchołkowego takie, że RoE = O(1), gdy jako wejście dane jest π. - p. 22/47

Dolne ograniczenia Można pokazać, że wiedza o rozkładzie, oraz niezależność sa konieczne tzn.: jeżeli wejście jest otrzymane poprzez niezależne losowania z nieznanego rozkładu, badź losowania nie sa niezależne, ale zadane sa przez łańcuch Markova, to istnieje dolne ograniczenie Ω( log n log log n ) w przypadku drzewa Steinera. - p. 23/47

Drzewo Steinera cd. W przypadku gdy algorytm zna k oraz π, to: Twierdzenie 7 Istnieje stochastyczny algorytm online dla drzewa Steinera taki, że EoR = O(log log n). Otwarty problem: uogólnić ten wynik na przypadek dowolnego k. - p. 24/47

Algorytm zachłanny W przypadku klasycznym najlepsze rozwiazanie to algorytm zachłanny, w którym: każde żadanie łaczymy najkrótsza ścieżka. Algorytm ten jest Θ(log n) kompetytywny. Pokażemy teraz, że pozostaje on Ω(log n) kompetytywny także w przypadku stochastycznym. - p. 25/47

Algorytm zachłanny Rozważmy ścieżkę długości n złożona z krawędzi o koszcie 1, o wierzchołkach ponumerowanych 0, 1,..., n, wierzchołek 0 jest korzeniem oraz dla pozostałych wierzchołków π(i) = 1/n. Dla każdej pary niesasiednich wierzchołków {i, j} dodajmy krawędź o wadze l ij = i j (i j) 2 /n 3. Taka waga krawędzi gwarantuje, że najkrótsza ścieżka to zawsze krawędź skrót. - p. 26/47

Algorytm zachłanny - p. 27/47

Algorytm zachłanny Wybierajac wierzchołki z π wiemy, że: oczekiwana odległość t tego wierzchołka do innego najbliższego wynosi około n/2t. algorytm zachłanny zawsze wykupuje krawędź skrót. Otrzymujemy więc oczekiwany koszt Θ(n log k) dla k wierzchołków. Nawet zupełnie naiwna strategia wykupienia całej ścieżki po otrzymaniu pierwszego wierzchołka spisuje się lepiej tzn., płaci ona n, co daje RoE = n/(n/2) = 2. - p. 28/47

Algorytm naiwny - p. 29/47

Jak to zrobić lepiej Jeżeli k jest znane to dobrym rozwiazaniem jest wygenerowanie losowo k wierzchołków z rozkładu i zbudowanie na nich dobrego rozwiazania. Dla przypadku ścieżki, każdy wierzchołek z sekwencji wejściowej ma wierzchołek w oczekiwanej odległości n/2k, co daje dodatkowy oczekiwany koszt n/2 za podłaczenie k wierzchołków. Najpierw pokażemy algorytm dla zadanego k, a potem przejdziemy do przypadku gdy k jest nieznane. - p. 30/47

EoR dla znanego k Załóżmy, że długość sekwencji żadań k jest znana. Rozważmy następujacy algorytm: A1. Wybierz zbiór D losujac niezależnie k razy z rozkładu π. A2. Skonstruuj 2-aproksymacyjne drzewo Steinera T M na zbiorze D {r}. A3. Na ujawnionej sekwencji uruchom algorytm zachłanny mianowicie, podłacz każdy wierzchołek do najbliższego w aktualnym rozwiazaniu. - p. 31/47

EoR dla znanego k - p. 32/47

EoR dla znanego k Twierdzenie 8 (EoR dla znanego k) Współczynnik aproksymacji RoE dla powyższego algorytmu wynosi 4. Oczekiwany koszt optymalnego drzewa Steinera dla D wynosi E[OPT(ω)], a zatem oczekiwany koszt drzewa T M wynosi 2E[OPT(ω)]. Pokażemy, że oczekiwany koszt poł aczeń wykupionych przez algorytm zachłanny wynosi 2E[OPT(ω)]. - p. 33/47

Koszt połaczeń - p. 34/47

EoR dla znanego k Rozważmy teraz połaczenia dodane przez algorytm zachłanny: dla i tego wierzchołka v koszt połaczenia jest ograniczony przez d(v, D {r}), odległość v do najbliższego wierzchołka z D {r}. ponieważ każdy wierzchołek jest losowany z π, to z liniowości wartości oczekiwanej, oczekiwany koszt rozwiazania wynosi k E v π,d π k[d(v, D {r})]. Ten koszt nie wzrasta jeżeli weźmiemy mniejszy zbiór D π k 1 zawierajacy tylko k 1 wierzchołków. - p. 35/47

EoR dla znanego k Wyobraźmy sobie, że wybieramy D oraz v poprzez wybranie k elementowego D, a następnie randomly choosing one of them to be the vertex v; Ostatecznie wyrażenie E v π,d π k 1 [d(v, D {r})] jest ograniczone przez E D π k [ 1 k MST(D {r})]. koszt każdego połaczenia jest nie większy niż koszt płacony MST. Tak więc koszt połaczeń wynosi E D π k[mst(d {r})]. MST jest 2-aproksymacyjne, a więc otrzymujemy 4-aproksymacyjny algorytm. - p. 36/47

EoR dla nieznanego k Teraz pokażemy jak pozbyć się założenia, że znamy długość sekwencji. Zastosujemy metodę skalowania dla oczekiwanego kosztu rozwiażania. W każdej skali będziemy budować rozwiazanie wstępne o koszcie dwa razy większym niż wcześniej. Każda skala trwa aż otrzymamy tyle żadań ile jest w rozwiazaniu wstępnym. - p. 37/47

EoR dla nieznanego k Zdefiniujmy: Z l = E ω π l[opt(ω)] jako oczekiwany koszt optymalnego drzewa Steinera dla sekwencji żadań ω długości l wylosowanej z π. Skale t i wybrane sa jako najmniejsze takie, że Z ti 2 i. Jeżeli otrzymamy więcej żadań niż t i to budujemy 2-przybliżone rozwiazanie wstępne na t i+1 losowo wygenerowanych wierzchołkach k t i+1. - p. 38/47

EoR dla nieznanego k W każdej skali koszt rozwiazania wstępnego jest 4 razy większy niż koszt rozwiazania optymalnego, bo: oczekiwany koszt dla t i+1 wierzchołków jest co najwyżej dwa razy większy niż koszt na k wierzchołkach. Koszt połaczeń także możemy oszacować jako 4 razy większy niż koszt rozwiazania optymalnego. - p. 39/47

EoR dla nieznanego k Koszty dla skal tworza szereg geometryczny. Tak więc koszt wszystkich skal jest nie większy niż 8 + 8 = 16 razy oczekiwany koszt rozwiazania dla k wierzchołków. Twierdzenie 9 (EoR dla znanego k) Istnieje wielomianowy algorytm dla stochastycznego problemu drzewa Steinera online taki, że EoR = O(1). Zamiast używać dokładnych wartości Z l wystarcz a nam aproksymacje. - p. 40/47

Expectation of Ratios Współczynnik aproksymacji, który jest często bardziej wymagajacy to expectation of ratios (EoR): EoR(ALG) = max π max k E ω π k [ Er [A(ω, r)] OPT(ω) ]. Założymy znowu, że długość sekwencji wejściowej jest z góry znana. - p. 41/47

Expectation of Ratios Będziemy wykonywać dwa algorytmy online równolegle. Po realizacji żadania przez oba algorytmy, wybieramy ten który dotychczas zapłacił mniej i wykupujemy jego rozwiazanie. W ten sposób nigdy nie zapłacimy więcej niż dwa razy koszt tańszego z tych dwóch algorytmów. - p. 42/47

Expectation of Ratios Równolegle z algorytmem zachłannym uruchamiamy następujacy algorytm: 1. Wylosuj L różnych k elementowych zbiorów D 1,..., D L z rozkładu π. 2. Dla każdego i, policz MST T i dla zbioru D i {r}, ale nie wykupuj krawędzi. 3. Wybierz takie i, że koszt T i jest najmniejszy, i wykup te krawędzie tzn. T M = T i. 4. Wierzchołki z sekwencji żadań podłaczaj zachłannie do najbliższego wierzchołka. - p. 43/47

Expectation of Ratios Następujacy lemat wynika natychmiast z symetrii problemu. Lemat 10 Z prawdopodobieństwem co najmniej 1 1 L+1, koszt najtańszego drzewa T i wynosi co najwyżej 4OPT(R). Rozważmy optymalne rozwiazanie T oraz cykl Eulera E skonstruowany z niego. Podzielmy wierzchołki na E na sekwencje po 3 log Ln wierzchołków. - p. 44/47

Expectation of Ratios Dla każdego wierzchołka z prawdopodobieństwem 1 n 3 z 3 log nl najbliższych jest jeden z D i. Podłaczenie pierwszego wierzchołka z sekwencji nie kosztuje więc więcej niż koszt sekwencji w E. Następnie sekwencja łaczona jest algorytmem zachłannym o koszcie log(3 log nl). Lemat 11 Koszt zachłannych podłączeń żądań wynosi O(OPT(R) log log(nl)) z prawdopodobieństwem co najmniej 1 1 n 2. - p. 45/47

Expectation of Ratios Twierdzenie 12 Dla L = O(log n), współczynnik EoR dla tego algorytmu wynosi O(log log(n)). Jeżeli jeden z lematów zawiedzie: co dieje się z prawdopodobieństwem 1 L+1 + L 2 n 2 log n. W takim wypadku płacimy koszt zachłanny O(log n), co daje stały wkład do EoR. Jeżeli obydwa lematy s a spełnione to płacimy O(OPT(R) log log n). - p. 46/47

Podsumowanie W przypadku stochastycznym możemy pokonać klasyczne ograniczenia na współczynnik kompetytywny Ω(log n) dla drzewa Steinera. Techniki te moga być zastosowane także w przypadku problemów addytywnych. Pozostały jednak pewne problemy otwarte: przypadek nieznanego k dla miary EoR, Jakie innych problemy możemy rozwiazać w takim modelu? - p. 47/47