STATYSTYKA MATEMATYCZNA I PODSTAWY EKSPERYMENTU semestr letni 2015/16 ZADANIA PRZYK LADOWE.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA I PODSTAWY EKSPERYMENTU semestr letni 2015/16 ZADANIA PRZYK LADOWE. 1. Wytrzyma lośċ pewnego materia lu budowlanego ma rozk lad normalny. W celu oszacowania nieznanej wytrzyma lości tego materia lu dokonano pomiarów wytrzyma lości piȩciu niezależnie wylosowanych sztuk tego materia lu. Wyniki pomiarów: 20.4, 19.6, 22.1, 20.8, 21.1. Na poziomie ufności 1 α = 0.98 znaleźċ: a) obustronny przedzia l ufności dla średniej wytrzyma lości materia lu; b) jednostronny ograniczony przedzia l ufności dla średniej wytrzyma lości. 2. Znaleźċ przedzia l ufności dla wariancji pomiaru pewnym przyrz adem jeśli otrzymano nastȩpuj ace wyniki pomiarów: 9.01, 9.00, 9.02, 8.99, 8.98, 9.00, 9.00, 9.01, 8.99, 9.00. Przyj ać poziom ufności 1 α = 0.9. Zak ladamy, że wyniki pomiarów maj a rozk lad normalny. 3. W celu zbadania trwa lości pewnego narzȩdzia wylosowano z bież acej produkcji 100 sztuk tych narzȩdzi. Otrzymano nastȩpuj ace wyniki badania trwa lości: trwa lośc 0 2 (godz.) : 10 narzȩdzi; trwa lośc 2 4 : 20 narzȩdzi; trwa lośc 4 6 : 40 narzȩdzi; trwa lośc 6 8 : 20 narzȩdzi; trwa lośc 8 10 : 10 narzȩdzi. Przy wspó lczynniku ufności 1 α = 0.9 znaleźc przedzia l ufności dla średniej trwa lości urz adzenia. 4. Wykonujemy pomiary grubości p lytki metalowej. Jak duż a liczbȩ pomiarów trzeba przeprowadziċ, aby na poziomie ufności 0.95 maksymalny b l ad oceny nie przekracza l 0.02mm, przy czym zak ladamy, że odchylenie standardowe b lȩdów pomiarów σ = 0.1mm. 5. Ośrodek badania opinii publicznej zapyta l 200 losowo wybranych osób czy kupuj a wyroby drobiarskie firmy LIS i KOSTKA. 88 osób odpowiedzia lo twierdz aco. a) Na poziomie ufności 1 α = 0.95 znależċ przedzia l ufności dla nieznanego odsetka osób, które kupuj a wyroby tej firmy. b) Jak liczna powinna być badana próba losowa, aby przy wspó lczynniku ufności 1 α = 0.95 maksymalny b l ad oceny wynosi l 1%? 6. Na pewnym roku studiów przed egzaminem z pewnego przedmiotu wybrano losowo 9 studentów i poddano ich egzaminowi. Otrzymano średni a ocen x = 4.6 Wyniki egzaminu maj a rozk lad N(m, 0.5). Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikowaċ hipotezȩ mówi ac a, że średnia ocen z tego egzaminu bȩdzie wyższa niż 4.5. 7. Do kurnika wpada lis i dokonuje pewnym przyrz adem pomiarów losowo wybranej kury. B l ad pomiaru ma rozk lad normalny. Przeprowadzi l 10 pomiarów i otrzyma l s 2 = 0.029. Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikowaċ hipotezȩ, że σ 2 = 0.0125 wobec hipotezy alternatywnej σ 2 > 0.0125. 8. Producent pewnego proszku A wysun a l hipotezȩ, że używanie proszku A daje lepsze efekty niż używanie zwyk lego proszku B. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikowaċ wysuniȩt a hipotezȩ jeśli wiadomo, że ocena wyników prania każdym z proszków ma rozk lad normalny. Przetestowano proszek A 10 razy i otrzymano średni a ocen x 1 = 74.0 oraz s 2 1 = 2.08. Przetestowano proszek B 7 razy i otrzymano średni a ocen x 2 = 57.3 oraz s 2 1 = 1.65. Przyjmujemy, że σ 1 = σ 2. 9. Przeprowadzono obserwacje dotycz ace wypadków drogowych na określonym terenie spowodowanych w ci agu roku przez kierowców bȩd acych w stanie nieważkości po zażyciu alkoholu. Otrzymano rozk lad liczby wypadków w poszczególne dni tygodnia: poniedzia lek - 19, wtorek - 15, środa -16, czwartek - 14, pi atek - 13, sobota - 18, niedziela - 17. Przyjmuj aċ poziom istotności α = 0.05 zweryfikowaċ hipotezȩ, że prawdopodobieństwo zdarzenia siȩ na tym terenie wypadku spowodowanego przez kierowcȩ w stanie nieważkości po użyciu alkoholu jest jednakowe dla wszystkich dni tygodnia. 10. W ci agu 100 dni liczono liczbȩ rycerzy przybywaj acych każdego dnia prosiċ o rȩkȩ pewn a ksiȩżniczkȩ i otrzymano nastȩpuj ace wyniki: 0 rycerzy - 13 dni, 1 rycerz - 27 dni, 2 rycerzy - 29 dni, 3 rycerzy - 16 dni, 4 rycerzy - 8 dni, 5 rycerzy - 7 dni. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikowaċ hipotezȩ, że liczba przybywaj acych jednego dnia rycerzy ma rozk lad Poissona. 1

STATYSTYKA MATEMATYCZNA I PODSTAWY EKSPERYMENTU semestr letni 2015/16 ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIA ZANIA. CZȨŚĆ 1 STATYSTYKA OPISOWA I PRZEDZIA LY UFNOŚCI. 1. ( 1 pkt) Do kurnika wpada lis, wybiera losowo 120 kur i dokonuje wśród nich przegl adu przydatności do spożycia (wadliwości), w wyniku którego 27 spośród wylosowanych kur okazuje siȩ byċ nieprzydatnymi do spożycia (wadliwymi). Na poziomie ufności 1 α = 0.98 znaleźċ przedzia l ufności dla nieznanej wadliwości ca lej populacji kur w kurniku. 2. ( 1 pkt) Ile należy wylosować krów pewnej rasy do próby aby oszacować średni a wydajność mleka dla krowy tej rasy z b lȩdem maksymalnym 0.02 jeżeli wiadomo, że odchylenie standardowe pomiaru wydajności krowy wynosi 0.2 a poziom ufności wynosi 1 α = 0.96? 3. ( 1 pkt) W losowo wybranej próbie z lożonej z 10 samochodów pewnej marki przeprowadzono ten sam test na zużycie benzyny. Okaza lo siȩ, że w badanej próbie średnie zużycie benzyny wynios lo 6.1 litra na 100 km a odchylenie standardowe 0.1 litra. Zak ladaj ac, że badana cecha ma rozk lad normalny wyznaczyć, na poziomie ufności 1 α = 0.96, przedzia l ufności dla wartości oczekiwanej zużycia benzyny na 100 km przez samochód tej marki. 4. ( 2 pkt) Koszt wytworzenia jednej miot ly w pewnym zak ladzie produkuj acym sprzȩt lotniczy ma rozk lad N(m,30). Obliczono koszt wytworzenia n = 225 losowo wybranych miote l i otrzymano przedzia l ufności dla średniego kosztu wytworzenia jednej miot ly o d lugości 8. Jaki poziom wspó lczynnika ufności przyjȩto przy oszacowywaniu? 5. ( 2 pkt) Pracoch lonność 6 losowo wybranych detali (w minutach) kszta ltowa la siȩ nastȩpuj aco: 16.2, 15.9, 16.3, 15.8, 15.7, 16.1. Zak ladaj ac, że b l ad pomiaru pracoch lonności ma rozk lad normalny o nieznanym σ, na poziomie ufności 0.98 znaleźċ przedzia l ufności dla odchylenia standardowego σ pracoch lonności ogó lu produkowanych detali. 6. ( 2 pkt) Wykonano 100 niezależnych pomiarów pewnej odleg lości pewnym przyrz adem i otrzymano nastȩpuj ace wyniki: 0.8 cm w 5 pomiarach 0.9 cm w 20 pomiarach; 1.0 cm w 50 pomiarach; 1.1 cm w 20 pomiarach; 1.2 cm w 5 pomiarach. Znaleźċ przedzia l ufności na poziomie ufności 1 α = 0.96 dla nieznanego odchylenia standardowego pomiaru tym przyrz adem. Wiadomo, że wyniki pomiarów maja rozk lad normalny. 7. ( 2 pkt) Przeprowadzono badania czasu trwania pewnej reakcji chemicznej. W tym celu wykonano 10 niezależnych prób tego eksperymentu i otrzymano nastȩpuj ace wyniki (w sekundach): 24, 19, 20, 22, 17, 23, 21, 22, 18, 20. Wiadomo, że czas trwania reakcji jest zmienna losow a o rozk ladzie normalnym. a) Oszacować przedzia lowo czas trwania reakcji przyjmuj ac poziom ufności 0.98. b) Ustalić jak zmieni siȩ precyzja oszacowania średniego czasu trwania reakcji jeśli wielkość próby zwiȩkszymy czterokrotnie. 8. ( 2 pkt) Badanie dok ladności przyrz adu pomiarowego dostarczy lo nastȩpuj acych informacji: średnia d lugość badanego odcinka w 5 kolejnych pomiarach wynosi la 20.15 mm, a odchylenie standardowe stanowi lo 0.2% średniej d lugości. Przy jakim poziomie wspólczynnika ufności oszacowywano przedzia l ufności dla nieznanej wariancji pomiarów jeśli mia l on postać (0.00061; 0.02734)? 9. ( 3 pkt) Czas produkcji 10 losowo wybranych sztuk towaru kszta ltowa l siȩ nastȩpuj aco (w s.): 22.3; 21.9; 21.8; 22.1; 21.9; 22.3; 21.9; 21.8; 22.1; 21.9. a) Obliczyċ i zinterpretowaċ medianȩ, wspó lczynnik asymetrii i kurtozȩ czasu produkcji. 2

b) Przyjmuj ac wspó lczynnik ufności 1 α = 0.9, znaleźć przedzia l ufności dla wariancji czasu produkcji ogó lu wytwarzanych wyrobów. c) Jak zmieni siȩ d lugość szacowanego przedzia lu, gdy wspó lczynnik ufności zwiȩkszymy do 0.98? 10. ( 3 pkt) W ci agu 100 dni notowano liczbȩ awarii pewnej sieci wodoci agowej. Otrzymano nastȩpuj ace wyniki: 0 awarii - 15 dni, 1 awaria - 20 dni, 2 awarie - 30 dni, 3 awarie - 20 dni, 4 awarie - 15 dni. a) Obiczyċ i zinterpretowaċ kwartyl dolny, medianȩ, wspó lczynnik zmienności i kurtozȩ liczby awarii wystȩpuj acych w ci agu jednego dnia. b) Znaleźċ przedzia l ufności na poziomie ufności 1 α = 0.9 dla nieznanej średniej liczby awarii wystȩpuj acych jednego dnia. Awarie wystȩpuj a niezależnie od siebie. 11. ( 3 pkt) Zbadano koszty jednostkowe produkcji pewnego wyrobu w pewnym okresie czasu na próbie losowej 200 zak ladów produkuj acych ten wyrób. Otrzymano nastȩpujace wyniki (w PLN): 2.50 3.50 w 5 zak ladach, 3.50 4.50 w 10 zak ladach, 4.50 5.50 w 35 zak ladach, 5.50 6.50 w 80 zak ladach, 6.50 7.50 w 50 zak ladach, 7.50 8.50 w 10 zak ladach, 8.50 9.50 w 10 zak ladach. a) Obliczyċ (rachunkowo i graficznie) i zinterpretowaċ medianȩ i dominantȩ kosztu produkcji. b) Znaleźć przedzia l ufności na poziomie ufności 1 α = 0.98 dla wartości oczekiwanej kosztu. c) Znaleźć przedzia l ufności na poziomie ufności 1 α = 0.98 dla odchylenia standardowego pomiaru. CZȨŚĆ 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ. PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI. 12. ( 1 pkt) S a dwa baseny do konserwacji jaj. Z każdego basenu wylosowano próbȩ z lożon a ze 100 jaj. W próbie z pierwszego basenu by lo 90 jaj dobrych a w próbie z drugiego 95 jaj dobrych. Na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezȩ mówi ac a, że procent jaj dobrych jest w basenie pierwszym mniejszy niż w drugim. 13. (1 pkt) Zbadano n 1 = 150 studentów uczelni A i n 2 = 100 studentów uczelni B. Otrzymano nastȩpuj ace średnie liczby wypijanych dziennie butelek piwa bezalkoholowego: dla studenta uczelni A: x 1 = 2.2 a dla studenta uczelni B x 2 = 2.6. Odchylenie standardowe pomiaru dla obu uczelni jest jednakowe i wynosi σ = 1 Na poziomie istotności α = 0, 01 zweryfikować hipotezȩ, że student uczelni B wypija średnio wiȩcej piwa niż student uczelni A. 14. ( 1 pkt) W dwóch przedsiȩbiorstwach wylosowano po 60 pracowników w celu zbadania ich czasu dojazdu do pracy. Pierwsze przedsiȩbiorstwo by lo po lożone poza miastem, drugie - w centrum miasta. Średni czas dojazdu do pracy w pierwszym zak ladzie wynosi l 55 min, w drugim 42 min. Przyjmuj ac poziom istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezȩ, że średnie czasy dojazdu do pracy w obu zak ladach s a jednakowe. Wariancje pomiaru czasu dojazdu s a jednakowe dla obu przedsiȩbiorstw i wynosz a 5 min 2. 15. ( 1 pkt) W partii towaru, która przypuszczalnie zawiera 10 % wyrobów wadliwych, znaleziono 71 wyrobów wadliwych w próbce z lożonej z 500 wyrobów. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0.1 hipotezȩ mówi ac a, że w partii jest 10% wyrobów wadliwych przeciw hipotezie mówi acej, że w partii tej procent wyrobów wadliwych jest różny od 10. 16. ( 2 pkt) Spośród 100 losowo wybranych świstaków pracuj acych przy zawijaniu w sreberka 50 oświadczy lo, że oczekuje poprawy warunków pracy a spośród 200 losowo wybranych świstaków pracuj acych przy masowaniu krów 120 oświadczy lo, że oczekuje poprawy warunków pracy. Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezȩ, że świstaki pracuj ace przy masowaniu krów czȩściej niż świstaki zawijaj ace w sreberka oczekuj a poprawy warunków pracy. Na jakim poziomie istotności nast api zmiana decyzji weryfikacyjnej? 17. ( 2 pkt) Producent żarówek twierdzi, że średni czas świecenia żarówki wynosi m 0 = 300(dni). W celu zweryfikowania tej hipotezy poddano kontroli n = 37 losowo wybranych żarówek i obliczono średni czas 3

ich świecenia x = 317 a odchylenie standardowe s = 10.2. Wiadomo, że czas świecenia żarówki ma rozk lad normalny. Zweryfikowaċ informacjȩ producenta na poziomie istotności: a) α = 0.01, b) α = 0.1. 18. (2 pkt) Zbadano wydajność pracy (w szt/h) grupy pracowników przed i po wypiciu butelki piwa bezalkoholowego. Otrzymano nastȩpuj ace wyniki przed:6, 10, 11, 15, 12, 6 oraz po : 10, 8, 16, 4, 5, 7. Na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezȩ, że wypicie butelki piwa nie wp lywa na wydajność przeciw hipotezie alternatywnej mówi acej, że obniża wydajność. 19. ( 2 pkt) Badaj ac odruchy warunkowe u psa otrzymano nastȩpuj ace ilości śliny wydzielaj acej siȩ przy pierwszym bodźcu (w cm 3 ): 0.54, 0.76, 0.16, 0.40, 0.27, 0.65, 0.65; natomiast przy drugim bodźcu otrzymano: 0.20, 0.40, 0.28, 0.09, 0.38, 0.50, 0.15, 0.32. Na poziomie istotności α = 0.02 zweryfikować hipotezȩ, że przy drugim bodźcu przeciȩtna ilość wydzielaj acej siȩ śliny psa jest mniejsza. 20. ( 2 pkt) Norma techniczna przewiduje średnio 150 sek. na wykonanie pewnej operacji technicznej. Ponieważ robotnicy skarżyl siȩ, że norma ta jest z la, dokonano pomiarów dla n = 100 wylosowanych pracowników i otrzymano średni czas wykonania tej operacji x = 141 sek. oraz wariancjȩ s 2 = 16 sek. Czy na poziomie istotności α = 0.1 można twierdzić, że: a) rzeczywisty średni czas wykonania tej operacji jest zgodny z norm a, b) rzeczywisty średni czas wykonania tej operacji jest wiȩkszy niż 150 sek, c) rzeczywisty średni czas wykonania tej operacji jest krótszy niż 150 sek. 21. ( 2 pkt) Dane o miesiȩcznych obrotach kiosków z gazetami w dwóch dzielnicach Warszawy w wylosowanej próbie kiosków z obu tych dzielnic wygl adaj a nastȩpuj aco (w tys. PLN): Mokotów: 5.36, 9.30, 10.75, 9.52, 11.72, 13.66, 12.51, 12.14, 11.51, 11.59, 15.48, 16.51, 13.92, 21.61, 21.9, 22.21, 23.51, 23.00, 21.35, 24.18, 27.10, 22.30, 25.24. Praga: 4.40, 5.31, 7.91, 7.00, 8.42, 5.08, 9.52, 10.36, 9.01, 10.90, 11.21, 12.26, 14.00, 16.49, 14.38, 13.45, 17.66, 14.85, 17.25, 16.40, 14.05, 18.20, 17.73. Na poziomie istotności α = 0.02 zweryfikować hipotezȩ mówi ac a, że średnie miesiȩczne obroty kiosku nie różni a siȩ w obu dzielnicach przeciw hipotezie alternatywnej mówi acej, że różni a siȩ. 22. (2 pkt) W celu sprawdzenia dok ladności wskazań pewnego przyrz adu pomiarowego dokonano 6 pomiarów tej samej wielkości i otrzymano wyniki ( w cm ): 1.017, 1.021, 1.015, 1.019, 1.022, 1.019. Zak ladamy, że wynki pomiarów maj a rozk lad normalny. Na poziomie istotności α = 0.05 sprawdzić czy urz adzenie spe lnia normȩ UE mówi ac a, że wariancja pomiarów tym urz adzeniem musi być mniejsza niż 0.001. 23. ( 2 pkt) Obliczono liczbȩ osób, które nie zda ly egzaminu ze statystyki na pewnym wydziale Politechniki Warszawskiej. Na studiach wieczorowych spośród 174 losowo wybranych osób egzaminu nie zda lo 61 osób a na studiach zaocznych spośród 126 wylosowanych osób egzaminu nie zda lo 50 osób. Zak ladamy, że poziom trudności egzaminu na obu rodzajach studiów by l taki sam. a) Na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezȩ mówi ac a, że nie ma różnicy miȩdzy przygotowaniem do egzaminu studentów obu rodzajów studiów przeciw hipotezie alternatymnej mówi acej, że różnica by la. b) Czy na poziomie ufności α = 0.1 można twierdzić, że studenci studiów wieczorowych s a lepiej przygotowani do tego egzaminu. 24. ( 3 pkt) Zbadano dochody (w z lotych polskich) studentów pewnej uczelni. W grupie 120 wylosowanych studentów wyniki by ly nastȩpuj ace: 250 350-8 studentów, 350 450-12 studentów, 450 550-21 studentów, 550 650-30 studentów, 650 750-19 studentów, 750 850-15 studentów, 850 950-8 studentów, 950 1050-7 studentów. Na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezȩ, że średni dochód studenta tej uczelni wynosi 600 z loty przeciw hipotezie mówi acej, że jest różny od 600. Przy jakim poziomie istotności decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie. 4

CZȨŚĆ 3 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH. TESTY ZGODNOŚCI. 25. ( 1 pkt) W pewnej miejscowości w czerwcu by ly 2 dni, w których nie by lo ani jednego wypadku samochodowego, 11 dni, w których by l 1 wypadek, 5 dni, w których by ly 2 wypadki, 6 dni w których by ly 3 wypadki, 2 dni, w których by ly 4 wypadki oraz 4 dni, w których by lo 5 wypadków. Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikuj hipotezȩ, że liczba wypadków (w jednym dniu) ma rozk lad Poissona. 26. ( 1 pkt) W pewnej fabryce zaobserwowano nastȩpuj acy rozk lad jednodniowych absencji w tygodniu, zbadany w wylosowanej próbie 400 pracowników nieobecnych w pracy przez 1 dzień: poniedzia lek-19, wtorek-18, środa-16, czwartek-17, pi atek-20. Na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezȩ, że jednodniowa absencja w tej fabryce jest jednakowa w każdym dniu tygodnia. 27. ( 2 pkt) Liczba chorych dzieci przyjȩtych przez lekarzy pediatrów w jednej z przychodni warszawskich w kolejnych dniach tygodnia wynosi la: poniedzia lek - 200, wtorek - 195, środa - 180, czwartek - 185, pi atek - 190. Do jakiego przedzia lu powinny należeć wartości statystyki chi-kwadrat aby przy poziomie istotności α = 0.05 nie by lo podstaw do odrzucenia hipotezy mówi acej, że liczba przyjȩtych dzieci jest w każdym dniu tygodnia jednakowa. 28. (2 pkt) W celu sprawdzenia czy pewna kostka jest symetryczna rzucono j a 100 razy i otrzymano nastȩpuj ace wyniki: 1 oczko w 10 rzutach, 2 oczka w 8 rzutach, 3 oczka w 15 rzutach, 4 oczka w 24 rzutach, 5 oczek w 18 rzutach, 6 oczek w 25 rzutach. Na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezȩ, że kostka jest symetryczna. 29. ( 3 pkt) Przez 300 dni obserwowano pracȩ pewnej maszyny, rejestruj ac liczbȩ awarii w ci agu jednego dnia. Otrzymano nastȩpuj ace wyniki: 0 awarii - 140 dni, 1 awaria - 110 dni, 2 awarie - 30 dni, 3 awarie - 10 dni, 4 awarie - 10 dni. Używaj ac testu zgodności χ 2, na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezȩ mówi ac a, że liczba uszkodzeń jednego dnia ma rozk lad Poissona. Dla jakich wartości α można tak twierdzic? 30. ( 3 pkt) Ankieta zawiera cztery pytania, na które przewidziano dwie odpowiedzi: tak albo nie. Dla 320 losowo wybranych ankietowanych osób liczba pozytywnych odpwiedzi mia la nastȩpuj acy rozk lad: 0 pozytywnych odpowiedzi w przypadku 20 osób, 1 pozytywna odpowiedzi w przypadku 40 osób, 2 pozytywne odpowiedzi w przypadku 137 osób, 3 pozytywne odpowiedzi w przypadku 83 osób, 4 pozytywne odpowiedzi w przypadku 40 osób. Na poziomie istotności α = 0.2 zweryfikować hipotezȩ, że liczba pozytywnych odpowiedzi udzielonych przez ankietowan a osobȩ ma rozk lad dwumianowy (Bernoulliego) z parametrem p = 0.6. 31. ( 3 pkt) W pewnym mieście wylosowano niezależnie 500 rodzin i zbadano miesiȩczne zuzycie energii elektrycznej (w kwh) w każdej z nich. Otrzymano nastȩpuj acy rozk lad: 85 95 dla 70 rodzin, 95 105 dla 100 rodzin, 105 115 dla 140 rodzin, 115 125 dla 110 rodzin, 125 135 dla 80 rodzin. Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezȩ, że rozk lad zużycia energii elektrycznej przez rodziny jest rozk ladem normalnym. ZASADY ZALICZENIA: Z każdej spośród 3 czȩsci należy wybrać co najmniej 3 zadania do samodzielnego rozwi azania. Suma punktów za prawid lowo rozwi azane zadania powinna wynosić co najmniej 21. Podstaw a do zaliczenia przedmiotu jest prawid lowe rozwi azanie odpowiedniej liczby wybranych zadań na piśmie oraz wykazanie siȩ podczas rozmowy umiejȩtności a objaśnienia sposobu rozwi azania tych zadań i umiejȩtności a rozwi azywania zadań analogicznych. 5