BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH

BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH Adam Doliwa doliwa@matman.uwm.edu.pl Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk (Warszawa) Uniwersytet Warmińsko-Mazurski (Olsztyn) SPOTKANIA Z MATEMATYK A Olsztyn, 5 kwietnia 2011 r. Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 1 / 21

Plan 1 Wielokaty foremne i pokrycia płaszczyzny 2 Wielościany regularne 3 Figury foremne w wyższych wymiarach Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 2 / 21

Wielokaty foremne płaskie α 5 π α 5 Trójkat (równoboczny) Kwadrat Pieciokat,,, Szesciokat, Siedmiokat, p-katy foremne: p(= 3, 4, ( 5,...)) równych boków i katów kat wewnętrzny α p = π 1 2 p wyznacza się z równości p(π α p ) = 2π α 3 = π 3 (= 60 ), α 4 = π 2 (= 90 ),... Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 3 / 21

Symetrie trójkata równobocznego C I I R1 R2 OA OB OC I R 1 R 2 O A O B O C najpierw R1 R 1 R 2 I OC O A O B R2 R 2 I R 1??? S OA OB OA O B O B O C I R 1 R 2??? I? A B O C O C???? I R k obrót o kπ 3 wokół środka trójkata S, k = 1, 2 O X odbicie w prostej SX, X = A, B, C I identyczność Zadanie 1: Podać generatory zbioru symetrii trójkata równobocznego Zadanie 2: Podać symetrie p-kata foremnego i ich tabelkę składania Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 4 / 21

Pokrycia płaszczyzny jednakowymi wielokatami foremnymi trójkatny kwadratowy sześciokatny (plaster miodu) Innych foremnych parkietaży płaszczyzny nie ma Pitagoras z Samos (ok. 569 - ok. 475 p.n.e.) W jednym wierzchołku styka się q p-katów formnych: qα p = 2π (q 2)(p 2) = 4 Jedynymi rozwiazaniami (p, q) w zbiorze par liczb naturalnych sa (3, 6) (4, 4) (6, 3) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 5 / 21

Wielościany foremne (bryły platońskie) czworościan (T) sześcian (H) ośmiościan (O) (ogień) (ziemia) (powietrze) dwunastościan (D) dwudziestościan (I) (woda) (kwintesencja, idea wszechświata) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 6 / 21

Istnieje tylko pięć (wypukłych) wielościanów foremnych Teajtet (Theaetetos) z Aten (ok. 417 - ok. 369 p.n.e) Oprócz figur badał także liczby niewymierne (wprowadził ułamki łańcuchowe). Jest główna postacia w dwóch dialogach swego przyjaciela Platona (427-347 p.n.e.): Teajtecie i Sofiście Niech w jednym wierzchołku styka się q > 2 p-katów formnych α 3 α 4 α5 Konstrukcja wielościanu wypukłego jest możliwa tylko wtedy gdy qα p < 2π, czyli (q 2)(p 2) < 4 Jedynymi rozwiazaniami (p, q) w zbiorze par liczb naturalnych sa (3, 3) (4, 3) (3, 4) (5, 3) (3, 5) Wszystkie sa realizowane Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 7 / 21

Zadanie 3: Wykazać, że kat β (p,q) pomiędzy dwiema sasiednimi ścianami wielościanu foremnego (p, q) wynosi π 2ψ (p,q), gdzie cos ψ (p,q) = cos π q sin π p π 3 < β (3,3) < 2π 5, β (4,3) = π 2 < β (3,4), β (5,3) < 2π 3 < β (3,5) Zadanie 4: Pokazać, że odcinajac z wielościanu foremnego wierzchołki płaszczyznami przechodzacymi przez środki stykajacych się w nich boków otrzymujemy znowu wielościan foremny (nazywany dwualnym do wyjściowego) Zadanie 5: Wyznaczyć symetrie wielościanów foremnych Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 8 / 21

Układ współrzędnych i realizacje brył platońskich (1) (0,0,1) P(x 1,x 2,x 3) (0,1,0) (1,0,0) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 9 / 21

Układ współrzędnych i realizacje brył platońskich (1) (0,0,1) P(x,x,x ) 1 2 3 (0,1,0) (1,0,0) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 9 / 21

Układ współrzędnych i realizacje brył platońskich (1) (0,0,1) P(x 1,x 2,x 3) (0,1,0) ( 1,0,0) (0, 1,0) (1,0,0) (0,0, 1) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 9 / 21

Złoty podział - problem i konstrukcja Złoty podział Podzielić odcinek na dwie części a, b tak, żeby stosunek a+b a całości do większej części był równy stosunkowi a b większej części do mniejszej Oznaczmy τ = a+b a, wtedy a b = 1 τ 1. Przyrównanie obu ilorazów prowadzi do równania τ 2 τ 1 = 0 którego dodatnim rozwiazaniem jest τ = 1 + 5 = 1, 61803... 2 Konstrukcja (z twierdzenia Pitagorasa) 1/2 Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 10 / 21

Złoty podział i pięciokat foremny D L E L τ C F L A L( τ 1) L B Z podobieństwa trójkatów i równości przeciwległych boków równoległoboku CE AB = EF 1, oraz ED = CF, czyli τ = FB τ 1 Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 11 / 21

Złoty podział jako ułamek łańcuchowy Liczba spełnia równanie 1 + 1 + 1 1 1 + 1 1 + τ = 1 + 1 τ Zadanie 6: Sprawdzić, że 2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 12 / 21

Złoty podział i dwudziestościan (z ośmiościanu) Przeciwległe krawędzie dwudziestościanu wyznaczaja prostokat o ilorazie boków równym τ Wierzchołki dwudziestościanu otrzymujemy dzielac krawędzie ośmiościanu w złotym podziale Zadanie 7: Sprawdzić, że odcinki łacz ace każdy punkt o współrzędnych (0, ±τ, ±1), (±1, 0, ±τ), (±τ, ±1, 0) z (pięcioma) najbliższymi sasiadami maja jednakowa długość Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 13 / 21

Dwa, trzy, cztery,... wymiary Wygodnie jest rozpatrywać wierzchołki trójkata równobocznego jako punkty płaszczyzny x 1 + x 2 + x 3 = 1 zawartej w przestrzeni trójwymiarowej (0,0,1) P(x 1,x 2,x 3) (0,0,1,0) P(x 1,x 2,x 3,x 4 ) (0,0,0,1) (1,0,0) (0,1,0) trójkat równoboczny, (1,0,0,0) (0,1,0,0) czworoscian foremny Wygodnie jest rozpatrywać wierzchołki czworościanu foremnego jako punkty hiperpłaszczyzny x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 zawartej w przestrzeni czterowymiarowej co dalej? Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 14 / 21

5-komórka (4-sympleks) (3, 3, 3) 3 czworościany w 5-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (rozpatrywanych jako punkty hiperpłaszczyzny x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0),..., (0, 0, 0, 0, 1) jedna 1, reszta 0 5 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-sympleks, N + 1 wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 15 / 21

8-komórka (4-kostka, hipersześcian) (4, 3, 3) 3 sześciany w 8-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0),... (1, 1, 1, 1) tylko 0 lub 1 2 4 = 16 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-kostka, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 16 / 21

16-komórka (4-blok krzyżowy) (0,0,0,1) (0,0,1,0) ( 1,0,0,0) P(x 1,x 2,x 3,x 4 ) (0, 1,0,0) (0,1,0,0) (1,0,0,0) (0,0,0, 1) 16 komórka (0,0, 1,0) (3, 3, 4) 4 czworościany w 16-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) na jednym miejscu ±1, reszta 0 2 4 = 8 możliwości każdy punkt jest połaczony krawędzia z 6 innymi (8 6)/2 = 24 krawędzie N-wymiarowe uogólnienie: N-blok krzyżowy, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 17 / 21

16-komórka (4-blok krzyżowy) (3, 3, 4) 4 czworościany w 16-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) na jednym miejscu ±1, reszta 0 2 4 = 8 możliwości każdy punkt jest połaczony krawędzia z 6 innymi (8 6)/2 = 24 krawędzie N-wymiarowe uogólnienie: N-blok krzyżowy, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 17 / 21

Warunek konieczny istnienia regularnej wypukłej wielokomórki (p, q, r) w czterech wymiarach Jeśli r > 2 wielościanów regularnych (p, q) ma wspólna krawędź, to suma ich katów dwuściennych nie może przekraczać kata pełnego 2π Sprawdzajac katy dwuścienne znanych wielościanów regularnych widzimy, że oprócz rozważanych już 5-komórki (3, 3, 3), 8-komórki (4, 3, 3) i 16-komórki (3, 3, 4) warunek ten spełniaja (hipotetyczne) wielokomórki o symbolach (3, 4, 3), (3, 3, 5), (5, 3, 3) Istnieje dokładnie sześć (wypukłych) wielokomórek foremnych w wymiarze N = 4. Dla N > 4 wieloblokami formemnymi sa jedynie N-sympleks, N-kostka i N-blok krzyżowy Ludwig Schläfli (1814-1895) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 18 / 21

24-komórka (3, 4, 3) Jej wierzchołkami sa środki krawędzi 16-komórki (3, 3, 4). Składa się z 24 ośmiościanów foremnych Grupa symetrii ma rzad 1152 Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 19 / 21

600-komórka (3, 3, 5) i 120-komórka (5, 3, 3) Sa to wielokomórki dwoiste, a ich grupa symetrii ma rzad 14400 Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platon skie 5-IV-2011 20 / 21

Literatura H. S. M. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1967 D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometria pogladowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1956 H. S. M. Coxeter, Regular polytopes, Dover, 1973. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/biogindex.html http://en.wikipedia.org/wiki/regular_polytope Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV-2011 21 / 21