Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim Differential equations and complex functions Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma: I stopień*, stacjonarna / niestacjonarna* Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy / wybieralny / ogólnouczelniany * Kod przedmiotu MAP1073 Grupa kursów TAK / NIE* Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego nakładu pracy studenta (CNPS) Forma zaliczenia Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 15 60 30 Zaliczenie na ocenę Zaliczenie na ocenę Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy (X) Liczba punktów ECTS 1 w tym liczba punktów odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) w tym liczba punktów ECTS odpowiadająca zajęciom wymagającym bezpośredniego kontaktu (BK) 0 1 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zna rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych.. Zna i umie stosować całkę nieoznaczoną i oznaczoną funkcji jednej zmiennej. 3. Rozumie podstawowe pojęcia dotyczące szeregu liczbowego i potęgowego oraz umie badać zbieżność szeregów. 4. Potrafi posługiwać się w obliczeniach liczbami zespolonymi. 5. Zna podstawowe pojęcia algebry liniowej. CELE PRZEDMIOTU C1 Opanowanie umiejętności rozwiązywania podstawowych typów równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego i wyższych. C. Poznanie podstawowych metod rozwiązywania układów równań różniczkowych liniowych oraz elementów teorii stabilności. C3. Opanowanie umiejętności stosowania znanych praw fizyki do układania równań różniczkowych będących modelami matematycznymi dla rozmaitych zagadnień nauki i techniki. C4. Zdobycie podstawowej wiedzy dotyczącej funkcji zespolonych, w szczególności poznanie własności najważniejszych funkcji elementarnych oraz pojęcia funkcji holomorficznej. 1
C5. Poznanie podstawowych własności i metod obliczania całek krzywoliniowych zespolonych. C6. Poznanie podstawowych własności przekształcenia Laplace'a i opanowanie umiejętności jego stosowania do rozwiązywania równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach oraz układów takich równań. C7. Zdobycie podstawowej wiedzy o szeregach zespolonych liczbowych i potęgowych C8. Opanowanie podstawowej wiedzy dotyczącej punktów osobliwych i residuów oraz opanowanie umiejętności stosowania residuów do obliczania całek i znajdywania oryginału transformaty Laplace'a. *niepotrzebne skreślić PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Z zakresu wiedzy student: PEK_W01 zna podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych i metody ich rozwiązywania PEK_W0 ma podstawową wiedzę na temat układów równań różniczkowych zwyczajnych, metod rozwiązywania układów równań liniowych oraz badania punktów równowagi PEK_W03 zna własności najważniejszych funkcji zmiennej zespolonej oraz pojęcie funkcji holomorficznej PEK_W04 zna własności całki krzywoliniowej zespolonej i sposoby jej obliczania PEK_W05 ma podstawową wiedzę o zespolonych szeregach liczbowych i potęgowych PEK_W06 ma podstawową wiedzę o residuach i ich zastosowaniach PEK_W07 zna podstawowe własności przekształcenia Laplace'a i rozumie ideę rachunku operatorowego Z zakresu umiejętności student: PEK_U01 potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego i wyższych PEK_U0 potrafi rozwiązywać układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach oraz badać stabilność punktów równowagi układów autonomicznych PEK_U03 umie układać równania różniczkowe na podstawie praw fizyki oraz rozwiązywać zagadnienia praktyczne i techniczne PEK_U04 potrafi wykonywać obliczenia z zastosowaniem funkcji zespolonych i obliczać całki zespolone PEK_U05 potrafi rozwinąć funkcję zespoloną w szereg potęgowy i posłużyć się nim w obliczeniach PEK_U06 potrafi wyznaczać residua i umie je stosować PEK_U07 umie stosować rachunek operatorowy do rozwiązywania równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Z zakresu kompetencji społecznych student: PEK_K01 potrafi wyszukiwać i korzystać z literatury zalecanej do kursu oraz samodzielnie zdobywać wiedzę PEK_K0 rozumie konieczność systematycznej i samodzielnej pracy nad opanowaniem materiału kursu Wy1 TREŚCI PROGRAMOWE Forma zajęć - wykłady Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Przykłady i pojęcia wstępne. Interpretacja geometryczna równania. Równania o Liczba godzin
Wy Wy3 Wy4 Wy5 Wy6 Wy7 Wy8 Wy9 Wy10 Wy11 Wy1 Wy13 Wy14 Wy15 zmiennych rozdzielonych. Równania jednorodne. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu. Równanie Bernoulliego. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego. Równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu. Pojęcia wstępne. Równanie liniowe n-tego rzędu. Obniżanie rzędu równania. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe n-tego rzędu niejednorodne. Metoda uzmienniania stałych. Równanie liniowe n- tego rzędu o stałych współczynnikach. Metoda współczynników nieoznaczonych. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu. Układ równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcia wstępne. Układ jednorodny równań liniowych. Układ równań liniowych o stałych współczynnikach (jednokrotne wartości własne). Metoda uzmienniania stałych dla niejednorodnego układu równań liniowych. Elementy teorii stabilności. Informacja o metodzie linearyzacji. Funkcje zmiennej zespolonej: dziedzina, część rzeczywista i urojona. Funkcje elementarne: wielomian, funkcja wymierna, funkcje trygonometryczne, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna. Podstawowe własności tych funkcji. Płaszczyzna zespolona domknięta. Odwzorowania zbiorów na płaszczyźnie zespolonej za pomocą funkcji zespolonych. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej. Równania Cauchy\'ego-Riemanna. Warunek konieczny i warunek wystarczający istnienia pochodnej zespolonej. Pochodne funkcji elementarnych. Pojęcie funkcji holomorficznej. Krzywa na płaszczyźnie zespolonej. Łuk zwykły, łuk gładki, krzywa Jordana. Równania ważniejszych krzywych. Całka funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej. Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej zespolonej. Twierdzenie o funkcji pierwotnej. Twierdzenie całkowe Cauchy\'ego i jego uogólnienia. Wzór całkowy Cauchy\'ego i jego uogólnienia. Zastosowanie do obliczania całek. Przekształcenie Laplace\'a i przekształcenie odwrotne: definicje, obszar zbieżności całki Laplace\'a. Przykłady obliczania transformat Laplace\'a prostych funkcji. Własności przekształcenia Laplace\'a. Holomorficzność transformaty. Idea rachunku operatorowego. Obliczanie transformaty odwrotnej metodą rozkładu na ułamki proste. Przykłady zastosowania przekształcenia Laplace\'a. Transmitancja. Splot funkcji. Twierdzenie Borela. Szeregi o wyrazach zespolonych. Szeregi potęgowe. Szereg Taylora. Twierdzenie o rozwijalności funkcji holomorficznej w szereg potęgowy. Punkty zerowe funkcji holomorficznej. Residuum funkcji. Twierdzenie całkowe o residuach. Suma godzin 30 3
Forma zajęć - ćwiczenia Liczba godzin Ćw1 Rozwiązywanie podstawowych typów równań różniczkowych 3 zwyczajnych rzędu pierwszego oraz zagadnień początkowych. Rozwiązywanie zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego i nabywanie umiejętności układania takich równań na podstawie praw fizyki. Ćw Rozwiązywanie równań liniowych jednorodnych wyższych rzędów o 3 stałych współczynnikach. Stosowanie metody obniżania rzędu. Rozwiązywanie równań liniowych niejednorodnych metodą uzmienniania stałych oraz współczynników nieoznaczonych. Rozwiązywanie zagadnień prowadzących do równań różniczkowych rzędu drugiego. Ćw3 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą podstawienia. Rozwiązywanie układów równań liniowych o stałych współczynnikach metodą Eulera. Rozwiązywanie układów liniowych niejednorodnych metodą uzmienniania stałych. Ćw4 Obliczenia z zastosowaniem funkcji zespolonych. Stosowanie równań Cauchy'ego-Riemanna. Obliczanie całek krzywoliniowych zespolonych metodą zamiany na całkę zmiennej rzeczywistej oraz z zastosowaniem wzoru Cauchy'ego. Ćw5 Wyznaczanie transformaty Laplace'a funkcji oraz znajdywanie oryginałów. Wyznaczanie transmitancji operatorowej. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach oraz układów takich równań metodą operatorową. Ćw6 Obliczanie residuów w punktach osobliwych funkcji. Obliczanie 1 całek zespolonych po konturach oraz całek rzeczywistych niewłaściwych metodą residuów. Ćw7 Kolokwium. Suma godzin 15 STOSOWANE NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1. Wykład metoda tradycyjna. Ćwiczenia problemowe i rachunkowe metoda tradycyjna 3. Konsultacje 4. Praca własna studenta przygotowanie do ćwiczeń. OCENA OSIĄGNIĘCIA PRZEDMIOTOWYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Oceny (F formująca (w trakcie semestru), P podsumowująca (na koniec semestru) P-Ćw P-Wy Numer efektu kształcenia PEK_U01-PEK_U07, PEK_K01,PEK_K0 PEK_W01-PEK_W07, PEK_K0 Sposób oceny osiągnięcia efektu kształcenia Odpowiedzi ustne, kolokwia Kolokwium zaliczeniowe 4
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA LITERATURA PODSTAWOWA: [1] M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne, Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 007. [] J. Długosz, Funkcje zespolone, Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 005. [3] E. Kącki, L. Siewierski, Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami, PWN, Warszawa 1983. LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA: [1] F. Bierski, Funkcje zespolone, Wydawnictwa AGH, Kraków 1999. [] M. Tenenbaum, H. Pollard, Ordinary differential equations, Dover Publications, New York 1985. [3] W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka, Cz. IV, WNT, Warszawa 00. OPIEKUN PRZEDMIOTU (IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL) Dr Jolanta Długosz (Jolanta.Dlugosz@pwr.wroc.pl) Komisja programowa Instytutu Matematyki i Informatyki 5
MACIERZ POWIĄZANIA EFEKTÓW KSZTAŁCENIA DLA PRZEDMIOTU RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I FUNKCJE ZESPOLONE MAP1073 Z EFEKTAMI KSZTAŁCENIA NA KIERUNKU ***** I SPECJALNOŚCI.. Przedmiotowy efekt kształcenia Odniesienie przedmiotowego efektu do efektów kształcenia zdefiniowanych dla kierunku studiów i specjalności (o ile dotyczy) Cele przedmiotu** Treści programowe** Numer narzędzia dydaktycznego** PEK_W01 (wiedza) C1,C3 Wy1-Wy5 1,3,4 PEK_W0 C,C3 Wy6,Wy7 1,3,4 PEK_W03 C4 Wy8,Wy9 1,3,4 PEK_W04 C5 Wy10,Wy11 1,3,4 PEK_W05 C7 Wy14 1,3,4 PEK_W06 C8 Wy15 1,3,4 PEK_W07 C6 Wy1,Wy13 1,3,4 PEK_U01 (umiejętności) C1,C3 Ćw1,Ćw,3,4 PEK_U0 C,C3 Ćw3,3,4 PEK_U03 C3 Ćw1-Ćw3,3,4 PEK_U04 C4,C5 Ćw4,3,4 PEK_U05 C7 Wy14 3,4 PEK_U06 C8 Ćw6,3,4 PEK_U07 C6 Ćw5,3,4 PEK_K01- C1-C8 Wy1-Wy15, 1-4 PEK_K0 Ćw1-Ćw7 (kompetencje) ** - z tabeli powyżej