Wprowadzenie do Mathcad 15 ćwiczenie 4

Podobne dokumenty
Elementarna analiza statystyczna

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

I jest narzędziem służącym do porównywania rozproszenia dwóch zmiennych. Używamy go tylko, gdy pomiędzy zmiennymi istnieje logiczny związek

Analiza Statystyczna

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

Interpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji

Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Ćwiczenie 3 Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

Estymacja parametrów w modelu normalnym

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ. Analiza regresji i korelacji

Prawdopodobieństwo i statystyka

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap

Z poprzedniego wykładu

Rozkłady statystyk z próby. Statystyka

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki. przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi. semestr zimowy

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym( ) Pojęcie losowej próby prostej

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Analiza niepewności pomiarów

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III zakres podstawowy

WEKTORY I MACIERZE. Strona 1 z 11. Lekcja 7.

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Inteligentna analiza danych

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

18. Obliczyć. 9. Obliczyć iloczyn macierzy i. 10. Transponować macierz. 11. Transponować macierz. A następnie podać wymiar powstałej macierzy.

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

STATYSTYKA OPISOWA. LICZBOWE CHARAKTERYSTYKI(MIARY)

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Weryfikacja hipotez statystycznych

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; Struktury danych w R c.d.

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

Metoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)

NAZWA ZMIENNEJ LOSOWEJ PODAJ WARTOŚĆ PARAMETRÓW ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA DLA TEJ ZMIENNEJ

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X1, X2, X3,...) na zmienną zależną (Y).

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia

Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej:

3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

LABORATORIUM 3. Jeśli p α, to hipotezę zerową odrzucamy Jeśli p > α, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka

Opis programu studiów

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 4

STATYSTYKA OPISOWA. LICZBOWE CHARAKTERYSTYKI(MIARY)

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Zastosowanie Informatyki w Chemii Laboratorium. Instrukcje do c wiczen

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

STATYSTYKA. Na egzamin należy przynieść:

Elementy statystyki wielowymiarowej

Transkrypt:

Wprowadzenie do Mathcad 15 ćwiczenie 4 Statystyka i analiza danych Mathcad pozwala na wykonywanie zarówno podstawowej analizy statystyk opisowych, badania rozkładów oraz tzw. data fitting. Podstawowe funkcje statystyczne zawarte w programie zostały zestawione w poniższej tabeli. Komenda opis Komenda opis mean () Oblicza średnią histogram(int,) Zwraca macierz arytmetyczną z złożoną z częstości (jak w hist()) oraz punktów granicznych przedziałów gmean() Oblicza średnia stdev() Zwraca odchylenie geometryczna z standardowe hmean() Średnia harmoniczna var() Zwraca wariancję kurt() Kurtoza elementów corr(,b) Zwraca wektora współczynnik korelacji Pearsona (R) dla dwóch wektorów median() Mediana elementów wektora mode() Moda elementów wektora hist(int,) Zwraca wektor częstości z jakimi elementy a wpadają do przedziałów (int=ilość przedziałow) odpowiednich Kolejna grupą funkcji, które należy wyróżnić, są funkcje związane z wykonywaniem operacji na gęstościach prawdopodobieństwa. Rozróżniamy cztery grupy tego typu funkcji, które łatwo rozpoznać, dzięki dwuczłonowym nazwom: pierwszej litery definiującej zastosowanie, oraz nazwy stosowanego rozkładu np.: dnorm(x,a,b) oznacza obliczenie dystrybuanty

rozkładu normalnego o zadanych parametrach (średnia i odchylenie standardowe) w punkcie x. Opis tych czterech grup funkcji przedstawiono poniżej. Gęstości prawdopodobieństwa (litera d) zwraca prawdopodobieństwo tego, że zmienna przyjmie konkretną wartość. Dystybuanta (litera p) zwraca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa będzie miała wartość mniejszą lub równą od zadanej. (klasyczne zastosowanie znanej Państwu dystrybuanty). Odwrotna dystrybuanta (litera q) odwraca działanie powyższej funkcji, tj. Dla zadanego prawdopodobieństwa p zwraca taka wartość, że dowolna zmienna losowa będzie od niej mniejsza lub równa z prawdopodobieństwem p. Generator liczb losowych (litera r) generuje wektor m losowych wartość o zadanych parametrach rozkładu Ćwiczenie Wygeneruj wektor długości 100 opierając się na rozkładnie normalnym orz chikwadrat(chisq). Oblicz podstawowe statystyki opisowe dla tego zestawu danych. Przedstaw otrzymane dane na wykresie oraz narysuj ich histogram składający się z 10 przedziałów. Data fitting Oprócz operacji typowo statystycznych przy pomocy Mathcada możemy również dokonywać dopasowania krzywych do danych. Mathcad oferuje nam 2 grupy funkcji interpolujące oraz liczące regresję. Interpolacja: linterp(vx,vy,x) łączy punkty liniowymi odcinkami. Wektor vx musi byc podany w kolejności rosnącej, lspline(vx,vy) interpolacja przy pomocy splinów kubicznych o liniowych końcach, cspline(vx,vy) spliny kubiczne o kubiczny końcach, pspline(vx,vy) spliny kubiczne o parabolicznych końcach, interp(vs,vx,vy,x) zwraca z interpolowane wartości y dla poszczególnych x. Wektor vs jest wynikiem działania jednej z powyższych funkcji.

Regresja: Otrzymanie zwykłej liniowej regresji w programie Mathcad, wymaga zbudowania równania funkcji liniowej przy pomocy dwóch następujących funkcji: slope(vx,vy) zwraca nachylenie prostej(współczynnik a) intercept(vx,vy) zwraca punkt przecięcia z osią OY (współczynnik b) Mając te dwa parametry należy zdefiniować równanie linii regresji. Użycie komendy line(vx,vy) zwraca obydwa parametry za jednym zamachem (uwaga na kolejność!). Oczywiście możemy również korzystać z dużo bardziej dokładnych modeli regresji: regress(vx,vy,n) zwraca współczynniki wielomianu n-tego stopnia najlepiej dopasowującego zadane wartości loess(vx,vy,span) lokalna regresja w otoczeniu kolejnych punktów (wielkość otoczenia definiujemy parametrem span. Zwraca wektor vs, którego można użyć w przedstawionej wcześniej funkcji interp Zastosowanie innych, niewielomianowych modeli regresji wymaga wcześniejszego zdefiniowania wektora (vg) wartości startowych specyficznych dla wybranego modelu. Wynikiem zastosowania poszczególnych modeli jest trzyelementowy wektor zawierający odpowiednie wartości a,b oraz c. expfit(vx,vy,vg) krzywa ekspotencjalna dana wzorem: a*exp(b*x)+c lgsfit(vx,vy,vg) krzywa hiperboliczna: a/(1+b*exp(-cx)) logfit(vx,vy,vg) krzywa logarytmiczna a*ln(x+b)+c pwrfit(vx,vy,vg) krzywa potęgowa a*x b +c sinfit(vx,vy,vg) sinusoida a*sin(x+b)+c Mathcad pozwala również na zdefiniowanie własnych funkcji regresji. W tym celu należy skorzystać z jednej z poniższych funkcji: linfit(vx,vy,f) dla zdefiniowanych, w postaci wektora F, funkcji polecenie generuje współczynniki kombinacji liniowej zadanych funkcji aby otrzymać jak najlepsze dopasowania, genfit(vx,vy,vg,f) uogólnienie powyższej procedury o przypadki nieliniowe

Wygładzanie danych Jeżeli podejrzewamy, lub wiemy, że posiadane przez nas dane mogą być zaszumione (szczególnie te pochodzące z cyfrowych analizatorów, przydatne może okazać się ich wcześniejsze wygładzenie przed przystąpieniem do dalszej analizy. W Mathcadzie służą do tego trzy następujące funkcje: medsmooth(vy,n) running median methods (n must be an odd number lower than number of elements in vy) ksmooth(vx,vy,b) uses Gaussian kernel method to calculate the weighted averages for vy elements (use b which is few times bigger than the spacing between vx elements) supsmooth(vx,vy) uses linear fitting for k-nearest neighbors (k is automatically taken) and returns the vector of fitted elements. Polecenie Minerr Działa bardzo podobnie do polecenia Find poznanego już wcześniej. Różnica polega na tym, że polecenie jeśli polecenie Find nie znajdzie dokładnego rozwiązania, wyświetli komunikat błędu, natomiast funkcja Minerr znajdzie rozwiązanie będące najbliżej poszukiwanego rozwiązania/zadanego zbioru wartości (minimalizacja błędu). Składnia polecenia jest identyczna jak polecenia Find, czyli dla przypomnienia wygląda następująco Given Określone warunki Var := Minerr(x,y,z.) x, y, z oznacza parametry który należy wyznaczyć w celu minimalizacji błędu (przykład w zadaniu 3)

ĆWICZENIE 1. Usuwanie VOC (lotne związki organiczne)ze spalin najczęściej prowadzi się przy pomocy węgla aktywnego. Poniższa tabela zawiera wyniki eksperymentu polegającego na adsorpcji heksanu i cykloheksanu z powietrza. utor twierdzi, że proces jest fobrze opisywany przez izotermę adsorpcji Langmuira dana poniższym równaniem. Gdzie: a maksymalna zaadsorbowana objętość b współczynnik powinowactwa c stężenie [ppm] q voc =m voc /m gac Temp C[ppm] [ C] 33.6 41.5 57.4 76.4 99 200 0,080 0,069 0,052 0,042 0,027 500 0,093 0,083 0,072 0,056 0,042 1000 0,101 0,088 0,076 0,063 0,045 2000 0,105 0,092 0,083 0,068 0,052 3000 0,112 0,102 0,087 0.072 0,058 q voc a. Używając regresji liniowej 1/q voc vs 1/c voc zdecyduj czy dopasowanie jest dobre. Oblicz parametry a and b. b. Parametry a i b mogą być powiązane z entalpią adsorpcji Δ adh oraz różnica energii aktywacji dla adsorpcji i desorpcji Δ bh poprzez równanie typu rrheniusa: Sprawdź dobroć takiego dopasowania oraz oblicz wartości parametrów k a, k b, Δ adh, Δ bh.

2. W pliku Exercie_03.xlmx zawarty jest zestaw danych dotyczących procesu zgazowania. Przenieś dane do Mathcada i na ich podstaw przedstaw kinetykę procesu zgazowania (krzywe kinetyczne dla poszczególnych produktów). W tym celu: a. Dokonaj wygładzenia otrzymanych danych, b. Przedstawić wykres dv/dt dla każdego składnika w tym celu należy dokonać operacji różniczkowania poszczególnych wektorów wygładzonych danych. Wzory na różniczkowanie przedstawiono poniżej: 3. Dla podanych w tabeli wartości zmiennych x i y, korzystając z funkcji Minerr znaleźć parametry α oraz β, dające najlepsze dopasowanie rozkładu Weibulla danego funckją: ( ) ( ) x,132,322,511,701,891 1,081 1,27 1,46 1,65 1,839 2,029 2,219 y,1,258,543,506,606,622,569,453,438,316,29,195