MARIUSZ RUCHWA Politechnika Koszalińska ANALIZA ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH WYKONANYCH ZE SPIENIONYCH METALI 1. WPROWADZENIE Na wzór rozwiązań natury, człowiek wykorzystuje w swojej działalności wiele rodzajów materiałów porowatych. Znajdują one zastosowanie równieŝ w budownictwie, są to m.in. pianobeton, beton komórkowy (gazobeton), róŝne rodzaje pianek i gąbek z tworzyw sztucznych. Wśród tych materiałów szczególną i dosyć mało rozpowszechnioną grupę stanowią piany metaliczne. Spienione metale wykazują wiele korzystnych cech w stosunku do metali wyjściowych, wśród których moŝna wymienić: niską gęstość, korzystny stosunek sztywności do gęstości, niską przewodność cieplną, wysoką odporność na szoki cieplne i odporność poŝarową, korzystny poziom pochłaniania energii mechanicznej oraz akustycznej, łatwą obróbkę oraz moŝliwość recyclingu [7]. Porównanie podstawowych właściwości metalu wyjściowego oraz piany pokazano w tabeli 1., na przykładzie stopu aluminium AW-5754 H111 i wytwarzanej z tego samego materiału piany o gęstości wynoszącej 8% gęstości stopu. Tabela 1. Podstawowe właściwości stopu AW-5754 H111 i spienionego aluminium Table 1. Basic properties of aluminum alloy AW-5754 H111 and aluminum foam Właściwości materiału aluminium AW-5754 H111 piana aluminiowa gęstość [kg/m 3 ] 66 5 moduł Younga [GPa] 68,7 moduł Kirchhoffa [GPa] 6,3 wytrzymałość na rozciąganie [MPa] 15 1,6 granica plastyczności [MPa] 8 1,5 współczynnik rozszerzalności cieplnej [1/K],4,34 przewodność cieplna [W/(m K)] 147 9,7 Mimo wielu zalet, piany metaliczne bardzo wolno wkraczają w obszar zastosowań w budownictwie. Najczęściej moŝna się spotkać z zastosowaniem pian metalicznych jako materiałów wykończeniowych, detali architektonicznych i dekoracyjnych, chociaŝ
wytwarzane są równieŝ lekkie elementy konstrukcyjne w postaci płyt warstwowych oraz prętów cienkościennych z pianowym wypełnieniem. Elementy takie mogą być wykorzystane m.in. do podwyŝszenia sztywności konstrukcji naraŝonych na utratę stateczności oraz jako struktury zabezpieczające przed obciąŝeniami udarowymi, w szczególności jako elementy zabezpieczeń drogowych [6, 7].. OPIS MATEMATYCZNY WŁAŚCIWOŚCI SPIENIONYCH METALI Konstrukcyjne zastosowanie spienionych metali jest związane z koniecznością prawidłowego modelowania matematycznego właściwości mechanicznych tych materiałów. Z uwagi na sposób deformacji materiału, wymagany jest nieliniowy opis konstytutywny w przestrzeni duŝych przemieszczeń oraz duŝych odkształceń. Na rysunku 1. przedstawiono zaleŝność pomiędzy odkształceniem i napręŝeniem, dotyczącą jednoosiowego testu ściskania aluminiowej piany (jak w tabeli 1.).,4E+7,E+7 1,6E+7 σ [Pa] 1,E+7 8,E+6 4,E+6,E+,,,4,6,8 1, 1, 1,4 ε pl Rys. 1. Wykres zaleŝności pomiędzy logarytmicznym odkształceniem plastycznym i napręŝeniem Cauchy ego, w przypadku jednoosiowego ściskania spienionego aluminium (aproksymacja wyników doświadczalnych) Fig. 1. True plastic strain Cauchy stress relationship, for uniaxial compression aluminum foam (approximation of experimental data). Istnieje wiele modeli matematycznych materiałów piankowych, a w szczególności spienionych metali [1, 4, 5], jednak z inŝynierskiego punktu widzenia szczególnie uzasadnione jest stosowanie makroskopowego opisu spręŝysto-plastycznego. Nie oznacza to jednak moŝliwości stosowania klasycznego ujęcia dotyczącego plastyczności metali, lecz dostosowanego do specyficznych cech materiału, związanych z jego ściśliwością, duŝym zakresem odkształceń oraz zagęszczaniem materiału. Dobrym przykładem modelu materiałowego, który moŝe być stosowany w analizie spienionych metali jest model opracowany przez V.S. Deshpande i N.A. Fleck [3], w którym zastosowano, w fazie spręŝystej typowy, liniowy opis, natomiast w fazie plastycznej zmienione równanie powierzchni płynięcia, niestowarzyszone prawo
płynięcia oraz dwa warianty wzmocnienia plastycznego. Równanie powierzchni płynięcia (Rys..) i jednocześnie warunek płynięcia jest opisany jako gdzie: F = q + α p α p =, (1) α współczynnik kształtu powierzchni płynięcia na płaszczyźnie p-q, p napręŝenie hydrostatyczne, p C napręŝenie hydrostatyczne plastycznego płynięcia podczas hydrostatycznego ściskania, q napręŝenie zastępcze Hubera-Misesa-Hencky ego. Współczynnik kształtu powierzchni płynięcia (α) jest określony przez zaleŝności c 3k α =, 9 k w których σ i przy ściskaniu jednoosiowym i trójosiowym. c c c σ k =, () p p c oznaczają odpowiednio wartości początkowe napręŝeń plastycznych Rys.. Powierzchnie płynięcia oraz potencjał plastyczny modelu kruchej piany z izotropowym wzmocnieniem na płaszczyźnie napręŝeń p-q. Fig.. Yield surface and flow potential of crushable foam model in the p-q stress plane. Funkcja potencjału plastycznego jest przedstawiona w postaci równania G = q + β p, (3) natomiast współczynnik β określający kształt elipsy potencjału plastycznego na płaszczyźnie p-q jest zaleŝny od plastycznego współczynnika Poissona (ν P ) 3 1 νp β =. (4) 1+ ν p
1,E+7 1,E+7 8,E+6 q [Pa] 6,E+6 4,E+6,E+6,E+,,4,6,8 1 1, 1,4 ε Rys. 3. Wykres zaleŝności pomiędzy logarytmicznym odkształceniem i napręŝeniem Cauchy ego uzyskany w analizie MES jednoosiowego ściskania spienionego aluminium Fig. 3. True strain Cauchy stress relationship, for uniaxial compression of aluminum foam (FEM analysis).,e+6 1,6E+6 q [Pa] 1,E+6 8,E+5 4,E+5,E+,,4,6,8,1 ε Rys. 4. Wykres zaleŝności pomiędzy logarytmicznym odkształceniem i napręŝeniem Cauchy ego uzyskany w analizie MES jednoosiowego rozciągania spienionego aluminium Fig. 4. True strain Cauchy stress relationship, for uniaxial tension of aluminum foam (FEM analysis).
Uzupełniającym elementem modelu jest opis wzmocnienia, uwzględniający ewolucję przedstawionej równaniem 1. powierzchni płynięcia. Wzmocnienie moŝe być zastosowane w wariancie objętościowym, dobrze opisującym zachowanie pian syntetycznych, lub izotropowym, analogicznym do opisu wzmocnienia w metalach i właściwym w opisie umocnienia pian metalicznych. W przypadku zastosowania modelu Deshpande-Fleck do opisu właściwości aluminiowej piany o parametrach według tabeli 1., z uwzględnieniem izotropowego wzmocnienia o przebiegu zgodnym z rysunkiem 1., otrzymamy, stosując implementację modelu do nieliniowej analizy Metodą Elementów Skończonych (MES) [], zaleŝność pomiędzy odkształceniem i napręŝeniem zilustrowaną wykresem przedstawionym na rysunku 3. (przy ściskaniu) oraz w postaci zaprezentowanej na rysunku 4. (przy rozciąganiu). Uzyskane przebiegi zaleŝności odkształcenie - napręŝenie są zgodne z wynikami doświadczalnymi zamieszczonymi w pracy [3]. W wielu praktycznych analizach model Deshpande-Fleck moŝe wymagać uzupełnienia o dodatkowy opis uwzględniający zniszczenie materiałowe, bądź w przypadku analiz dynamicznego oddziaływania o uwzględnienie wpływu prędkości odkształcenia na zmianę właściwości materiału. Model konstytutywny Deshpande-Fleck stanowi element biblioteki materiałowej w znanym programie analizy MES - ABAQUS [1], w którym występuje pod nazwą Crushable foam plasticity model. Analogicznym modelem w programie LS-DYNA [4], o podobnym opisie matematycznym, jest model Bilkhu/Dubois Foam (oznaczony w bibliotece programu jako Material Model 75) [4, 5]. 3. PRZYKŁADY ANALIZ NUMERYCZNYCH Przedstawione przykłady analiz numerycznych dotyczą piany aluminiowej wytwarzanej na bazie stopu aluminium AW-5754 H111 o gęstości wynoszącej 8% gęstości stopu, modelowanej przy pomocy opisu Deshpande-Fleck z izotropowym wzmocnieniem plastycznym (Rys. 1.). Analizy wykonano Metodą Elementów Skończonych, stosując strategię obliczeń typu quasi-static [], z uwagi na silnie nieliniowy charakter procesu deformacji materiału, przy zastosowaniu programu ABAQUS/Explicit [1]. 3.1. ŚCISKANIE SZEŚCIENNEJ PRÓBKI MATERIAŁU Przykład dotyczy symulacji numerycznej jednego z podstawowych testów doświadczalnych, jakim jest ściskanie osiowe sześciennej próbki materiału. Przyjęto model fizyczny próbki przedstawiony na rysunku 5., w którym próbka jest ściskana przez nieodkształcalne płyty w zakresie obciąŝeń od do 7, MPa. W modelu numerycznym wykorzystano symetrię i ograniczono się do analizy 1/8 modelu, co równieŝ jest uwidocznione na rysunku 5. Podczas ściskania zostało uwzględnione tarcie materiału o płyty oraz dwa warianty opisu właściwości materiałowych model kruchej pianki (Deshpande-Fleck) oraz klasyczny model spręŝysto-plastyczny, stosowany do opisu właściwości metali, ale o parametrach takich samych jak w przypadku aluminiowej pianki (łącznie z wartościami opisu izotropowego wzmocnienia). Na rysunku 5. zostały pokazane rozkłady napręŝeń zastępczych Hubera-Misesa- Hencky ego w obu wariantach modeli materiałowych na zdeformowanych siatkach elementów skończonych (z zachowaniem proporcji obliczonych przemieszczeń).
Rys. 5. Rozkład napręŝeń zastępczych w analizie ściskania sześciennej próbki. Wyniki w Pa, dotyczące modelu materiałowego kruchej pianki (po lewej) oraz modelu spręŝysto-plastycznego (po prawej), obciąŝenie MPa. W środku widok modelu próbki i analizowanej części. Fig. 5. Distribution of equivalent stress for compression of cubic sample. Results expressed in Pa. On the left - for crushable foam, on the right - for elasto-plastic material model (load MPa). In the middle - the view of sample model and its analyzed part. ε 1,4 1, 1,,8,6,4, model kruchej piany model spręŝysto-plastyczny,, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, obciąŝenie [MPa] Rys. 6. Uzyskana zmiana wartości uśrednionego logarytmicznego odkształcenia w zaleŝności od wartości obciąŝenia Fig. 6. The variation of average true strain in the function of load.
energia [J] 5 4 3 1 model kruchej piany model spręŝysto-plastyczny, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, obciąŝenie [MPa] Rys. 7. Wyznaczony przebieg funkcji energii dyssypowanej na odkształceniach plastycznych w zaleŝności od wartości obciąŝenia Fig. 7. The energy dissipated due to plastic strains in the function of load. Na rysunku 6. pokazano zmiany wartości, uśrednionego w stosunku do całej próbki, logarytmicznego odkształcenia w zaleŝności od wartości obciąŝenia. Rysunek 7. ilustruje przebieg funkcji energii dyssypowanej na odkształceniach plastycznych całej próbki w zaleŝności od wartości obciąŝenia. Uzyskane w przykładzie wyniki jednoznacznie wskazują na brak zgodności rozwiązań i słabość rozwiązania uzyskanego przy zastosowaniu klasycznego modelu spręŝysto-plastycznego. Mimo uwzględnienia wszystkich podstawowych parametrów modelu, liczbowo zgodnych z właściwościami analizowanej pianki, niedostosowany warunek plastyczności oraz odmienny potencjał plastyczny powodują, Ŝe obliczane przemieszczenia oraz odkształcenia są zdecydowanie zaniŝone w stosunku prawidłowego rezultatu. 3.. MIEJSCOWE ZGNIATANIE PŁYTY WARSTWOWEJ Symulacji numerycznej podlegał proces zgniatania płyty warstwowej, ułoŝonej na nieodkształcalnym podłoŝu. Konstrukcja płyty składa się z dwóch okładzin zewnętrznych wykonanych ze stopu aluminium AW-5754 H111, o takiej samej grubości (analizowano trzy warianty okładzin o grubościach 1, i 3 mm), oraz wypełnienia aluminiową pianą o grubości 8 mm. Kwadratowa płyta o szerokości,4 m była zgniatana w centralnej części, na obszarze,1 m,1 m, obciąŝeniem zmieniającym się od do 1, MPa. W celach porównawczych analizowano równieŝ płytę z piany bez okładzin. Model płyty z zaznaczonym, analizowanym numerycznie po uwzględnieniu symetrii, obszarem 1/4 płyty przedstawiono na rysunku 8. We wszystkich wariantach obliczeń stosowano wyłącznie model kruchej pianki do opisu wypełnienia płyty oraz model spręŝysto-plastyczny do opisu właściwości okładzin.
Przykładowe rozkłady napręŝeń zastępczych w środkowej warstwie okładziny zewnętrznej oraz w obszarze piany aluminiowej przedstawiono na rysunku 8. Natomiast na rysunku 9. przedstawiono jak zmienia się grubość piany aluminiowej w środku płyty w zaleŝności od wartości obciąŝenia zgniatającego. Uzyskane rezultaty wskazują na prawidłowy charakter przebiegu procesu zgniatania i pozwalają m.in. na ocenę wyboru zastosowanego wariantu grubości okładzin. Rys. 8. Rozkład napręŝeń zastępczych w analizie miejscowego zgniatania płyty. Od góry: widok płyty i analizowanej części, rozkład napręŝeń w środkowej warstwie okładziny zewnętrznej o grubości mm oraz rozkład napręŝeń w obszarze aluminiowej piany. Wyniki w Pa. Fig. 8. Distribution of equivalent stress in the analysis of local crushing of the plate. From the top: an overall view of the plate and its analyzed part, distribution of stresses in the middle layer of external cover ( mm thick), distribution of stresses in aluminum foam. Results expressed in Pa.
grubość [mm] 8 4 16 bez pokrycia blachą z blachą o gr. 1 mm z blachą o gr. mm z blachą o gr. 3 mm 1 8 4,, 4, 6, 8, 1, obciaŝenie [MPa] Rys. 9. Grubość warstwy piany aluminiowej w środku płyty w zaleŝności od wartości obciąŝenia Rys. 9. Thickness of aluminum foam layer for the plate center in the function of load intensity. 4. PODSUMOWANIE Analiza konstrukcji zawierających elementy ze spienionych metali wymaga zastosowania szczególnego modelu materiałowego. Konieczne jest dostosowanie cech modelu konstytutywnego, w postaci: warunku plastyczności, potencjału plastycznego oraz opisu wzmocnienia, do specyficznych cech materiału związanych z moŝliwością powstawania duŝych odkształceń plastycznych oraz zagęszczania materiału podczas ściskania. Nie jest moŝliwe zastąpienie opisu właściwości piany metalicznej klasycznym opisem spręŝysto-plastycznym metali, poniewaŝ róŝnice w załoŝeniach modeli, a w szczególności róŝnice w warunku plastyczności prowadzą do uzyskania niepoprawnych rezultatów. Miarodajnym modelem konstytutywnym spienionych metali jest model Deshpande-Fleck a. Z uwagi na wymagane uwzględnienie podczas analizy wpływu nieliniowości materiałowych oraz geometrycznych, korzystne jest stosowanie Metody Elementów Skończonych, jednak w wielu przypadkach konieczne jest stosowanie analiz typu quasistatic. Praca została zrealizowana w ramach projektu 457/N-COST/9/ "Analiza stateczności i integralności budynków wielokondygnacyjnych poddanych obciąŝeniom wyjątkowym".
LITERATURA 1. Abaqus Analysis User's Manual. Dassault Systèmes Simulia Corp., Providence 9.. Belytschko T., Liu W.K., Moran B.: Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. John Wiley & Sons. 3. Deshpande V.S., Fleck N.A.: Isotropic constitutive models for metallic foams. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 48 (), 153-183. 4. Hallquist J.O.: LS-DYNA Theory Manual. Livermore Software Technology Corp., Livermore 6. 5. Hanssen A.G., Hopperstad O.S., Langseth M., Ilstad H.: Validation of constitutive models applicable to aluminium foams. International Journal of Mechanical Sciences, 44 (), 359-46. 6. Ruchwa M.: Ocena odporności konstrukcji Ŝelbetowej na działanie wybuchu. Biuletyn Wojskowej Akademii Technicznej, Vol. LIX, 4 (66), 1, 69-8. 7. Sobczak J.: Kompendium wiedzy o metalowych strukturach komórkowych stosowanych w nowoczesnym projektowaniu technicznym. Wyd. Instytutu Odlewnictwa, Kraków 1998. ANALIZA ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH WYKONANYCH ZE SPIENIONYCH METALI Streszczenie W publikacji zwrócono uwagę na specyfikę materiału jakim jest spieniony metal i konieczność odpowiedniego opisu matematycznego jego właściwości mechanicznych. Przedstawiono model konstytutywny kruchej piany metalicznej oraz wyniki dwóch analiz numerycznych przeprowadzonych Metodą Elementów Skończonych. Przykłady, w których zastosowano pianę aluminiową, dotyczyły ściskania próbki materiału oraz miejscowego zgniatania płyty trójwarstwowej o wypełnieniu w postaci piany. ANALYSIS OF STRUCTURAL ELEMENTS MADE OF METALIC FOAMS Summary The analysis of characteristics of metal foams and the necessity of its adequate mathematical description were the main scope of this study. The constitutive material model for crushable metallic foam has been presented as well as the results of two numerical analyses performed with Finite Element Method. Examples of application of aluminum foam concern the compression test of material sample and the local crushing of three-layer plate filled with foam.
Na podstawie porozumienia pomiędzy Wydawnictwem Uczelnianym Uniwersytetu Technologiczno-Przyrodniczego w Bydgoszczy, Wydawnictwem Czasopisma Materiały Budowlane oraz Autorem, w opracowaniu "Budownictwo Ogólne. Zagadnienia konstrukcyjne, materiałowe i cieplno-wilgotnościowe w budownictwie" (red. Prusiński J.), Bydgoszcz 11, wydrukowano pełen tekst artykułu, który w skróconej wersji został zatwierdzony do druku w numerze 1/11 czasopisma Materiały Budowlane. Document from http://www.eng.kmb.tu.koszalin.pl/publications