Podróże po Imperium Liczb Część 3 Liczby kwadratowe Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012
KWA - 40(1195) - 19.03.2012
Spis treści Wstęp 1 1 Cyfry liczb kwadratowych 5 1.1 Przykłady liczb kwadratowych............................... 6 1.2 Ciągi liczb kwadratowych i cyfry.............................. 6 1.3 Zero-jedynkowe liczby kwadratowe............................. 9 1.4 Liczby kwadratowe i dwie cyfry.............................. 12 1.5 Liczby kwadratowe i trzy cyfry............................... 13 1.6 Kwadraty z wszystkimi cyframi.............................. 13 1.7 Parzystość cyfr........................................ 14 1.8 Palindromiczne liczby kwadratowe............................. 14 1.9 Lustrzane odbicia liczb kwadratowych........................... 15 1.10 Liczby kwadratowe specjalnego typu............................ 16 1.11 Suma cyfr i liczby kwadratowe............................... 20 1.12 Początkowe cyfry...................................... 22 1.13 Ostatnie cyfry i liczby automorficzne........................... 23 1.14 Liczby automorficzne w różnych systemach numeracji.................. 27 2 Fakty i różne informacje dotyczące liczb kwadratowych 31 2.1 Przykłady.......................................... 31 2.2 Warunki dostateczne i liczby kwadratowe......................... 32 2.3 Istnienie lub nieistnienie pewnych liczb kwadratowych.................. 33 2.4 Sumy, iloczyny i liczby kwadratowe............................ 34 2.5 Liczby kwadratowe i postępy arytmetyczne........................ 35 2.6 Liczby kwadratowe postaci 1 + x + x 2 + + x n..................... 38 2.7 Pary liczb szczególnej postaci i liczby kwadratowe.................... 39 2.8 Trójki liczb kwadratowych postaci ab+c, bc+a, ca+b.................. 39 2.9 Inne trójki liczb kwadratowych............................... 40 2.10 Liczby bezkwadratowe.................................... 41 2.11 Odwrotności liczb kwadratowych.............................. 43 2.12 Kwadraty liczb wymiernych................................ 45 2.13 Różne zadania z liczbami kwadratowymi......................... 46 2.14 Informacje o symbolach Legendre a............................ 46 3 Sumy dwóch kwadratów 49 3.1 Warunki rozkładalności na sumę dwóch kwadratów................... 49 3.2 Własności sum dwóch kwadratów............................. 49 3.3 Liczba rozkładów na sumy dwóch kwadratów....................... 50 3.4 Najmniejsze liczby o danej liczbie rozkładów....................... 51 3.5 Rozkłady dla kolejnych liczb naturalnych......................... 52 3.6 Sumy dwóch kwadratów i podzielność........................... 54 3.7 Sumy dwóch kwadratów i liczby pierwsze......................... 55 3.8 Przykłady rozkładów z liczbami pierwszymi....................... 56 3.9 Równanie x 2 + y 2 = z n................................... 58 3.10 Liczby postaci (a 2 + b 2 )/(ab ± 1) i ich uogólnienia................... 59 3.11 Liczby, które nie są sumami dwóch kwadratów...................... 60 3.12 Liczby postaci a 2 + 1.................................... 61 3.13 Trójki liczb kwadratowych postaci a 2 + b 2, b 2 +c 2, c 2 + a 2.............. 62 3.14 Sumy dwóch kwadratów liczb wymiernych........................ 64 3.15 Dodatkowe informacje o sumach dwóch kwadratów................... 64 i
4 Sumy trzech kwadratów 66 4.1 Przykłady z sumami trzech kwadratów.......................... 66 4.2 Twierdzenia o sumach trzech kwadratów......................... 67 4.3 Liczba rozkładów danej liczby na sumę trzech kwadratów................ 70 4.4 Przykłady różnych rozkładów danej liczby na sumę trzech kwadratów......... 71 4.5 Sfera bez jednego punktu.................................. 71 4.6 Sumy kwadratów trzech liczb wymiernych......................... 73 4.7 Równanie x 2 + y 2 + z 2 = t 2................................ 73 4.8 Równanie x 2 + y 2 + z 2 = t 2 i struktura ciała...................... 76 4.9 Dodatkowe informacje o sumach trzech kwadratów.................... 77 5 Sumy czterech i więcej kwadratów 78 5.1 Rozkłady na sumę czterech kwadratów.......................... 78 5.2 Twierdzenie Lagrange a o sumach czterech kwadratów.................. 79 5.3 Liczba rozkładów na sumę czterech kwadratów...................... 81 5.4 Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych....................... 82 5.5 Sumy n kwadratów..................................... 84 5.6 Sumy kwadratów i liczby pierwsze............................. 86 5.7 Suma kwadratów i iloczyn................................. 87 5.8 Sumy parami różnych kwadratów............................. 89 5.9 Algebraiczne sumy kwadratów............................... 91 5.10 Dodatkowe informacje o sumach kwadratów....................... 92 6 D(m)-zbiory 93 6.1 Ogólne fakty o D(m)-zbiorach............................... 93 6.2 D(-1)-zbiory......................................... 95 6.3 D(1)-zbiory.......................................... 95 6.4 Wymierne D(1)-zbiory................................... 101 6.5 Przykłady D(m)-zbiorów.................................. 102 7 Trójki Pitagorasa 104 7.1 Opis wszystkich trójek Pitagorasa............................. 105 7.2 Przykłady i własności trójek Pitagorasa.......................... 105 7.3 Trójki Pitagorasa i liczby kwadratowe........................... 107 7.4 Przyprostokątne trójkątów Pitagorasa........................... 107 7.5 Przeciwprostokątne trójkątów Pitagorasa......................... 108 7.6 Obwód trójkątów Pitagorasa................................ 110 7.7 Pole trójkątów Pitagorasa.................................. 111 7.8 Promień okręgu wpisanego trójkątów Pitagorasa..................... 112 7.9 Algebraiczne struktury zbioru trójek Pitagorasa..................... 113 7.10 Macierze zachowujące trójki Pitagorasa.......................... 117 7.11 Trójkąty o całkowitych bokach z kątem 120 stopni.................... 118 7.12 Trójkąty o całkowitych bokach z kątem 60 stopni..................... 119 7.13 Dodatkowa literatura dotycząca trójkątów Pitagorasa.................. 119 8 Równanie ax 2 + by 2 = cz 2 121 8.1 Informacje wstępne..................................... 121 8.2 Warunki konieczne...................................... 121 8.3 Pomocnicze fakty i lematy................................. 122 8.4 Twierdzenie Legendre a................................... 124 8.5 Równanie x 2 + ny 2 = z 2.................................. 126 8.6 Równanie x 2 + y 2 = nz 2.................................. 129 8.7 Rozwiązania pewnych równań postaci ax 2 + by 2 = cz 2.................. 132 ii
9 Równania diofantyczne drugiego stopnia 134 9.1 Równanie axy = bx + cy +d................................ 134 9.2 Równanie ax 2 +bx +c = dy................................ 135 9.3 Równanie ax 2 +bx +c = dy 2................................ 136 9.4 Równanie ax 2 + bxy + cy 2 = dz 2............................. 136 9.5 Równanie ax 2 + bxy + cy 2 = k.............................. 136 9.6 Równania z formą xy + yz + zx.............................. 137 9.7 Równanie x 2 + y 2 - z 2 = m................................. 138 9.8 Różne równania i rozwiązania naturalne.......................... 138 9.9 Różne równania i rozwiązania całkowite.......................... 139 9.10 Rozwiązania wymierne................................... 140 10 Kwadraty w pewnych pierścieniach skończonych 141 10.1 Oznaczenia i wstępne fakty................................. 141 10.2 Kwadraty w Z 2 n....................................... 141 10.3 Kwadraty w Z p....................................... 142 10.4 Kwadraty w Z p n....................................... 143 10.5 Kwadraty w Z n....................................... 144 10.6 Sumy kwadratów w Z n................................... 145 10.7 Okrąg w pierścieniach skończonych............................ 146 10.8 Kwadraty w ciałach skończonych.............................. 147 11 Formy kwadratowe dwóch zmiennych 148 11.1 Równoważność form kwadratowych............................ 148 11.2 Obraz i pierwotny obraz formy kwadratowej....................... 149 11.3 Multyplikatywność obrazów pewnych form kwadratowych................ 151 11.4 Wyróżnik formy kwadratowej................................ 154 11.5 Zredukowane formy kwadratowe o ujemnym wyróżniku................. 156 11.6 Liczba zredukowanych form o tym samym ujemnym wyróżniku............. 157 11.7 Formy postaci x 2 + dy 2................................... 160 11.8 = 3. Forma x 2 + xy + y 2............................... 161 11.9 = 7. Forma x 2 + xy + 2y 2............................... 162 11.10 = 8. Forma x 2 + 2y 2.................................. 163 11.11 = 11. Forma x 2 + xy + 3y 2.............................. 164 11.12 = 12. Forma x 2 + 3y 2................................. 164 11.13 Formy o wyróżniku mniejszym od -18........................... 165 11.14 Formy kwadratowe z kwadratowym wyróżnikiem..................... 166 11.15 Zredukowane formy kwadratowe z dodatnim wyróżnikiem................ 166 11.16 Dodatkowe informacje o formach kwadratowych..................... 167 Spis cytowanej literatury 168 Skorowidz nazwisk 175 Skorowidz 179 iii
Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. 1
Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www.mat.uni.torun.pl/~anow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach 2008 2011. Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2
o o o o o W trzeciej książce z serii Podróże po Imperium Liczb zajmujemy się liczbami kwadratowymi, czyli liczbami naturalnymi postaci 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121,.... Książka ta składa się z jedenastu rozdziałów. W rozdziałach 1 i 2 mówimy o cyfrach liczb kwadratowych oraz przedstawiamy różne, stare i nowe, fakty i ciekawostki dotyczące takich liczb. Trzy następne rozdziały (3, 4 i 5) poświęcone są rozkładom liczb naturalnych na sumę kwadratów liczb całkowitych. Szczegółowo badamy w nich te liczby naturalne, które są sumami dwóch lub trzech kwadratów. Najmniejszą liczbą naturalną posiadającą dwa istotnie różne rozkłady na sumę dwóch niezerowych kwadratów jest 50: 50 = 5 2 + 5 2 = 1 2 + 7 2. Najmniejszą liczbą naturalną posiadającą trzy takie rozkłady jest 325 = 1 2 +18 2 = 6 2 +32 2 = 10 2 + 15 2. W książce tej znajdziemy pewne informacje o tego rodzaju najmniejszych liczbach naturalnych. Dowiemy się, na przykład, że jedną z takich liczb jest 1 215 306 625. Ta liczba ma 8 2 różnych rozkładów. Każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów liczb całkowitych. Twierdzenie to, zwane twierdzeniem Lagrange a, ma sporo różnych dowodów. W książce przedstawiamy krótki dowód Smalla z 1982 roku. W dowodzie tym wykorzystuje się znane własności liczb zespolonych. W rozdziale 6 zajmujemy się D(m)-zbiorami. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych i niech m będzie niezerową liczbą całkowitą. Mówimy, że A jest D(m)-zbiorem, jeśli każda liczba postaci ab + m, gdzie a, b A, a b, jest kwadratowa. Liczbę elementów takiego zbioru nazywamy długością zbioru A. Dla przykładu, {1, 3, 8, 120} jest D(1)-zbiorem długości 4: 1 3 + 1 = 2 2, 1 120 + 1 = 11 2, 1 8 + 1 = 3 2, 3 120 + 1 = 19 2, 3 8 + 1 = 5 2, 8 120 + 1 = 31 2. Cały rozdział 7 dotyczy trójek Pitagorasa, czyli trójek (x, y, z), liczb naturalnych spełniających kwadratowe równanie diofantyczne x 2 + y 2 = z 2. O rozwiązaniach innych kwadratowych równań diofantycznych przeczytamy w rozdziałach 8 i 9. W rozdziale 10 badamy elementy kwadratowe w skończonych pierścieniach liczb całkowitych modulo m. Takie pierścienie oznacza się przez Z m. Jeśli m 2 jest bezkwadratową liczbą naturalną, to każdy element pierścienia Z m jest sumą dwóch kwadratów. Przedstawiamy pewien znany i krótki dowód tego faktu. W omawianym rozdziale znajdziemy również kilka interesujących informacji o kwadratach w ciałach skończonych. 3
Ostatni rozdział tej książki ma ponad 20 stron. Zajmujemy się w nim formami kwadratowymi postaci F (x, y) = ax 2 + bxy + cy 2, gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami całkowitymi. Podajemy klsyfikację takich form oraz badamy zbiór wszystkich liczb całkowitych postaci F (u, v), gdzie u i v są liczbami całkowitymi. W tej książce znajdziemy sporo informacji o rozwiązaniach różnego rodzaju diofantycznych równań kwadratowych. Nie zajmujemy się tu jednak równaniami Pella, czyli równaniami postaci x 2 dy 2 = 1 lub ax 2 by 2 = c, gdzie d, a, b, c są liczbami całkowitymi. Takie równania rozważaċ będziemy w oddzielnej książce z serii Podróże po Imperium Liczb. 4
1 Cyfry liczb kwadratowych Liczby od 1 do 350 i ich kwadraty. 1 1 51 2601 101 10201 151 22801 201 40401 251 63001 301 90601 2 4 52 2704 102 10404 152 23104 202 40804 252 63504 302 91204 3 9 53 2809 103 10609 153 23409 203 41209 253 64009 303 91809 4 16 54 2916 104 10816 154 23716 204 41616 254 64516 304 92416 5 25 55 3025 105 11025 155 24025 205 42025 255 65025 305 93025 6 36 56 3136 106 11236 156 24336 206 42436 256 65536 306 93636 7 49 57 3249 107 11449 157 24649 207 42849 257 66049 307 94249 8 64 58 3364 108 11664 158 24964 208 43264 258 66564 308 94864 9 81 59 3481 109 11881 159 25281 209 43681 259 67081 309 95481 10 100 60 3600 110 12100 160 25600 210 44100 260 67600 310 96100 11 121 61 3721 111 12321 161 25921 211 44521 261 68121 311 96721 12 144 62 3844 112 12544 162 26244 212 44944 262 68644 312 97344 13 169 63 3969 113 12769 163 26569 213 45369 263 69169 313 97969 14 196 64 4096 114 12996 164 26896 214 45796 264 69696 314 98596 15 225 65 4225 115 13225 165 27225 215 46225 265 70225 315 99225 16 256 66 4356 116 13456 166 27556 216 46656 266 70756 316 99856 17 289 67 4489 117 13689 167 27889 217 47089 267 71289 317 100489 18 324 68 4624 118 13924 168 28224 218 47524 268 71824 318 101124 19 361 69 4761 119 14161 169 28561 219 47961 269 72361 319 101761 20 400 70 4900 120 14400 170 28900 220 48400 270 72900 320 102400 21 441 71 5041 121 14641 171 29241 221 48841 271 73441 321 103041 22 484 72 5184 122 14884 172 29584 222 49284 272 73984 322 103684 23 529 73 5329 123 15129 173 29929 223 49729 273 74529 323 104329 24 576 74 5476 124 15376 174 30276 224 50176 274 75076 324 104976 25 625 75 5625 125 15625 175 30625 225 50625 275 75625 325 105625 26 676 76 5776 126 15876 176 30976 226 51076 276 76176 326 106276 27 729 77 5929 127 16129 177 31329 227 51529 277 76729 327 106929 28 784 78 6084 128 16384 178 31684 228 51984 278 77284 328 107584 29 841 79 6241 129 16641 179 32041 229 52441 279 77841 329 108241 30 900 80 6400 130 16900 180 32400 230 52900 280 78400 330 108900 31 961 81 6561 131 17161 181 32761 231 53361 281 78961 331 109561 32 1024 82 6724 132 17424 182 33124 232 53824 282 79524 332 110224 33 1089 83 6889 133 17689 183 33489 233 54289 283 80089 333 110889 34 1156 84 7056 134 17956 184 33856 234 54756 284 80656 334 111556 35 1225 85 7225 135 18225 185 34225 235 55225 285 81225 335 112225 36 1296 86 7396 136 18496 186 34596 236 55696 286 81796 336 112896 37 1369 87 7569 137 18769 187 34969 237 56169 287 82369 337 113569 38 1444 88 7744 138 19044 188 35344 238 56644 288 82944 338 114244 39 1521 89 7921 139 19321 189 35721 239 57121 289 83521 339 114921 40 1600 90 8100 140 19600 190 36100 240 57600 290 84100 340 115600 41 1681 91 8281 141 19881 191 36481 241 58081 291 84681 341 116281 42 1764 92 8464 142 20164 192 36864 242 58564 292 85264 342 116964 43 1849 93 8649 143 20449 193 37249 243 59049 293 85849 343 117649 44 1936 94 8836 144 20736 194 37636 244 59536 294 86436 344 118336 45 2025 95 9025 145 21025 195 38025 245 60025 295 87025 345 119025 46 2116 96 9216 146 21316 196 38416 246 60516 296 87616 346 119716 47 2209 97 9409 147 21609 197 38809 247 61009 297 88209 347 120409 48 2304 98 9604 148 21904 198 39204 248 61504 298 88804 348 121104 49 2401 99 9801 149 22201 199 39601 249 62001 299 89401 349 121801 50 2500 100 10000 150 22500 200 40000 250 62500 300 90000 350 122500 5
6 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 1.1 Przykłady liczb kwadratowych 1.1.1. 13 2 = 169, 31 2 = 961, (1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9; 12 2 = 144, 21 2 = 441, (1 + 2) 2 = 1 + 4 + 4. 1.1.2. 9801 = (98 + 01) 2, 2025 = (20 + 25) 2, 3025 = (30 + 25) 2. ([Szu87] 63). 1.1.3. Liczby 4 i 9 są kwadratowe i liczba 49 też jest kwadratowa. Liczby 16 i 81 są kwadratowe i liczba 1681 też jest kwadratowa (równa 41 2 ). Inne przykłady tego typu: 225 = 15 2, 625 = 25 2, 225 625 = 475 2 ; 2401 = 49 2, 9801 = 99 2, 2401 9801 = 4901 2 ; 15876 = 126 2, 24025 = 155 2 15876 24025 = 39845 2 ; 25281 = 159 2, 78961 = 281 2, 25281 78961 = 50281 2 ; 31329 = 177 2, 76729 = 277 2, 31329 76729 = 55973 2 ; 81225 = 285 2, 15625 = 125 2, 81225 15625 = 90125 2. (Maple). 1.1.4. 959 2 = 919681 919 + 681 = 40 2, 960 2 = 921600 921 + 600 = 39 2, 961 2 = 923521 923 + 521 = 38 2. ([MOc] 2003 z.265). 1.1.5. 1110 1111 1112 1113 + 1 = 1235431 2. ([Mon] 51(10)(1944) E612). 1.1.6. 27 2 = (2 + 7) 3. Innych dwucyfrowych liczb o tej własności nie ma. ([DyM] 119). 1.1.7. 24480121212121 = 4947739 2, 78393121212121 = 8853989 2. ([Mat] 3/1955 65). Zajmować się będziemy głównie cyframi liczb kwadratowych w dziesiętnym systemie numeracji. Rozpatrywać będziemy również systemy numeracji o podstawie q 2. Zapis m = (a s a s 1... a 1 a 0 ) q oznacza, że m jest liczbą naturalną, której kolejnymi cyframi, w systemie numeracji o podstawie q, są a s, a s 1,..., a 1, a 0. Innymi słowy: m = (a s a s 1... a 1 a 0 ) q = a s q s + a s 1 q s 1 + + a 1 q + a 0 oraz a 0, a 1,..., a s {0, 1, 2,..., (q 1)}. Występujące w tym zapisie nawiasy będziemy często pomijać i pisać będziemy na przykład 34222 7 zamiast (34222) 7. 1.1.8. Przykłady: 33 2 = 2244 5, 66 2 = 5544 8. 1.2 Ciągi liczb kwadratowych i cyfry 1.2.1. Każdy wyraz następujących ciągów jest liczbą kwadratową. (1) 729, 71289, 7112889, 711128889,.... ([Mon] 51(5)(1944)). (2) 7744, 97970404, 997997004004,.... (88 2, 9898 2, 998998 2,... ). ([Mon] 51(5)(1944)). (3) 101761, 11015761, 1110155761, 111101555761,... ; (319 2, 3319 2, 33319 2,... ).
Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 7 1.2.2. Każdy wyraz następujących ciągów jest liczbą kwadratową. (1) 27556, 2775556, 277755556, 27777555556,... ; (166 2, 1666 2, 16666 2,... ). (2) 27889, 2778889, 277788889, 27777888889,... ; (167 2, 1667 2, 16667 2,... ). (3) 249001, 24990001, 2499900001, 249999000001,... ; (499 2, 4999 2, 49999 2,... ). (4) 990025, 99900025, 9999000025, 999990000025,... ; (995 2, 9995 2, 99995 2,... ). (Maple). 1.2.3. Żaden wyraz następujących ciągów nie jest liczbą kwadratową. (1) 31, 301, 3001, 30001,. ([Fom] 36/93). (2) a09, a009, a0009, a00009,, gdzie a {1, 2,..., 9}. ([MOc] 2005 z.408). D. (1). Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą postaci 3 10 n +1. Dla n = 1 i n = 2 mamy odpowiednio liczby 31 i 301, które nie są kwadratowe. Niech n 3 i przypuśćmy, że 3 10 n + 1 = k 2, gdzie k N. Mamy wtedy równość 3 2 n 5 n = (k 1)(k + 1). Tylko jedna z liczb k 1, k + 1 może być podzielna przez 5, a zatem jedna z tych liczb jest podzielna przez 5 n. Niech k 1 = 5 n u, dla pewnego u N. Wtedy k + 1 = 5 n u + 2, a więc 3 2 n = u(5 n u + 2) 5 n + 2. Otrzymaliśmy nierówność 3 2 n 5 n + 2, która dla n 3 jest fałszywa. W ten sam sposób dochodzimy do sprzeczności w przypadku, gdy k + 1 = 5 n u. (2). Wykazujemy to dokładnie tak samo jak (1). 1.2.4. 1 + 111555 = (1 + 333) 2, 1 + 444888 = (1 + 666) 2. ([Bedn] 2). 1.2.5. Znaleźć cyfry a, b, c takie, że dla wszystkich n N zachodzi równość aa }{{... a} bb }{{... b} +1 = (cc }{{... c} +1) 2. n n n Odp. (a, b, c) = (1, 5, 3), (4, 8, 6), (9, 9, 9). ([Mat] 6/1954 62). 1.2.6. Niech a, b, c będą cyframi w układzie numeracji o podstawie q 2. Wówczas dla wszystkich wszystkich liczb naturalnych n zachodzi równość (aa }{{... a} bb }{{... b} ) q + 1 = ((cc }{{... c} ) q + 1) 2 n n n wtedy i tylko wtedy, gdy c 2 = (q 1)a, b = 2c a. ([Mat] 6/1954 63). 1.2.7. Znaleźć cyfry a 0 i b takie, że dla wszystkich n N, liczba aa }{{... a} 6 bb }{{... b} 4 n n jest kwadratowa. Odp. (a, b) = (4, 2), (9, 0). ([OM] ZSRR 1984, [WaJ] 387(84)).
8 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 1.2.8. 1.2.9. 1.2.10. 31 2 = 961 331 2 = 109561 3331 2 = 11095561 33331 2 = 1110955561. 34 2 = 1156 334 2 = 111556 3334 2 = 11115556 33334 2 = 1111155556. 37 2 = 1369 337 2 = 113569 3337 2 = 11135569 33337 2 = 1111355569. 61 2 = 3721 661 2 = 436921 6661 2 = 44368921 66661 2 = 4443688921.. 62 2 = 3844 662 2 = 438244 6662 2 = 44382244 66662 2 = 4443822244. 63 2 = 3969 663 2 = 439569 6663 2 = 44395569 66663 2 = 4443955569. 91 2 = 8281 991 2 = 982081 9991 2 = 99820081 99991 2 = 9998200081. 92 2 = 8464 992 2 = 984064 9992 2 = 99840064 99992 2 = 9998400064. 93 2 = 8649 993 2 = 986049 9993 2 = 99860049 99993 2 = 9998600049. 32 2 = 1024 332 2 = 110224 3332 2 = 11102224 33332 2 = 1111022224. 35 2 = 1225 335 2 = 112225 3335 2 = 11122225 33335 2 = 1111222225. 38 2 = 1444 338 2 = 114244 3338 2 = 11142244 33338 2 = 1111422244. 64 2 = 4096 664 2 = 440896 6664 2 = 44408896 66664 2 = 4444088896. 65 2 = 4225 665 2 = 442225 6665 2 = 44422225 66665 2 = 4444222225. 66 2 = 4356 666 2 = 443556 6666 2 = 44435556 66666 2 = 4444355556. 94 2 = 8836 994 2 = 988036 9994 2 = 99880036 99994 2 = 9998800036. 95 2 = 9025 995 2 = 990025 9995 2 = 99900025 99995 2 = 9999000025. 96 2 = 9216 996 2 = 992016 9996 2 = 99920016 99996 2 = 9999200016. 33 2 = 1089 333 2 = 110889 3333 2 = 11108889 33333 2 = 1111088889. 36 2 = 1296 336 2 = 112896 3336 2 = 11128896 33336 2 = 1111288896. 39 2 = 1521 339 2 = 114921 3339 2 = 11148921 33339 2 = 1111488921. (Maple). 67 2 = 4489 667 2 = 444889 6667 2 = 44448889 66667 2 = 4444488889. 68 2 = 4624 668 2 = 446224 6668 2 = 44462224 66668 2 = 4444622224.. 69 2 = 4761 669 2 = 447561 6669 2 = 44475561 66669 2 = 4444755561 (Maple). 97 2 = 9409 997 2 = 994009 9997 2 = 99940009 99997 2 = 9999400009. 98 2 = 9604 998 2 = 996004 9998 2 = 99960004 99998 2 = 9999600004. 99 2 = 9801 999 2 = 998001 9999 2 = 99980001 99999 2 = 9999800001. (Maple).
Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 9 1.2.11. (A + 11 }{{... 1 } ) 2 = A 2 + } 11 {{... 1 } n 2n (A + 33 }{{... 3 } ) 2 = A 2 + } 33 {{... 3 } n 2n (A + 55... 5) = A 2 + 55... 5 }{{} n (A + 77... 7 }{{} n (A + 99... 9 }{{} n }{{} 2n ) 2 = A 2 + 77... 7 }{{} 2n ) 2 = A 2 + 99... 9 }{{} 2n dla A = } 44 {{... 4 } 5, n 1 dla A = } 33 {{... 3 } 4, n 1 dla A = } 22 {{... 2 } 3, n 1 dla A = } 11 {{... 1 } 2, n 1 dla A = 1. ([Mat] 6/1972). 1.2.12. 11 2 = 3 2, 1111 22 = 33 2, 111111 222 = 333 2 i ogólnie: dla wszystkich n 1. ([San2] 28). 11 }.{{.. 11} 2n 22 }.{{.. 22} = n 2 33... 33 }{{} n 1.2.13. Jeśli q = m 2 + 1, gdzie m 2, to każda liczba postaci (dla n N) jest kwadratowa. ([Mat] 2/1979 120). (11 }.{{.. 11} ) q (22 }.{{.. 22} 2n n ) q 1.2.14. 55 }{{... 5} 6 2 44 }{{... 4} 5 2 = } 11 {{... 1} n 1 n 1 2n U. Zachodzą także następujące równości:. ([Mat] 1-2/1955 77). 66... 67 2 33... 34 2 = 33... 3, 77... 78 2 22... 23 2 = 55... 5, 88... 89 2 11... 12 2 = 77... 7. 1.3 Zero-jedynkowe liczby kwadratowe Mówić będziemy, że dana liczba naturalna jest zero-jedynkowa, jeśli każda jej cyfra w zapisie dziesiętnym jest równa 0 lub 1. Zero-jedynkowe liczby 1, 100, 10 000, 1 000 000,... są kwadratowe. Czy są jeszcze inne takie liczby kwadratowe? W książce D. V. Fomina [Fom](strona 32) znajduje się następujące zadanie z Olimpiady Matematycznej w Leningradzie z 1962 roku. 1.3.1. Wykazać, że dowolna liczba zero-jedynkowa, mająca co najmniej dwie jedynki, nie jest liczbą kwadratową. We wspomnianej książce nie ma rozwiązania tego zadania oraz nie ma żadnego komentarza. Nie potrafię tego udowodnić. Czy to jest w ogóle prawdą? Spradziłem (za pomocą komputera), że żadna liczba zero-jedynkowa mająca co najmniej dwie jedynki, której liczba cyfr jest mniejsza od 29, nie jest kwadratowa, Łatwo wykazuje się następujące szczególne przypadki zadania 1.3.1.
10 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 1.3.2. W ciągu 11, 111, 1111, 11111, nie ma żadnej liczby kwadratowej. ([WyKM], [Bedn]). D. Każda z tych liczb jest postaci 4k + 3, tzn. reszty z dzielenia wszystkich tych liczb przez 4 są równe 3. Resztą z dzielenia przez 4 każdej liczby kwadratowej jest zawsze 0 lub 1; nie ma reszty równej 3. W ten sam sposób dowodzimy, że: 1.3.3. Żadna liczba zero-jedynkowa, której dwie ostatnie cyfry są jedynkami, nie jest liczbą kwadratową. 1.3.4. W ciągu 101, 10101, 1010101, 101010101, nie ma żadnej liczby kwadratowej. D. Wszystkie te liczby są postaci 8k + 5. Resztą z dzielenia przez 8 każdej liczby kwadratowej jest zawsze 0, 1 lub 4; nie ma reszty równej 5. 1.3.5. Żadna liczba zero-jedynkowa, której trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę 101, nie jest liczbą kwadratową. D. Wszystkie takie liczby są postaci 8k + 5. 1.3.6. W ciągu 11, 101, 1001, 10001, 100001 nie ma żadnej liczby kwadratowej. D. Sposób I. Każda taka liczba jest postaci 3k + 2 (gdyż suma jej cyfr jest równa 2). Liczba kwadratowa nigdy nie jest postaci 3k + 2. Sposób II. Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą postaci 10 n + 1. Przypuśćmy, że 10 n + 1 = k 2, gdzie k N. Mamy wtedy równość 2 n 5 n = (k 1)(k +1). Tylko jedna z liczb k 1, k +1 może być podzielna przez 5, a zatem jedna z tych liczb jest podzielna przez 5 n. Niech k + 1 = 5 n u, dla pewnego u N. Wtedy k 1 = 5 n u 2, a więc 2 n = u(5 n u 2) 5 n 2. Otrzymaliśmy nierówność 2 n 5 n 2, która dla n 1 jest oczywiście fałszywa. W ten sam sposób dochodzimy do sprzeczności w przypadku, gdy k 1 = 5 n u. 1.3.7. Jeśli liczba zero-jedynkowa ma dokładnie 3 jedynki, to nie jest kwadratowa. D. Każda taka liczba jest podzielna przez 3 (bo suma jej cyfr jest równa 3) i nie jest podzielna przez 9. Wekorzystaliśmy znane cechy podzielności przez 3 i 9. W ten sam sposób dowodzimy: 1.3.8. Jeśli liczba zero-jedynkowa ma dokładnie 5, 6, 7 lub 8 jedynek, to nie jest kwadratowa. Zanotujmy kilka obserwacji dotyczących zero-jedynkowych liczb kwadratowych w systemach numeracji o podstawie q 2. W dwójkowym systemie numeracji każda liczba postaci (11... 1) 2 (n jedynek) jest liczbą Mersenne a 2 n 1. Gdy n 2, to taka liczba nigdy nie jest kwadratowa. Wynika to z następujące ogólniejszego stwierdzenia. 1.3.9. Żadna liczba Mersenne a większa od 1 nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku większym od 1. ([S59] 374, [MM] 47(4)(1974) 231).
Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 11 Liczby 11 3, 11 8, 11 15 są kwadratowe. Jeśli bowiem q jest postaci a 2 1, gdzie a N, to liczba 11 q jest kwadratowa; jest ona równa a 2. 1.3.10. 11111 3 = 11 2. 1.3.11. 1111 7 = 20 2, 4444 7 = 40 2. Najmniejszą parzystą liczbą naturalną q taką, że liczba (aaaa) q jest kwadratowa, jest q = 45368 (wtedy a = 1073). ([Mon] 3/2001 z.10741). W dwójkowym systemie numeracji dowolna liczba naturalna jest zbudowana z zer i jedynek; jest więc w tym systemie zero-jedynkową liczbą. Załóżmy dalej, że podstawa systemu numeracji jest większa od dwójki. 1.3.12. Istnieje nieskończnie wiele takich liczb kwadratowych, których wszystkie cyfry w trójkowym systemie numeracji należą do zbioru {0, 1} i wśród tych cyfr są co najmniej dwie jedynki. Wynika to na przykład z równości 1 } 00 {{... 0} 11 } 00 {{... 0} 11 n n zachodzącej dla każdej liczby naturalnej n. 3 = ( 3 n+2 + 2) 2, D. Podana równość jest łatwa do sprawdzenia. Mamy bowiem: ( 3 n+2 + 2 ) 2 = 3 2(n+2) + 4 3 n+1 + 4 = 1 3 2n+4 + 1 3 n+2 + 1 3 n+1 + 1 3 + 1. 1.3.13. Istnieje nieskończnie wiele takich liczb kwadratowych, których wszystkie cyfry w czwórkowym systemie numeracji należą do zbioru {0, 1} i wśród tych cyfr są co najmniej dwie jedynki. Wynika to na przykład z równości 1 } 00 {{... 0} 1 } 00 {{... 0} 1 n 1 n zachodzącej dla każdej liczby naturalnej n. 4 = (2 4 n + 1) 2, 1.3.14. Istnieje liczba kwadratowa n 2, która w piątkowym systemie numeracji ma tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki. Tą liczbą jest 111001100000110101 5 = 972799 2. Czy są jeszcze inne takie liczby n 2. Wiadomo, że innych nie ma gdy n < 55 10 6. (Maple). 1.3.15. Czy istnieje taka liczba kwadratowa n 2, która w szóstkowym systemie numeracji ma tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki? Wiadomo, że takiej liczby kwadratowej n 2 nie ma dla n < 34 10 6. (Maple). 1.3.16. 1111 7 = 20 2. Czy istnieje taka liczba kwadratowa n 2, która jest większa od 20 2 oraz w siódemkowym systemie numeracji ma tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki? Wiadomo, że takiej liczby kwadratowej n 2 nie ma dla n < 23 10 6. (Maple).
12 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 1.3.17. 11 8 = 3 2, 1010111111 8 = 11677 2. Czy Istnieją jeszcze inne takie liczby kwadratowe n 2, które w ósemkowym systemie numeracji mają tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki? Wiadomo, że takich innych liczb kwadratowych n 2 nie ma dla n < 15 10 6. (Maple). 1.3.18. Czy istnieje taka liczba kwadratowa n 2, która w dziewiątkowym systemie numeracji ma tylko zera i jedynki i przy tym są co najmniej dwie jedynki? Wiadomo, że takiej liczby kwadratowej n 2 nie ma dla n < 25 10 6. (Maple). 1.4 Liczby kwadratowe i dwie cyfry W poprzednim podrozdziale zajmowaliśmy się liczbami kwadratowymi zbudowanymi w systemie dziesiętnym tylko z zer i jedynek. Wszystkie cyfry takich liczb należały do zbioru {0, 1}. Teraz zajmować się będziemy takimi liczbami kwadratowymi, których wszystkie cyfry należą do ustalonego zbioru {a, b}, gdzie a, b są różnymi cyframi systemu dziesiętnego. Wiemy (patrz 1.3.2), że w ciągu 11, 111, 1111, 11111, nie ma żadnej liczby kwadratowej. Stąd wynika: 1.4.1. Nie ma żadnej takiej liczby kwadratowej, która ma co najmniej dwie cyfry i wszystkie jej cyfry są jednakowe. Zbadajmy teraz liczby kwadratowe, których wszystkie cyfry należą do dwuelementowego zbioru {a, b} i każda z tych cyfr a, b co najmniej jeden raz występuje. Załóżmy najpierw, że a = 0 oraz b {2, 3,..., 9}. 1.4.2. Każda cyfra liczby naturalnej u jest równa 0 lub 6. Wykazać, że u nie jest liczbą kwadratową. ([Ko02]). D. Ponieważ u jest liczbą naturalną (czyli większą od zera), więc u musi posiadać co najmniej jedną szóstkę. Przypuśćmy, że u jest liczbą kwadratową. Jeśli ostatnią cyfrą liczby u jest zero, to liczba tych zer na koṅcu musi byż parzysta. Po ich odrzuceniu otrzymujemy liczbę kwadratową v, której dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 6 lub 66. Liczba v jest więc postaci 4k + 2. Jest oczywiste, że nie ma liczby kwadratowej postaci 4k + 2. W ten sam sposób wykazujemy, że nie ma takiej liczby kwadratowej, której wszystkie cyfry należą do zbioru {0, b}, gdzie b = 2, 3, 5, 7 lub 8. Przypadek b = 1 omówilśmy w poprzednim podrozdziale. Jeśli b = 4 lub b = 9 i co najmniej dwie cyfry b występują, to problem nieistnienia rozważanych liczb kwadratowych sprowadza się do rozwiązania zadania 1.3.1. 1.4.3. Istnieje 21 liczb naturalnych n niepodzielnych przez 10 takich, że w zapisie dziesiętnym liczby n 2 występują tylko dwie różne cyfry. Są to następujące liczby: 4 2 = 16, 5 2 = 25, 6 2 = 36, 7 2 = 49, 8 2 = 64, 9 2 = 81, 11 2 = 121, 12 2 = 144, 15 2 = 225, 21 2 = 441, 22 2 = 484, 26 2 = 676, 38 2 = 1444, 88 2 = 7744, 109 2 = 11881, 173 2 = 29929, 212 2 = 44944, 235 2 = 55225, 264 2 = 69696, 3114 2 = 9696996, 81619 2 = 6661661161. Czy istnieją jeszcze inne takie liczby? Wiadomo, że nie ma ich dla n < 14 10 7. (Maple). J. Witczak, O podnoszeniu do kwadratu liczb dwucyfrowych, [Mat] 1/1953. K. Zieliński, O podnoszeniu do kwadratu liczb dwucyfrowych, [Mat] 1/1954 30-32.
Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 13 1.5 Liczby kwadratowe i trzy cyfry 1.5.1. Istnieje nieskończenie wiele takich liczb kwadratowych, niepodzielnych przez 10, których zapis dziesiętny zbudowany jest tylko z trzech różnych cyfr. Takimi liczbami kwadratowymi są na przykład wszystkie liczby postaci 11... 155... 56; kwadraty liczb 33... 34. 1.5.2. Przykłady liczb kwadratowych zbudowanych tylko z trzech różnych cyfr. Każdy wyraz następujących ciągów jest liczbą kwadratową. (1) 10201, 1002001, 100020001,... ; (101 2, 1001 2, 10001 2,... ). ([Bedn] 4). (2) 27225, 2772225, 277722225, 27777222225,... ; (165 2, 1665 2, 16665 2,... ). (3) 111556, 11115556, 1111155556, 111111555556,... ; (334 2, 3334 2, 33334 2,... ). (4) 112225, 11122225, 1111222225, 111112222225,... ; (335 2, 3335 2, 33335 2,... ). (5) 114244, 11142244, 1111422244, 111114222244,... ; (338 2, 3338 2, 33338 2,... ). (6) 442225, 44422225, 4444222225, 444442222225,... ; (665 2, 6665 2, 66665 2,... ). (7) 444889, 44448889, 4444488889, 444444888889,... ; (667 2, 6667 2, 66667 2,... ). 1.5.3. Dla których podstaw numeracji q 6 istnieje liczba M taka, że każda liczba postaci (11 }.{{.. 11} 22 }.{{.. 22} 5) q, n 1 n gdzie n > M, jest kwadratowa? Odp. Tylko dla q = 10. ([IMO] Shortlist 2003). 1.6 Kwadraty z wszystkimi cyframi 1.6.1. W liczbach 57321 i 60984 występują wszystkie cyfry układu dziesiętnego. Kwadraty tych liczb są równe odpowiednio 3285697041 i 3719048256; występuje w nich każda cyfra. ([Kw] 4/1973 29). 1.6.2 (John Hill 1727). W liczbie 139854276 występują wszystkie niezerowe cyfry. Liczba ta jest kwadratowa: 139854276 = 11826 2. ([Dic1] 453). 1.6.3. Wśród liczb dziesięciocyfrowych zbudowanych z samych różnych cyfr istnieje 10 liczb kwadratowych: 1 026 753 849 = 32 043 2, 1 042 385 796 = 32 286 2, 1 098 524 736 = 33 144 2, 1 237 069 584 = 35 172 2, 1 532 487 609 = 39 147 2, 2 081 549 376 = 45 624 2, 3 074 258 916 = 55 446 2, 4 728 850 169 = 68 763 2, 7 042 398 561 = 83 919 2, 9 814 072 356 = 99 066 2. ([Kord] 328). 1.6.4. 567 2 = 321489, 854 2 = 729316. Występują wszystkie niezerowe cyfry i przy tym każda jeden raz. ([Mon] 41(9)(1934) E89). 1.6.5. 87639 2 = 7680594321. Występują wszystkie cyfry i cztery ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Jedyny przykład tego rodzaju. ([Mon] 43(3)(1936) E172).
14 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 1.6.6. 69 2 = 4761, 69 3 = 328509. Występują wszystkie cyfry i przy tym każda jeden raz. Jedyny przykład tego rodzaju. ([Mon] 42(2)(1935) E116). 1.6.7. Liczba a ma 19 cyfr i w jej zapisie dziesiętnym występują wszystkie cyfry oprócz zera. Ostatnią cyfrą jest 5. Wykazać, że a nie jest liczbą kwadratową. ([OM] ZSRR 1973). 1.6.8. 1000-cyfrowa liczba ma wszystkie cyfry oprócz jednej, równej 5. Wykazać, że liczba ta nie jest kwadratowa. ([Fom] 8/68). 1.7 Parzystość cyfr 1.7.1. Nie ma pięciocyfrowej liczby kwadratowej, w której występują wszystkie nieparzyste cyfry 1, 3, 5, 7, 9. Nie ma pięciocyfrowej liczby kwadratowej, w której występują wszystkie parzyste cyfry 0, 2, 4, 6, 8. ([Tri] 70). 1.7.2. Wszystkie czterocyfrowe liczby kwadratowe bez nieparzystych cyfr: 4624 = 68 2, 6084 = 78 2, 6400 = 80 2, 8464 = 92 2. ([Je88]). 1.7.3. Każda liczba kwadratowa > 9 ma co najmniej jedną cyfrę parzystą. Dowód. Wynika to np. z 1.13.5. ([OM] Polska 1986). 1.7.4. Jeśli n jest nieujemną liczbą całkowitą taką, że wszystkie liczby n, n 2 i n 4 mają tylko cyfry parzyste, to n = 0 ([MG] 84(500)(2000) s.290). 1.7.5. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że wszystkie liczby n, n 2 i n 3 mają tylko cyfry parzyste. Dowód. Liczby postaci 200... 02 mają tę własność. ([MG] 84(500)(2000) s.290). F. Luca, Digital patterns in perfect squares, [MG] 84(500)(2000) 289-291. 1.8 Palindromiczne liczby kwadratowe Mówimy, że liczba naturalna n jest palindromiczna (lub, że jest symetryczna), jeśli pokrywa się z liczbą mającą cyfry liczby n zapisane w odwrotnej kolejności. Liczbami palindromicznymi są, na przykład, liczby: 121, 12344321, 99599. Pewne informacje o tych liczbach znajdziemy w [N-2]. Liczby kwadratowe 1, 4, 9 są oczywiście palindromiczne. Nie ma dwucyfrowych liczb kwadratowych palindromicznych. Są natomiast trzy takie liczby trzycyfrowe: 121 = 11 2, 484 = 22 2, 676 = 26 2. Następne przykłady palindromicznych liczb kwadratowych: 1.8.1. 10201 = 101 2, 12321 = 111 2, 14641 = 121 2, 40804 = 202 2, 44944 = 212 2, 69696 = 264 2, 94249 = 307 2. (Maple).
Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 15 1.8.2. 698 896 = 836 2. Jest to najmniejsza kwadratowa liczba palindromiczna o parzystej długości. ([MG] 30(288)(1946) 19, [Mat] 4/1955 65). 1.8.3. 1002001 = 1001 2, 1234321 = 1111 2, 4008004 = 2002 2, 5221225 = 2285 2, 6948496 = 2636 2. (Maple). 1.8.4. 100020001 = 10001 2, 102030201 = 10101 2, 104060401 = 10201 2, 121242121 = 11011 2, 123454321 = 11111 2, 125686521 = 11211 2, 400080004 = 20002 2, 404090404 = 20102 2, 522808225 = 22865 2, 617323716 = 24846 2, 942060249 = 30693 2. (Maple). 1.8.5. 637832 238736 = 798644 2, 40999238 83299904 = 64030648 2. ([MG] 30(288)(1946), Maple). T. R. Dawson, Ornamental squares and triangles, [MG] 30(288)(1946) 19-21. 1.9 Lustrzane odbicia liczb kwadratowych Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez n oznaczać będziemy liczbę naturalną powstałą z cyfr liczby n zapisanych w odwrotnej kolejności. Mówić będziemy w tym przypadku, że n jest lustrzanym odbiciem liczby n. Przykłady: 12345 = 54321, 4453377 = 7733544, 92100 = 129. Takie liczby n pojawiły się już w [N-2]. W poprzednim podrozdziale mówiliśmy o liczbach palindromicznych, czyli o takich liczbach naturalnych n, dla których zachodzi równość n = n. W tym podrozdziale zajmować się będziemy liczbami postaci n, gdzie n będzie liczbą kwadratową. Istnieją liczby kwadratowe, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi. Takimi liczbami są: 4 2, 14 2, 19 2 oraz 28 2 ; (4 2 ) = 16 = 61, (14 2 ) = 196 = 691, (19 2 ) = 361 = 163, (28 2 ) = 784 = 487. Dopisując z prawej strony zera, można z każdego takiego przykładu otrzymać nieskończoną serię liczb kwadratowych, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi. Przykład: (4 2 ) = (40 2 ) = (400 2 ) = = 61. W dalszym ciągu zajmować się będziemy tylko takimi liczbami kwadratowymi, które nie są podzielne przez 10. 1.9.1. W przedziale [1, 100] istnieje dokładnie 13 niepodzielnych przez 10 liczb naturalnych n takich, że lustrzane odbicie liczby n 2 jest liczbą pierwszą. Są to liczby: 4, 14, 19, 28, 32, 37, 38, 41, 62, 85, 89, 95, 97. W przedziale [1, 1000] takich liczb jest 74, a w przedziale [1, 10 000] jest ich 615. 1.9.2. 102 2 = 10404 40401 = 201 2, 103 2 = 10609 90601 = 301 2, 112 2 = 12544 44521 = 211 2, 113 2 = 12769 96721 = 311 2, 122 2 = 14884 48841 = 221 2. ([Jel]).
16 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 1.9.3. 1002 2 = 1004004 4004001 = 2001 2 1003 2 = 1006009 9006001 = 3001 2 1011 2 = 1022121 1212201 = 1101 2 1012 2 = 1024144 4414201 = 2101 2 1013 2 = 1026169 9616201 = 3101 2 1021 2 = 1042441 1442401 = 1201 2 1022 2 = 1044484 4844401 = 2201 2 1031 2 = 1062961 1692601 = 1301 2 1101 2 = 1212201 1022121 = 1011 2 1102 2 = 1214404 4044121 = 2011 2 1.9.4. 10002 2 = 100040004 400040001 = 20001 2 10003 2 = 100060009 900060001 = 30001 2 10011 2 = 100220121 121022001 = 11001 2 10012 2 = 100240144 441042001 = 21001 2 10013 2 = 100260169 961062001 = 31001 2 10021 2 = 100420441 144024001 = 12001 2 10022 2 = 100440484 484044001 = 22001 2 10031 2 = 100620961 169026001 = 13001 2 10102 2 = 102050404 404050201 = 20101 2 10103 2 = 102070609 906070201 = 30101 2 10111 2 = 102232321 123232201 = 11101 2 10112 2 = 102252544 445252201 = 21101 2 10113 2 = 102272769 967272201 = 31101 2 10121 2 = 102434641 146434201 = 12101 2 10122 2 = 102454884 488454201 = 22101 2 10202 2 = 104080804 408080401 = 20201 2 10211 2 = 104264521 125462401 = 11201 2 10212 2 = 104284944 449482401 = 21201 2 10221 2 = 104468841 148864401 = 12201 2 1103 2 = 1216609 9066121 = 3011 2 1112 2 = 1236544 4456321 = 2111 2 1113 2 = 1238769 9678321 = 3111 2 1121 2 = 1256641 1466521 = 1211 2 1122 2 = 1258884 4888521 = 2211 2 1202 2 = 1444804 4084441 = 2021 2 1212 2 = 1468944 4498641 = 2121 2 2102 2 = 4418404 4048144 = 2012 2 2202 2 = 4848804 4088484 = 2022 2 (Maple). 11002 2 = 121044004 400440121 = 20011 2 11003 2 = 121066009 900660121 = 30011 2 11012 2 = 121264144 441462121 = 21011 2 11013 2 = 121286169 961682121 = 31011 2 11021 2 = 121462441 144264121 = 12011 2 11022 2 = 121484484 484484121 = 22011 2 11031 2 = 121682961 169286121 = 13011 2 11102 2 = 123254404 404452321 = 20111 2 11103 2 = 123276609 906672321 = 30111 2 11112 2 = 123476544 445674321 = 21111 2 11113 2 = 123498769 967894321 = 31111 2 11121 2 = 123676641 146676321 = 12111 2 11122 2 = 123698884 488896321 = 22111 2 11202 2 = 125484804 408484521 = 20211 2 12002 2 = 144048004 400840441 = 20021 2 12012 2 = 144288144 441882441 = 21021 2 12102 2 = 146458404 404854641 = 20121 2 12202 2 = 148888804 408888841 = 20221 2 (Maple). Powyższe przykłady dotyczą takich liczb naturalnych n, które spełniają równość ( n 2) = ( n ) 2. W następnych przykładach już tej równości nie ma. 1.9.5. 33 2 = 1089 9801 = 99 2, 3168 2 = 10036224 42263001 = 6501 2. 1.9.6. 1143 2 = 1306449, 9446031 = 4346 4347 2 ; (liczba trójkątna). 1.9.7. Liczby n 2 (n 2 + 2) 2 i n 4 (n 2 + 2) 2 w swym zapisie przy podstawie n 2 + 1 mają te same cyfry, lecz w odwrotnym porządku. ([OM] Szwecja 1989, [Pa97]). 1.10 Liczby kwadratowe specjalnego typu Istnieją liczby kwadratowe, których cyfry tworzą dwie kolejne liczby b + 1, b. Oto cała seria takich liczb: 1.10.1. 91 2 = 82 81, 9901 2 = 9802 9801, 999001 2 = 998002 99800 i ogólniej: dla n 2. ([MG] 30(288)(1946) 19). 99 }{{... 9} 00 }{{... 0} 1 2 = } 99 {{... 9} 8 } 00 {{... 0} 2 99 }{{... 9} 8 } 00 {{... 0} 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n 2
Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych 17 1.10.2. 9079 2 = 8242 8241, 9901 2 = 9802 9801, 733674 2 = 538277 538276, 999001 2 = 998002 998001. (Maple). 1.10.3. 266327 2 = 070930 070929. ([MG] 30(288)(1946) 19). W następnych przykładach występują liczby kwadratowe, których cyfry tworzą kolejne liczby b, b + 1. 1.10.4. 428 2 = 183 184, 573 2 = 328 329, 727 2 = 528 529, 846 2 = 715 716, 36365 2 = 13224 13225, 63636 2 = 40495 40496, 326734 2 = 106755 106756, 673267 2 = 453288 453289, 4545454 2 = 2066115 2066116, 5454547 2 = 2975208 2975209, (Maple). 1.10.5. 2191 2 = 0480 0481. ([MG] 1946). Mówimy, że liczba naturalna jest homonimiczna jeśli jest postaci bb, tzn. jeśli składa się z tej samej grupy cyfr powtórzonej dwukrotnie ([Zw] 1996); na przykład: 7373, 15941594. 1.10.6. Istnieje homonimiczna liczba kwadratowa. Najmniejszą taką liczbą jest 13223140496 13223140496 = 36363636364 2. ([Mon] 42(10)(1935) E154, [MG] 1946, [GaT] 21/76, [Mat] 1/2005 z.1620). 1.10.7. Przykłady homonimicznych liczb kwadratowych. (Maple). 13223140496 13223140496 = 36363636364 2, 20661157025 20661157025 = 45454545455 2, 29752066116 29752066116 = 54545454546 2, 40495867769 40495867769 = 63636363637 2, 52892561984 52892561984 = 72727272728 2, 66942148761 66942148761 = 81818181819 2, 82644628100 82644628100 = 90909090910 2, 183673469387755102041 183673469387755102041 = 428571428571428571429 2, 326530612244897959184 326530612244897959184 = 571428571428571428572 2, 510204081632653061225 510204081632653061225 = 714285714285714285715 2, 734693877551020408164 734693877551020408164 = 857142857142857142858 2. 1.10.8. Istnieje nieskończenie wiele homonimicznych liczb kwadratowych. ([Mon] 42(10)(1935) E154, [GaT] 21/76, [Mat] 1/2005 z.1620). D. Istnieje taka liczba naturalna m, że 10 m + 1 jest podzielne przez kwadrat liczby pierwszej. Najmniejszą z nich jest m = 11. W tym przypadku mamy: 11 2 10 11 + 1. Stąd dalej wynika, że 11 2 10 11(2k 1) + 1 dla wszystkich k N. Istnieje zatem nieskończenie wiele takich liczb naturalnych n, że 11 2 10 n + 1. Za pomocą każdej takiej liczby n można skonstruować odpowiednią homonimiczną liczbę kwadratową.
18 Liczby kwadratowe. 1. Cyfry liczb kwadratowych Konstrukcja jest następująca. Niech a = 10 n + 1, b = a/11 2 oraz niech c = 16ab. Wtedy liczba c jest oczywiście kwadratowa. Zauważmy, że liczba 16b jest n-cyfrowa. Liczba c = 16b (10 n + 1) składa się więc z tej samej grupy cyfr (mianowicie cyfr liczby 16b) powtórzonej dwukrotnie. Jet to więc homonimiczna liczba kwadratowa. 1.10.9. Wykazać, że istnieją parami różne liczby naturalne a 1, a 2,..., a 1996 mające tę samą liczbę cyfr i takie, że liczby a 2 1, a 2 2,..., a 2 1996 są homonimiczne. ([Zw] 1996). 1.10.10. ([MG] 1946). Liczby kwadratowe postaci aabb : 80 80 21 21 = 89 89 2, 97 97 04 04 = 98 98 2, 997 997 004 004 = 998 998 2, 165 165 836 836 = 406 406 2, 352 352 649 649 = 593 593 2, 998000 998000 002001 002001 = 998999 998999 2. 1.10.11. Jedynymi liczbami kwadratowymi pozostającymi kwadratowymi przy każdej permutacji cyfr są kwadraty jednocyfrowe 1, 4 i 9. ([Mat] 4-5/1985 z.1143). 1.10.12. Mówić będziemy, że 2n-cyfrowa liczba jest specjalna, jeśli jest liczbą kwadratową, liczba utworzona z n pierwszych cyfr jest kwadratowa oraz liczba utworzona z n ostatnich liczb jest niezerowa i kwadratowa. (1) Znaleźć wszystkie 2 i 4-cyfrowe liczby specjalne. (2) Czy istnieje 6-cyfrowa liczba specjalna? (3) Znaleźć 8-cyfrową liczbę specjalną. (4) Wykazać, że istnieje 20-cyfrowa liczba specjalna. (5) Wykazać, że 100-cyfrowych liczb specjalnych nie może być więcej niż 10. (6) Wykazać, że istnieje 30-cyfrowa liczba specjalna. ([WaJ] 244(77)). O. (1). 49, 1681 = 41 2. (2). Istnieje. Np. 256036 = 506 2. (3). 2401 9801 = 4901 2. (4). 2499900001 9999800001 = 4999900001 2, 2499900001 = 49999 2, 9999800001 = 99999 2. (5). Dla dowolnego k specjalnymi liczbami 4k-cyfrowymi są tylko liczby (10 k x + t) 2 = 10 2k x 2 + 2 10 k t + t 2, gdzie 10 2k 1 x 2 < 10 2k. Stąd można wywnioskować, że (dla k = 25) są co najwyżej 3 takie liczby. Można wykazać jednak (patrz [Kw] 6/1978 s.46), że co najwyżej dwie. (6). 500000022109321 2. Mówić będziemy, że liczba naturalna jest monotoniczna jeśli jej cyfry (w systemie dziesiętnym), z lewej strony do prawej, tworzą ciąg niemalejący. Jednocyfrowe liczby kwadratowe 1, 4, 9 są oczywiście monotoniczne. Dwucyfrowymi liczbami kwadratowymi monotonicznymi są 16, 25, 36, 49, a trzycyfrowymi: 144 = 12 2, 169 = 13 2, 225 = 15 2, 256 = 16 2 oraz 289 = 17 2.