CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA

MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA, 7 (1969) SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA ZBIGNIEW WESOŁOWSKI (WARSZAWA) W nieliniowej teorii sprę ż ystoś i znanych c jest dotychczas zaledwie kilka ś cisłych rozwią zań (por. [1] i []). Spowodowane to jest faktem, że równania nieliniowej teorii sprę ż ys toś ci są znacznie bardziej złoż one niż teorii liniowej. Ta złoż oność ogranicza w istotny sposób moż liwość uzyskania rozwią zań ogólnych. Praktycznie biorąc istnieje szansa rozwią zania zagadnienia nieliniowego jeś li sprowadza się ono do jednego równania róż niczkowego zwyczajnego. Należy podkreś lić, że nawet w przypadku, gdy poszukiwane funkcje są funkcjami jednej tylko zmiennej, na ogół otrzymuje się nie jedno równanie, a układ równań róż niczkowych zwyczajnych, co wobec nieliniowoś ci uniemoż liwia rozwią zanie. W niniejszej pracy przeprowadzono obliczenia dla dwóch odkształceń, dla których zagadnienie sprowadza się do rozwią zania jednego równania róż niczkowego zwyczajnego. 1. Podstawowe zależ nośi c Przed przystą pieniem do obliczeń konkretnych przypadków podamy tutaj za pracą [1] podstawowe zależ nośi cdotyczą ce nieliniowej teorii sprę ż ystoś. ci Wprowadź my dwa na ogół róż ne układy współrzę dnych: układ {x 1 } z tensorem metrycznym g,j oraz układ {X"} z tensorem metrycznym g x p. Współrzę dne typowego punktu P rozważ anego ciała w stanie naturalnym w układzie {X 3 } oznaczmy przez X". Współrzę dne tego samego punktu w stanie odkształconym w układzie {x'} oznaczymy przez л :' (1.1) x l = *'(*") Czą stkowe pochodne funkcji х Ч Х ")wzglę dem X" (1.) Fi = 8x4dX' nazywamy gradientami odkształcenia. Lewy tensor Cauchy Greena zdefiniowany jest przez zwią zek (1.3) B łj = F*Flg«, a jego niezmienniki przez zwią zki t

196 Z. WESOŁOWSKI (1.4) / = y[/, (fi z ): : ], przy czym 7 3 = det B), (1.5) (B yj = B!r B^g rs. Jeś li deformacja jest izochoryczna (1.6) ' / 3=1. Dla rozważ anych dalej izotropowych nieś ciś liwyc h materiałów sprę ż ystyc h tensor naprę ż eni a r' J okreś lony jest zwią zkiem J (1.7) = Xi# J +Z(#Y J +PĆ J, gdzie p jest dowolną funkcją skalarową, a % l i % funkcjami niezmienników 7 t i I. Funkcje te są funkcjami materiałowymi, charakterystycznymi dla danego materiału. Równania równowagi są (1.8) ^ V ;^ = 0, gdzie Vj oznacza róż niczkowanie kowariantne w układzie {*'}. Obcią ż eni a brzegowe t' odniesione do jednostki powierzchni w stanie odkształconym okreś lone są zwią zkami (1.9) t'^r^nj, gdzie t t j jest jednostkową normalną do powierzchni ciała w stanie odkształconym.. Deformacja klina Rozważ my deformację, która w ustalonym walcowym układzie współrzę dnych opisana jest zwią zkami r = ROL( >), (.1) 0 = /*(в ), z = IZ, gdzie a oraz fi są pewnymi funkcjami, а Я ustalonym parametrem. Jak wynika z (.1) płaszczyzny Z = const przechodzą w płaszczyzny z = const, a linie proste в = const Rys. 1

SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA 197 w linie proste & = const. Okrę gi R = const nie przechodzą przy tym w okrę gi r = const, lecz doznają pewnego zniekształcenia opisanego funkcją <x{0). Celem dalszych rozważ ań jest takie okreś lenie funkcji a i /?, ż eby deformacja była moż liwa. Oznaczając x i = (r, &, z), X х = (R, 0, Z) mamy "l 0 0 1 o o" (.) Su = 0 0, g r ij = 0 l/r 0 0 0 1 o 1. 'l 0 o n "l 0 0" (.3) 0 R 0, g"= 0 IfR 0,0 0 1 0 0 1 Obliczając teraz w oparciu o (.1) gradient odkształcenia F l a otrzymujemy "a Ra.' O 1 (.4) Fi = 0 /9' 0 0 0 Я. gdzie primem oznaczono róż niczkowanie wzglę dem 0. W oparciu o (1.3), (1.4) oraz (.) (.3) moż emy teraz wyznaczyć tensor B' J oraz (B )' J (.5) (.6) (В ) V v u'p'ir 0 B'J = p' /R 0. 0 0 X "(a +a' ) +a a' /9' а '/П а Ч ^ а 'Ч а)/* 0 Zgodnie z (1.4) pierwsze dwa niezmienniki tensora B ij n T. h = а +а ' +а /9' +Я 1 ; I = а 4 у 5'Ч Я (Л А ). a'p'(a +0L' +(x P' )/R 0 ' (а ' р ' +а.,в ' 4 )1В 0 0 Я 4 Dla rozpatrywanego tutaj materiału nieś ciś liweg o zgodnie z (1.6) trzeci niezmiennik / 3 jest równy jednoś ci; obliczając ten niezmiennik i przyrównując go do jednoś ci otrzymujemy 4 (.8) Я а 4 /3' =1, skąd wynika (.9) A' = 4y lub /3'= L. а /I а Я Warunek nieś ciś liwośi cjest więc spełniony jeś li zachodzi (.9)t lub (.9). Dalsze rozważ ania ograniczymy do przypadku, kiedy zachodzi (.9)!. Podstawiając (.9) do (.5) (.7) otrzymujemy 1 а ' л W 0 (.10) B,j = 1 а ' R а Я 0, są

198 Z. WESOŁOWSKI (.11) (a +a' ) + а Я /a' a' 3 a' \ " R' 1 /a' a' 3 a' \ J_/_«^_, J_\ Л \ A a A а 4 Я 3 / R \а 4 Я + а 6 Я 4 / (.1) 7, = Я +а +а 'Ч X\h K) а Я. Jak wynika z (.1) niezmienniki 7 są jedynie funkcjami ką ta 0, nie są natomiast funkcjami promienia r. Fakt ten istotnie upraszcza dalsze obliczenia. Przejdziemy teraz do wyznaczenia naprę żń er tj. (Zgodnie z (1.7) mamy (.13) г 11 = %,(а +а ' )+х (а 4 +а ' 4 +а а ' +Д а а ' )+;>, rv = ^1Я а 4 % (Я а а ' +Я 4 а 4 )+,р, rr 1 = ^ ^ ^^^(Я ^а '+Я ^ 'а ^+Я ^ ^'), T 3 = r 31 = 0. W walcowym układzie wspуłrzę dnych rуwnania rуwnowagi (1.8) przyjmują postać (.14) ± r L + ^ T + ^ or д а г = 0, 8z 0. Zgodnie z (.1) i (.9) należy przy tym pamię tać, że d/dr = a 1 rf/л?, rf/«f# = 1//9' = = Я а d/d&. Podstawiając do powyż szych rуwnań (.13) i uwzglę dniając (.1) otrzymujemy = L,(J?, в ), dr (.15) dp = L (R, в ), г в gdzie Bp dz = 0, (.16) RLi(R, в ) = ^(а Я а +а а ")+ +х (а 4 Я ~ 4 а 4 а Д а ' +З а а ' +<х 3 а "+З а а а '")+ +а ' (а +а а " Я а )( +Я +а ' (а +а а " Я а )(а +а ' +Я а )(^+Я + ),

SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA 199 (.17) Xo?L {R, 9) = ^(а а 'Я 1 +а 'а "А 1 З а 'а 3 А 3 )+. а Я а а ' ' ^ ^ +A! )(«4a«" rv! )(»'4A! «1 ). Я а Z równania (.15) 3 wynika, że p nie zależy od Z,p p(r, 0). Koniecznym warunkiem istnienia funkcji p jest więc Г 18) 8L_dL ( 18) 80~ L 1 dr' co wobec niezależ nośi cl (&) od i? prowadzi do wniosku, że Li(R, O) nie zależy od <9. Zgodnie z (.15)! warunkiem rуwnowagi jest więc ^1(а Я ^Ч а а +%(а '0 Я 4 а 4 +З а а ' З Я а ' +а 3 а '' + З а а а ' ''+Я а 1 а '') + (.19) +а ' ^+Я ^ (а +а а " Я а )(а +а ' +Я а )+ + а ' ( +Я )(а +а а " Я а ) = Я, gdzie Н jest dowolną stałą. Zwią zek ten jest nieliniowym zwyczajnym rуwnaniem rуż niczkowym pozwalają cym wyznaczyć funkcję a((9). Rozwią zanie rуwnania (.19) moż liwe jest jednak dopiero po podaniu funkcji / ) oraz Xi(Ji, h) Dalsze rozważ ania ograniczamy do materiału, gdzie X\ jest stałą materiałową, a % jest rуwne zeru (tzw. neohookeari) (.0) x, = C, X = 0. Dla tego materiału (.19) redukuje się do rуwnania (.1) «+а а " ^ = ~. Oznaczając (.) a'(ć >) = *(a(<9)), mamy (.3) = Rуwnanie (.1) moż na więc przedstawić w nastę pują ce j postaci skąd wynika, że (.5) T x =# l n a ( a + i) + i > ' gdzie D jest stałą całkowania. Ponowne całkowanie prowadzi do

00 Z. WESOŁOWSKI (.6) gdzie E jest stałą całkowania. W ten sposób okreś lona została dwuparametrowa rodzina deformacji moż liwych w materiale (.0). Jeś li H 0, to ogólnym rozwią zaniem równania (.6) jest (.7) <&) = j/"k cos (0 0o)+^sin (@ 6>o). gdzie o oraz к są dowolnymi stałymi. Deformacja (.7) jest deformacją jednorodną. W przypadku H ф 0 funkcja oc(0) nie daje się wyrazić przez funkcje elementarne. W celu pokazania jakiemu odkształceniu odpowiada (.6), wykonano odpowiednie Rys. Rys. 4

SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA 01 obliczenia numeryczne dla H = C, D = 4, E = 0, X 1. Na rys. pokazano obliczoną / a 1 \~ 1/ dla tych wartoś ci funkcję v = I jd+#ln а oraz jej całkę, która jest poszukiwaną funkcją 0(a). Na rys. 3 pokazano funkcję <x(<9) oraz funkcję /3(0). Na rys. 4 pokazano klin nieodkształcony i odkształcony. Po odkształceniu punkty O', l', ',... przechodzą w punkty 0, 1,,.... 3. Deformacja stoż ka Istnienie deformacji (.1) sugeruje, że podobna deformacja jest również moż liwa, jeś li walcowy układ współrzę dnych zastą pić kulistym. Wykaż emy, że tak jest w rzeczywistoś ci. Rozważ amy deformację, która w ustalonym kulistym układzie współrzę dnych opisana jest zwią zkami 1 ) r = Л х (6>), (3.1) 0 = /3(0), <р = Ф, gdzie a oraz /3 są pewnymi funkcjami. Celem dalszych rozważ ań jest takie okreś lenie funkcji a i /3, ż eby deformacja była moż liwa. Oznaczając х * = (r, &, <p), X" = (R, 6, Ф )mamy (3.) Su = (3.3) 1 0 o i Or 0 0 0 r sin # 1 0 o OR 0 0 0 Rhm & g,j = 1 0 0 0 l/r 0 0 0 l/r sin #. 1 0 0 0 l/r 0 L0 0 l/^sin 0_ Obliczając teraz w oparciu o (3.1) gradient odkształcenia Fi (1.) otrzymujemy (3.4) a R<x' 0" Fi I 0 /3' 0 0 0 o gdzie primem oznaczono róż niczkowanie wzglę dem O. W oparciu o (1.3), (1.4), (3.) i (3.3) moż emy teraz wyznaczyć tensory B ij i B ir B** g n = = (B ) ij, a mianowicie a +a' 0 (3.5) 1 «'/9' pp 0 0 l/* sin 6>J ') Deformację nieco ogólniejszą rozważ ał w 1967 r. R. M. Christensen [3], popełnił jednak omyłkę w obliczeniach tensora В Ч,która rzutuje na dalsze obliczenia. 7 Mechanika teoretyczna

0 Z. WESOŁOWSKI (3.6) (3.7) (a +<x' )+av /S' ^a'/s'(a z +a' +a S' ) 0 1а 7?'(«+а 'Ч а П ^ ( «Ч ^ ) Л Zgodnie z (1.4) pierwsze dwa niezmienniki tensora B' j /, = а +а ' +а /3' +а ^ 0 sin sin о są а sin ff R sin 4 ć>, / = а 4 /5' +а (а +а ' +а 4 sń rjs_ /5' )^ sin Niezmienniki te są więc tylko funkcjami ką ta 0. Dla rozpatrywanego tutaj materiału nieś ciś liweg o zgodnie z (1.5) trzeci niezmiennik jest równy jednoś ci. Obliczając ten niezmiennik i przyrównując go do jednoś ci otrzymujemy warunek nieś ciś liwośi c (3.8) a 6 /3, sin /? = sin. W stosunku do (.8) zachodzi tu ta róż nica, że (3.8) jest równaniem róż niczkowym ze wzglę du na /8. Ograniczymy się dalej do przypadku, kiedy każ da z wielkoś ci w (3.8) jest dodatnia. W tym przypadku po wycią gnię u ci pierwiastka z obu stron (3.8) otrzymujemy (3.9) _ / i sin \i 1 \~f V Deformacja jest więc izochoryczna jeś li zmianie ką ta towarzyszy okreś lona przez (3.3) i (3.1) zmiana promienia r. Zgodnie z (1.7) naprę ż eni a r tj są (3.10) rv x^p +xi* (i'4*' Wn+p, sin /S, 4 sinv rv3sin. =, i a ^+, a^ +,, rr 1 = Х 1 'Р '+Х г 'Р '(<* +«' +* Р ' ), т " = т 31 = 0, a równania równowagi (1.8) w rozpatrywanym kulistym układzie współrzę dnych przybierają postać 4 T u + AT I + (T 11 r T rv 3 sin ^) r T 1 ctg^ = 0, ar cv r (3.11) ^ п +4к ^ + г dr cv r п + ^ ^\п Ч )с Ш Х& = 0,

SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA. 03 14 d l d d. 1 d d d przy czym zgodnie z (3.1)^ = _, _ =, _ = _ Dla oszczę dnośi c miejsca ograniczymy dalsze rozważ ania do neohookeanu [por. (.0)]. Dla tego materiału (3.11) redukuje się do a a 3P. 1 / >. i. ' i» о /г, '/ S" sin /?, cos/5 \ Ш + * (а +3а + а а <ф + ^ r f ^ + ^ j L ) = 0, (3.1) у %+Х г (а а '/З '+г ^а '+г а ^'а '+а ^/З^^^ а = 0, ^ = 0. BZ Jak wynika z (3.1) 3 funkcja /? nie zależy od Z, p p(r, 0). Wobec tego, że (3.1) nie zależy od R mamy d p/8r80 = 0. Warunkiem istnienia p jest więc (3.13) а +3а '+«а " ај' + ^ a^^ + a a^ c t g / 5 = c o n s t Po podstawieniu (3.9) do powyż szego warunku, otrzymujemy jedno zwyczajne rуwnanie rуż niczkowe na funkcję /3(0). Rуwnanie to jest jednak bardzo skomplikowane i nie udało się znaleźć analitycznego rozwią zania tego rуwnania. Rozwią zanie numeryczne moż na znaleźć w sposуb podobny jak w czę śi cdrugiej dla odkształcenia płaskiego. Literatura cytowana w tekś cie 1. C. TRUESDELL, W. NOLL, Non Linear Field Theories of Mechanics, Flugge's Encyclopedia of Physics, Berlin 1960.. A. E. GREEN, W. ZERNA, Theoretical Elasticity, Oxford 1954. 3. R. M. CHRISTENSEN, Large elastic deformation of a spherical wedge, Int. J. Non Lin. Mech., 3, (1967), 07 16. Р е з ю ме К О Н Е Ч Н Е Ы Д Е Ф О Р М А ЦИ ИУ П Р У Г ОО Г К Л И НА И К О Н У А С Р а с с м а т р и вя а ке от нс е ч я н ау п р у гя ад е ф о р м ая ц ни е с ж и м а е о м ко лг и н. ат о ч ки к л и а н п о д в е р г а ю т ся т а к м и р а д и а л ь м н и ы о к р у ж нм ы п е р е м е щ е н, ич я то м п л о с к ои с в т п р е д е х л ка о т о рх ы н а х о д ия т с к р ай к л и н, ао с т а ю я т пс л о с к о с т. я Пм ои к а з а, н чо то д ля т о го ч т о ы б о п р е д е ль и н т а п р я ж е не ни о д е ф о р м и р о в ае н сн оо с т о я н, ис ел е д ут ер е ш иь т д и ф ф е р е н ц и ае л уь рн ао в н е е н ви т о р о гп о р я д. кэа то у р а в н е е н ир е ш а е я т сд ля с л у ч а, як о г а д м а т е р и ам л яо в л я е я т ст ак н а з. н е о г у к и. ад н а е тя с о д но ч и с л е н е н ро е ш е н. и е А н а л о г и че н ры е ш е ня и п р о в о д и ь л ид сля к о н у с, ак о т о рй ы п о д в е р г ая е т ас к й о о с е с и м м е т р и ч е с кй о д е ф о р м а ц, ич ито п р я м ы, еп р о х о д я е щ чи е р з е в е р ш иу н к л и н, ао с т а ю я т сп р я м ы м. и 7«

04 Z. WESOŁOWSKI Summary FINITE DEFORMATIONS OF AN ELASTIC WEDGE AND CONE The finite deformations of the elastic incompressible wedge are investigated. The points of the wedge suffer radial and transversal displacements, such that the surfaces # = const remain plane. It is shown, that in order to find the stress and strain, it is necessary to solve a second order ordinary differential equation. This equation is solved for the neo Hookean material. The numerical solution is given. Similar investigations are performed for an elastic cone under axially symmetric deformation in such a manner that the surfaces & = const remain the conical surfaces. INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI POLSKIEJ AKADEMII NAUK Praca została złoż ona w Redakcji dnia 3 paź dziernika 1968 r.