Wiad. Mat. 00 (0) 0000, 1 10 c 0000 Polskie Towarzystwo Matematyczne Z żałobnej karty Paweł Zbierski (1944 2002) Paweł Zbierski urodził się 8 maja 1944 roku w Kętach. Po ukończeniu szkoły podstawowej i szkoły średniej podjął w roku 1962 studia matematyczne na Wydziale Matematyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego, gdzie w roku 1967 uzyskał tytuł magistra matematyki. 1 Pracę magisterską Konstrukcje modeli arytmetyki Peano pisał pod kierunkiem profesora Andrzeja Mostowskiego. Po studiach został zatrudniony na etacie asystenta w Zakładzie Algebry w Instytucie Matematyki UW, a potem po rozdzieleniu zakładów w Zakładzie Podstaw Matematyki. 1 Tu może mała anegdotka, która zawdzięczam Ryszardowi Frankiewiczowi. W pewnym momencie profesor Czesław Ryll-Nardzewski ze współpracownikami doszli do wniosku, że odkryli sprzeczność w systemie teorii mnogości Zermela Fraenkla. Powiadomił o tym profesora A. Mostowskiego. Ten po kilku tygodniach uspokoił matematyków wrocławskich pisząc w liście, że młody student Paweł Zbierski znalazł błąd w ich rozumowaniu.
2 Z żałobnej karty W roku 1971 przez kilka miesięcy był słuchaczem studiów doktoranckich. Stopień doktora nauk matematycznych uzyskał w 1971 roku. Promotorem jego rozprawy doktorskiej poświęconej modelom arytmetyk wyższych rzędów był profesor Andrzej Mostowski. Wyniki rozprawy zostały opublikowane jako praca Models of higher order arithmetic [1] w Bulletin de l Academie Polonaise des Sciences. Po doktoracie pracował nadal w Zakładzie Podstaw Matematyki jako adiunkt. Habilitował się w 1979 roku na podstawie rozprawy Interpretations of higher order theories. W roku 1982 objął kierownictwo Zakładu Podstaw Matematyki. W roku 1989 został zatrudniony na stanowisku docenta, a w roku 1991 na stanowisku profesora nadzwyczajnego. Tytuł naukowy profesora otrzymał w roku 1996. Po doktoracie wyjechał na rok akademicki 1972/1973 do Oslo, gdzie pracował na uniwersytecie, prowadząc m.in. wykład i seminarium z teorii mnogości oraz własne badania naukowe. Z kolei po habilitacji przebywał przez okres sześciu miesięcy w Akademii Nauk w Berlinie (Akademie der Wissenschaften zu Berlin). Odbył też dwie dłuższe wizyty (w sumie trzy miesiące) w Instytucie Badań Naukowych w Caracas oraz szereg jedno- lub dwutygodniowych wizyt w różnych uniwersytetach europejskich. Przez cały czas swojej pracy w Instytucie Matematyki UW Zbierski prowadził zajęcia ze studentami wszystkich typów studiów, a więc studentami studiów stacjonarnych, wieczorowych i zaocznych. Początkowo były to ćwiczenia (w szczególności ze wstępu do matematyki, algebry, arytmetyki dokładniej z elementów teorii liczb, z matematyki dyskretnej), a następnie wykłady, zarówno kursowe (wstęp do matematyki, logika matematyczna, arytmetyka, analiza), jak i monograficzne i fakultatywne (teoria mnogości, teoria gier, logika matematyczna, deskryptywna teoria mnogości, algebra ogólna, arytmetyka, teoria modeli, teoria grafów). Prowadził także seminaria: fakultatywne, magisterskie i badawcze (zakładowe, jak i dla młodej kadry naukowej). Był także zaangażowany w zajęcia wakacyjne dla nauczycieli i w studenckie obozy naukowe. Pełnił też funkcję opiekuna sekcji nauczycielskiej. Brał także udział w pracach komisji programowej. W latach 1982 1990 kierował pracami w problemie węzłowym CPBP-90. Wypromował dwóch doktorów nauk matematycznych: Krzysztofa Ciesielskiego i Włodzimierza Lesisza. Rozprawy doktorskie obydwu zostały wyróżnione. Wielokrotnie pełnił także funkcję recenzenta prac doktorskich i habilitacyjnych.
Paweł Zbierski (1944 2002) 3 Za swoją pracę naukową otrzymał dwukrotnie nagrodę Ministra Edukacji Narodowej: w roku 1995 za współautorstwo napisanej wspólnie z Frankiewiczem monografii naukowej Hausdorff Gaps and Limits [26], a w roku 1998 za współautorstwo książki Logic of Mathematics [27] napisanej wspólnie z Zofią Adamowicz. Kilkakrotnie otrzymał też nagrodę JM Rektora Uniwersytetu Warszawskiego za pracę naukowo-badawczą i dydaktyczną. Zmarł po długiej chorobie 6 marca 2002 roku w Warszawie. Zainteresowania naukowe Zbierskiego dotyczyły logiki matematycznej i podstaw matematyki. Opublikował ogółem dwadzieścia cztery artykuły naukowe oraz pięć monografii (w tym trzy w języku polskim i dwie w języku angielskim ukazały się w Holandii i w USA). Był także współredaktorem dwóch tomów prac wybranych A. Mostowskiego (patrz [8,9]). Artykuły Zbierskiego publikowane były w takich renomowanych czasopismach, jak Bulletin de l Academie Polonaise des Sciences, Fundamenta Mathematicae, Proceedings of the American Mathematical Society, Archive for Mathematical Logic czy Journal of Symbolic Logic. Prace naukowe Zbierskiego można podzielić w zasadzie na trzy grupy tematyczne odpowiadające trzem okresom w jego badaniach naukowych. Okres pierwszy, trwający do około 1980 roku, poświęcony był zainicjowanym w warszawskim środowisku podstaw matematyki przez Andrzeja Mostowskiego badaniom nad arytmetyką drugiego rzędu i teorią klas Kelleya Morse a. Okres drugi to problematyka z pogranicza algebr Boole a, tj. teorii mnogości i topologii ogólnej. Wreszcie okres trzeci to badania dotyczące podstaw arytmetyki, dokładniej tzw. słabych arytmetyk. Już rozprawa doktorska Zbierskiego zawierała interesujące wyniki dotyczące arytmetyki drugiego i wyższych rzędów. Pokazał w niej m.in. interpretowalność arytmetyki dowolnego skończonego rzędu w stosownym fragmencie teorii mnogości Zermela Fraenkla (otrzymanym przez ograniczenie aksjomatu potęgowego) za pomocą tzw. grafów, tzn. ufundowanych częściowych porządków. Wyniki te opublikowane zostały w pracy [1]. Warto tu zauważyć, że wywarła ona znaczny wpływ na badania w zakresie podstaw arytmetyki prowadzone w Warszawie, uzyskała też pewien oddźwięk za granicą, na przykład w Czechosłowacji (Bilý, Bukovski, Sochor, Hájek) i we Francji (Isambert, Perrin, Zalc). Przez pewien okres Zbierski prowadził badania we współpracy z Wiktorem Markiem. Ich wynikiem jest kilka wspólnych artykułów. W szczególności w pracy [2] rozważali oni różne formy aksjomatu wyboru w teorii
4 Z żałobnej karty klas i badali związki między nimi. W pracy [3] rozważane były teorie klas wyższego rzędu i ich związki z teorią mnogości Zermela Fraenkla wzbogaconej o postulaty istnienia liczb kardynalnych nieosiągalnych. Wykorzystując fakt, że zbiory definiowalne w modelu głównym arytmetyki drugiego rzędu to znane z topologii zbiory borelowskie i rzutowe, Zbierski badał ilość modeli absolutnych dla dobrych porządków. Zagadnieniu temu poświęcona jest praca [4]. W pracy [10] natomiast oszacowana została ilość modeli teorii klas Kelleya Morse a ze stałym uniwersum zbiorowym. Zbierski badał także (postawiony przez W. Schwabhäusera) problem skończonej aksjomatyzowalności arytmetyki drugiego rzędu wzbogaconej o tzw. ω-regułę (patrz praca [5]) oraz modele arytmetyki ogólniejsze od β-modeli (patrz praca [6]). Kolejnym zagadnieniem, którym zajmował się Zbierski był problem interpretowalności arytmetyki wyższego rzędu w sobie samej, w szczególności chodziło tu o interepretacje absolutne dla pewnych typów obiektów, ale nieabsolutne dla innych. Wynikiem tych badań jest praca [13] stanowiła ona także podstawę habilitacji. Drugi okres pracy badawczej Zbierskiego zaczął się na początku lat osiemdziesiątych. Zbiegł on się z objęciem przez niego kierownictwa Zakładu Postaw Matematyki i problemu węzłowego związanego z tym zakładem. Zainteresował się on wtedy zastosowaniami teorii mnogości przede wszystkim metody forsingu w topologii mnogościowej. Podjął więc badania w tym kierunku. Prowadził je głównie we współpracy z Ryszardem Frankiewiczem. Wynikiem tych badań jest szereg publikacji, których wyniki pokrótce omówimy. Są to wszystko publikacje wspólne z Frankiewiczem oraz z innymi matematykami. W pracy [15] podano obszerną klasę punktowo niejednorodnych przestrzeni zwartych. Wynik ten stanowił z jednej strony wzmocnienie klasycznych twierdzeń Rudina i Frolika, a z drugiej dawał (niepełne) rozwiązanie znanego problemu dotyczącego niejednorodności produktu F -przestrzeni i dowolnej przestrzeni zwartej. Podobny wynik uzyskał K. Kunen i stąd wspólna publikacja. Szereg prac, dokładniej prace [14, 16 19, 21, 23 25, 31] w większości zawierają twierdzenia o niesprzeczności, tzn. konstrukcje pewnych modeli teorii mnogości. Wynikało to z faktu, że rozważane problemy okazały się niesprzeczne bądź niezależne od teorii mnogości. Zawarte w nich wyniki uzyskano za pomocą zaawansowanej metody, jaką stanowi forsing iterowany. Oto niektóre z nich.
Paweł Zbierski (1944 2002) 5 W pracy [14] skonstruowany został model z aksjomatem Martina, w którym każdy silnie dyskretny zbiór mocy ω 1 jest C -zanurzalny. Praca [16] związana jest z wprowadzonym przez Baumgartnera i Weesego pojęciem reprezentowalności algebr Boole a przez podziały maksymalnych rodzin prawie rozłącznych. Podano w niej prosty dowód zasadniczego twierdzenia o reprezentowalności (oryginalny dowód Baumgartnera Weesego zawierał usterki) oraz pewne związki między reprezentowalnością a tzw. Q-zbiorami. W pracy [19] zbudowano model z aksjomatem Martina MA, w którym pewne proste algebry nie są reprezentowalne. Pokazuje to, że twierdzenie Baugartnera Weesego zachodzi przy hipotezie kontinuum CH, ale nie przy aksjomacie Martina. W pracy [21] pokazano poprzez zbudowanie modelu, w którym moc kontinuum jest duża i nadal zachodzi twierdzenie Baugartnera Weesego że to ostatnie nie jest równoważne hipotezie kontinuum. W pracy [14] udowodniono, że pewne wzmocnienie twierdzenia Louveau (uzyskane przez Balcara, Frankiewicza i Millsa) implikuje i w konsekwencji jest równoważne hipotezie kontinuum. Natomiast w pracy [23] pokazano, że oryginalne twierdzenie Louveau nie jest równoważne CH uzyskano to konstruując odpowiedni model. Podobny wynik w odniesieniu do twierdzenia Parowičenki uzyskano w pracy [18]. W artykule [24] podano rozwiązanie problemu Shelaha budując model, w którym nie ma P -zbiorów ccc. Ten wynik został wzmocniony w pracy [31], w której skonstruowano model, w którym nie ma c-cc P -zbiorów, a P -zbiory mające c + -cc są podobne w tym sensie, że są ko-absolutne (tzn. ich absoluty, czyli przestrzenie Gleasona, są homeomorficzne). Praca [25] poświęcona jest liftingom borelowskim. Pokazano tu, że istnieje model, w którym nie zachodzi CH oraz istnieje lifting borelowski. Osobną grupę prac Zbierskiego stanowią artykuły [28 30]. Powstały one we współpracy z Zofią Adamowicz i poświęcone są pewnym zagadnieniom z podstaw arytmetyki. W szczególności w pracy [28] pokazano, że drugie twierdzenie Gödla o niedowodliwości niesprzeczności zachodzi dla słabej arytmetyki T = I 0 + Ω 2, jeśli wyrazić niesprzeczność przy użyciu formuły używającej pojęcia dowodliwości w sensie Herbranda, gdzie I 0 to system arytmetyki liczb naturalnych z aksjomatem indukcji ograniczonym do formuł klasy 0, czyli do klasy formuł tylko z kwantyfikatorami ograniczonymi, a Ω 2 to aksjomat głoszący, że funkcja ω 2 (x) = 2 (log x)log log x jest całkowita. Praca [29] poświęcona jest pewnemu zagadnieniu związanemu z problemem kolapsacji hierarchii formuł ograniczonych, który z kolei jest powiązany m.in. z pro-
6 Z żałobnej karty blemem P = NP. Chodzi o to, czy dowolna dana formuła klasy Σ 1 może być zredukowana w modelu dla exp do formuły klasy Σ 1 z daną liczbą kwantyfikatorów ograniczonych, gdzie exp to aksjomat głoszący, iż funkcja wykładnicza y = 2 x jest całkowita. Jest to jedno z centralnych pytań dotyczących arytmetyki ograniczonej. W pracy podano częściowy pozytywny wynik dotyczący kolapsacji. Wreszcie, w trzeciej z omawianych prac 2, tzn. w pracy [30], zdefiniowano teorię rekurencyjną, która aksjomatyzuje klasę modeli I 0 + Ω 3 + exp mających następujące dwie własności: (1) zbiór 0 definiowalnych elementów modelu jest ograniczony z góry przez zbiór elementów definiowalnych 0 formułami o ustalonej złożoności oraz (2) zbiór prawdziwych zdań klasy Σ 1 jest rekurencyjnie redukowalny do zbioru prawdziwych Σ 1 zdań o ustalonej złożoności. Jak wspomniano wyżej, Zbierski był autorem nie tylko zaawansowanych artykułów naukowych zdających sprawę z prowadzonych przezeń badań, ale także autorem ważnych monografii. Pierwsza z nich Podstawy teorii mnogości [7] napisana została wspólnie z Wojciechem Guzickim i poświęcona jest pewnym zaawansowanym zagadnieniom tej teorii. Autorzy pisali o tej książce jako o skrypcie w istocie była to naówczas bardzo nowoczesna monografia. Znajdujemy w niej w szczególności konstrukcję modeli teorii mnogości metodą Scotta i Solovaya stanowiącą podstawowe narzędzie dowodów niesprzeczności oraz niektórych twierdzeń o charakterze absolutnym. Dalej wykłada się teorię dużych liczb kardynalnych: nieosiągalnych, mierzalnych i mierzalnych w sensie rzeczywistym oraz zwartych. W kolejnej części mówi się o potęgowaniu liczb kardynalnych, podając zarówno twierdzenia klasyczne, jak i nowsze wyniki dotyczące potęgowania liczb nieregularnych. Podaje się też dowody niesprzeczności i niezależności hipotezy kontinuum i uogólnionej hipotezy kontinuum oraz pokazuje, że duże liczby kardynalne nie mają wpływu na moc kontinuum. Ostatnia wreszcie część książki poświęcona jest deskryptywnej teorii mnogości. Monografia Granice i luki [22] napisana została z Ryszardem Frankiewiczem (w roku 1994 ukazało się w Amsterdamie, w renomowanym wydawnictwie North-Holland Publishing Company, angielskie rozszerzone wydanie tej monografii patrz [26]). Książka zaczyna się wykładem algebr Boole a ze szczególnym wyeksponowaniem algebry P (ω)/fin, która 2 Praca ta powstawała we współpracy z Adamowicz. Została ukończona dopiero po śmierci Zbierskiego przez Adamowicz we współpracy z L. Kołodziejczykiem.
Paweł Zbierski (1944 2002) 7 jest uniwersalna dla algebr małej mocy. W dalszej części omawia się zaawansowane zagadnienia dotyczące F -przestrzeni, c-punktów, problem jednorodności, przedłużanie funkcji, aksjomat Martina i podziały antyłańcuchów. W dodatku omówiono podstawowe narzędzie stosowane w książce, a mianowicie forsing iterowany. Ostatnia wreszcie książka autorstwa Zbierskiego to napisana wspólnie z Adamowicz Logika matematyczna [20]. Podobnie jak to było z poprzednią książką, również i ta ukazała się w roku 1997 w angielskiej wersji rozszerzonej jako Logic of Mathematics. A Modern Course of Classical Logic w wydawnictwie John Wiley & Sons w Nowym Jorku (patrz [27]). Podtytuł wydania angielskiego dobrze zdaje sprawę z tego, czym jest ta pozycja. Jest to mianowicie wykład klasycznych zagadnień logiki matematycznej przeznaczony dla bardziej zaawansowanego czytelnika i uwzględniający najnowsze wyniki. Mamy więc tu wykład rachunku predykatów i podstawowych zagadnień z syntaktyki i semantyki teorii pierwszego rzędu i z teorii modeli, ale także nowsze i bardziej zaawansowane zagadnienia, w szczególności dotyczące arytmetyki, a więc niezupełność, arytmetyczna niesprzeczność, niezależność twierdzenia Goodsteina dającego zdanie o treści matematycznej (dokładniej: arytmetycznej) nierozstrzygalne w arytmetyce, twierdzenie Tarskiego o eliminacji kwantyfikatorów dla ciał uporządkowanych, domkniętych w sensie rzeczywistym oraz twierdzenie Matijasewicza będące rozwiązaniem słynnego dziesiątego problemu Hilberta. Tyle o pracach Pawła Zbierskiego i ich treści. Przy ich omawianiu wielokrotnie wskazywaliśmy, że powstawały one we współpracy z innymi matematykami i logikami i to jest cecha je wyróżniająca. Zbierski w sposób znakomity realizował to, co charakteryzowało polską szkołę matematyczną, a mianowicie ideał pracy zespołowej. Lista osób, z którymi współpracował, jest bardzo długa. To podkreśla jego otwartość na badania innych, gotowość do dyskusji. Charakteryzowała go również ogromna zwięzłość i koncentrowanie się na tym, co najistotniejsze. W jego artykułach i książkach nie znajdziemy żadnego zbędnego słowa! Wszystko jest maksymalnie zwięzłe, ale precyzyjne. Takie też były jego wykłady zawsze przy tym wygłaszane z pamięci, bez żadnych notatek. A do tego oczywiście pedantycznie dokładne. Pamiętam, jakie wrażenie robił na mnie ten sposób wykładania, gdy jako doktorant słuchałem jego wykładu z deskryptywnej teorii mnogości. Dobre notatki do jego wykładów mogły stanowić od razu gotowy manuskrypt książki.
8 Z żałobnej karty Wydaje się, że ta oszczędność w słowach, można nawet powiedzieć swoista wstrzemięźliwość słowna wynikały z pewnych cech jego charakteru. Był człowiekiem małomównym, czasami mógł sprawiać nawet wrażenie oschłego. Nie mówił właściwie rzeczy zbędnych. Za tym wszystkim kryła się jednak ogromna życzliwość dla ludzi. Był skomplikowanym dobrym człowiekiem jak określił go jeden z kolegów. Lubił samotne wycieczki po górach. Pamiętam, jak spotkałem go kiedyś na szlaku w Tatrach, pod Świnicą, i zaskoczony tym spotkaniem zapytałem, co tu robi. Odpowiedział w swoim stylu, zwięźle i logicznie: Chodzę po górach. Albo gdy w następnym roku nagle wyłonił się z mgły pod Giewontem, a ja przypomniawszy sobie, że powinienem wypełnić jakieś papierki związane z problemem węzłowym, w którym uczestniczyłem, a którym on kierował, zapytałem go o stosowny druczek, odpowiedział maksymalnie zwięźle, ale dokładnie: W 908, druga szuflada od góry po lewej stronie. I tylko tyle. Roman Murawski (Poznań) Lista doktorów wypromowanych przez Pawła Zbierskiego Włodzimierz Lesisz, Modele lokalnie porządkowalne, 1984 Krzysztof Ciesielski, Konstrukcje pewnych przestrzeni Lindelöfa, 1985 Lista publikacji Pawła Zbierskiego [1] Models for higher order arithmetics, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 19 (1971), 557 562. [2] Axioms of choice in impredicative set theory, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 20 (1972), 255 258 (współautor: W. Marek). [3] On higher order set theories, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 21 (1973), 97 101 (współautor: W. Marek). [4] On the size of the family of β-models, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 22 (1974), 779 781 (współautor: W. Marek). [5] Axiomatizability of second order arithmetic with ω-rule, Fund. Math. 100 (1978), nr 1, 51 57. [6] On a class of models of the nth order arithmetic, Higher set theory (Proc. Conf., Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1977), Lecture Notes in Math., t. 669, Springer, Berlin, 1978, 361 374 (współautor: W. Marek). [7] Podstawy teorii mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warsaw 1978 (współautor: W. Guzicki).
Paweł Zbierski (1944 2002) 9 [8] Foundational Studies. Selected Works. Vol. I, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, t. 93, North-Holland Publishing Co., Amsterdam 1979 (pod red. K. Kuratowskiego, W. Marka, L. Pacholskiego, H. Rasiowej, C. Rylla-Nardzewskiego i P. Zbierskiego; z fragmentami autorstwa W. Marka, A. Grzegorczyka, W. Guzickiego, L. Pacholskiego, C. Rauszer and P. Zbierskiego). [9] Foundational Studies. Selected Works. Vol. II, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, t. 93, North-Holland Publishing Co., Amsterdam 1979 (pod red. K. Kuratowskiego, W. Marka, L. Pacholskiego, H. Rasiowej, C. Rylla-Nardzewskiego i P. Zbierskiego). [10] On the number of models of the Kelley-Morse theory of classes, Fund. Math. 109 (1980), nr 3, 169 173 (współautor: W. Marek). [11] Indicators and incompleteness of Peano arithmetic, Acta Cient. Venezolana 31 (1980), nr 6, 487 495. [12] Determinacion de conjuntos borelianos y conjuntos proyectivos, Acta Cient. Venezolana 32 (1981), nr 5, 361 368 (współautor: C. A. Di Prisco). [13] Nonstandard interpretations of higher order theories, Fund. Math. 112 (1981), nr 3, 175 186. [14] On closed P -sets in ω, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 35 (1987), nr 9-10, 531 533 (współautor: R. Frankiewicz). [15] On inhomogeneity of products of compact F -spaces, Fund. Math. 129 (1988), nr 1, 35 38 (współautorzy: R. Frankiewicz, K. Kunen). [16] Partitioner-representable algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 103 (1988), nr 3, 926 928 (współautor: R. Frankiewicz). [17] Strongly discrete subsets in ω, Fund. Math. 129 (1988), nr 3, 173 180 (współautor: R. Frankiewicz). [18] Embedding of Boolean algebras in P (ω)/fin, Fund. Math. 136 (1990), nr 3, 187 192 (współautorzy: J. Baumgartner, R. Frankiewicz). [19] On partitioner-representability of Boolean algebras, Fund. Math. 135 (1990), nr 1, 25 35 (współautor: R. Frankiewicz). [20] Logika matematyczna, PWN, Warszawa 1991 (współautor: Z. Adamowicz). [21] On a theorem of Baumgartner and Weese, Fund. Math. 139 (1991), nr 3, 167 175 (współautor: R. Frankiewicz). [22] Granice i luki, PWN, Warszawa 1992 (współautor: R. Frankiewicz). [23] On closed subspaces of ω, Proc. Amer. Math. Soc. 119 (1993), nr 3, 993 997 (współautorzy: A. Dow, R. Frankiewicz). [24] On closed P -sets with ccc in the space ω, J. Symbolic Logic 58 (1993), nr 4, 1171 1176 (współautorzy: R. Frankiewicz, S. Shelah). [25] Borel liftings of the measure algebra and the failure of the continuum hypothesis, Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994), nr 4, 1247 1250 (współautorzy: T. Carlson, R. Frankiewicz). [26] Hausdorff Gaps and Limits, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, t. 132, North-Holland Publishing Co., Amsterdam 1994 (współautor: R. Frankiewicz).
10 Z żałobnej karty [27] Logic of Mathematics. A Modern Course of Classical Logic, Pure and Applied Mathematics (New York), John Wiley & Sons Inc., New York 1997 (współautor: Z. Adamowicz). [28] On Herbrand consistency in weak arithmetic, Arch. Math. Logic 40 (2001), nr 6, 399 413 (współautor: Z. Adamowicz). [29] On complexity reduction of Σ 1 formulas, Arch. Math. Logic 42 (2003), nr 1, 45 58 (współautor: Z. Adamowicz). [30] An application of a reflection principle, Fund. Math. 180 (2003), nr 2, 139 159 (współautorzy: Z. Adamowicz, L. A. Kołodziejczyk). [31] Fat P -sets in the space ω, Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 53 (2005), nr 2, 121 129 (współautorzy: R. Frankiewicz, M. Grzech).