Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π

Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

Wzajemne położenie prostej i okręgu Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b względem okręgu o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 :

Wzajemne położenie prostej i okręgu Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b względem okręgu o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 : prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych

Wzajemne położenie prostej i okręgu Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b względem okręgu o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 : prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych prosta i okrąg są styczne

Wzajemne położenie prostej i okręgu Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b względem okręgu o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 : prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych prosta i okrąg są styczne prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

Wzajemne położenie prostej i okręgu Prosta czerwona: y = x, prosta zielona y = x + 2, prosta cyjan: y = x + 5 2 oraz okrąg o równaniu x 2 + y 2 = 1.

Prosta styczna do okręgu Niech dany będzie okrąg o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. Wtedy równanie prostej stycznej do niego w punkcie P(x 1, y 1 ) ma postać (x 1 x 0 )(x x 0 ) r 2 + (y 1 y 0 )(y y 0 ) r 2 = 1

Wzajemne położenie dwóch okręgów Istnieje kilka możliwości wzajemnego położenia dwóch okręgów.

Wzajemne położenie dwóch okręgów Istnieje kilka możliwości wzajemnego położenia dwóch okręgów. Okręgi przecinające się mają dwa punkty wspólne. Występuje to w przypadku gdy r 1 r 2 < d(a, B) < r 1 + r 2 gdzie r 1, r 2 to odpowiednio długości promieni poszczególnych okręgów, a d(a, B) oznacza odległość pomiędzy punktem A i B (tutaj: środków okręgu.

Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą mieć ze sobą jeden punkt wspólny. Mówimy, że są to okręgi styczne:

Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą mieć ze sobą jeden punkt wspólny. Mówimy, że są to okręgi styczne: zewnętrznie: d(a, B) = r 1 + r 2

Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą mieć ze sobą jeden punkt wspólny. Mówimy, że są to okręgi styczne: zewnętrznie: d(a, B) = r 1 + r 2 wewnętrznie: d(a, B) = r 1 r 2

Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to okręgi rozłączne:

Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to okręgi rozłączne: zewnętrznie: d(a, B) > r 1 + r 2

Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to okręgi rozłączne: zewnętrznie: d(a, B) > r 1 + r 2 wewnętrznie: d(a, B) < r 1 r 2

Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to okręgi rozłączne: zewnętrznie: d(a, B) > r 1 + r 2 wewnętrznie: d(a, B) < r 1 r 2 Szczególnym przypadkiem okręgów rozłącznych wewnętrznie są okręgi współśrodkowe, gdy d(a, B) = 0, r 1 r 2.

Liczba π W wielu obliczeniach pojawia się liczba π.

Liczba π W wielu obliczeniach pojawia się liczba π. π = S 2r gdzie S oznacza długość obwodu okręgu. π 3, 14159265358979323846264338327950288

Krótka historia liczby π Symbol π został oficjalnie wprowadzony do matematyki przez Williama Jonesa w 1706 roku. Jest to pierwsza litera greckiego słowa περιµετ ρoν, co oznacza obwód.

Krótka historia liczby π Symbol π został oficjalnie wprowadzony do matematyki przez Williama Jonesa w 1706 roku. Jest to pierwsza litera greckiego słowa περιµετ ρoν, co oznacza obwód. W starożytnej Babilonii stosowano przybliżenie π 3. Potem wyznaczono dokładniejszą wartość: π 3.125.

Archimedes Matematykiem, który jako pierwszy opisał metodę przybliżania wartości liczby π był Archimedes. Skonstruował on ciąg wielokątów foremnych wpisanych i opisanych na okręgu. Niech S n będzie obwodem n-kąta opisanego na okręgu o średnicy jednostkowej, zaś s n obwodem n-kąta wpisanego w ten okrąg. Jeśli ilość boków n to wtedy obie wartości dążą do tej samej liczby:

Archimedes Matematykiem, który jako pierwszy opisał metodę przybliżania wartości liczby π był Archimedes. Skonstruował on ciąg wielokątów foremnych wpisanych i opisanych na okręgu. Niech S n będzie obwodem n-kąta opisanego na okręgu o średnicy jednostkowej, zaś s n obwodem n-kąta wpisanego w ten okrąg. Jeśli ilość boków n to wtedy obie wartości dążą do tej samej liczby: lim S n = lim s n = π. n n

Archimedes Archimedes wyznaczył przybliżenie dla n = 96

Archimedes Archimedes wyznaczył przybliżenie dla n = 96 Żyjący w III w n.e. chiński matematyk Liu Hui wyznaczył przybliżenie dla n = 3072. Dostał on wartość 3.1415, która do dziś jest często używana przy obliczeniach ręcznych.

Wzory na obliczanie liczby π lub jej wielokrotności Gottfried Wilhelm Leibnitz: π 4 = ( 1) n 2n + 1 n=0

Wzory na obliczanie liczby π lub jej wielokrotności Gottfried Wilhelm Leibnitz: π 4 = ( 1) n 2n + 1 n=0 William Brouncker: 4 π = 1 + 1 2 3 2 2 + 5 2 2 + 2 + 72 2 +...

Liczba π w literaturze Liczba π jest liczbą niewimierną. Stąd też od zawsze pojawiały się próby wyznaczenia i zapamiętania jak najdłuższego jej rozwinięcia dziesiętnego. W 2014 roku udało się wyznaczyć jej przybliżenie z dokładnością do około 13 bilionów miejsc po przecinku.

Liczba π w literaturze Liczba π jest liczbą niewimierną. Stąd też od zawsze pojawiały się próby wyznaczenia i zapamiętania jak najdłuższego jej rozwinięcia dziesiętnego. W 2014 roku udało się wyznaczyć jej przybliżenie z dokładnością do około 13 bilionów miejsc po przecinku. Najbardziej znanym wierszem w języku polskim jest napisany przez Wisławę Szymborską wiersz pt. Liczba Pi.

Liczba π w literaturze Liczba π jest liczbą niewimierną. Stąd też od zawsze pojawiały się próby wyznaczenia i zapamiętania jak najdłuższego jej rozwinięcia dziesiętnego. W 2014 roku udało się wyznaczyć jej przybliżenie z dokładnością do około 13 bilionów miejsc po przecinku. Najbardziej znanym wierszem w języku polskim jest napisany przez Wisławę Szymborską wiersz pt. Liczba Pi. Występują też różne rymowanki i wierszyki w każdym z języków, w których długość kolejnych słów to kolejna cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby π.

Liczba π w literaturze Kuć i orać w dzień zawzięcie, Bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz... Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu! (K. Cwojdzyński, 1930)

Liczba π w literaturze How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! (James Jeans)

Liczba π w literaturze How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! (James Jeans) Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt. (Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (C. Brenanto))

Π - the movie Amerykański thriller psychologiczny z 1998 roku. Główny bohater Maximillian Cohe) jest matematykiem badającym liczbę π i doszukującym się w niej klucza do zrozumienia natury świata. Jego odkryciami interesują się maklerzy giełdowi, a także kabaliści.

Podziękowania Dziękuję za uwagę