Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ

Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4.. Zjawisko samoindukcji. ndukcyjność własna W cewce o liczbie zwojów z umieszczonej w zmiennym polu magnetycznym na skutek zjawiska indukcji elektromagnetycznej indukuje się napięcie opisane zależnością dφ e = z (4.) gdzie: e - chwilowa wartość napięcia indukowanego, z - liczba zwojów, Φ - strumień magnetyczny. W szczególnym przypadku, gdy zmienny strumień magnetyczny wywołany jest zmiennym prądem występującym w tej cewce, zjawisko indukowania się napięcia nazywamy samoindukcją (rys.4.). e Φ(t) i(t) z Rys.4..Cewka powietrzna. Zjawisko samoindukcji polega na indukowaniu się napięcia w cewce lub w obwodzie elektrycznym pod wpływem zmian natężenia prądu występującego w tej cewce lub w tym obwodzie. Wartość chwilową napięcia indukowanego opisuje wtedy zależność

di e = L (4.) gdzie i - prąd cewki. Współczynnik proporcjonalności L nazywa się indukcyjnością własną cewki. ndukcyjność własna jest to parametr cewki charakteryzujący jej zdolność do wytwarzania pola magnetycznego. Porównując wzory (4.) i (4.) otrzymuje się zależność dφ di z = L. (4.3) Jeżeli przyjąć założenie, że w polu magnetycznym cewki nie ma materiałów ferromagnetycznych (strumień jest proporcjonalny do prądu), to wtedy wzór (4.3) można zapisać z Φ = Li (4.4) Na podstawie powyższej relacji indukcyjność własna cewki L wynosi Jednostką indukcyjności jest henr zφ L =. (4.5) i Wb s H = = = Ω s 4.. Zjawisko indukcji wzajemnej. ndukcyjność wzajemna Dwie cewki są magnetycznie sprzężone, jeśli strumień magnetyczny wytwarzany przez jedną z cewek przenika drugą cewkę (rys 4.). Jak wynika z rys.4. prąd zmienny i w pierwszej cewce wytworzy strumień Φ, którego część Φ będzie skojarzona z cewką drugą, a pozostała jego część ulegnie rozproszeniu.

M e Φ Φ (t) i z z Rys.4. Dwie cewki powietrzne magnetycznie sprzężone. Ponieważ każdej zmianie strumienia towarzyszy indukowanie się napięcia, to napięcie e indukowane w cewce drugiej to można przedstawić w postaci zależności e dφ = z (4.6) gdzie: z -liczba zwojów cewki, Φ - strumień magnetyczny sprzężony z cewką wywołany przez prąd i. Ponieważ zmiana strumienia Φ spowodowana jest zmianą prądu i, to napięcie e indukowane w drugiej cewce można opisać zależnością e di = M (4.7) gdzie: M - wartość indukcyjności wzajemnej cewek i, i - prąd cewki. Zjawisko indukcji wzajemnej polega na tym, że każdej zmianie natężenia prądu w jednej z cewek sprzężonych magnetycznie towarzyszy indukowanie się napięcia również w cewce drugiej. Z porównania równań (4.6) i (4.7) można wyznaczyć indukcyjność wzajemną M cewek magnetycznie sprzężonych z zależności M zφ =. (4.8) i 3

W przypadku, gdy droga strumienia magnetycznego przebiega w obu cewkach w tym samym środowisku, to wartość indukcyjności wzajemnej cewek i jest równa wartości indukcyjności wzajemnej cewek i, co można zapisać M = M = M. ndukcyjność wzajemna dwóch cewek powiązana jest z ich indukcyjnościami własnymi zależnością M = k L L. (4.9) Współczynnik k nazywa się współczynnikiem sprzężenia magnetycznego cewek, a jego wartość zależy od ich wzajemnego położenia w przestrzeni. Współczynnik ten zmienia się w zakresie 0. Wartość k = oznacza sprzężenie idealne, natomiast k = 0 oznacza brak sprzężenia magnetycznego. α cewka ruchoma cewka nieruchoma k= cos α Rys. 4.3. Układ cewek umożliwiający zmianę współczynnika sprzężenia. Rys.4.3 przedstawia przekrój układu dwóch cewek toroidalnych, w którym cewka wewnętrzna jest ułożyskowana i może zmieniać swoje położenie względem nieruchomej cewki zewnętrznej. Dla takiego układu dwóch cewek sprzężenie bliskie idealnemu można uzyskać przez ich usytuowanie w jednej płaszczyźnie. Natomiast przy takim położeniu cewek, w którym ich osie są prostopadłe współczynnik k jest bliski zeru. 4.3. Metoda wyznaczania indukcyjności własnej cewki na podstawie pomiarów prądów i napięć Rzeczywista cewka oprócz indukcyjności własnej L ma również rezystancję R L i dlatego cewkę rzeczywistą można przedstawić jako szeregowe połączenie indukcyjności i rezystancji (rys.4.4). 4

Rys.4.4. Sposób przedstawiania cewki rzeczywistej. Dla prądu stałego cewka stanowi rezystancję R L, natomiast dla prądu przemiennego cewkę taką charakteryzuje impedancja Z L, której moduł opisuje zależność Reaktancja cewki L opisana jest wzorem L L L Z = R +. (4.0 ) L = ω L = π f L (4.) gdzie: ω - pulsacja prądu cewki, f - częstotliwość prądu. Na podstawie zależności (4.) można wyznaczyć indukcyjność własną cewki L jako L L =. (4.) πf Po wyznaczeniu reaktancji indukcyjnej L z (4.0) i podstawieniu do (4.) wyrażenie opisujące indukcyjność własną cewki przyjmuje postać L = Z L R L. (4.3) πf Na podstawie powyższej relacji widać, że do wyznaczenia indukcyjności L potrzebna jest znajomość modułu impedancji oraz rezystancji cewki. Ponieważ dla prądu stałego L = 0 dla (f = 0), zatem 5

rezystancję cewki R L można wyznaczyć przez pomiar prądu cewki L i napięcia na niej U L przy zasilaniu prądem stałym ze wzoru: UL R L =. (4.4) Zasilając cewkę prądem przemiennym i dokonując pomiaru wartości skutecznych prądu cewki L i napięcia na niej U L wyznaczyć można moduł impedancji Z L z zależności UL Z L =. (4.5) Dokonując pomiarów rezystancji i impedancji cewki metodą techniczną (czyli za pomocą amperomierza i woltomierza ) przy znanej częstotliwości sieci zasilającej f można obliczyć indukcyjność własną cewki ze wzoru (4.3). 4.4. Wyznaczanie indukcyjności wzajemnej metodą posobnego i przeciwsobnego łączenia cewek L L W metodzie tej stosuje się układ dwóch cewek o indukcyjnościach L i L oraz o rezystancjach odpowiednio R i R. Cewki te są sprzężone magnetycznie i połączone szeregowo w obwód elektryczny, co oznacza, że przez obie cewki płynie ten sam prąd. Możliwe są dwa przypadki: - strumienie magnetyczne cewek są zgodne - tzw. połączenie posobne (rys.4.5), - strumienie magnetyczne cewek są przeciwne - tzw. połączenie przeciwsobne (rys.4.6). e M e Φ +Φ Φ +Φ i z z i Rys.4.5 Posobne połączenie dwóch cewek. 6

Na rys.4.4. przedstawione zostały strumienie magnetyczne wywołane przepływem prądu i, a mianowicie: Φ - strumień magnetyczny cewki, Φ - strumień magnetyczny cewki, Φ - strumień magnetyczny sprzężony z cewką wytworzony przez prąd w cewce, Φ - strumień magnetyczny sprzężony z cewką wytworzony przez prąd w cewce. Dla połączenia posobnego napięcia indukowane w cewkach (przy założeniu, że M = M = M) wynoszą odpowiednio e = e = ( L + M) di, di ( L + M), (4.6) natomiast wypadkowe napięcie indukowane e jest sumą napięć e i e i wynosi di = e + e = L + L M. (4.7) ( ) e + W przypadku połączenia posobnego układ cewek można zastąpić cewką równoważną o indukcyjności L PP i rezystancji R S. Parametry te dane są zależnościami: RS = R + R, (4.8) L = L + L + M. PP e M e Φ Φ Φ Φ i z i z Rys 4.6 Połączenie przeciwsobne dwóch cewek. 7

Przy przeciwsobnym połączeniu cewek (rys.4.6) napięcia w nich indukowane wynoszą odpowiednio di e = ( L M), (4.9) di e = ( L M), natomiast wypadkowe napięcie indukowane e można przedstawić jako di = e + e =. (4.0) ( L + L M) e W tym przypadku układ cewek można zastąpić cewką równoważną o indukcyjności L PR i rezystancji R S, gdzie parametry te dane są zależnościami: RS = R + R, (4.) L = L + L M. PR Przez odjęcie stronami równań (4.8) i (4.) można, przy znanych L PP i L PR, wyznaczyć indukcyjność wzajemną M z zależności L LPR M =. (4.) 4 PP Do wyznaczenia indukcyjności wzajemnej konieczna jest znajomość wartości indukcyjności wypadkowych połączenia posobnego L PP i połączenia przeciwsobnego L PR. ndukcyjność wzajemną M wyznacza się według wzoru (4.).Wartości indukcyjności wypadkowych L PP i L PR można wyznaczyć w taki sam sposób jak indukcyjność własną na podstawie pomiarów prądów i napięć (wg metody opisanej w p.4.3). 4.4. Wyznaczanie indukcyjności wzajemnej metodą pomiaru napięcia indukowanego W tej metodzie wyznaczana jest indukcyjność wzajemna dwóch cewek magnetycznie sprzężonych, które nie tworzą obwodu elektrycznego. Jedna z cewek zasilana jest prądem przemiennym o częstotliwości f i wartości skutecznej. W wyniku zjawiska indukcji wzajemnej w drugiej cewce 8

indukuje się napięcie o wartości skutecznej U. Ponieważ droga strumienia magnetycznego przebiega w obu cewkach w tym samym środowisku, można przyjąć M = M = M. Na podstawie zależności (4.7) przyjmując u = e oraz i (t) = m. sin(πft) można zapisać di(t) d(m sin(π f t)) u(t) = M = M = πfmm cos(πft). (4.3) Przechodząc na wartości skuteczne prądu i napięcia zależność powyższa przyjmuje postać U = π f M, (4.4) z której wynika następująca zależność na indukcyjność wzajemną cewek U M =. (4.5) π f Taką samą wartość indukcyjności wzajemnej M otrzyma się w przypadku zasilania cewki drugiej (pomiar prądu ) i pomiaru napięcia U indukowanego w cewce pierwszej. W tym przypadku wyrażenie opisujące indukcyjność wzajemną ma postać U M =. (4.6) π f ndukcyjność wzajemną dwóch cewek można więc wyznaczyć przez pomiar napięcia indukowanego w cewce pierwszej wywołanego prądem w cewce drugiej lub przez pomiar napięcia w cewce drugiej wywołanego przez prąd w cewce pierwszej. 4.6. Pomiar rezystancji elementu obwodu elektrycznego metodą techniczną Rezystancję elementu obwodu elektrycznego można wyznaczyć przez pomiar prądu i napięcia w układach pomiarowych przedstawionych na rys.4.7. Rzeczywistą rezystancję elementu wyznacza się z prawa Ohma 9

U R =. (4.7) a) b) U R U R U Rys.4.7. Schematy układów do pomiarów rezystancji: a) małych, b) dużych. W układzie przedstawionym na rys.4.7.a) występuje dokładny pomiar napięcia na rezystancji R (U = U ), natomiast amperomierz mierzy sumę prądów = +. W tym przypadku wyznaczona rezystancja R ' U U = = (4.8) Ι Ι + Ι jest mniejsza od rzeczywistej rezystancji R. Błąd pomiaru jest tym mniejszy, im mniejszy jest stosunek rezystancji R do rezystancji wewnętrznej woltomierza R. Układ ten stosowany jest do pomiaru rezystancji spełniających warunek R << R. (4.9) Z uwagi na to, że rezystancja wewnętrzna woltomierza jest duża, układ ten stosowany jest do pomiaru małych rezystancji. W układzie przedstawionym na rys.4.7.b) występuje dokładny pomiar prądu na rezystancji R ( = ), natomiast woltomierz mierzy sumę napięć U =U +U. W tym przypadku wyznaczona rezystancja 0

R ' U U + U = = (4.30) Ι Ι jest większa od rzeczywistej rezystancji R. Błąd pomiaru jest tym mniejszy, im mniejszy jest stosunek rezystancji amperomierza R do rezystancji R. Układ ten stosowany jest do pomiaru rezystancji spełniających warunek R >> R. (4.3) Z uwagi na to, że rezystancja wewnętrzna amperomierza jest mała, układ ten stosowany jest do pomiaru dużych rezystancji. 4.7. Wyznaczanie impedancji elementu obwodu elektrycznego Wyznaczenia impedancji elementu można dokonać w układach pomiarowych przedstawionych na rys.4.8. Rzeczywistą impedancję elementu określa się jako U Z =. (4.3) a) b) ~ ~ f f U Z U Z U Rys.4.8. Schematy układów do pomiarów impedancji: a) małych, b) dużych. Układy do pomiaru impedancji zasilane są napięciem przemiennym. Rozważając błędy powstające w powyższych układach analogicznie jak w p.4.6. można dojść do następujących wniosków: - układ przedstawiony na rys.4.8.a) stosuje się do pomiarów impedancji spełniających warunek Z << Z, gdzie Z jest impedancją wewnętrzną woltomierza,

- układ przedstawiony na Rys.4.8.b) stosuje się do pomiarów impedancji spełniających warunek Z >> Z, gdzie Z jest impedancją wewnętrzną amperomierza.

4.8. Badania laboratoryjne LBORTORUM ELEKTROTECHNK ELEKTRONK Grup a Podgrupa Numer ćwiczenia 5 Lp. Nazwisko i imię Ocena Data wykonania. ćwiczenia. Podpis prowadzącego 3. zajęcia 4. 5. Temat Wykaz przyrządów Oznaczenia Nazwa i typ elementu Dane techniczne Nr fabr. Uwagi 3 4 5 3

4.8.. Wyznaczanie rezystancji pojedynczej cewki Pomiary przeprowadza się dla jednej (wybranej) cewki w obwodzie połączonym zgodnie ze schematem z rys 4.9. W celu wyznaczenia rezystancji cewki należy dokonać trzech pomiarów prądu i napięcia zmieniając prąd w obwodzie przez zmianę rezystancji R. Uwaga! Nie przekraczać dopuszczalnych prądów cewek + - Ł R L L.p... 3. R Rys 4.9. Schemat układu do pomiaru rezystancji cewki. Pomiary Cewka... Obliczenia U R L R Lśr [] [] [Ω] [Ω] Tab. 4. Dla każdego pomiaru należy obliczyć rezystancję cewki a następnie wyznaczyć jej wartość średnią. 4

4.8.. Wyznaczanie rezystancji szeregowego połączenia cewek Pomiary przeprowadza się w obwodzie połączonym zgodnie ze schematem z rys 4.0. + - Ł R L R L R Rys.4.0. Schemat układu do wyznaczenia rezystancji połączenia szeregowego cewek. W celu wyznaczenia rezystancji połączenia szeregowego cewek należy dokonać pomiarów prądu i napięcia dla trzech wartości prądu ustalonych rezystancją R. Tab. 4. Pomiary Obliczenia Połączenie szeregowe cewek L.p. U R S R Sśr [] [] [Ω] [Ω].. 3. Dla każdego pomiaru należy obliczyć rezystancję szeregowego połączenia cewek a następnie wyznaczyć jej wartość średnią. 5

4.8.3. Wyznaczanie indukcyjności własnej cewki W celu wyznaczenia indukcyjności własnej cewki należy wyznaczyć moduł jej impedancji oraz wykorzystać wartość rezystancji wyznaczoną w p.4.8.. Mierzona będzie wartość skuteczna prądu i wartość skuteczna napięcia U. Pomiary przeprowadza się w obwodzie połączonym zgodnie ze schematem z rys 4. dla tej samej cewki, dla której wyznaczona była wartość rezystancji w punkcie 4.8.. W celu wyznaczenia modułu impedancji cewki należy dokonać trzech pomiarów prądu i napięcia zmieniając napięcie zasilające autotransformatorem t. ~ Ł Hz Z L Rys.4.. Schemat układu do wyznaczania impedancji cewki. Tab.4.3 Pomiary Obliczenia L.p. U Z L L L L śr [] [] [Ω] [Ω] [H] [H] Cewka..... 3. Na podstawie wyników pomiarów dokonać obliczenia impedancji Z, reaktancji indukcyjnej L oraz indukcyjności cewki L i wartości średniej indukcyjności cewki L śr. 6

4.8.4. Wyznaczanie indukcyjności wzajemnej metodą posobnego i przeciwsobnego połączenia cewek W celu wyznaczenia indukcyjności wzajemnej należy wyznaczyć impedancję połączenia posobnego i przeciwsobnego cewek oraz wykorzystać wartość ich rezystancji przy połączeniu szeregowym wyznaczoną w p.4.8.. Pomiary przeprowadza się w obwodzie połączonym zgodnie ze schematem z rys 4.. W celu wyznaczenia modułu impedancji należy dokonać trzech pomiarów prądu i napięcia zmieniając napięcie zasilające autotransformatorem t. Następnie dokonać zamiany połączenia posobnego na przeciwsobne przez obrót cewki wewnętrznej o 80 0 (lub przez zamianę przewodów na zaciskach jednej z cewek) i powtórzyć pomiary. ~ Ł Hz ZL ZL Rys.4.. Schemat układu do wyznaczenia impedancji połączenia posobnego i przeciwsobnego. Tab.4.4 Pomiary Obliczenia Posobny Przeciwsobny L.p. U U Z PP PP L PP Z PR PR L PR M.. 3. M śr [] [] [] [] [Ω] [Ω] [H] [Ω] [Ω] [H] [H] [H] Dokonać obliczeń impedancji połączenia posobnego Z PP, impedancji połączenia przeciwsobnego Z PR, reaktancji połączenia posobnego PP, 7

reaktancji połączenia przeciwsobnego PR, indukcyjności równoważnej połączenia posobnego L PP, indukcyjności równoważnej połączenia przeciwsobnego L PR oraz indukcyjności wzajemnej M i jej wartości średniej M śr. 4.8.4. Wyznaczanie indukcyjności wzajemnej metodą pomiaru napięcia indukowanego Pomiarów dokonuje się w układzie przedstawionym na rys.4.3. W celu wyznaczenia indukcyjności wzajemnej należy dokonać trzech pomiarów prądu i napięcia zmieniając napięcie zasilające autotransformatorem t. ~ Ł Hz L L Rys.4.3. Układ do wyznaczenia indukcyjności wzajemnej metodą pomiaru napięcia indukcji wzajemnej. Tab.4.5 Pomiary Obliczenia L.p. U M M śr [] [U] [H] [H].. 3. Na podstawie wyników pomiarów wyznaczyć indukcyjność wzajemną cewek M i obliczyć jej wartość średnią M śr. Wyniki obliczeń umieścić w tabeli 4.4. Porównać otrzymane wartości indukcyjności z wynikami obliczeń z tabeli 4.4. 8

4.8.6. Wyznaczanie indukcyjności wzajemnej w zależności od położenia cewek względem siebie Przeprowadzić pomiary napięcia indukowanego w cewce zewnętrznej w zależności od położenia kątowego zasilanej cewki wewnętrznej w układzie połączonym zgodnie z rys. 4.3. Pomiary przeprowadzić dla kątów w zakresie 0-90 0. Tab.4.6 Pomiary Obliczenia α U M. [ 0 ] [] [] [H] 0.. 90 Obliczyć wartości indukcyjności wzajemnej. Wykonać wykres funkcji M = f(α). Literatura [] S. Bolkowski:Elektrotechnika teoretyczna, teoria obwodów elektrycznych, tom. WNT Warszawa 998. [] M. Krakowski: Elektrotechnika teoretyczna, obwody liniowe i nieliniowe, tom. PWN Warszawa 983. [3] Z.Włodarczyk: Elektrotechnika cz., Skrypt WT, Warszawa 980. 9