P U E E F S E-learning matematyka poziom podstawowy Stereometria Materiały merytoryczne do kursu P U R U J P W S )wod C
K C J T CABRI D klawisza myszy. C S 2
A P C - B T C C B C W wcale trudny przedmiot. 3
S W pewne A S aksjomaty. D S twierdzenia A poznane twierdzenia. 4
P np.:, Aksjomaty stereometrii A pewnikami. 5
Aksjomat 1 P 6
P W ) 7
Twierdzenie 1 P 8
Twierdzenie 2 P 9
Twierdzenie 3 P 10
Aksjomat 2 P 11
D M - poruszaj punktem P. 12
D M 13
D M - sytuacji poruszaj punktem C. 14
Twierdzenie 3 J a b. 15
Twierdzenie 4 P Poruszaj punktem A SHIFT 16
) tworzy 17
) tworzy. 18
P. 19
P 20
P 21
R. 22
R kierunek prostych 23
2 proste M 24
2 proste M 25
2 proste M 26
2 proste J a i b innej. 27
Twierdzenie 5 J 28
Twierdzenie 6 P N Q i R O Q i R Jak widać do ich wyznaczenia niezbdna jest konstrukcja równoległych płaszczyzn w których zawieraj si te proste. 29
K Popatrz, jak definiujemy to pojcie: 30
K Obieramy na tej prostej dowolny punkt przez który prowadzimy prost prostopadł do płaszczyzny: 31
K Te dwie proste okrelaj jednoznacznie płaszczyzn. Nale do niej punkty P, P i M: 32
K W tej płaszczynie definiujemy kt płaski jako kt nachylenia prostej do płaszczyzny. To jest bardzo wane pojcie, które wykorzystuje si w wielu zadaniach. 33
P P R 34
P A 35
K 36
A. P 37
N k 38
K 39
a a k K 40
b b k K 41
przez proste a i b g 42
W g a i b. 43
M a i b. 44
J C 45
G. ) 46
W K dwie proste a i b G K? Przesuwaj punkt K 47
J K Dlaczego? P - (01) 48
O K proste a i b G K (02) 49
K DCK O DK = CK oraz SK = 1/3 CK. O cos SK DK 1 h 3 h 1 3 50
) 70 72 : 51
52
I C S J C rysunek swojemu nauczycielowi. 53
J S (03) 54
M C 55
S w 56
) = 180-2a, gdzie a= DBC. Ale CD tga BD 1 2 2 2 1,4142135624 czyli a 5473561032 Std 70,5287793655 Zatem nie da si skleić ze sob piciu czworocianów foremnych tak, by przylegały cile jeden do drugiego 57
POZNAJEMY WIELOŚCIANY 58
) W I S 59
C ) W 60
N P U P P 61
K C nimi pewien obszar 3D. C 62
U foremnego. 63
. P a. ) a 2 b 64
) O V4 ostr 1 1 2 4 a 2 a a 3 2 3 3 To oznacza, e objtoć czworocianu umieszczonego w szecianie stanowi 1/3 objtoci tego szecianu. 65
P b a 2 b a 2 Wic objtoć czworocianu o krawdzi b wynosi: V czwor 1 3 a 3 3 3 b b 1 3 2 3 8 66
S P poruszaj punktem P 67
O niemiecki matematyk i wybitny astronom Johannes Kepler (1571- stella octangula 68
S W 69
M C 70
a (04) ) W P C I C C 71
W D P J A C pytanie. 72
P N 73
U (05) (06) (07) 74
K. S W 75
O Poruszaj punktem P. 76
A P. J (08) 77
C C (09) C (10) C (11) 78
) W S A J obejrzyj je na kolejnym slajdzie. K C 79
80
N P W. 81
Dalsze przesuwanie punktu P. 82
P J C D archimedesowych. 83
ZADANIE 1 R D I 84
Uruchom program Cabri3D w wersji demo (pobierz sobie ze strony www.cabri.com) S (kwadrat), prosty podstawy. 85
zacznijmy od podstawy kwadrat 86
W 87
podstawy, 88
89
) Ukryj 90
(ikona 7), lub 91
foremny, 92
93
pomaluj go innym kolorem, (12) 94
I (13) 95
co za figura? zapis (14) 96
97
(15) 98
ZADANIE 2 W kartce papieru. Obejrzyj kolejne slajdy. 99
J G (16) Jak go skonstruujesz? 100
Ś 101
(17) (18) (19) 102
103 Poruszaj wierzchołkiem ostrosłupa odczytaj samodzielnie co mona odczytać z apletu
104 Poruszaj wierzchołkiem ostrosłupa. Co jest na osi OX, a co na osi OY układu współrzdnych?
A 105
ZADANIE 3 W ABCDS a b. O 106
107
P ABCD d a 2 108
S P AOS H : 109
H 2 d 2 2 b 2 110
H 2 d z 2 b 2 H 2 1 2 a 2 b 2 111
H 2 d z 2 b 2 H 2 1 2 a 2 b 2 H b 2 1 a 2 2 112
W h 113
z DES h b 2 1 a 4 2 114
S V 1 a 3 2 H 1 a 3 2 b 2 1 a 2 2 1 a 6 2 4b 2 2a 2 115
116 P a a b a a a b a a h a P P P p b c 2 2 2 2 2 2 4 4 1 2 2 1 4
ZADANIE 4 Ś a = 4. W a = 45 0 117
118
D d podstawy wynosi d a 2 119
W H P SDO 120
W H P SDO H 2 a a 2 d a 2 2 2 2 2 121
T OS = OC 122
C COS 123
C COS ) SCO = b 45 124
D h tego przekroju. 125
Wynosi ona: 126
Wynosi ona: h H 2 2 2 2 2 127
Pole przekroju wynosi: 128
Pole przekroju wynosi: P 1 2 d h 1 2 4 2 4 2 129
ZADANIE 5 C N O 130
131
J C 132
W (20) 133
P (21) W a P (22) 134
Ś P D 135
Odcinek AS 136
Odcinek AS AS 2 2 a 2 a 2 AE 3 3 2 3 137
S P ASD otrzymamy: H 2 AD 2 AS 2 a 2 a 3 3 2 6 9 a 2 138
S H a 2 3 139
P a h 2 H 2a 24 212 3 140
D P U R U J P W S )wod C
PYTANIA I ODPOWIEDZI DO STEREOMETRII 1. Jakie położenie punktu K wybrałeś za najkorzystniejsze? Dlaczego? Prześlij odpowiedź na platformę elearningową. (01) 2. Oczywiście najkorzystniej wybrać takie położenie punktu K, w którym proste a i b będą przechodzić przez wierzchołki czworościanu. Gdzie wówczas znajduje się punkt K? (02) 3. Skoro więc czworościan ma być umieszczony w sześcianie, i jego wierzchołki równocześnie wierzchołkami sześcianu, to czym muszą być jego krawędzie w sześcianie? (03) 4. Oblicz teraz pole całkowite i objętość stelli octanguli jako funkcję krawędzi a sześcianu. (04) 5-7.. wielościanem dualnym do sześcianu jest.. (5) wielościanem dualnym do ośmiościanu jest (6) wielościanem dualnym do czworościanu jest (7) 8. A teraz zobacz wydłużanie wszystkich ścian, czyli stellację ośmiościanu. Jaką bryłę otrzymałeś w ten sposób? (08) 9-11. Czy sześcian ma stellację? (09) Czy czworościan ma stellację? (10) Czy dwunastościan ma stellację? (11) 12. Poruszaj lub obracaj utworzoną konstrukcją co zauważasz? (12) 13. Ile ścian ma tak otrzymany wielościan? (13) 14. Figura ta, to, a ten możesz zawsze umieścić w.. (bo jest do niego dualny) uzupełnij ten zapisy (14) 15. gdyby do tego ośmiościanu dokleić jeszcze trzy odpowiednie czworościany, to co otrzymasz w ten sposób? (15) 16. Gdzie jest jej środek? (16) 17. Czy ten stosunek zmienia się? (17) 18. Jeśli tak, to w jaki sposób? (18) 19. dokładny opis tego co widzisz prześlij swojemu nauczycielowi. (19) 20. Wielościanem tym jest. (20) 21. Poszukiwana wysokość tych kul stanowi wysokość tego wielościanu plus... (21)
22. Wylicz długość a krawędzi tego wielościanu? Prześlij obliczenia (22)