Rafał Krasowski Koło Naukowe Rynków Kapitałowych Hossa ProCapital Φ
Zaawansowana analiza techniczna w ujęciu metod wykorzystujących własności ciągu liczb Fibonacciego. Zaawansowana analiza techniczna składa się na wiele metod lub technik badawczych. Przymiotnik,,zaawansowana używany jest w tym wymiarze, że wykracza poza klasyczną analizę techniczną, która opiera się przede wszystkim na zmienności ceny danego waloru, związanym z tym badaniem trendu oraz wyszukiwaniu określonych formacji. Wolumenu, a raczej jego wartośd, jako kolejna zmienna opisująca dany rynek w początkowych stadiach rozwoju ten dziedziny, był pomijany. Poza tym, rozwój myśli ludzkiej oraz metod wspomagających decyzje inwestycyjne, przyczynił się do wyodrębnienia metod związanych z analizą czasu, jako zmiennej mogącej determinowad określone zachowania na rynku. Takie podejście w sposób intuicyjny wiąże się również z technikami opartymi na badaniu zmienności ceny. Kolejną dziedziną wykraczającą poza klasyczne podejście do analizy technicznej są szeroko stosowane wskaźniki lub oscylatory. W niniejszej pracy rozwinę ten obszar analizy, który bada w sposób geometryczny odpowiednie zależności wynikające ze zmienności ceny. Punktem wyjścia dla całej metodyki analizy będzie pojęcie liczb Fibonacciego, które tworzą ciąg. Ten ciąg liczbowy, a raczej jego własności są podstawą dla tego rodzaju analizy technicznej. W swojej pracy zawrę podstawy teoretyczne, które następnie będę starał się przedstawid na odpowiednich przykładach. Pierwszym zagadnieniem, które opiszę, będzie wspomniany już ciąg liczbowy oraz jego własności. Następnie, z racji wagi jaką przypisuje się liczbie Phi oraz jej odwrotności phi, postaram się pokazad istotę występowania tej liczby w otaczającym nas świecie. Wszystko to stanowid będzie fundament dla dalszej części mojej pracy. Następnie przedstawię te metody, które tworzą paletę technik opartych na współczynnikach Fibonacciego. W swojej pracy odniosę się do pojęcia zniesieo wewnętrznych, zniesieo zewnętrznych, ekspansji cenowej, metody Alternate Price Projection, jak również podejścia grupującego wymienione techniki, formacji ABCD. Ogromną podporą dla mojej pracy była książka Pana Pawła Danielewicza,,Geometria Fibonacciego. Lektura tej książki stanowi ważny etap dla osób zainteresowanych metodami wspomagania decyzji inwestycyjnych.
Ciąg liczb Fibonacciego. Nazwa tego ciągu pochodzi od nazwiska włoskiego matematyka żyjącego na przełomie XII i XIII wieku Leonardo Fibonacciego(Filius Bonacci - syn Bonacciego). Jest to ciąg liczb naturalnych: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1587, 2584, 4181, ; o następującej własności: f n+2 = f n+1 + f n, gdzie n należy do liczb naturalnych. ilorazu f n+1 przez f n daje w rezultacie wartośd Φ(Phi), która w przybliżeniu dziesiętnym do trzeciego miejsca po przecinku wynosi 1,618. Wartośd odwrotna dla Φ, 1/ Φ(phi) wynosi w przybliżeniu 0,618. Przedstawione wartości Φ, przez niektórych określaną liczbą Fibonacciego, oraz 1/ Φ = φ stanowią podstawę dla metod analizy technicznej wykorzystujących granicę ilorazu dwóch kolejnych liczb z ciągu Fibonacciego. Kolejna sprawa związana jest z własnościami dotyczącymi liczby Fibonacciego lub też liczby złotej, jak również ze złotym podziałem odcinka - podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej, co można przedstawid w następujący sposób: a b Niezależnie od skali występowania złotej liczby w przyrodzie, zarówno w mniejszych elementach, jak również w najbardziej rozwiniętych strukturach wszechświata, widoczny jest w strukturze atomowej, DNA, mózgu i systemie nerwowym, budowie roślin i zwierząt jak również orbitach planet, galaktykach. Sam fakt tak wielkiego nagromadzenia przykładów obecności opisywanej liczby daje wyraz jej ogromnej wagi i znaczenia dla nas, ludzi. Godnym odnotowania jest fakt, że dla starożytnych cywilizacji, złoty podział zawarty w ich dokonaniach uchodził za kanon piękna i estetyki. Tomasz z Akwinu napisał, że,, ludzkie zmysły znajdują przyjemnośd w kontakcie z przedmiotami zachowującymi właściwe proporcje. Takie spostrzeżenie może stanowid wyraz relacji między istotą piękna a
matematyką. W dalszym toku mojej pracy postaram się pokazad, że owe relacje można mierzyd również w ujęciu analizy technicznej na wykresach danych walorów. Ciąg liczb Fibonacciego, a rynki finansowe. Powyżej odniosłem się do samego zagadnienia jakim jest metoda analizy technicznej wykorzystująca wartośd Φ. Sama wartośd (1,618), określana również mianem złotej liczby, stanowi podstawę całej gamy technik analizy technicznej wykresu. W tym rozumieniu jest podstawą, że na jej bazie obliczane są inne wartości. Sposób wyliczania pozostałych współczynników, pokazany na przykładach przedstawionych poniżej, oparty jest na funkcji potęgowej, której podstawą jest liczba Φ. f(x) = Φ^x, gdzie x zawiera się w zbiorze liczb Rzeczywistych; Przykłady współczynników: f(-2) = 0,382, f(-1) = 0,618 = 1 f(-2) = 1 0,382, f(0,5) = 1,272 f(2) = 2,618 = Φ^2 + 1,. Współczynniki uzyskane na bazie funkcji potęgowej o podstawie Φ, w zależności od znaku stojącego przed stopniem potęgi możemy podzielid na współczynniki degresywne i progresywne, przy czym współczynnikami degresywnymi będą te, które przyjmują wartości mniejsze od zera, a dla współczynników progresywnych wartości potęg będą większe od zera. Przedstawiona tabela ukazuje oba typy wybranych współczynników:
Tabela A (na podstawie książki Pawła Danielewicza,,Geometria Fibonacciego ) 0,146 0,186 0,236 0,300 0,382 0,447 0,486 0,500 0,564 0,618 0,685 0,786 0,886 1,000 Tabela B (na podstawie książki Pawła Danielewicza,,Geometria Fibonacciego ) 1,130 1,272 1,460 1,500 1,618 1,902 2,000 2,058 2,236 2,618 3,140 3,618 4,236 Szeroka gama współczynników jest kolejnym filarem omawianej przeze mnie metody zawansowanej analizy technicznej. Rozwijając myśl, podane wartości można powiązad z długością odcinka oraz odpowiednie jego stosunki do długości całkowitej, przedstawid za pomocą współczynników. Przykład dla tego stwierdzenia wygląda następująco: A B C Przy czym, AB =0,5 AC. Dzisiejsza analiza techniczna wypracowała trzy główne kierunki analizy wykorzystującej własności ciągu liczb Fibonacciego: 1. Metody oparte na analizie zmiany ceny, 2. Metody oparte na analizie upływu czasu, 3. Połączenie obu metod. W toku dalszej pracy postaram się przybliżyd najważniejsze aspekty związane z pierwszym z trzech wymienionych powyżej zagadnieo metod, których podstawą jest zmieniająca się cena danego waloru. Nieoceniony wkład w propagowanie w naszym kraju metod analizy technicznej opartych na współczynnikach Fibonacciego miał Paweł Danielewicz. W swojej książce, powstałej na gruncie własnych studiów nad literaturą zagranicznych autorów, takich jak Robert Fischer, Jim Kane czy Robert Miner, autor przedstawia szereg metod uwzględniających cenę jako główny aspekt analizy, a są to: 1. Zniesienia cenowe: dla których można odpowiednio wyróżnid:
a) Zniesienia wewnętrzne, b) Zniesienia zewnętrzne, 2. Projekcje cenowe: a) Analiza ekspansji ceny, b) Alternate price projection, 3. Grupowanie poziomów zniesieo oraz projekcji, 4. Formacje. Metody oparte na analizie zmiany ceny 1. Zniesienia cenowe. Kwestią podstawową dla tego rodzaju metod jest określenie samej roli jaką pełnią opisane wcześniej współczynniki wynikające pośrednio z własności ciągu licz Fibonacciego. Mowa w tym miejscu o wspomnianym już podziale odcinka, lub o samych proporcjach odcinka, jako obiekcie wobec, którego mogą byd stosowane. Obrazując proporcje na wykresie odnosimy się do wysokości odpowiednich fal(ze względu na tematykę pracy, do jej pełnego zrozumienia potrzebna jest wiedza na ich temat),będących wyrazem zmienności rynku. Kontynuując, fakt istnienia fal za pomocą, których możemy zidentyfikowad określone ruchy ceny, widoczne na wykresie, stanowi nieodłączną częśd opisywanych przeze mnie metod analizy technicznej. To na podstawie fal, a raczej ich długości jesteśmy w stanie analizowad rynek pod względem technik opartych na współczynnikach Fibonacciego. W tym miejscu chciałbym wyjaśnid znaczenie długości ruchu, czy jak to wcześniej zostało określone fali. Jako, że zajmujemy się zmiennością ceny, będącej jedną z miar opisujących rynek, nasza analiza dotyczy tej osi wykresu, na której zawarte są wartości przypisane cenie danego waloru. Rysunek poniżej w sposób obrazowy wyjaśnia czym jest długośd fali. Widoczny na nim trójkąt prostokątny tworzą przeciwprostokątna, która przedstawia ruch ceny w czasie, natomiast dwie przeciwprostokątne, odpowiednio: przeciwprostokątna dla osi czasu o długości a oraz druga przeciwprostokątna wyrażająca zasięg ruchu ceny, tzn. od punktu, który stanowił najmniejszą wartośd ceny, do punktu stanowiącego wartośd maksymalną dla opisywanego ruchu, o długości b. Długością fali nazywamy przeciwprostokątna o długości b. Rys. 1.
c b a Kolejny rysunek schematycznie przedstawia trójkąt przedstawiony powyżej. Rys. 2.
Dodatkowo, w tym miejscu na jego przeciwprostokątnej b zaznaczyłem odpowiednie proporcje stanowiące wybrane współczynniki Fibonacciego. Odcinki wyznaczone przez przecięcie przeciwprostokątnej b, są równe odpowiednio: 0,382b; 0,5b; 0,618b. Są to tylko wybrane trzy wartości spośród całej gamy współczynników, którymi można opisad długości odcinka. Przedstawione pojęcie oraz sam schemat długości fal posłużą w dalszej części do określenia kolejnego zagadnienia jakim jest zniesienie wewnętrzne fali. Sama nazwa intuicyjne podpowiada, że chodzi o mierzenie zasięgu korekt poszczególnych fal wzrostowych lub spadkowych. W tym miejscu chciałbym przytoczyd pewną zasadniczą sprawę, która jest podstawowym zagadnieniem dotyczącym zniesieo wewnętrznych. Kolejny raz należy zaznaczyd, że sposób analizy w oparciu o tą metodę jest identyczny w przypadku obu rynków, byka oraz niedźwiedzia. Najważniejsze jest jednak właściwe oznaczenie poziomów zniesieo Fibonacciego w taki sposób, aby kolejne poziomy były liczone narastająco od kooca fali, wobec której analizujemy jej korektę, tzn.: 0,000; ;0,318; ;0,682; 1. Rzeczą oczywistą i nie wymagającą tłumaczenia jest fakt, że rynek, który zgoła podąża w określonym kierunku, znajduje się w stanie ciągłej fluktuacji cen. Fala wyższego rzędu składa się z mniejszych fal. Im bardziej zaczynamy się wgłębiad w strukturę ruchu rynku tym dostrzeżemy więcej takich poziomów. Przeplatające się ze sobą fale, impulsu(wzrostowego/spadkowego) oraz korekty tych ruchów, stanowią obszar analizy dla metod opartych na współczynnikach Fibonacciego. W tym miejscu rozpatrujemy przypadki, w których fale korekcyjne nie schodzą poniżej poprzedzającej fali, zniesienie nie wychodzi poza jej początek. Najprościej taką sytuację można opisad, że ruch cen zatrzymał się,,wewnątrz fali, po czym nastąpił odwrót do kierunku wcześniejszego ruchu. W takim przypadku chodzi o połączenie poziomu wsparcia dla korekty, a w przypadku rynku niedźwiedzia poziomu oporu dla korekty w górę, z odpowiednim poziomem zniesieo będącym jednym ze współczynników Fibonacciego. Efektem analizy jest sprawdzenie już zaistniałej sytuacji. Jednak ta metoda ma również drugie zastosowanie. W przypadku korekty, która nie napotkała żadnego konkretnego poziomu wsparcia/oporu można doszukiwad się przyszłych, potencjalnych momentów zwrotnych, którymi mogą byd zniesienia Fibonacciego. Na trzecim rysunku ruch korekcyjny zatrzymał się na poziomie wsparcia wyznaczonym na poziomie 0,682 zniesienia wcześniejszej fali.
Rys. 3. Dla własnej analizy wykorzystuję wykresy świecowe. Ceny zamknięcia składające się na wykres liniowy, oddają zbyt małą informację o zachowaniach rynku. Do analizy opartej na współczynnikach Fibonacciego służą mi najczęściej kooce świec, wartości ekstremalne dla danej świecy. Częstym przypadkiem są sytuacje, w których ruch ceny dla danej świecy wykroczy poniżej/powyżej poziomu odpowiadającemu określonemu współczynnikowi. W takich momentach ważna jest dla mnie cena zamknięcia, jeśli wypadnie powyżej poziomu, który został przebity w dół, jest to dla mnie nie pozytywny sygnał. Pojedyncza świeca, która jest częścią większego ruchu, nie powinna przesądzad o sile sygnału potwierdzającego,,testowany poziom. Jeśli rynek zamknie się w miejscu wykraczającym poza dany poziom, taki sygnał ma dla mnie negatywny wyraz. W tym miejscu staram się określid procentowy błąd dla analizowanego ruchu na podstawie długości fali, wobec której mierzone jest zniesienie zewnętrzne. Jeśli ten błąd nie jest większy niż 5% poprzedniej długości fali, nie odrzucam badanego poziomu. Przedstawione przeze mnie zasady stosowania zniesieo stosuję również w pozostałych metodach analizy opartej na współczynnikach Fibonacciego. Analiza techniczna w szerokim spektrum swoich technik i metod badawczych jest dziedziną
działalności ludzkiej, w której decydującym czynnikiem są indywidualne a przede wszystkim subiektywne zapatrywania jednostki. Paweł Danielewicz w swojej książce przytacza kolejną istotną kwestię związaną z metodami wykorzystującymi własności ciągu liczb Fibonacciego. Dla niego samego, jak również innych autorów książek traktujących o przedstawianych zagadnieniach, pojedynczy poziom zniesieo czy też projekcji cenowych(o których mowa będzie w dalszej części mojej pracy), nie stanowi ważnego sygnału dla rynku. Idąc słowami Pana Danielewicza, należy wyszukiwad na wykresie obszarów, na które składają się zgrupowane ze sobą zniesienia bądź projekcje cenowe generowane z różnych miejsc na wykresie.,,powstające tego typu zagęszczenia zniesieo i/bądź projekcji tworzą zazwyczaj bardzo silne strefy oporów lub zniesieo. Zniesienia zewnętrzne to kolejny przykład wykorzystania współczynników Fibonacciego. W tym przypadku ruch rynku przeciwny do fali będącej podstawą analizy, wykracza poza tę falę. Inaczej mówiąc długośd fali korygującej będziemy opisywad za pomocą współczynników większych od jedności. Dla tej metody również możemy wyznaczad obszary zgrupowanych zniesieo zewnętrznych. W tym miejscu, jako że przedstawiłem kolejną metodę analizy, chciałbym zaznaczyd, że możliwym a nawet wskazanym jest łączenie różnych technik, tak aby uzyskiwad obszary zgrupowanych zniesieo i projekcji potencjalnych obszarów oporów lub wspard. Jak to już zostało powiedziane, im więcej jest sygnałów świadczących o sile takiego obszaru, tym jego rola, jako,momentu rynku do przeprowadzenia odpowiednich transakcji wzrasta. Zniesienia zewnętrzne przedstawia rysunek znajdujący się poniżej. Widoczne na nim są dwa odcinki, o kolorach: zielonym i pomaraoczowym, jak również odpowiadające tym kolorom zniesienia cenowe. Kolorem fioletowym zaznaczony został ruch, stanowiący korektę dla dwóch wzrostowych fal rynku. Widad, że długośd odcinka o kolorze fioletowym wykracza poza oba odcinki. Proporcje opisujące zasięg,,fali fioletowej to odpowiednio: - dla odcinka zielonego: 1,272 długości tej fali; - dla odcinka pomaraoczowego: 1,460 długości tej fali.
Ważnym z punktu widzenia analizy tych zniesieo jest fakt, że te dwa zniesienia praktycznie nakładają się na siebie. Jak to zostało już określone, tworzą obszar wsparcia, który rynek faktycznie reflektował. Rys. 4. Koocząc kwestię związaną z pojęciem zniesieo wewnętrznych oraz zewnętrznych skupialiśmy się na dwóch bezpośrednio sąsiadujących ze sobą falach, o przeciwnych zwrotach. W dalszej części pracy wyjdę poza ten obszar. Przedstawię zagadnienia związane z analizą poszczególnych fal, które nie muszą do siebie przylegad, jak również analizą opartą na projekcjach cenowych. 2. Projekcje cenowe. Metody analizy nazywane projekcjami cenowymi są kolejnymi technikami wyznaczania i określania potencjalnych poziomów wspard i oporów. Zagadnienie to można podzielid na dwa różne podejścia:
a) Analiza ekspansji; b) Alternate price projections. Analiza ekspansji, jak sama nazwa podpowiada, dotyczy możliwości kontynuacji badanego ruchu. Również w tym przypadku zastosowanie tej metody dotyczy rynku byka oraz niedźwiedzia. W całej analizie wykorzystywad będziemy współczynniki progresywne, większe od jedności. Metoda analizy ekspansji polega na pomnożeniu badanej fali przez odpowiedni współczynnik Fibonacciego, a uzyskaną w taki sposób wartośd dodaje się do kooca tej fali. Otrzymany w taki sposób poziom określa się mianem ekspansji fali. W przypadku ruchu wzrostowego możemy otrzymad potencjalny poziom oporu, a dla rynku niedźwiedzia potencjalny poziom wsparcia. Analiza ekspansji jest kolejną metodą badawczą, która w trakcie analizy może się łączyd z metodami wymienionymi wcześniej. W takim przypadku wyraz otrzymanego sygnału zacznie nabierad siły. Rys. 5. D B A
Przedstawiony przykład dotyczy obecnej sytuacji na wykresie WIGu-20. Jak widad od pewnego czasu rynek reaguje na poziom 0,5 AB + AB =1,5 AB = AD. Kolejnym podejściem do analizy jest metoda Alternate Price Projections. Dla wyjaśnienia istoty sprawy posłużę się wykresem przedstawionym powyżej. Podobnie jak to miało miejsce w przypadku analizy ekspansji, również tutaj podstawą do wyliczeo oraz określana potencjalnych poziomów wsparcia/oporu będzie fala lub inaczej długośd odcinka AB. Skoro mamy określony ruch, na bazie którego staramy się zaprognozowad potencjalne miejsce zwrotne na danym rynku, kolejną sprawą jest właściwe połączenie AB oraz α AB, gdzie parametr α stanowi wartośd wybranego współczynnika Fibonacciego. W tym miejscu należy dodad, że metoda APP pozwala na korzystanie z całej gamy współczynników, wykorzystując równocześnie degresywne jak również progresywne współczynniki. Różnica polega na tym, że,,długośd α AB,,dodajemy do punktu C. Prezentowane podejście przedstawia wykres poniżej. Rys. 6. D B C A
W tym przypadku współczynnik Fibonacciego wynosi α = 0,886. Można zauważyd, że obecny poziom oraz uzyskany wcześniej poziom ekspansji cenowej, znajdują się w bliskiej odległośdi od siebie. Inaczej mówiąc, powstaje potencjalny obszar oporu dla trwającego ruchu. Obszar ten składa się z dwóch poziomów. Posługując się wcześniej omawianą metodą zniesieo wewnętrznych możemy zmierzyd korektę w górę dla obecnej bessy, którą jest fala AD. Współczynnikiem, który opisuje obecny zasięg korekty jest poziom α = 0,447(kolor brązowy). Poza tymi trzema wartościami, występują jeszcze inne współczynniki, nie zaznaczone na wykresie, uzyskane przy pomocy opisanych metod analizy. W obecnym wymiarze, potencjalny obszar oporu wzrasta w siłę. Rys. 7. Wszelkie dotychczasowe prezentacje graficzne zostały przygotowane w skali arytmetycznej. Przedstawione dotychczas metody stanowiły podstawę do konstrukcji bardziej zaawansowanych analiz opartych na budowie pewnych formacji wykorzystujących fale rynku dające się w odpowiedni sposób opisad za pomocą współczynników Fibonacciego.
Formacje ABCD Zniesienia wewnętrzne, zniesienia zewnętrzne, ekspansja cenowa, APP jak również łączenie przedstawionych metod jest podstawą przy budowaniu formacji analizy technicznej nazywanych formacjami ABCD. Przedstawiając tę formację, w pierwszej kolejności, zacznę od poniższych rysunków. Rys. 8. B D A C Rys. 9. A C B D
Powyższe rysunki stanowią tylko schematyczny obraz formacji ABCD. Cała struktura składa się z trzech głównych fal, które są przedmiotem analizy pod względem występowania zależności dających się opisad za pomocą odpowiednich współczynników Fibonacciego. Dodatkowo, kształt poszczególnych fal może stanowid dowolną strukturę falową. Odpowiednio dla rys. 8 i rys. 9 struktury wyglądają następująco: 3,3,5 oraz 5,3,5. Należy jeszcze raz podkreślid, że występuje dowolnośd dla struktur falowych formacji ABCD. Główną rolę w tym przypadku odgrywa obecnośd współczynników Fibonacciego, które opisują zachowanie rynku, jego wygląd opisany przez długośd poszczególnych fal. Do badania tych właściwości służą omówione do tej pory metody. Rys. 10. Na wykresie uwidaczniają się dwa obszary zgrupowanych poziomów zniesieo, ekspansji, projekcji.
Rys. 11. D B C A Struktura ABCD przedstawiona na rysunku 11 zawiera w sobie następujące proporcje: - fala BC zniosła falę AB w 38,2 %, - 88,6% AB = CD, - 150% AB = AD. Problemem w przeprowadzonej analizie może okazad się fakt, że w obszarze wyznaczonym przez trzy opisane poziomy uzyskane za pomocą współczynników FIbonacciego nie występuje taki poziom zniesienia zewnętrznego fali BC, który znajdowałby się w bliskiej odległości od pozostałych trzech. Niejako wyjściem z problemu jest obszar zgrupowanych zniesieo, który znajduje się powyżej przedstawionego przed chwilą. Dla zachowania odpowiedniego porządku, miejsce, do którego może dotrzed ruch wzrostowy określę jako punkt D. Jego struktura wygląda następująco: - 161,8% AB = AD,
- AB = CD, - 261,8% BC = CD (zniesienie zewnętrzne), - dodatkowo obecna korekta zniosła ruch bessy w 48,6%, co oczywiście odpowiada jednemu ze współczynników. Struktury ABCD pojawiają się niezwykle często. Jednak oprócz samego ich kształtu, ważną kwestią jest zachowanie odpowiednich proporcji. Podstawowym kryterium doboru walorów, które można analizowad pod względem tego typu zaawansowanej analizy technicznej są rynki o dużej płynności, gdzie dochodzi do zawierania ogromnej liczby transakcji. Jednocześnie należy wystrzegad się tego rodzaju analiz opartych na współczynnikach Fibonacciego dla rynków o małej płynności, gdzie niewielka ilośd transakcji może doprowadzid do znaczących zmian. Jeśli rynek wykazuje liczne występowanie określonych proporcji, można go nazwad rynkiem,,harmoniczny. Formacje ABCD stanowią wstęp do struktur zwanych XABCD, które jednak pominę w swojej pracy. Zaawansowana analiza techniczna w ujęciu współczynników Fibonacciego, swoją metodologią oraz założeniami wykracza poza standardową, klasyczną analizą techniczną opartą na badaniu trendu, oraz wszelkiego rodzaju formacji zaliczanych do tego obszaru analizy. Niejako podwaliną, na bazie której wypracowano wszystkie techniki związane z własnościami ciągu liczb Fibonacciego, było przekonanie o istotnej roli jaką złota liczba, jak również sam złoty podział odcinka, odgrywa w otaczającym nas świecie. Jej nagromadzenie we wszelkiego rodzaju zjawiskach stanowiło punkt zaczepny dla opracowania tych metod. Piękno natury, jej zachowanie zapisane dzięki złotej liczbie starano się przenieśd również na obszar rynków finansowych i związaną z nim analizę techniczną. Poprzez swoją pracę chciałem przybliżyd ten istoty temat, który towarzyszy mi każdego dnia w osobistych analizach. Jest to jedno z wielu narzędzi, którymi w dzisiejszych czasach posługują się inwestorzy na całym świecie, ale jest tym narzędziem, które w spójny sposób oddaje istotną cząstkę tego świata, prawo natury, któremu każdy z nas jest świadomie lub nie, podporządkowany.
Bibliografia: 1. Paweł Danielewicz,,Geometria Fibonacciego, 2. Robert Fischer,,Liczby Fibonacciego na giełdzie, 3. Alfred J. Frost, Robert R. Prechter,,Teoria fal Elliotta, 4. Nowakowski Jerzy, Borowski Krzysztof,,Zastosowanie teorii Carolana i Fischera na rynku kapitałowym 5. John J.,,Murphy Analiza techniczna rynków finansowych.