Modelowanie komputerowe uk adów hydraulicznych

Modelowanie komputerowe uk adów hydraulicznych ANDRZEJ BÑKOWSKI WAC AW GIERULSKI Powszechna obecnie metoda komputerowych badaƒ symulacyjnych wymaga budowy modelu adekwatnego do analizowanego uk adu Model komputerowy budowany jest na bazie modelu matematycznego, czyli uk adu równaƒ algebraiczno-ró niczkowych Do tego celu wykorzystywane sà uniwersalne programy komputerowe pozwalajàce na rozwiàzywanie równaƒ ró niczkowych (nptutsim, 20sim, Matlab) Równania modelu matematycznego muszà byç przekszta cone do postaci zgodnej z wymaganiami programu Nast pnie równania te sà wprowadzane do programu, tworzàc model komputerowy Modyfikacja budowy uk adu poprzez dodanie lub usuni cie elementów powoduje zmian modelu matematycznego i procedura przekszta cania i wprowadzania równaƒ musi byç powtórzona Przy modelowaniu du ych, z o onych uk adów sà to trudne i pracoch onne dzia ania Nowoczesne du e programy (np ADAMS) pozwalajà w wielu przypadkach unikaç etapu budowy modelu matematycznego Model uk adu sk adany jest z symbolicznych bloków odpowiadajàcych poszczególnym elementom uk adu rzeczywistego, zaê równania opisujàce uk ad generowane sà samoczynnie Unika si w ten sposób bardzo pracoch onnego etapu uk adania równaƒ modelu matematycznego Jest to du à zaletà w dzia aniach in ynierskich U ytkownik jednak nie ma mo liwoêci wglàdu w te równania, ich analizy lub modyfikacji Zakres zastosowania takiego podejêcia zmniejsza si, gdy mo liwoêç wglàdu w równania nabiera du ego znaczenia Prezentowana praca przedstawia dzia ania zmierzajàce w kierunku budowy tego typu systemu dla uk adów hydraulicznych [1] Umo liwi to budow modelu komputerowego przez sk adanie z bloków schematu modelu fizycznego, co powoduje automatycznà generacj równaƒ modelu matematycznego w postaci dogodnej do prowadzenia symulacji komputerowej W odró nieniu od uniwersalnych du ych programów b dzie to specjalistyczny system, który zapewni atwoêç i prostot w fazie budowy modelu komputerowego, zaê jego pozytywnà, wyró niajàcà cechà b dzie mo liwoêç wglàdu i ingerencji w równania modelu matematycznego B dzie on stanowi poêredni stopieƒ pomi dzy tradycyjnà metodà uk adania i zapisywania równaƒ modelu matematycznego [4, 5, 6] a metodà typu czarnej skrzynki, która charakteryzuje si zupe nym brakiem dost pu do równaƒ modelu Budowa takiego systemu wymaga opracowania podstaw teoretycznych, poprzedzajàcych etap tworzenia zamkni tej aplikacji komputerowej Mgr in Andrzej Bàkowski i dr hab in Wac aw Gierulski sà pracownikami Katedry Mechaniki Politechniki Âwi tokrzyskiej w Kielcach System blokowy Model fizyczny stanowi uproszczone odzwierciedlenie uk adu rzeczywistego W przypadku modelu uk adu hydraulicznego wyró nione sà zast pcze elementy po àczone pomi dzy sobà w sposób zapewniajàcy funkcjonowanie uk adu W procesie modelowania te zast pcze elementy w formie bloków odpowiadajàcych elementom uk adu hydraulicznego pobierane sà z biblioteki elementów typowych lub specjalnie tworzone dla elementów nietypowych Do ka dego bloku przypisany jest wektor sygna ów wejêciowych oraz wektor sygna ów wyjêciowych Jako zmienne stanu w uk adach hydraulicznych w sposób naturalny przyjmuje si nat enia przep ywu oraz ciênienia Ponadto mogà wyst powaç dodatkowe, inne zmienne stanu charakterystyczne dla danego elementu Zmienne te sà wspó rz dnymi wektorów sygna ów wejêciowych i wyjêciowych Blok taki w zale noêci od rodzaju i w aêciwoêci elementu mo e mieç ró nà liczb sygna ów wejêciowych i wyjêciowych (rys 1) Rys 1 Blok modelu oraz sygna y wejêciowe i wyjêciowe Ka dy blok opisany jest uk adem równaƒ stanowiàcych jego model matematyczny, wià àcych sygna y wejêciowe i sygna y wyjêciowe E ν [X ν (p xi, Q xi, S x ), Y ν (p yj, Q yj, S y ), t] = 0 (1) i = 1, γ, j = 1, η, gdzie: p xi, Q xi ciênienia i nat enia przep ywów sygna u wejêciowego, p yj, Q yj ciênienia i nat enia przep ywów sygna u wyjêciowego, S x, S y zmienne stanu charakterystyczne dla danego elementu (inne ni ciênienie lub nat enie przep ywu), X ν, Y ν sygna wejêciowy i wyjêciowy elementu ν, E ν funkcja opisujàca zale noêç pomi dzy sygna ami wejêciowymi a wyjêciowymi, γ liczba sygna ów wejêciowych, η liczba sygna ów wyjêciowych Budowa modelu komputerowego polega na àczeniu kolejnych bloków z uwzgl dnieniem równaƒ wi zów W ogólnym przypadku dla elementów o indeksach ν oraz µ równanie wi zów jest nast pujàce: X µ (p xi, Q xi ) = Y v (p yj, Q yj ) (2) Równania wi zów zapewniajà równoêç wartoêci sygna ów wyjêciowych z bloku ν oraz sygna ów wejêciowych bloku µ (rys 2) Liczba sygna ów wyjêciowych i wejêciowych àczonych bloków musi 9

Rys 2 àczenie bloków byç równa W uk adach hydraulicznych dotyczy to ciênienia i nat enia przep ywu Pozosta ym zmiennym (S x, S y ) w wielu przypadkach nie sà stawiane takie ograniczenia Poniewa zmienne stanu S x, S y nie b dà wyst powaç w równaniach wi zów, dla typowych elementów hydraulicznych, pomini to je na rys 2 4 Rozbudowy uk adu dokonuje si poprzez jego rozci cie i wstawienie kolejnego bloku (rys 3) W macierzà kwadratowà, co wynika z wymiarów znajdujàcych si w niej podmacierzy W takim przypadku dodanie bloku powoduje rozci cie macierzy, rozsuni cie wierszy i kolumn oraz wstawienie nowych wierszy i kolumn odpowiednich dla dodawanego elementu Jest to równoznaczne z dopisaniem równaƒ opisujàcych prac elementu oraz odpowiednich równaƒ wi zów Po wstawieniu nowych podmacierzy i równaƒ wi zów z uwzgl dnieniem zmiany indeksów (element o indeksie ν +1 otrzymuje indeks ν +2) otrzymamy: (5) Rys 3 Wstawianie nowego bloku wyniku rozbudowy uk adu (dodawania bloków) w modelu matematycznym pojawiajà si nowe równania opisujàce zale noêci pomi dzy sygna ami wejêciowymi i wyjêciowymi oraz nowe równania wi zów Nast puje równie zmiana indeksów dla elementów znajdujàcych si za wstawianym elementem Rys 4 Uk ad po wstawieniu bloku Modele liniowe Pewnym uproszczeniem zagadnienia jest ograniczenie rozwa aƒ do uk adów liniowych W takim przypadku model matematyczny uk adu mo e byç przedstawiony w postaci równania macierzowego: [A] [W] = [B] (3) gdzie macierze [A] i [B] wynikajà ze struktury uk adu i w aêciwoêci elementów, natomiast macierz [W] jest wektorem niewiadomych Macierze sk adajà si z szeregu podmacierzy Podmacierze [a ν ] oraz [b ν ] stanowià model matematyczny opisywanego elementu o indeksie ν, podmacierz [r ν, r ν +1 ] stanowi równania wi zów pomi dzy elementami o indeksach ν oraz ν +1 Podmacierz [W ν ] jest wektorem zmiennych zwiàzanych z elementem o indeksie ν: W równaniu (4) podmacierze [a ν ], [a ν+1 ], [r ν, r ν+1 ], [W ν ], [W ν+1 ], [b ν ], [b ν+1 ], [0] nie sà kwadratowe Ich wymiary zale à od rodzaju opisywanych elementów Podmacierze zer oznaczone przez [0] w macierzy [A] stanowià jej uzupe nienie, a w wektorze [B] sà prawymi stronami równaƒ wi zów Macierz [A] jest (4) Równania ró niczkowe wyst pujàce w modelu rozwiàzywane sà metodami numerycznymi, co sprowadza je do obliczeƒ algebraicznych W kolejnych krokach ca kowania obliczana jest nowa wartoêç podmacierzy wektora [B] wed ug nast pujàcej zale noêci: [b ν ] = [b ν( 1) ] + [ b ν ], (6) ( 1) gdzie: indeks dolny ( 1) oznacza wartoêç zmiennej w poprzednim kroku obliczeƒ (ca kowania), natomiast b ν jest przyrostem w kolejnym kroku obliczeƒ Sposób obliczenia tego przyrostu zale y od przyj tego algorytmu rozwiàzywania równaƒ ró niczkowych [3] (np Eulera, Rungego-Kutty, Adamsa) Uk ad równaƒ rozwiàzywany jest wielokrotnie, z uwzgl dnieniem zmian wartoêci wektora [B], wynikajàcych z kolejnych przyrostów kroku obliczeƒ h Biblioteka podstawowych bloków W celu umo liwienia budowy modeli komputerowych proponowanà metodà konieczne jest utworzenie biblioteki (zestawu) bloków (w formie podmacierzy) odpowiadajàcych ró nego rodzaju elementom uk adu hydraulicznego Blokowi przypisany jest uk ad równaƒ w takiej postaci, aby by o mo liwe wstawienie go w miejsce rozsuni tych wierszy i kolumn równania macierzowego Bloki te mogà byç wykorzystywane w budowanym modelu wielokrotnie Równania te nie mogà byç rozwiàzywane samodzielnie (liczba niewiadomych jest wi ksza od liczby równaƒ) bez dodatkowych warunków Warunki te wprowadzane sà poprzez równania do àczanych elementów Pompa hydrauliczna W sk ad uk adu zasilajàcego wchodzi pompa hydrauliczna nap dzana silnikiem spalinowym Równanie ruchu wa u pompy przyjmuje nast pujàcà postaç [4, 6]: J ν ω ν = M Sν M Pν (7) Rys 5 Schemat uk adu silnik spalinowy pompa hydrauliczna 10

Zak adajàc liniowà charakterystyk pracy silnika spalinowego, moment rozwijany przez silnik mo na przedstawiç w nast pujàcej postaci: M Sν = K Sν (ω 0ν ω ν ) (8) Moment oporu pompy przyj to jako liniowà funkcj ciênienia i pr dkoêci kàtowej: Bilans nat eƒ przep ywów z uwzgl dnieniem przecieków opisuje zale noêç: (9) (10) Uwzgl dniajàc zale noêci (7, 8, 9, 10) model matematyczny pompy nap dzanej silnikiem spalinowym mo na przedstawiç jako uk ad nast pujàcych równaƒ: (11) (12) Model matematyczny dla tego elementu stanowià nast pujàce równana [7, 8]: α ν Q νx p νy α ν = 0 (14) Q νx + Q νy = 0 (15) gdzie: α ν wspó czynnik oporu przep ywu cieczy przez element d awiàcy Równania te mo na przedstawiç w postaci macierzowej: (16) Si ownik Przedstawiono tutaj si ownik z symetrycznym t oczyskiem dwustronnym, razem ze spr ysto-t umiàcym elementem wykonawczym Jest to wybrany, szczególny przyk ad obcià enia si ownika Nie jest to przypadek ogólny, a zosta tu pokazany tylko w celu prezentacji metodyki obliczeƒ w równaniach przyj to nast pujàce oznaczenia: M Sν moment rozwijany przez silnik spalinowy, M Pν moment oporu pompy, ω ν pr dkoêç kàtowa wa u pompy, ω 0ν pr dkoêç biegu ja owego pompy (silnika), p νy ciênienie na wyjêciu z pompy, Q νy nat enie przep ywu na wyjêciu z pompy, J ν moment bezw adnoêci ruchomych elementów wa u silnika i pompy, q ν zmienny wydatek jednostkowy pompy, 2π K Sν wspó czynnik nachylenia charakterystyki silnika, K Mν wspó czynnik strat mechanicznych, K Vν wspó czynnik strat wolumetrycznych w pompie (przecieki) Równania modelu w postaci macierzowej sà nast pujàce: (13) gdzie: ω v jest przyrostem zmiennej ω v i jest wyznaczana wed ug przyj tego algorytmu rozwiàzywania równaƒ ró niczkowych Opór przep ywu Opory przep ywu sà elementami powodujàcymi miejscowe straty ciênienia W budowie modeli matematycznych oporów przep ywu cz sto uwzgl dnia Rys 7 Schemat si- ownika hydraulicznego Model matematyczny si ownika stanowià równania si oraz bilansu nat eƒ przep ywów [4, 5, 6, 7, 8] Równanie ruchu t oka obcià onego si à proporcjonalnà do pr dkoêci i przemieszczenia: m ν V ν F tν + β ν V ν + k ν Z ν + F tν p νy = 0 (17) Z ν = V ν (18) Bilans nat eƒ przep ywów: K VSν + Q νx F tν V ν + K VSν p Vν = 0 (19) Q νx + Q νy = 0 (20) gdzie: K VSν wspó czynnik strat wolumetrycznych w si owniku, F tν czynna powierzchnia t oka si ownika, V ν, V ν, Z ν przyêpieszenie, pr dkoêç i wspó rz dna po o enia si ownika, k ν, β ν sztywnoêç spr yny, wspó czynnik t umienia, m ν masa ruchomych elementów si ownika Model matematyczny w postaci macierzowej jest nast pujàcy: Rys 6 Element d awiàcy, w którym zachodzi przep yw uwarstwiony si ich nieliniowà charakterystyk [2, 7, 8] W pracy przyj to element d awiàcy, w którym zachodzi przep yw uwarstwiony majàcy liniowà charakterystyk (21) 11

gdzie: V ν, Z ν sà przyrostami zmiennych V ν, Z ν i sà wyznaczane wed ug przyj tego algorytmu rozwiàzywania równaƒ ró niczkowych Akumulator hydrauliczny Model matematyczny akumulatora hydraulicznego cz sto przedstawiany jest w postaci równaƒ nieliniowych (uwzgl dnienie przemian gazowych, zmian temperatury) [2] Rys 8 Akumulator hydrauliczny W pracy przyj to uproszczonà, liniowà charakterystyk pracy akumulatora, dla którego model matematyczny stanowi równanie: Q νx + C ν = 0 (22) gdzie: C ν wspó czynnik pojemnoêci akumulatora Równanie to mo na przedstawiç w nast pujàcej postaci: (23) gdzie: p ν jest przyrostem zmiennej p ν i jest wyznaczane wed ug przyj tego algorytmu rozwiàzywania równaƒ ró niczkowych Element o sta ym ciênieniu na wyjêciu W modelowaniu uk adów hydraulicznych stosuje si zasilacz o sta ym ciênieniu W omawianym modelu jest to blok reprezentujàcy element o sta ym ciênieniu na wyjêciu Blok taki nie posiada sygna ów wejêciowych Rys 10 Element o sta ym ciênieniu na wejêciu Podobnie jak w poprzednim punkcie wartoêç drugiego sygna u wejêciowego (zmienna stanu Q νx ) nie zale y od w aêciwoêci tego elementu Równanie modelu w postaci macierzowej jest nast pujàce: (27) Trójnik hydrauliczny Trójnik jest elementem rozdzielajàcym strumieƒ cieczy Posiada on dwa sygna y wejêciowe (, Q νx ) oraz cztery sygna y wyjêciowe (p νy1, Q νy1, p νy2, Q νy2 ) Rys 11 Trójnik hydrauliczny Dla elementu, w którym nie wyst pujà straty ciênienia oraz nieszczelnoêci, model matematyczny stanowià równania: + p νy1 = 0 Q νx +Q νy1 + Q νy2 = 0 (28) + 2 = 0 Równania te mo na zapisaç w postaci macierzowej: (29) Rys 9 Element o sta ym ciênieniu na wyjêciu Model matematyczny elementu jest nast pujàcy: p νy = p zas (24) gdzie: p zas sta e ciênienie zasilania Natomiast wartoêç drugiego sygna u wyjêciowego (zmienna stanu Q νy ) nie zale y od w aêciwoêci tego elementu Równanie to przedstawione w postaci macierzowej jest nast pujàce: (25) Wi zy Równania wi zów àczàcych ze sobà dwa elementy o indeksach ν i µ majà postaç: p νy + p µx = 0 (30) Q νy + Q µx = 0 lub w postaci macierzowej: (31) Element o sta ym ciênieniu na wejêciu Blok ten zamodelowano w celu odzwierciedlenia odbiornika cieczy roboczej o sta ym ciênieniu Przyk adem takiego odbiornika jest oddzia ywanie ciênienia panujàcego na zewnàtrz uk adu Cz sto jest to wi c ciênienie atmosferyczne Blok ten nie posiada sygna ów wyjêciowych Model matematyczny elementu stanowi nast pujàca zale noêç: = p zew (26) gdzie: p zew sta e ciênienie zewn trzne W równaniach wi zów uwzgl dniono tylko ciênienia i nat enia przep ywu jako zmienne zawsze wyst pujàce przy àczeniu elementów w uk adzie hydraulicznym Przyk ad zastosowania metody W celu pokazania sposobu stosowania omawianej metody, w przypadku budowy modelu konkretnego uk adu hydraulicznego, zostanie zaprezentowany przyk ad, w którym dokonana zostanie rozbudowa uk adu hydraulicznego 12

Poczàtkowy uk ad stanowi zasilacz z pompà z otwartym wylotem CiÊnienie wyjêciowe jest wi c równe ciênieniu atmosferycznemu Modelem uk adu (rys 12) jest model pompy (rys 5) po àczony z elementem o sta ym ciênieniu na wejêciu (rys 10) Rys 12 Poczàtkowy uk ad hydrauliczny Pompa jest elementem, któremu przypisany jest indeks ν = 1 Element o sta ym ciênieniu na wejêciu ma przypisany indeks ν = 2 Model matematyczny stanowià równania powsta e z po àczenia macierzy (13) dla ν = 1, macierzy (27) dla ν = 2 poprzez macierz wi zów (31) dla ν = 1, µ = 2 Tak wi c model uk adu pokazanego na rys 12 w postaci macierzowej jest nast pujàcy: (33) Jest to model matematyczny trzech elementów (1 pompa, 2 opór przep ywu, 3 element o sta ym ciênieniu na wejêciu) po àczonych odpowiednimi równaniami wi zów Kolejnym etapem rozbudowy jest do àczenie do uk adu si ownika Zostanie on umieszczony za oporem przep ywu (rys 14) Si ownik zostanie umieszczony pomi dzy elementem stanowiàcym opór przep ywu (V ν, Z ν ) a elementem o sta ym ciênieniu na wejêciu (ν = 3) Podobnie jak przy wstawianiu poprzedniego elementu nast puje zmiana indeksów Si ownik otrzymuje indeks ν = 3, natomiast element o sta ym ciênieniu na wejêciu indeks ν = 4 Po uwzgl dnieniu modelu si ownika, równania (21) dla ν = 3 oraz równania wi zów dla ν = 3, µ = 4, nowy uk ad równaƒ przyjmie postaç (3), gdzie macierze, [A], [W], [B] okreêlajà zale noêci (34), (35) i (36) patrz str 14 Ze wzgl dów edytorskich wektory kolumnowe [W ], [B ] przedstawiono w postaci transponowanej Ostatnim etapem rozbudowy uk adu hydraulicznego jest wstawienie akumulatora Wstawiany jest on pomi dzy element d awiàcy oraz si ownik Do pod- àczenia akumulatora konieczny jest trójnik Schemat tak rozbudowanego uk adu pokazano na rys 15 Rys 13 Uk ad hydrauliczny z elementem d awiàcym (32) Aby wstawiç pomi dzy elementy 1 i 2 opór przep ywu (rys 13), nale y rozbudowaç uk ad równaƒ (32) Rozbudowa modelu nast puje poprzez odpowiednie rozci cie wierszy i kolumn w równaniach (32) W modelu nast puje wi c wstawienie elementu stanowiàcego opór przep ywu (równanie 16) pomi dzy elementy o indeksach ν = 1 i ν = 2 Konieczna jest zmiana indeksów Element o sta ym ciênieniu na wejêciu otrzymuje indeks ν = 3, wstawiony element opór przep ywu indeks ν = 2 Uwzgl dniajàc równania (16) dla ν = 2 oraz równania wi zów (31) dla ν = 2, µ = 3 oraz równanie (32) otrzymamy: Rys 15 Uk ad z akumulatorem hydraulicznym Rys 14 Uk ad z si ownikiem hydraulicznym Po zmianie indeksów oraz wstawieniu dodatkowych równaƒ wi zów otrzymano uk ad sk adajàcy si z szeêciu elementów Model matematyczny jest wi c po àczeniem szeêciu modeli czàstkowych, stanowiàcych równania pobrane z biblioteki bloków po przypisaniu odpowiednich indeksów, oraz pi ciu uk adów równaƒ wi zów Sà to nast pujàce elementy: 1 Pompa, równania (13) dla ν = 1 2 Opór przep ywu, równania (16) dla ν = 2 13

9 Równania wi zów (31) dla ν = 3, µ = 4 trójnik, si ownik 10 Równania wi zów (31) dla ν = 4, µ = 5 si- ownik, element o sta ym ciênieniu na wejêciu 11 Równania wi zów (31) dla ν = 3, µ = 6 trójnik, akumulator Model matematyczny tego uk adu stanowi równanie (3) Sposób wpisania poszczególnych podmacierzy do równania (3) pokazano w formie symbolicznej na rys 16 Jest to uk ad 26 równaƒ liniowych zawierajàcych 26 niewiadomych (34) (35) (36) 3 Trójnik, równania (29) dla ν = 3 4 Si ownik hydrauliczny, równania (21) dla ν = 4 5 Element o sta ym ciênieniu na wejêciu, równania (27) dla ν = 5 6 Akumulator hydrauliczny, równania (23) dla ν = 6 Natomiast równania wi zów sà nast pujàce: 7 Równania wi zów (31) dla ν = 1, µ = 2 pompa, opór przep ywu 8 Równania wi zów (31) dla ν = 2, µ = 3 opór przep ywu, trójnik Ze wzgl du na du e rozmiary macierzy w pracy nie zamieszczono szczegó owego modelu matematycznego analizowanego uk adu Komputerowa symulacja pracy uk adu Wykorzystujàc model matematyczny, zbudowany z wykorzystaniem opisywanej metody, przeprowadzono komputerowà symulacj pracy analizowanego uk adu Przedmiotem badaƒ jest uk ad pokazany na rys 15 Symulacj rozpocz to z warunku Rys 16 Symboliczna postaç modelu matematycznego uk adu 14

biegu ja owego pompy ω 0 Na kolejnych rysunkach pokazano przebiegi: pr dkoêç kàtowà wa u pompy (rys 17), ciênienie cieczy wychodzàcej z pompy (rys 18), nat enie przep ywu cieczy na wyjêciu z pompy (rys 19) oraz przemieszczenie t oka si ownika (rys 20) akumulator: Rys 17 Pr dkoêç kàtowa wa u pompy ω 1 Uwagi koƒcowe Prezentowana metoda posiada wiele zalet w porównaniu z innymi stosowanymi sposobami modelowania uk adów hydraulicznych Pozwala ona znacznie uproêciç proces modelowania, co jest zgodne z obecnymi tendencjami wykorzystania techniki komputerowej Model jest budowany poprzez symboliczne àczenie bloków pobieranych z biblioteki Modyfikacja i rozbudowa uk adu polega na wymianie lub wstawieniu nowych bloków Proces ten generuje automatycznie równania modelu Sà one jednak jawne i mogà byç poddane bezpoêredniej analizie Prezentowana praca dotyczy modeli liniowych, co stanowi pewne ograniczenie zastosowania metody Dalsze dzia ania ukierunkowane sà na opracowanie metod pozwalajàcych na uwzgl dnienie w uk adzie nieliniowych w aêciwoêci elementów Kolejnym zadaniem jest opracowanie zamkni tej aplikacji komputerowej z przyjaznym interfejsem oraz Rys 18 CiÊnienie zasilajàce uk ad Symulacj przeprowadzono dla przedzia u czasu od zero do czterech sekund i nast pujàcych danych liczbowych: pompa: Rys 19 Nat enie przep ywu Q 1y opór przep ywu: si ownik: Rys 20 Przemieszczenie t oka si ownika 15

rozbudowa biblioteki bloków, co pozwoli na sprawne i efektywne wykorzystanie przedstawionej metody w budowie modeli komputerowych dla uk adów hydraulicznych LITERATURA 1 Bàkowski A, Gierulski W: Budowa i analiza modeli uk adów hydromechanicznych XIX Sympozjum Drgania w uk adach fizycznych B a ejewko 2000 2 Dindorf R: Wybrane zagadnienia modelowania dynamiki uk adów hydraulicznych Politechnika Krakowska, Kraków 1995 3 Dahlquist G, Bjorck A: Metody numeryczne Paƒstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983 4 Gierulski W, Wójcik S: Rozwiàzywanie równaƒ modelu matematycznego w procesie symulacji komputerowej Sterowanie i Nap d Hydrauliczny nr 1/1992 5 Gierulski W, Wójcik S: Symulacja komputerowa pracy koparki z nap dem hydraulicznym Przeglàd Mechaniczny nr 1/1994 6 Gierulski W, Wójcik S, Bàkowski A: Analiza pracy przek adni hydrostatycznej przy gwa townych zmianach obcià- enia VII Konferencja Problemy Rozwoju Maszyn Roboczych, Zakopane 1995 7 Pizoƒ A: Hydrauliczne i elektrohydrauliczne uk ady sterowania i regulacji Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1987 8 Pizoƒ A: Elementy i uk ady hydrauliczne w automatyce Wyd AGH, Kraków 1971 9 Stryczek S: Nap d hydrostatyczny Wydawnictwa Naukowo- -Techniczne, Warszawa 1992 16