Dagmara DŻUGAJ, Maria Niesobska, Paweł LICZNAR* Analiza Fouriera, pole opadowe,skalowanie STUDIA NAD ZMIENNOŚCIĄ MIEJSKIEGO POLA OPADOWEGO Z WYKORZYSTANIEM ANALIZY FOURIERA W artykule przedstawiono wyniki analizy szeregów opadowych z sieci 25 deszczomierzy rozmieszczonych na terenie Warszawy. Widma mocy opracowane dla wszystkich deszczomierzy charakteryzowały się występowaniem zjawiska przerwania widma i wyraźnym ich podziałem na dwa przedziały skalowania, o odmiennych wartościach wykładników potęgowych. Analiza zbiorów wartości czasów przerwania widma i wykładników potęgowych skalowania widm mocy wykazała zróżnicowanie warunków opadowych w obrębie miejskiego pola opadowego. 1. WSTĘP I CEL PRACY Zmiany intensywności opadów deszczu w czasie i w przestrzeni zależą od procesów fizycznych z zakresu dynamiki klimatu i formowania się kropel deszczu. Opady deszczu są elementem nieciągłym w obiegu wody na Ziemi, a informacji o zmianach w czasie i przestrzeni opadów dostarcza pole opadowe. Pole opadowe jest też zasadniczym czynnikiem wpływającym na dynamikę czasową i przestrzenną spływu powierzchniowego, a także na obserwowane wahania przepływów w ciekach [1]. Lepsze poznanie pola opadowego, a zwłaszcza poprawa narzędzi służących jego modelowaniu są jednymi z najważniejszych zadań współczesnej hydrologii. Jest to szczególnie istotne z punktu widzenia hydrologii miejskiej, gdyż na obszarach miast przy dużym udziale powierzchni utwardzonych dynamika opadu przekłada się natychmiastowo i wyraziście na dynamikę spływu powierzchniowego i jego dalszą transformację w kanałach systemów odwodnienia. Można przypuszczać, że badania w zakresie modelowania miejskiego pola opadowego powinny w przyszłości wzbogacić warsztat projektowania i modelowania systemów odwodnienia. *Politechnika Wrocławska, ul. Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław, dagmara.dzugaj@pwr.wroc.pl
140 D. DŻUGAJ i in. We współczesnej praktyce projektowania miejskich systemów odwodnienia praktycznie nie uwzględnia się zróżnicowania pola opadowego. W Polsce, najczęściej stosowaną metodą obliczeniową nowych sieci odwodnienia jest metoda granicznych natężeń, która wykorzystuje wzór Błaszczyka na natężenia deszczów miarodajnych. Formuła Błaszczyka jest powszechnie stosowana na terenie całego kraju chociaż została opracowana na podstawie danych obserwacyjnych z Warszawy. Nawet w przypadkach, gdy formuła Błaszczyka jest zastępowana przez inny lokalny model deszczu miarodajnego, to jest on stosowany jako uniwersalny dla całego obszaru miejskiego, właściwie niezależnie od skali wielkości miasta, a nawet skali samej projektowanej sieci kanalizacyjnej [2]. Krajowa wiedza dotycząca współczynników redukcji natężeń maksymalnych deszczów, zależnych od skali odwadnianej zlewni jest niewielka i ogranicza się zasadniczo do wycinkowych badań z obszaru Warszawy i Częstochowy opublikowanych jedynie w postaci prac o charakterze czysto naukowym [9]. Jeszcze trudniejsza jest sytuacja w zakresie modelowania miejskich systemów odwodnienia. Dla osiągnięcia wielu celów modelowania, konieczne jest zasilanie modeli hydrodynamicznych lokalnymi wieloletnimi szeregami opadowymi o wysokiej rozdzielczości czasowej, których to na terenie Polski jest brak lub też, do których dostęp jest bardzo trudny. Jeśli już szeregi takie udaje się pozyskać, to pochodzą one z deszczomierzy zainstalowanych w pobliżu miasta (np. na stacjach lotniskowych) i z braku innych możliwości są stosowane do modelowania sieci kanalizacyjnych na dowolnym obszarze nawet bardzo dużych miast. Co więcej, spotyka się z kuriozalną praktyką podejmowania prób wykorzystywania nielicznych szeregów opadowych do modelowania systemów odwodnienia w miastach odległych nawet o setki kilometrów od deszczomierzy, na których je zarejestrowano. Jest to w istocie trudne do zaakceptowania, gdyż zmienność warunków opadowych w skali setek kilometrów nie podlega dyskusji. Współczesne doniesienia literaturowe wskazują, że zmienność ta ujawnia się także w znacznie mniejszej skali miejskiego pola opadowego. Na przykład Kotowski [3] dla Wrocławia w oparciu o dane z kilku deszczomierzy wskazywał na zróżnicowanie pola opadowego manifestujące się choćby różnymi sumami opadów. Niski poziom krajowej wiedzy w zakresie modelowania pola opadowego może jednak wkrótce ulec poprawie. Nadzieję na to daje rozwój systemów monitoringu opadów dla potrzeb hydrologii miejskiej. Systemy takie funkcjonują już w kilku miastach w Polsce, takich jak np.: Warszawa, Wrocław, Łódź, Gdańsk. W gronie tym na szczególną uwagę zasługuje Warszawa, w której od roku 2008 funkcjonuje jedna z największych i najnowocześniejszych sieci deszczomierzowych w Europie. Sieć ta jest poligonem badawczym niniejszej pracy, a jej podstawowa charakterystyka jest zawarta w dalszej części pracy. Funkcjonowanie tej klasy sieci pomiarowych zapewnia lawinowy dopływ danych obserwacyjnych, których tak brakowało w latach poprzednich. Stawia to jednak nowe wyzwanie w postaci potrzeby poszukiwania warsztatu służącego przetwarzaniu tych danych. Prezentowane w niniejszej pracy badania wychodzą naprzeciw powyższym potrzebom. Celem podjętych badań była wstępna próba analizy zmienności miejskiego pola
Studia nad zmiennością miejskiego pola opadowego z wykorzystaniem analizy Fouriera 141 opadowego Warszawy z wykorzystaniem analizy Fouriera. Podjęte badania miały przede wszystkim dać odpowiedź na pytania: czy otrzymywane widma wykazują zmienność w obrębie zbioru 25 deszczomierzy oraz czy widma mocy szeregów opadowych mają charakter gładki wskazujący na skalowy charakter tychże szeregów opadowych. 2. POLIGON BADAWCZY Dane opadowe wykorzystane w badaniach zostały udostępnione przez Miejskie Przedsiębiorstwo Wodociągów i Kanalizacji (MPWiK) w Warszawie i pochodziły z sieci 25 deszczomierzy wagowych, usytuowanych na terenie miasta Warszawa. Miasto stołeczne Warszawa znajduje się w strefie klimatu umiarkowanego kontynentalnego. Średnia roczna suma opadów w mieście, wg Krajowego Zarządu Gospodarki Wodnej, wynosi 519 mm/rok, przy czym w miesiącach letnich miesięczna średnia suma opadów wynosi 56 mm/m-c, a podczas zimy jest nieco niższa i wynosi około 30 mm/m-c [4]. Sieć deszczomierzy MPWiK pokrywa w sposób w przybliżeniu równomierny obszar miasta, obejmujący 517,2 km 2. Jej konfiguracja jest przedstawiona w pracy [10]. Na prawobrzeżu Wisły rozmieszczonych jest 8 deszczomierzy, natomiast 17 na lewobrzeżu, gdzie znajduje się ścisłe centrum miasta, o największym stopniu uszczelnienia terenu. Sieć pomiarowa jest oparta na deszczomierzach wagowych firmy MPS Systém Ltd. Są to deszczomierze modelu TRwS 200E, przystosowane zarówno do wykonywania pomiarów deszczu jak i śniegu. Zasada ich działania opiera się na rejestracji przyrostu w czasie masy deponowanego opadu w zbiorniku deszczomierza, umieszczonym na wadze tensometrycznej, rejestrującej dane z dokładnością określoną przez producenta na równą 0,1%. Masa ta jest konwertowana na warstwę opadu (z rozdzielczością równą 0,001 mm) i zapisywana w zbiorczej bazie opadowej jako 1-minutowy szereg czasowy [10]. W badaniach wykorzystano zarejestrowane szeregi opadowe z okresu od września 2008 r. do grudnia 2010 r. 3. METODYKA BADAŃ Badania szeregów opadowych z Warszawy przeprowadzono z wykorzystaniem analizy Fouriera. Analiza ta jest klasycznym narzędziem warsztatu analizy szeregów czasowych i ich modelowania metodą szeregów czasowych [6]. W tym drugim przypadku analiza widma pozwala przede wszystkim na wykrywanie składników sezonowych (cyklicznych) danego procesu i ich oddzielenie od składników występujących losowo (tzw. szumu) [11]. Podejście takie w obrębie inżynierii środowiska znajduje szerokie zastosowanie na przykład przy prognozowaniu rozbiorów wody, gdzie
142 D. DŻUGAJ i in. stwierdza się występowanie cykliczności dobowej i tygodniowej, która winna być uwzględniania przez tworzony model. Szereg czasowy opadów jest dyskretnym zapisem zarejestrowanych warstw opadów x(n), w ściśle określonych i stałych odstępach czasu. Ten dyskretny ciąg wartości w dziedzinie czasu x(n) może zostać transformowany w dyskretny ciąg harmoniczny wartości w dziedzinie częstotliwości X(m), dzięki zastosowaniu Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT), według zależności: X ( m) N 1 j2 nm/ N x( n) e (1) n 0 gdzie j = 1, N całkowita liczba próbek, n numer próbki sygnału, m - numer harmonicznej. Obliczenia numeryczne konieczne do przeprowadzenia transformacji DFT wymagają jednak znacznych nakładów pamięci i czasu przetwarzania, ze względu na szybko rosnącą liczbę danych poddawanych obliczeniom. Odpowiedzią na ten problem jest równoważna z DFT szybka transformacja Fouriera (ang. Fast Fourier Transform - FFT) zwana również algorytmem o podstawie 2. Nazwa ta bierze się z faktu, że dla efektywnego wykorzystania możliwości funkcji, zalecane jest, aby liczba próbkowanych elementów była całkowitą potęgą liczby 2 [8]. W przeprowadzonych badaniach stosowano algorytm FFT, a uzyskiwany ciąg harmonicznych wartości X(m) był ostatecznie wykorzystywany do obliczenia wartości widma mocy P(f) dla N/2+1 częstotliwości f według metodyki opisywanej szczegółowo przez Licznara (2009) [5]. Wyżej opisywane obliczenia były wykonywane kompleksowo w programie MATLAB, a ich uwieńczeniem było wykreślenie zależności P(f) w układzie podwójnie logarytmicznych osi wykresów. 4. WYNIKI BADAŃ I DYSKUSJA Przykładowe widma mocy są prezentowane dla deszczomierzy R9 i R22 na rys. 1 i 2. Na wykresach tych, podobnie jak w przypadku wszystkich pozostałych deszczomierzy nie stwierdzono wyraźnych pików, wskazujących na występowanie w szeregach periodyczności. Słaby pik mógł być jedynie dla wielu deszczomierzy zauważony dla częstotliwości odpowiadającej około 1 rokowi. Jest to zgodne z naturą procesu opadowego, w którym, owszem rysuje się pewna generalna roczna cykliczność, ale nie ma ona charakteru ścisłego. Natomiast cechą charakterystyczną wszystkich widm mocy był ich skalowy charakter manifestujący się przebiegiem wykresów zgodnym z funkcją wykładniczą o postaci:
Studia nad zmiennością miejskiego pola opadowego z wykorzystaniem analizy Fouriera 143 P ) ( f f (2) Rys. 1. Widmo mocy 1-minutowego szeregu opadowego dla deszczomierza R9 (z obszaru Warszawy lewobrzeżnej) Rys. 2. Widmo mocy 1-minutowego szeregu opadowego dla deszczomierza R22 (z obszaru Warszawy prawobrzeżnej) Funkcja ta dla przyjętego podwójnie logarytmicznego układu osi miała przebieg prostoliniowy, a wykładnik odpowiadał nachyleniu prostej. Skalowy charakter widm
144 D. DŻUGAJ i in. mocy dla deszczomierzy był obserwowany począwszy od częstotliwości co najmniej 4,16 godz -1 (co odpowiada czasowi 24 h) do końca widma dla najwyższych częstotliwości odpowiadających czasowi 2 minut. Niemniej każdorazowo skalowy przebieg widma był podzielony na dwa odmienne przedziały, charakteryzowane przez różniące się wykładniki potęgowe 1 i 2. Dla wszystkich deszczomierzy wykładnik 1 był mniejszy od 1 a 2 był większy od 1. Częstotliwość graniczna, dla której obserwowano przerwanie widma i zmianę nachylenia wykresów zależności skalowych z 1 na 2 wynosiła około 1,1 godz -1. Odpowiadała ona zatem czasowi przerwania widma t b równemu około 55 minutom. Wartości wszystkich trzech parametrów istotnych dla opisu kształtu otrzymanych widm mocy odczytano z wykresów. Wyznaczono także podstawowe miary statystyczne ich zbiorów wartości, które zestawiono w tabeli 1. Tabela 1. Podstawowe statystyki zbiorów wartości parametrów 1, 2 i t b Parametr t b, min. 1 1 Średnia 49,1 0,523 1,661 Mediana 55 0,523 1,70 Odchylenie standardowe 15 0,084 0,24 Minimum 18 0,378 1,09 Maksimum 86 0,727 2,09 Kwantyl dolny (25%) 43 0,467 1,54 Kwantyl górny (75%) 60 0,575 1,84 Dane zestawione w tabeli 1 wskazują na występowanie zróżnicowania poszczególnych parametrów w obrębie analizowanego zbioru 25 deszczomierzy. Wartości wykładników 1 i 2 wahały się odpowiednio od 0,378 do 0,727 oraz od 1,09 do 2,09, natomiast czas przerwania widma t b przyjmował wartości od 18 do 86 minut. Pomimo tego wyraźnego zróżnicowania ekstremalnych wartości, należy zauważyć, że zbiory analizowanych parametrów były jednak dosyć ściśle skupione wokół ich średnich wartości. Świadczą o tym, zwłaszcza w przypadku wykładników 1 i 2 zbliżone do średnich wartości kwantyli dolnych i górnych zbiorów oraz niskie wartości odchyleń standardowych. Te średnie wartości wykładników 1 i 2 wynosiły odpowiednio 0,523 oraz 1,661. Natomiast obliczony średni czas przerwania widma t b dla zbioru 25 deszczomierzy wynosił 49,1 min. Scharakteryzowany powyżej przebieg widm otrzymanych dla deszczomierzy z Warszawy jest zgodny z wcześniejszymi doniesieniami literatury zagranicznej i krajowej, Przykładowo Lima (1998) uzyskała analogiczne widma energii dla deszczomierzy z Vale Formoso w Portugali oraz z Nancy we Francji. Podawane przez nią wykładniki potęgowe skalowania widm wynosiły odpowiednio dla tych deszczomierzy 1 =0,15 i 1 = 0,21oraz 2 = 0,73 i 2 = 0,96, a czasy przerwania widma t b wynosiły około 100 minut dla Vale Formoso i od 17 do 80 minut dla Nancy [7]. Dla bliżej położonych Warszawy deszczomierzy niemieckich, Licznar i in. (2011) także stwier-
Studia nad zmiennością miejskiego pola opadowego z wykorzystaniem analizy Fouriera 145 dzili występowanie przerwania widma dla czasu równego około 60 minut. W zbiorze 4 badanych deszczomierzy niemieckich wartości wykładników 1 wynosiły około 0,5, a wykładników 2 były około dwukrotnie, a nawet trzykrotnie większe. Licznar (2009) dla Wrocławia dla szeregów opadowych z lat: 1964 i 1997 stwierdził występowanie przerwania widm dla czasów około 110 i 85 minut oraz wartości wykładnika 1 równe 0,27 i 0,28, a wykładnika 2 wynoszące 1,40 i 1,11 [5,6]. 5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE Na podstawie przeprowadzonej analizy Fouriera ponad dwuletnich szeregów opadowych z sieci 25 deszczomierzy MPWiK w Warszawie sformułowano następujące wnioski końcowe: 1) Otrzymane widma mocy szeregów opadowych dowodzą skalowego charakteru lokalnego procesu opadowego w Warszawie. Skalowy charakter widm mocy jest zauważalny w zakresie częstotliwości odpowiadających czasom od 2 minut, do co najmniej 24 godzin. 2) Lokalny proces opadowy w Warszawie nie ma jednak charakteru prostego procesu fraktalnego (ściśle mówiąc monofraktalnego), gdyż dla częstotliwości około 1,1 godz -1 dla wszystkich deszczomierzy widoczne jest charakterystyczne przerwanie widma, połączone ze zmianą wartości wykładnika potęgowego β. Sugeruje to, że proces opadowy ma charakter wielkoskalowy, typowy dla multifraktali. Zachęca to do dalszego kontynuowania analiz pola opadowego Warszawy z wykorzystaniem narzędzi warsztatu multifraktalnego. 3) Stwierdzone zróżnicowanie parametrów opisujących widma mocy dla poszczególnych deszczomierzy świadczy o zróżnicowaniu struktury samego procesu opadowego w obrębie miejskiego pola opadowego. Zasadnym jest zatem kontunuowanie badań mających na celu lepsze poznanie przestrzennej i czasowej zmienności miejskich pól opadowych. Badania zrealizowano na przełomie lat 2012-2013 w ramach projektu badawczego NCN nr 2011/03/B/ST10/06338, pt: Przestrzenno-czasowa analiza i modelowanie miejskiego pola opadowego. LITERATURA [1] KIELY G., IVANOVA K.: Multifractal Analysis of Hourly Precipitation, Physic and Chemistry of the Earth, 1999, Vol, 24, No, 7, 781-786,
146 D. DŻUGAJ i in. [2] KOTOWSKI A.: Analiza metodologii modelowania opadów do wymiarowania kanalizacji, Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, Budownictwo i Inżynieria Środowiska, 2011, nr 2, 127-146, [3] KOTOWSKI A., KAŹMIERCZAK B., DANCEWICZ A.: Modelowanie opadów do wymiarowania kanalizacji, Studia z zakresu inżynierii, Warszawa, Polska Akademia Nauk, 2010, [4] KRAJOWY ZARZĄD GOSPODARKI WODNEJ: Program wodno-środowiskowy kraju [online],[dostęp 28 stycznia 2013] Warszawa 2010, Dostępny w Internecie: http://kzgw,gov,pl/programwodno-srodowiskowy-kraju,html, [5] LICZNAR P.: Generatory syntetycznych szeregów opadowych do modelowania sieci kanalizacji deszczowych i ogólnospławnych, Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu 2009, ISBN: 978 83 60574 72 0, [6] LICZNAR. P. SCHMITT T.G., RUPP D.E.: Distribution of Microcanonical Cascade Weights of Rainfall at Small Timescales, Acta Geophysica, 2011, no 5, 1013-1043, [7] LIMA M. I. P.: Multifractals and the temporal structure of rainfall. Doctoral dissertation, Wageningen Agricultural University, Wageningen, 1998, [8] LYONS G, R.: Wprowdzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności 2006, ISBN: 978-83-206-1318-6, [9] MROWIEC M.: Efektywne wymiarowanie i dynamiczna regulacja kanalizacyjnych zbiorników retencyjnych, Częstochowa: Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej 2009, ISBN:978-83- 7193-424-7, [10] RUPP D.E., LICZNAR P., ADAMOWSKI W., LEŚNIEWSKI M.: Multiplicative cascade models for fine spatial downscaling of rainfall: parameterization with rain gauge data, Hydrology and Earth System Science, 2012, no 16, 671-684, [11] STATSOFT Electronic Statistic Textbook, Internetowy Podręcznik Statystyki, [online], [dostęp 27 stycznia 2013], Dostępny w Internecie: http://www,statsoft,pl/textbook/stathome,html. STUDY ON VARIABILITY OF URBAN PRECIPITATION FIELD USING FOURIER ANALYSIS Analysis results of rainfall time series originating from the network of 25 rain gauges deployed in Warsaw are presented in this article. Power spectra developed for all rain gauges were characterized by the presence of a clear scaling break of the spectrum and their division into two scaling intervals with different exponents values. An analysis of the spectrum break times and the power spectra scaling exponents values sets showed variability of precipitation conditions within the urban precipitation field.