Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki

Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki UMK, Toruń 2012 1. Wykazać, że liczba 2222 5555 + 5555 2222 jest podzielna przez 7. 2. Wykazać, że liczba 222222 555555 + 555555 222222 jest podzielna przez 29. 3. 10 43 43 17 17. 4. 23 33 44 + 44 33. 5. Jeśli x i y są takimi liczbami naturalnymi, że xy = 1995 1996, to 1996 x + y. 6. 7 3 2n+1 + 2 n+2 dla n N. 7. 7 4 2n + 2 2n + 1 dla n N. 8. 11 5 5n+1 + 4 5n+2 + 3 5n dla n N. 9. 13 3 n+2 + 4 2n+1 dla n N. 10. 43 6 n+2 + 7 2n+1 dla n N. 11. Oznaczmy: a(n) = n n + (n + 1) n+1, gdzie n N. Niech m będzie liczbą naturalną. Jeśli istnieje liczba naturalna n taka, że a(n) jest podzielne przez m, to takich liczb naturalnych n istnieje nieskończenie wiele. 12. Jeśli x, y Z, to 29 10x + y 29 x + 3y. 13. 17 2x + 3y 17 9x + 5y. 14. 41 25x + 3y 41 3x + 2y. 15. 17 2x + 4y + 5z 17 3x + 6y z. 16. 25 x 4y 19z 25 4x + 9y z. 17. Liczba 1001 (2n 1) + 1001 (2n) jest podzielna przez 2003. n=1 n=1 18. Liczba naturalna jest podzielna przez 4, jeśli suma cyfr jedności i podwojonej cyfry dziesiątek, jest podzielna przez 4. 19. Czy można z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, wykorzystując każdą tylko raz, utworzyć liczbę sześciocyfrową podzielną przez 11? 20. Niech A = a 1 a 2... a n 1 a n oraz B = a 1 a 2... a n 1 + 4a n, gdzie a 1,..., a n są cyframi. Wówczas: 13 A 13 B.

2 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 21. Dla jakich n N istnieje n-cyfrowa liczba naturalna podzielna przez 13, której suma cyfr jest równa 4? 22. Niech n N. Do liczby powstałej przez skreślenie ostatniej cyfry liczby n dodajemy liczbę dwukrotnie większą od skreślonej cyfry. Liczba n dzieli się przez 19 wtedy i tylko wtedy, gdy otrzymana liczba dzieli się przez 19. 23. Niech n N. Do liczby powstałej przez skreślenie ostatniej cyfry liczby n dodajemy liczbę trzykrotnie większą od skreślonej cyfry. Liczba n dzieli się przez 29 wtedy i tylko wtedy, gdy otrzymana liczba dzieli się przez 29. 24. Znaleźć reszty z dzielenia liczb 5 1994, 85 100, 2 1000 odpowiednio przez 3, 4 i 25. 25. Znaleźć resztę z dzielenia przez 3 liczby (2 2 + 1)(3 2 + 1) (1000 2 + 1). 26. Niech (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) będą permutacjami zbioru {1,..., n}. Jeśli n jest liczbą parzystą, to co najmniej dwie liczby spośród a 1 + b 1,..., a n + b n mają jednakowe reszty z dzielenia przez n. 27. Resztą z dzielenia liczby naturalnej n przez 1981 jest 35. Resztą z dzielenia tej liczby przez 1982 jest również 35. Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 14? 28. Resztą z dzielenia liczby naturalnej n przez 2007 jest 113. Resztą z dzielenia tej liczby przez 2008 jest również 113. Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 72? 29. Mamy 5 kartek papieru. Niektóre z nich dzielimy na 5 części. Następnie, niektóre z otrzymanych znowu dzielimy na 5 części, itd... Czy można w ten sposób otrzymać 1982 kartki? 30. Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych takich, że a b+1, b a+1 oraz a b. 31. Jeśli a i b są liczbami całkowitymi takimi, że b a + 1 i a b + 1, to ab a + b + 1. 32. Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych spełniających warunki: a b + 2, b a + 2 oraz a b. W poniższych równościach przez a, b, c, d oraz n, m oznaczamy dowolne liczby naturalne. 33. ((a, b), c) = (a, (b, c)) = (a, b, c), [[a, b], c] = [a, [b, c]] = [a, b, c]. 34. (a, b)(c, d) = (ac, ad, bc, bd), [a, b][c, d] = [ac, ad, bc, bd]. 35. (ca, cb) = c(a, b), [ca, cb] = c[a, b]. 36. (a, b)[a, b] = ab. 37. (a, b, c)[ab, bc, ca] = abc, [a, b, c](ab, bc, ca) = abc. 38. (a, b, c, d)[bcd, acd, abd, abc] = abcd, [a, b, c, d](bcd, acd, abd, abc) = abcd.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 3 39. Niech a 1,..., a n Z {0} i niech b = a 1 a 2 a n. Wtedy: [ ] ( ) (a 1,..., a n ) b a 1,..., b a n = b, [a 1,..., a n ] b a 1,..., b a n = b. 40. (a, b)(b, c)(c, a) = (a, b, c)(ab, bc, ca), [a, b][b, c][c, a] = [a, b, c][ab, bc, ca]. 41. [a, b, c] = abc(a,b,c) (a,b)(b,c)(c,a). 42. [a,b,c] 2 [a,b][b,c][c,a] = (a,b,c)2 (a,b)(b,c)(c,a). 43. [(a, b), c] = ([a, c], [b, c]), ([a, b], c) = [(a, c), (b, c)]. 44. ([a, b], [b, c], [c, a]) = [(a, b), (b, c), (c, a)]. 45. (a, b) n = (a n, b n ), [a, b] n = [a n, b n ]. 46. (a 2, b 2 ) = (a 2, ab, b 2 ). 47. (5a + 3b, 13a + 8b) = (a, b). 48. (a, b) = (a + b, [a, b]). 49. Jeżeli (a, b) = 1, to (a + b, ab) = 1. 50. (ab, c) (a, c)(b, c). W szczególności, jeśli c ab, to c (a, c)(b, c). 51. (a, bc) = (a, (a, b)c). 52. (a, bc) = (a, (a, b)(a, c)). 53. (a, c)(b, c) (ab, c 2 ). 54. c ab c b(a, c). 55. ab = cd (a, c)(a, d) = a(a, b, c, d). 56. Jeśli ab + bc = ca, to (a, b) = (b, c) = (c, a). 57. Jeżeli a, b, c są liczbami nieparzystymi, to (a, b, c) = 58. a + b (a, b) + [a, b], dla a, b N. ( ) a+b 2, b+c 2, c+a 2. 59. Niech d, w N. Wykazać, że istnieją liczby naturalne a, b takie, że (a, b) = d i [a, b] = w wtedy i tylko wtedy, gdy d w. 60. Znaleźć wszystkie liczby naturalne a i b takie, że (a, b) = 6 i [a, b] = 420. 61. Znaleźć wszystkie liczby naturalne a i b takie, że (a, b) = 15 i [a, b] = 1155. 62. Niech n, m, a, b Z. Jeśli (n, m) = 1, (a, n) = 1 i (b, m) = 1, to (am + bn, mn) = 1.

4 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 63. Niech m, n, u Z. Niech (m, n) = 1. Jeśli (u, mn) = 1, to istnieją liczby całkowite a, b takie, że (a, n) = 1, (b, m) = 1 oraz u = am + bn. 64. Ułamek (12n + 1)/(30n + 2) jest nieskracalny. 65. Ułamek (21n + 4)/(14n + 3) jest nieskracalny. 66. Niech a, b, 0 c Z. Istnieją wtedy liczby x, y Z takie, że (x, y) = 1 oraz c ax + by. 67. Niech f(x) Z[x], f(0) = f(1) = 1. Definiujemy ciąg (a n ) przyjmując za a 0 dowolną liczbę całkowitą oraz a n = f(a n 1 ) dla dla n N. Udowodnić, że dwa wyrazy a n i a m, gdzie n m, są względnie pierwsze. 68. Niech (a n ) będzie ciągiem określonym wzorami: a 1 = 2, a n+1 = a 2 n a n + 1, dla n N. Wykazać, że każde dwa różne wyrazy tego ciągu są względnie pierwsze. 69. Niech b N i niech (a n ) będzie ciągiem określonym wzorami: a 1 = b + 1, a n+1 = a 2 n ba n + b, dla n N. Udowodnić, że każde dwa różne wyrazy tego ciągu są względnie pierwsze. 70. Dla dowolnych dwóch różnych liczb całkowitych a, b istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że (a + n, b + n) = 1. 71. Niech a 1,..., a s będą różnymi parami względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Istnieje wtedy nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że liczby a 1 + n, a 2 + n,..., a s + n są parami względnie pierwsze. 72. Jeżeli a b (mod m), to (a, m) = (b, m). 73. Niech f Z[x], a, b Z, 2 m N. Jeśli a b (mod m), to f(a) f(b) (mod m). 74. Niech f Z[x], a, b Z, b > 1. Wtedy f(a + b) f(a) + bf (a) (mod b 2 ), gdzie f oznacza pochodną wielomianu f. 75. 33 4 + 34 4 58 4 + 59 4 (mod 100). 76. 4444 4444 7 (mod 9). 77. Rozwiązać układ dwóch kongruencji: x a 1 (mod 13), x a 2 (mod 17). 78. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x spełniające jednocześnie następujące trzy kongruencje: x 2 (mod 5), x 9 (mod 11), x 4 (mod 14). 79. Rozwiązać układ kongruencji: x a 1 (mod 4), x a 2 (mod 5), x a 3 (mod 7). 80. 6 n 3 + 5n dla n N. 81. 15 3n 5 + 5n 3 + 4n dla n N. 82. 121 n 2 + 3n + 5 dla n N.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 5 83. 121 n 2 + 2n + 12 dla n N. 84. 169 n 2 + n + 10 dla n N. 85. Znaleźć wszystkie liczby całkowite x 3 takie, że x 3 x 3 3. 86. Niech f Z[x]. Jeżeli liczby f(0) i f(1) są nieparzyste, to wielomian f nie ma całkowitych pierwiastków. 87. Niech f Z[x]. Jeżeli liczby f(2008) i f(20082009) są nieparzyste, to wielomian f nie ma całkowitych pierwiastków. 88. Niech f Z[x]. Jeżeli wielomian f posiada całkowity pierwiastek, to co najmniej jedna z liczb f(0), f(1), f(2) jest podzielna przez 3. 89. Niech f Z[x]. Wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu f przez x 2 12x + 11 jest równa 990x 889. Wykazać, że wielomian ten nie ma całkowitych pierwiastków. 90. Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(1) = 19 i f(19) = 85? 91. Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(7) = 11 i f(11) = 13? 92. Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(0) = 19, f(1) = 85 i f(2) = 1985? 93. Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(0) = 19, f(1) = 97 i f(2) = 1997? 94. Niech f Z[x], 5 f(2) oraz 2 f(5). Wtedy 10 f(7). 95. Niech f(x) Z[x] Z będzie wielomianem o nieujemnych współczynnikach i niech n N. Liczba f(f(n) + 1) jest podzielna przez f(n) wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1. 96. Niech a, b, c Z, b 1, (a, b) = 1. Niech x = ca ϕ(b) 1, y = c b (x, y) jest całkowitym rozwiązaniem równania ax + by = c. 97. Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 3x + 7y = 1000. 98. Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 17x + 19y = 2009. ( 1 a ϕ(b)). Wtedy para 99. Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 445x + 446y = 4455444555111154321. 100. Niech a, b N, (a, b) = 1. Każdą liczbę naturalną większą od ab a b można przedstawić w postaci ax + by, gdzie x, y są pewnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi. Liczba ab a b takiego przedstawienia nie ma. 101. Udowodnić, że jeśli a, b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to równanie ax + by = ab nie ma naturalnych rozwiązań. 102. Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 36x + 48y 53z = 1000. 103. Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania 16x + 25y + 9z = 1.

6 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 104. Udowodnić, że każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie w postaci n = a 1 1! + a 2 2! + + a s s!, gdzie 0 a i i dla i = 1,..., s oraz a s 0. 105. Dany jest ciąg cyfr: 123456789101112131415. Jaka cyfra stoi na 2000 miejscu? 106. Dana jest liczba 12345678910111213... 9989991000. Mnożymy tę liczbę przez jedną z liczb od 1 do 9 i w iloczynie skreślamy wszystkie jedynki. Z otrzymaną nową liczbą postępujemy podobnie, itd. Jaką najmniejszą liczbę można w ten sposób otrzymać? 107. Na długiej tablicy napisano 450-cyfrową liczbę 123456789123456789... (50 razy powtarza się grupa cyfr 123456789). Usunięto z tej tablicy wszystkie cyfry stojące na nieparzystych miejscach. Z otrzymaną nową liczbą zrobiono to samo, usunięto wszystkie cyfry na nieparzystych miejscach, i.t.d. Jaka cyfra pozostanie na końcu? 108. Naturalną liczbę można pomnożyć przez dowolną liczbę naturalną lub można skreślić zera w jej zapisie dziesiętnym. Wykazać, że przy pomocy tych operacji można z dowolnej liczby naturalnej otrzymać liczbę jednocyfrową. 109. Niech c 1,..., c s będzie dowolnym ciągiem cyfr układu dziesiętnego. W każdym ciągu arytmetycznym (a n ) o wyrazach naturalnych i różnicy r względnie pierwszej z 10 istnieje nieskończenie wiele wyrazów, których s końcowymi cyframi są odpowiednio cyfry c 1,..., c s. 110. Znaleźć trzy ostatnie cyfry liczby 1 3 5 1999. 111. Czy jeśli n jest sześciocyfrową liczbą naturalną, to co najmniej jedna z liczb n, 2n,..., 500 000n ma na końcu sześć identycznych cyfr? Przykład: liczba n = 127 553 spełnia ten warunek, gdyż 127 553 38087 = 4858111111. 112. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną podzielną przez 111, której ostatnimi cyframi są 2, 0, 0, 4. 113. Każda liczba naturalna posiada wielokrotność, w której występują wszystkie cyfry systemu dziesiętnego. 114. Dziesięciocyfrowa liczba naturalna ma wszystkie cyfry 0, 1, 2,..., 9. Wykazać, że ona nie dzieli się przez 11. 115. Żadna liczba sześciocyfrowa o różnych cyfrach ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} nie jest podzielna przez 11. 116. Jeśli w zapisie 3 4 1 0 8 2 40923 0 320 2 56 w miejsce gwiazdek wstawimy w dowolnej kolejności cyfry 0, 1, 2,..., 9 (każdą jeden raz), to otrzymana liczba będzie podzielna przez 396. 117. Żadna liczba postaci 10... 001 nie dzieli się przez 31. 118. Jeśli liczba 11 }.{{.. 11} 2 } 11.{{.. 11} jest podzielna przez 11, to jest podzielna przez 121. n n 119. Znaleźć liczbę siedmiocyfrową, której wszystkie cyfry są różne i która jest podzielna przez wszystkie te cyfry.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 7 120. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną mającą dzielniki kończące się każdą cyfrą ze zbioru {0, 1, 2,..., 9}. 121. Każda liczba naturalna k ma wielokrotność, która jest mniejsza od k 4 i w której zapisie dziesiętnym występują tylko co najwyżej cztery różne cyfry. 122. Ile jest liczb naturalnych n takich, że 4 n 1023, których zapis dwójkowy nie posiada trzech kolejnych jedynek? 123. Ile wynosi suma wszystkich 10-cyfrowych liczb naturalnych o nieparzystych cyfrach? 124. Ile wynosi suma wszystkich 20-cyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr ze zbioru {2, 4, 6, 8}? 125. Udowodnić, że jeśli n jest liczbą naturalną, to jedna z cyfr 1, 2 lub 9 występuje w zapisach dziesiętnych liczb n lub 3n. 126. Znaleźć liczbę dziesięciocyfrową, której pierwsza cyfra jest zarazem liczbą zer w jej zapisie dziesiętnym, druga liczbą jedynek, trzecia liczbą dwójek i tak aż do ostatniej cyfry, która jest liczbą dziewiątek. Przez n oznaczamy liczbę otrzymaną z liczby naturalnej n przez przestawienie jej pierwszej cyfry na koniec, natomiast przez n oznaczamy liczbę otrzymaną z liczby n przez przestawienie jej ostatniej cyfry na początek. Udowodnić: 127. Jeśli n jest liczbą trzycyfrową podzielną przez 37, to liczba n również jest podzielna przez 37. 128. Jeśli n jest liczbą pięciocyfrową podzielną przez 41, to liczba n również jest podzielna przez 41. 129. Niech n będzie liczbą sześciocyfrową. Jeśli 7 n, to 7 n. 130. Niech n będzie liczbą dziesięciocyfrową. Jeśli 41 n, to 41 n. 131. Jeśli 333 n, to 333 n. 132. W rozwinięciu dziesiętnym występują cyfry 1, 3, 7 i 9. Udowodnić, że przez permutację cyfr tego rozwinięcia można otrzymać rozwinięcie dziesiętne liczby podzielnej przez 7. 133. Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 utworzono wszystkie możliwe liczby siedmiocyfrowe, w których nie występują dwie jednakowe cyfry. Wykazać, że suma wszystkich takich liczb jest podzielna przez 9. 134. Permutując cyfry danej liczby a otrzymano liczbę b równą 3a. Wykazać, że 27 b. Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez s(n) oznaczamy sumę jej cyfr. Przykłady: s(1234) = 10, s(25571) = 20, s(20082009) = 21.

8 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 135. Niech a będzie liczbą naturalną i niech s(a) = n. Istnieje wtedy liczba naturalna b taka, że a < b < 10a oraz s(b) = n + 5. 136. Niech a = 4444 4444. Znaleźć sss(a). 137. Niech a = 11111 11111. Znaleźć sss(a). 138. s(n + m) = s(n) 9 m. 139. Niech a, k N. Jeśli s(a + 1 9) = s(a + 2 9) = = s(a + k 9), to k 9. 140. Dla każdego a N istnieje nieskończenie wiele bezzerowych liczb n N takich, że s(n) = s(an). 141. s(n) = s(2n) 9 n. 142. s(n) = s(3n) 9 n. 143. n s(n) (mod 9) dla n N. 144. s(a) + s(b) s(a + b) (mod 9) dla a, b N. 145. Czy istnieje liczba naturalna n taka, że n + s(n) = 1984? 146. Z dwóch kolejnych liczb naturalnych co najmniej jedna jest postaci n + s(n). 147. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że n = 11s(n). 148. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że n = 13s(n). 149. Jeśli 20 n, to 2 n 76 (mod 100). 150. Jeśli 100 n, to 2 n 376 (mod 1000). 151. Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby 2 51 + 2 52 + 2 53 +... + 2 51991. 152. Cztery ostatnie cyfry liczby postaci 2 n nie są jednakowe. 153. Wykazać, że ciąg reszt z dzielenia przez 100 kolejnych liczb postaci 2 n jest okresowy. 154. Wykazać, że ciąg reszt z dzielenia przez 1000 kolejnych liczb postaci 2 n jest okresowy. 155. s(2 n+1 ) s(2 n ), dla wszystkich n N. 156. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że s(2 n ) > s(2 n+1 ). 157. Istnieje liczba naturalna q taka, że wszystkie cyfry liczby q2 100 są różne od zera. 158. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba podzielna przez 2 n, której wszystkie cyfry są jedynkami lub dwójkami.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 9 159. Istnieje liczba 100-cyfrowa podzielna przez 2 100, której wszystkie cyfry są jedynkami lub dwójkami. 160. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba n-cyfrowa podzielna przez 2 n, której wszystkie cyfry są jedynkami lub dwójkami. 161. Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby 3 1234. 162. Iloma zerami kończy się liczba 9 1997 + 1? 163. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że s(3 n ) s(3 n+1 ). 164. Nie istnieje żadna liczba pierwsza postaci 122... 21. 165. Niech p > 3 będzie liczbą pierwszą. Wiadomo, że liczba p n jest 20-cyfrowa. Wykazać, że co najmniej trzy cyfry są jednakowe. 166. Istnieje taka liczba pierwsza, która na końcu ma 100 siódemek. 167. Niech c 1, c 2,..., c n będzie skończonym ciągiem cyfr układu dziesiętnego i niech c będzie jedną z cyfr 1, 3, 7 lub 9. Istnieje wtedy nieskończenie wiele liczb pierwszych, których ostatnie cyfry są odpowiednio równe c 1,..., c n, c. 168. Jeżeli n > 2, to pomiędzy n i n! istnieje zawsze liczba pierwsza. 169. Jeżeli p > 3 jest liczbą pierwszą, to 24 p 2 1. 170. Jeśli p i q są liczbami pierwszymi > 3, to 24 p 2 q 2. 171. Jeżeli p > 5 jest liczbą pierwszą, to 240 p 4 1. 172. Liczby naturalne a 1,..., a n są parami względnie pierwsze oraz 1 < a i < (2n 1) 2, dla i = 1, 2,..., n. Wykazać, że co najmniej jedna z tych liczb jest pierwsza. 173. Niech n N. Liczba 2n + 1 nie jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby naturalne a i b takie, że n = 2ab + a + b. 174. Jeśli liczby p > 3 i p + 2 są pierwsze, to 6 p + 1. 175. Istnieje liczba pierwsza mająca dokładnie 1000 cyfr. 176. Dla każdej liczby naturalnej n istnieją co najmniej trzy liczby pierwsze n-cyfrowe. 177. p, p + 10, p + 14 P p = 3. 178. p, 4p 2 + 1, 6p 2 + 1 P p = 5. 179. p, 8p 2 + 1 P 8p 2 1 P. 180. p, 5p 2 2 P 5p 2 4, 5p 2 + 2 P. 181. p, 2p 2 + 13 P 2p 2 + 1, 2p 2 + 11 P.

10 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 182. n 10, n + 10, n + 60 P n + 90 P. Przez p n oznaczamy n-tą liczbę pierwszą. Przykłady: p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 = 11, p 6 = 13, p 7 = 17, p 8 = 19, p 9 = 23, p 10 = 29. 183. Następujące dwa warunki są równoważne. (1) p n+1 < 2p n, dla wszystkich n N. (2) (Twierdzenie Czebyszewa) Dla każdej liczby naturalnej m > 1 istnieje liczba pierwsza p taka, że m < p < 2m. 184. 2n + 1 p n, dla wszystkich n N. Ponadto, 2n + 1 < p n, dla n > 6. 185. p n < 2 n, dla n 2. 186. p n < p 1 p 2 p n 1 + 1, dla n 3. 187. p 1 p 2 p n > p 2 n+1, dla n 4. 188. Dla każdej liczby naturalnej k istnieje n takie, że p n+1 p n > k. 189. Liczba postaci 4k 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy k nie jest postaci 4ab+a b, gdzie a, b N. 190. Liczba postaci 6n 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy n nie jest postaci 6ab+a b, gdzie a, b N. 191. Udowodnić, że liczb pierwszych postaci 3k + 2 jest nieskończenie wiele. 192. Udowodnić, że liczb pierwszych postaci 6k + 5 jest nieskończenie wiele. 193. Niech p P, n N, a Z, p a. Wtedy liczba a p(p 1) 1 jest podzielna przez pr. 194. Niech p P, n N, a Z, p a. Wtedy liczba a pn 1 (p 1) 1 jest podzielna przez p n. 195. Setna potęga każdej liczby całkowitej niepodzielnej przez 5 jest postaci 125k + 1. 196. Jeśli 17 n, to 17 n 8 + 1 lub 17 n 8 1. 197. Niech a n = 2 n + 3 n + 6 n 1. Dla każdej liczby pierwszej p istnieje liczba naturalna n taka, że p a n. 198. Wykazać, że liczby 121, 10201, 1002001, 100020001,... są kwadratowe. 199. Wykazać, że liczby 729, 71289, 7112889, 711128889,... są kwadratowe. 200. Żaden wyraz ciągu 11, 111, 1111, 11111,... nie jest liczbą kwadratową. 201. Żadna liczba postaci 10101... 101 nie jest kwadratowa.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 11 202. Każda liczba postaci 11 }.{{.. 11} 22 }.{{.. 22} jest kwadratowa. 2n n 203. Każda liczba kwadratowa większa od 9 ma co najmniej jedną cyfrę parzystą. 204. Liczba s(n 2 ) jest postaci 9k lub 3k + 1. 205. Niech n N. Istnieje liczba kwadratowa, której suma cyfr jest równa n wtedy i tylko wtedy, gdy resztą z dzielenia liczby n przez 9 jest 0, 1, 4 lub 7. 206. Liczba postaci s(2n 2 + 3) nigdy nie jest kwadratowa. 207. Jeżeli przedostatnia cyfra liczby kwadratowej jest nieparzysta, to ostatnią cyfrą jest 6. 208. Każda liczba postaci 1 + 3 + 5 + + (2n 1) (gdzie n N) jest kwadratowa. 209. Każda liczba postaci 1 3 + 2 3 + + n 3 (gdzie n N) jest kwadratowa. 210. Jeśli a + b + c = 0, a, b, c Z, to 2(a 4 + b 4 + c 4 ) jest liczbą kwadratową. 211. Dla każdej liczby naturalnej n > 4 pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jedna liczba kwadratowa. 212. Istnieje 10 parami różnych liczb całkowitych takich, że suma każdych dziewięciu z nich jest liczbą kwadratową. 213. Jeśli w nieskończonym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych istnieje liczba kwadratowa, to istnieje ich nieskończenie wiele. 214. Jeśli a i b są liczbami całkowitymi, o różnej parzystości, to istnieje liczba całkowita c taka, że liczby a + c, b + c, ab + c są kwadratowe. Mówimy, że liczba naturalna jest bezkwadratowa jeśli nie jest podzielna przez żaden kwadrat liczby naturalnej > 1. 215. Liczba naturalna n 2 jest bezkwadratowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest iloczynem parami różnych liczb pierwszych. 216. Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie postaci n = kb, gdzie k jest liczbą kwadratową i b jest liczbą bezkwadratową. 217. Każda liczba naturalna 2 jest sumą dwóch liczb bezkwadratowych. 218. Każda liczba naturalna postaci 4k + 3 nie jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych. 219. Każda liczba naturalna postaci 9k + 3 nie jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych. 220. Jeśli n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 2n również jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

12 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 221. Jeśli n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 17n również jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych. 222. Dla każdej liczby naturalnej n równania x 2 + y 2 = n oraz x 2 + y 2 = 2n mają jednakowe liczby całkowitych rozwiązań. 223. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że liczby n, n + 1, n + 2 są sumami dwóch kwadratów liczb całkowitych. 224. Jeśli każda z liczb n, n + 1 i n + 2 jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych, to własność tę posiadają również liczby m, m + 1 i m + 2, dla m = n(n + 2). 225. Niech a, b Z. Jeżeli 3 a 2 + b 2, to 3 a i 3 b. 226. Niech a, b Z. Jeżeli 7 a 2 + b 2, to 7 a i 7 b. 227. Czy istnieje nieskończony ciąg liczb kwadratowych, w którym każdy wyraz, począwszy od trzeciego, jest sumą dwóch wyrazów poprzednich? 228. Żadna liczba naturalna postaci 8b + 7, gdzie b Z, nie jest sumą kwadratów trzech liczb całkowitych. 229. Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, których nie można przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów liczb całkowitych. 230. Jeśli liczba naturalna nie jest sumą kwadratów trzech liczb całkowitych, to nie jest sumą kwadratów trzech liczb wymiernych. 231. Istnieje nieskończony ciąg (a n ) liczb naturalnych taki, że każda liczba postaci a 2 1 + a2 2 + + a 2 n jest kwadratowa. 232. Dla każdej liczby naturalnej a 1 istnieje rosnący ciąg a 1, a 2, a 3,... liczb naturalnych taki, że dla dowolnego n N liczba a 2 1 + a2 2 + + a2 n jest podzielna przez a 1 + a 2 + + a n. 233. Niech p 1 < p 2 < < p 17 będą liczbami pierwszymi. Jeśli p 2 1 + + p2 17 kwadratową, to p 1 p 2 17 p2 16. jest liczbą 234. Dla każdej liczby całkowitej a istnieje liczba naturalna m taka, że a = ±1 2 +±2 2 + ± m 2. 235. Jeśli jeden z kątów trójkąta o bokach a, b, c jest równy 60 o, to a 2 = b 2 + c 2 bc. 236. Znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite równania xy = 2x + 2y 7. 237. Istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych p, że równanie x 2 + x + 1 = py ma rozwiązanie w liczbach całkowitych. 238. Niech A = {a 2 5b 2 ; a, b Z}. Wykazać, że jeśli x, y A, to xy A. 239. Niech A = {a 2 + ab + b 2 ; a, b Z}. Wykazać, że jeśli x, y A, to xy A.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 13 240. Każdy wyraz ciągu 1331, 1030301, 1003003001,... jest sześcianem liczby naturalnej. 241. Liczby 729, 970299, 997002999, 999700029999,... są sześcianami liczb naturalnych. 242. Niech n N. Istnieje sześcian liczby naturalnej, którgo suma cyfr jest równa n wtedy i tylko wtedy, gdy resztą z dzielenia liczby n przez 9 jest 0, 1 lub 8. 243. Liczby n = 1, 8, 17, 18, 26, 27 spełniają równość s(n 3 ) = n. Udowodnić, są to wszystkie tego rodzaju liczby naturalne. 244. Niech (c p, c p 1,..., c 1, c 0 ) (gdzie p 0) będzie ciągiem cyfr układu dziesiętnego przy czym nwd(c 0, 10) = 1. Istnieje wtedy liczba naturalna n taka, że końcowymi cyframi liczby n 3 są odpowiednio cyfry c p, c p 1,..., c 0. 245. Znaleźć liczbę naturalną n taką, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 19981997. 246. Znaleźć liczbę naturalną n taką, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 199919981997. 247. Każda liczba postaci n 3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych. 248. Każdy sześcian liczby naturalnej jest różnicą dwóch liczb kwadratowych. 249. Dla każdej liczby naturalnej n > 32 pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej. 250. Każda dodatnia liczba wymierna jest postaci a3 +b 3 c 3 +d 3, gdzie a, b, c, d N. 251. Jeżeli m > 2, to ϕ(m) jest liczbą parzystą. 252. ϕ(ab) = (a, b)ϕ([a, b]) dla a, b N. 253. ϕ(2m) = ϕ(m) lub ϕ(2m) = 2ϕ(m). 254. ϕ(4n + 2) = ϕ(2n + 1). { 2ϕ(n), gdy n nieparzyste, 255. ϕ(4n) = 4ϕ(n), gdy n parzyste. 256. Jeśli liczby p > 2 i 2p 1 są pierwsze, to ϕ(4p 2) = ϕ(4p). 257. Jeśli liczby p > 2 i 2p + 1 są pierwsze, to ϕ(4p + 2) = ϕ(4p) + 2. 258. ϕ(n k ) = n k 1 ϕ(n) dla n, k N. 259. Niech m, n N. Istnieje liczba naturalna a taka, że wszystkie liczby ϕ(a + 1), ϕ(a + 2),..., ϕ(a + n) są podzielne przez m. 260. Funkcja τ jest multyplikatywna.

14 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 261. Liczba τ(n) jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą kwadratową. 262. Jeśli τ(n) jest liczbą pierwszą, to n jest potęgą liczby pierwszej. 263. Jeśli τ(n) = 2 i τ(n + 1) = 3, to n = 3. 264. Jeśli τ(n) = 2 i τ(n 1) = 3, to n = 5. 265. Jeśli n 3, to 2 τ(n) < n. 266. τ(n) 3 4n, dla n > 2. 267. Dla dowolnej liczby naturalnej n 2 wszystkie wyrazy ciągu τ(n), ττ(n), τττ(n),..., poczynając od pewnego miejsca są równe 2. 268. Niech c będzie ustaloną liczbą naturalną. Ciąg (a n ) określony jest przez warunki: a 1 = 1, a n+1 = τ(a n ) + cdla n N. Wykazać, że ciąg ten jest od pewnego miejsca okresowy. 269. Jeśli n N, to ( 2 τ(k) 3 = τ(k)). k n k n 270. Jeśli n jest liczbą złożoną, to σ(n) > n + n. 271. Niech k N. Jeśli n jest liczbą pierwszą taką, że liczba n + k jest również pierwsza, to σ(n + k) = σ(n) + k. 272. Jeśli n, k są liczbami naturalnymi takimi, że σ(n + k) = σ(n) + k, to n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy n + k jest liczbą pierwszą. 273. Istnieje nieskończenie wiele nieparzystych liczb naturalnych k takich, że σ(2 + k) = σ(2) + k. 274. 3 σ(3k + 2) dla k N 0. 275. 4 σ(4k + 3) dla k N 0. Przez u n oznaczamy n-tą liczbę Fibonacciego; u 1 = u 2 = 1 oraz u n+2 = u n+1 + u n dla n N. Udowodnić: 276. u 1 + u 2 + + u n = u n+2 1 dla n N. 277. u 1 + u 3 + u 5 + + u 2n 1 = u 2n dla n N. 278. u 2 + u 4 + u 6 + + u 2n = u 2n+1 1 dla n N. 279. u 2 n = u n 1 u n+1 + ( 1) n 1 dla n N. 280. u 2 1 + u2 2 + + u2 n = u n u n+1 dla n N. 281. Niech (m 1, m 2,..., m s ) będzie skończonym ciągiem liczb naturalnych takim, że m 1 < m 2,..., m s i m j+1 m j 2 dla j = 1, 2,..., s 1 (tzn. w tym ciągu nie ma żadnych dwóch kolejnych liczb naturalnych). Wtedy u m1 + u m2 + + u ms < u ms+1.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 15 282. Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie w postaci n = u m1 + u m2 + + u ms, gdzie m 1 < m 2 < < m s oraz m j+1 m j 2 dla j = 1, 2,..., s 1, tzn. w ciągu (m 1,..., m s ) nie ma żadnych dwóch kolejnych liczb naturalnych. 283. Niech A = [ 1 1 1 0 ] [ ]. Wtedy A n un+1 u = n dla n N. u n u n 1 284. Prostokąt 1 n zapełniamy prostokątami o wymiarach 1 1 i 1 2. Ile jest różnych sposobów takiego zapełnienia? 285. Dla dowolnych liczb naturalnych n i m zachodzi równość u n+m = u n+1 u m + u n u m 1. 286. 3 u 4n dla n N. 287. 5 u 5n dla n N. 288. Jeśli n m, to u n u m. 289. Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego są względnie pierwsze. 290. Dla dowolnych liczb naturalnych n, m zachodzi równość (u n, u m ) = u (n,m). 291. Istnieje taka liczba Fibonacciego, która na końcu ma 5 zer. 292. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że m u n. 293. Dla każdego n w ciągu u 1, u 2,..., u n 2 istnieje liczba podzielna przez n. 294. Ile jest liczb dziesięciocyfrowych zbudowanych z cyfr 2 i 5, w których dwie dwójki nie stoją obok siebie? 295. Ile jest podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}, w których nie występują żadne dwie kolejne liczby? 296. Niech a 0 = 1, a 1 = b N, a n+2 = 2a n+1 a n. Wtedy każda liczba postaci a n a m jest wyrazem tego ciągu. 297. Niech f(x) Z[x], a n+1 = f(a n ). Wiadomo że a 1 = 1999, a 2000 = 1999. Wykazać, że a 1 a 2 + a 2 a 3 + + a 1999 a 1 = 1999. 298. Niech a 1 {0, 1,..., 9} oraz niech a n+1 będzie ostatnią cyfrą liczby 19a n +98. Wykazać, że ciąg (a n ) jest od pewnego miejsca okresowy. Każdą liczbę postaci M n = 2 n 1, gdzie n 0, nazywamy liczbą Mersenne a. 299. Ciąg (M n ) można zdefiniować rekurencyjnie: M 1 = 1, M n+1 = 2M n + 1 dla n 1. 300. Każda liczba naturalna nieparzysta jest dzielnikiem pewnej liczby Mersenne a. 301. Niech m, n N. Jeśli resztą z dzielenia m przez n jest r, to resztą z dzielenia M m przez M n jest M r.

16 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 302. Dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi równość (M n, M m ) = M (n,m). 303. (M n, M m ) = 1 (n, m) = 1. 304. M m M n m n. 305. Jeśli M n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą. 306. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna s taka, że wszystkie liczby M s+1, M s+2,..., M s+n są złożone. 307. Liczba Mersenne a M n jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy 3 n. 308. 23 M n 89 M n 11 n. 309. Dla każdej liczby naturalnej s istnieje liczba naturalna n taka, że liczba M n ma co najmniej s parami różnych dzielników pierwszych. 310. Udowodnić, że jedyną liczbą pierwszą postaci a n = 1 3 (4n 1) jest a 2 = 5. Przez e n oznaczamy n-cyfrową liczbę naturalną, której cyframi są same jedynki: Udowodnić: 311. (e n, e m ) = e (n,m) dla n, m N. 312. n m e n e m. 313. (e n, e m ) = 1 (n, m) = 1. e n = 10n 1 9 = } 11 {{... 1}. 314. W ciągu (e n ) istnieje nieskończony podciąg składający się z liczb parami względnie pierwszych. 315. Znaleźć największy wspólny dzielnik liczb e 9 i e 100. 316. 5 e n 41 e n. 317. 81 e 81. 318. Liczba e 3 n jest podzielna przez 3 n. n 319. Niech a, b, n N, nwd(a, b) = 1, a + b > 2. Wtedy (a + b) a n + b n n jest liczbą nieparzystą. 320. Jeśli n N jest liczbą nieparzystą i a, b Z, to a n + b n nb n 1 (a + b) (mod (a + b) 2 ). 321. Niech n będzie naturalną liczbą nieparzystą i niech a, b będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi. Udowodnić, że (a + b) 2 a n + b n (a + b) n.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 17 Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci F n = 2 2n + 1, n 0. Udowodnić: 322. Jeśli 2 n + 1 jest liczbą pierwszą, to n jest potęgą dwójki. 323. Jeżeli n 3, to ostatnią cyfrą liczby Fermata F n jest 7. 324. F n+1 2 = F 0 F 1 F n dla n N 0. 325. Każde dwie różne liczby Fermata są względnie pierwsze. 326. Wykorzystując poprzednie zadanie udowodnić, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. 327. F n 2 Fn 2 dla n N 0. Liczbami trójkątnymi nazywamy liczby postaci t n = 1 + 2 + + n = 1 2n(n + 1), gdzie n N. 328. Każdy wyraz ciągu 55, 5050, 500500, 50005000,... jest liczbą trójkątną. 329. Każdy wyraz ciągu 21, 2211, 222111, 22221111,... jest liczbą trójkątną. 330. t 3k + t 4k+1 = t 5k+1, t 5k+4 + t 12k+9 = t 13k+10, t 8k+4 + t 15k+9 = t 17k+10. 331. t 3k+2 + t 4k+2 = t 5k+3, t 3k + t 4k+1 = t 5k+1. 332. t 4k+2 + t 4k 2 +5k = t 4k 2 +5k+2. 333. 3t n + t n 1 = t 2n, 3t n + t n+1 = t 2n+1. 334. t 3k = t 2k + t 2k + t k 1, t 3k+1 = t 2k + t 2k+1 + t k, t 3k+2 = t 2k+1 + t 2k+1 + t k+1. 335. Ile prostokątów widać na poniższym rysunku? 336. Niech a, b N. Prostokąt a b podzielono na ab kwadratów wymiaru 1 1. Ile prostokątów powstaje w wyniku tego podziału? 337. Niech a, b, c N. Prostopadłościan a b c podzielono na abc sześcianów wymiaru 1 1 1. Ile prostopadłościanów powstaje w wyniku tego podziału? 338. t n = ( 1) n n ( 1) i i 2. i=1 339. t n + t n+1 = (n + 1) 2, t 2 n + t 2 n+1 = t (n+1) 2, t2 n+1 t2 n = (n + 1) 3. 340. t 1 + t 2 + t 3 + + t 2n 1 = 1 2 + 3 2 + 5 2 + + (2n 1) 2.

18 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 341. Liczba 4t n t n+2 + 1 jest kwadratowa. 342. t 1 + t 2 + + t n = n(n+1)(n+2) 6. 343. Ile zer ma na końcu liczba 2011!? 344. Wykazać, że 1 3 5 7... (2n 1) < n n, dla n 2. 345. Jeśli p = 4k + 3 jest liczbą pierwszą, to jedna z liczb (2k + 1)! 1 lub (2k + 1)! + 1 jest podzielna przez p. 346. Niech p 3 będzie liczbą pierwszą. Niech (a 1, a 2,..., a p ) i (b 1, b 2,..., b p ) będą permutacjami zbioru {1, 2,..., p}. Wówczas wśród liczb a 1 b 1, a 2 b 2,..., a p b p istnieją dwie liczby mające tę samą resztę z dzielenia przez p. 347. Dla każdej liczby pierwszej p postaci 4k + 1, istnieje taka liczba naturalna n, że liczba n 2 + 1 jest podzielna przez p. 348. Ile dzielników naturalnych ma liczba 10!? 349. Liczba n!, dla n 3, jest sumą n parami różnych swoich dzielników naturalnych. 350. 23 18! + 1. 351. 71 61! + 1. 352. 71 63! + 1. 353. Udowodnić, że 712! + 1 jest liczbą złożoną. 354. Niech s będzie ustaloną liczbą naturalną. Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie postaci n = ( m s ) ( s + ms 1 ) ( s 1 + + mj ) j, gdzie 1 j s oraz ms > m s 1 > > m j j 1. 355. ( k k 356. n k=1 ) + ( k+1 k ) + + ( k+n 1 k ) = ( k+n ( n ) k ka k b n k = na(a + b) n 1. 357. ( a+b) ( k = a )( b ) i j. i+j=k 358. Jeśli n 5, to ( 2n n ) < 4 n 1. k+1). 359. ( 2n) n 2 2n 2n. 360. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to każda z liczb ( p ( 1), p ) ( 2,..., p p 1) jest podzielna przez p. 361. Niech p P, n N. Wtedy każda z liczb ( p n ) ( 1, p n) ( 2,..., p n p 1) jest podzielna przez p. n

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 19 362. Niech n, k N 0, p P. Jeśli p k, to p ( pn) k. 363. Niech n, k N. Dla każdej liczby naturalnej m 2, co najmniej jedna z liczb ( n k), ) (,..., n+k ) k nie jest podzielna przez m. ( n+1 k 364. Jeśli n N i p P, to ( np 1 p 1 365. Jeżeli (n, k) = 1, to n ( n k). 366. Jeżeli (n, k) = 1, to k ( n 1 k 1). ) 1 (mod p). 367. Dla każdej liczby naturalnej n liczba (2n)! n!(n+1)! jest naturalna. 368. Jeżeli (n, m) = 1, to (n+m 1)! n!m! jest liczbą całkowitą. 369. Jeżeli (n, 6) = 1, to (2n 4)! n!(n 2)! jest liczbą całkowitą. 370. Liczba (2n)!(2m)! m!n!(m+n)! jest całkowita. 371. Jeżeli n, m N, p P, to ( pn pm) ( n m) (mod p). 372. Niech m, n będą liczbami naturalnymi oraz p liczbą pierwszą. Niech n = ap + r, m = bp + s, gdzie a, b, r, s Z, 0 r < p i 0 s < p. Wtedy ( n m) ( a b)( r s) (mod p). 373. Niech n = n 0 + n 1 p + n 2 p 2 + + n d p d i m = m 0 + m 1 p + + m d p d będą przedstawieniami liczb naturalnych n, m w systemie numeracji przy podstawie p P. Wtedy ( n ) ( m n0 )( n1 ) ( m 0 m 1 nd ) m d 374. ( [ ] n p) n p (mod p). dla n N, p P. 375. ( n p k ) [ n p k ] (mod p) dla n, k N, p P. 376. Czy liczba ( 1000 501 ) jest podzielna przez 101? 377. Znaleźć resztę z dzielenia liczby ( 119 33 ) przez 5. (mod p). 378. Jeśli (a 1, a 2,..., a n ) jest permutacją zbioru {1, 2, 3,..., n}, to (a 1 1) 2 + (a 2 2) 2 +... + (a n n) 2 jest liczbą parzystą. 379. Niech (a 1,..., a n ) będzie ciągiem liczb całkowitych niekoniecznie różnych i niech ciąg (b 1,..., b n ) będzie permutacją tego ciągu. Wtedy (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + + (a n b n ) 2 jest liczbą parzystą. 380. Niech n będzie liczbą nieparzystą i niech (a 1,..., a n ) będzie ciągiem liczb całkowitych niekoniecznie różnych. Niech (b 1,..., b n ) będzie permutacją ciągu (a 1,..., a n ). Wtedy liczba (a 1 b 1 )(a 2 b 2 ) (a n b n ) jest parzysta.

20 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 381. W każdej permutacji (a 1, a 2,..., a 2000 ) zbioru {1, 2,..., 2000} istnieją dwie takie różne liczby a n i a m, że a n + n a m + m (mod 2000). Udowodnić: 382. 1 5 = 19 95 = 199 995 = 1999 9995 =. 383. 2 5 = 26 65 = 266 665 = 2666 6665 =. 384. 1 34 = 151 5134 = 15151 515134 = 1515151 51515134 =. 385. 2 24 = 227 2724 = 22727 272724 = 2272727 27272724 = 227272727 2727272724 =. 386. Niech a, b Q. Jeśli a + b Z i ab Z, to a, b Z. 387. Niech a, b, c Q. Jeśli a + b + c Z, ab + bc + ca Z i abc Z, to a, b, c Z. 388. Znaleźć takie trójki dodatnich liczb wymiernych (x, y, z), dla których wszystkie liczby 1 x + y + z, x + 1 y + 1 z, xyz są naturalne. 389. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ab+1 a+b, gdzie a, b są liczbami naturalnymi. 390. Niech n N. Znaleźć liczbę wszystkich par (x, y) liczb naturalnych takich, że n = xy x+y. Przykłady: 1 = 2 2 2+2, 2 = 3 6 3+6 = 4 4 4+4 = 6 3 6+3. 391. Jeśli x, y są liczbami naturalnymi takimi, że 1 x + 1 y < 1, to 1 x + 1 y 5 6. 392. Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) liczb naturalnych takich, że x y z oraz 1 x + 1 y + 1 z = 1. 393. Jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi takimi, że 1 x + 1 y + 1 z < 1, to 1 x + 1 y + 1 z 394. Znaleźć wszystkie trójki x y z liczb naturalnych, dla których 1 x + 1 y + 1 z naturalną. 41 42. jest liczbą 395. Niech s N i niech x 1,..., x s będą takimi liczbami naturalnymi, dla których spełniona jest równość 1 x 1 + + 1 x s = 1. Jeśli liczba s jest parzysta, to co najmniej jedna z liczb x 1,..., x s jest również parzysta. 396. Istnieją parami różne liczby naturalne a 1,..., a 1974 takie, że 1 a 1 + + 1 a 1974 = 2. 397. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x y z spełniające równość 1 x + 1 y + 1 z = 4 5. 398. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x y z spełniające równość 1 x + 1 y + 1 z = 6 7. 399. Liczba 8 11 nie jest sumą trzech ułamków prostych. 400. Żadna liczba wymierna z przedziału ( 41 42, 1) nie jest sumą trzech ułamków prostych.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 21 401. Liczba 1 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n, dla n 2, nigdy nie jest całkowita. 402. Liczba 1 n + 1 n+1 + + 1 n+k, gdzie n, k N, nigdy nie jest całkowita. 403. Niech a 1,..., a n, gdzie n 2, będą parami różnymi liczbami naturalnymi. Załóżmy, że dokładnie jedna z nich jest liczbą parzystą, a pozostałe są liczbami nieparzystymi. Wtedy liczba 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a s nie jest całkowita. 404. 1 n+1 + 1 n+2 + + 1 2n > 3 5 dla n 3. 405. Na tablicy wypisano liczby 1 1, 1 2, 1 3,..., 1 1998, 1 1999. Wybierzmy dwie z nich, powiedzmy a i b, i zamiast nich napiszmy liczbę a + b + ab. Powtarzamy to tak długo, aż otrzymamy tylko jedną liczbę na tablicy. Czy jest możliwe by tą jedyną liczbą była liczba 2000? 406. Nie istnieją parami różne liczby pierwsze p 1,..., p n takie, że 1 p 1 + + 1 całkowitą. p n jest liczbą 407. Jeśli p 5 jest liczbą pierwszą, to licznik ułamka a b = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 podzielny przez p. p 1 jest 408. Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) względnie pierwszych liczb naturalnych takich, że x y z oraz x y + y z + z x = 3. 409. Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) względnie pierwszych liczb naturalnych takich, że x y z oraz x y + y z + z x = 5. 410. Wykazać, że liczba 0, 123456789101112131415... jest niewymierna. 411. Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby pierwsze. Powstała liczba 0, 23571113. Wykazać, że liczba ta jest niewymierna. 412. Niech x 1, x 2, x 3 będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) jest liczbą całkowitą. 413. Niech z 1, z 2,..., z n, będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu monicznego g(x) Z[x] stopnia n. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to liczba f(z 1 ) + f(z 2 ) + + f(z n ) jest całkowita. 414. Nie ma takich liczb wymiernych x, y, z, t, że (x + y 2) 2 + (z + t 2) 2 = 5 + 4 2. 415. Nie ma takich liczb naturalnych m, n, że (5 + 3 2) m = (3 + 5 2) n. 416. Wykazać, że 417. Wykazać, że 3 2 + 5 + 3 2 5 = 1. 3 52 3 52 + 5 5 = 1. 418. Wykazać, że 3 7 + 5 2 + 3 7 5 2 = 2.

22 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 419. Jeśli n 2, to liczba n 2 jest niewymierna. 420. Jeśli liczba naturalna n nie jest k-tą potęgą liczby naturalnej, to k n jest liczbą niewymierną. 421. Jeśli n > 1 jest bezkwadratową liczbą naturalną i k 2 jest liczbą naturalną, to k n jest liczbą niewymierną. 422. Niech a, b, c, d N. Jeśli postępy arytmetyczne (a+nb) i (c+dn) mają co najmniej jeden wyraz wspólny, to wszystkie ich wyrazy wspólne tworzą nieskończony postęp arytmetyczny. 423. W postępie geometrycznym o wyrazach rzeczywistych mogą występować co najwyżej dwie liczby pierwsze. 424. Z każdego nieskończonego ciągu arytmetycznego o wyrazach naturalnych można wybrać nieskończony ciąg geometryczny. Przez [x] oznaczamy część całkowitą liczby rzeczywistej x. 425. Niech a, b będą liczbami całkowitymi i niech d > 1 będzie niekwadratową liczbą naturalną. Jeśli 0 < a b d < 1, to dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość [ (a + b d) n] = (a + b d) n + (a b d) n 1. 426. Niech a, b będą liczbami całkowitymi i niech d > 1 będzie niekwadratową liczbą naturalną. Jeśli 1 < a b d < 0, to dla n N zachodzą równości [ (a + b d) n] (a + b d) n + (a b d) n 1, gdy n jest parzyste, = (a + b d) n + (a b d) n, gdy n jest nieparzyste. 427. Dla każdej liczby naturalnej n liczba [ (2 + 3) n] jest nieparzysta. 428. Niech a, b Z i niech d > 1 będzie niekwadratową liczbą naturalną. Jeśli 0 < a b [ d < 1, to dla każdej liczby naturalnej n, liczba (a + b d) n] jest nieparzysta. 429. Liczba [ (5 + 17) n] + 1 jest podzielna przez 2 n. 430. [2x] + [2y] [x + y] + [x] + [y] dla x, y R, 431. [(n + 1)x] + [(n + 1)y] n[x] + n[y] + [x + y], dla x, y R oraz n N. 432. Jeśli [ n 1 ] + [ n 2 ] + + [ n n ] [ ] = 2 + n 1 1 [ ] + n 1 2 [ ] + + n 1 n 1, to n jest liczbą pierwszą. 433. Niech 0 < r Q Z. Istnieje wtedy nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że liczba [nr] jest pierwsza. 434. Rozwiązać równanie [x/2] + [x/3] + [x/5] = x. 435. Niech a, b Z. Rozwiązać układ równań: 2y + [x] = a, 2x + [y] = b.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 23 436. Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równość 4x 2 40[x] + 51 = 0. 437. Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równość x 2 7[x] + 6 = 0. 438. Udowodnić, że jeśli λ jest dodatnią liczbą rzeczywistą, to równanie x 2 = λ[x] posiada co najwyżej 4 rozwiązania. 439. Rozwiązać równanie 2[x] 2 x + 1 = 0. 440. Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równość 3[x] 2 + 6x 4 = 0. 441. Wykazać, że równanie [x] 2 + 9x + 12 = 0 posiada dokładnie 6 rozwiązań. 442. Jeśli a, b, c są niezerowymi liczbami rzeczywistymi, to co najmniej jeden z trójmianów ax 2 + 2bx + c, bx 2 + 2cx + a, cx 2 + 2ax + b ma pierwiastek rzeczywisty. 443. Niech f(x) = ax 2 + bx + c Z[x], a 0. Załóżmy, że b jest nieparzyste oraz istnieje takie u N, że f(u) jest liczbą parzystą. Wtedy dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba naturalna m, że liczba f(m) jest podzielna przez 2 n. 444. Dane są trzy trójmiany kwadratowe z parami różnymi współczynnikami wiodącymi. Wykresy każdych dwóch z tych trójmianów mają dokładnie jeden punkt wspólny. Wykazać, że wszystkie trzy wykresy mają punkt wspólny. 445. Niech f(x) Z[x]. Jeśli wielomian f(x) s, gdzie s Z, ma co najmniej trzy parami różne całkowite pierwiastki, to wielomian f(x) (s + 1) nie ma całkowitych pierwiastków. 446. Jeśli liczba wymierna u jest pierwiastkiem wielomianu f(x) Z[x], to f(x) = (x u)g(x), gdzie g(x) jest wielomianem należącym do Z[x]. 447. Niech f(x) = a n x n + a n 3 x n 3 + a n 4 x n 4 + + a 1 x 1 + a 0, gdzie n 3, a n 0. Jeśli wielomian ten posiada n pierwiastków rzeczywistych (niekoniecznie różnych), to wszystkie pierwiastki są równe zero. 448. Istnieje nieskończony ciąg a 0, a 1, a 2,... takich niezerowych liczb rzeczywistych, że dla każdego n wielomian f n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n posiada n parami różnych pierwiastków rzeczywistych. 449. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje nierozkładalny wielomian f(x) Z[x] posiadający n parami różnych pierwiastków rzeczywistych. 450. Niech f(x) R[x]. Jeśli wielomian f(x) x nie ma pierwiastków rzeczywistych, to nie ma ich również wielomian f(f(x)) x. 451. Niech a 1,..., a n, b Z. Rozpatrzmy równanie a 1 x 1 + + a n x n = b. Równanie to ma całkowite rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie w każdym pierścieniu Z m, gdzie m N. 452. Wielomian (2x 1)(3x 1) nie ma całkowitych pierwiastków. Ma natomiast pierwiastki w każdym pierścieniu Z m.

24 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 453. Jeśli a 1,..., a n są parami różnymi liczbami całkowitymi, to wielomian h(x) = (x a 1 )(x a 2 ) (x a n ) 1 jest nierozkładalny w Z[x]. 454. Niech a, b Z. Wielomian (x a) 2 (x b) 2 + 1 jest nierozkładalny w Z[x]. 455. Jeśli a 1,..., a n są parami różnymi liczbami całkowitymi, to wielomian (x a 1 ) 2 (x a 2 ) 2 (x a n ) 2 + 1 jest nierozkładalny w Z[x]. 456. Dla dowolnej liczby naturalnej n, wielomian x n+2 + (x + 1) 2n+1 jest rozkładalny w Z[x]. Posiada on czynnik x 2 + x + 1. 457. Jeżeli A jest takim podzbiorem zbioru N, że 1, 2 A oraz z tego, że n A wynika, że n + 2 A, to A = N. 458. Jeżeli A jest takim podzbiorem zbioru N, że 1, 2, 3 A oraz z tego, że n A wynika, że n + 3 A, to A = N. 459. Niech a(n) = n 2 + n + 1 i niech S = {a(n); n N}. Wykazać, że a(n)a(n + 1) S dla wszystkich n N. 460. Niech X i Y będą skończonymi zbiorami i niech f : X Y będzie funkcją. Jeśli X > Y, to funkcja f nie jest różnowarościowa. 461. W klasie jest 37 osób. Wykazać, że istnieją co najmniej cztery osoby w tej klasie, które urodziły się w tym samym miesiącu. 462. 15 chłopców zebrało 100 orzechów. Wykazać, że co najmniej dwóch chłopców zebrało tę samą liczbę orzechów. 463. Udowodnić, że istnieje potęga liczby 29 kończąca się cyframi 00 001. 464. W sali znajduje się n osób (n 2). Wykazać, że co najmniej dwie z tych osób mają wśród obecnych tę samą liczbę znajomych. Zakładamy, że jeśli osoba A zna osobę B, to B zna A. 465. Jest n drużyn piłkarskich. Każde dwie mają rozegrać jeden mecz. Wykazać, że w dowolnym momencie rozgrywek istnieją co najmniej dwie drużyny, które rozegrały już tę samą liczbę meczów. 466. W sali znajduje się 225 osób. Wykazać, że w tej sali istnieje osoba, która zna parzystą liczbę osób będących w tej sali. 467. Danych jest 8 różnych liczb naturalnych mniejszych od 16. Rozpatrzmy wszystkie dodatnie różnice pomiędzy tymi liczbami. Wykazać, że co najmniej trzy różnice są jednakowe. 468. Danych jest 6 różnych liczb naturalnych mniejszych od 10. Rozpatrzmy wszystkie dodatnie różnice pomiędzy tymi liczbami. Wykazać, że co najmniej trzy różnice są jednakowe. 469. Danych jest 2n różnych liczb naturalnych mniejszych od n 2 + 1. Rozpatrzmy wszystkie dodatnie różnice pomiędzy tymi liczbami. Wykazać, że co najmniej trzy różnice są jednakowe.

A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 25 470. Danych jest 12 parami różnych liczb dwucyfrowych. Wykazać, że można spośród nich wybrać dwie, których różnica jest liczbą zapisaną przy pomocy jednakowych cyfr. 471. Wśród 9 parami różnych liczb naturalnych, których wszystkie dzielniki pierwsze należą do zbioru {3, 7, 11}, istnieją dwie takie liczby, których iloczyn jest liczbą kwadratową. 472. Dany jest zbiór dziesięciu dwucyfrowych liczb naturalnych. Dowieść, że w tym zbiorze istnieją dwa niepuste podzbiory takie, że sumy liczb obu podzbiorów są równe. 473. Dany jest zbiór złożony z 16 trzycyfrowych liczb naturalnych. Dowieść, że w tym zbiorze istnieje pięć parami różnych takich podzbiorów, że suma liczb każdego z tych podzbiorów jest jednakowa. 474. Z ciągu 1, 2,..., 200 wybrano 101 liczb. Wykazać, że wśród wybranych liczb są takie dwie, że jedna dzieli drugą. 475. Z ciągu 1, 2,..., 2n wybrano n + 1 liczb. Wykazać, że wśród wybranych liczb są takie dwie, że jedna dzieli drugą. 476. Znaleźć wszystkie liczby naturalne a b c spełniające równość a + b + c = abc. 477. Znaleźć wszystkie liczby naturalne a b c d spełniające równość a+b+c+d = abcd. 478. Znaleźć wszystkie liczby naturalne a b c d e spełniające równość a + b + c + d + e = abcde. 479. Każda liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x + 1)(2y + 1), gdzie x, y Z. 480. Każda liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x 1)(2y 1), gdzie x, y Z. 481. Każdą nieujemną liczbę całkowitą można jednoznacznie przedstawić w postaci (x+y) 2 +3x+y 2, gdzie x, y Z. 482. Każdą nieujemną liczbę całkowitą parzystą można jednoznacznie przedstawić w postaci (x + y) 2 + 3x + y, gdzie x, y N 0. 483. W wiadrze jest 12 litrów mleka. W jaki sposób, korzystając tylko z dwóch garnków 5-cio i 7-mio litrowych, można rozdzielić mleko na dwie równe części? 484. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną, którą trzema różnymi sposobami można przedstawić w postaci 13x + 17y, gdzie x, y N. 485. Niech a, b, c N, a+b+c = 407. Ile maksymalnie zer na końcu może mieć iloczyn abc? 486. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się 2000. 487. Dana jest lista zawierająca 1975 ponumerowanych zdań. Zdanie o numerze n brzmi: Na niniejszej liście jest dokładnie n zdań fałszywych. Które z tych zdań są prawdziwe?

26 A. Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb, 2012 Każdy punkt na płaszczyźnie, którego współrzędne są liczbami całkowitymi, nazywamy punktem kratowym. Mówimy, że dany punkt jest wymierny, jeśli wszystkie jego współrzędne są liczbami wymiernymi. 488. Istnieje na płaszczyźnie prosta, na której leży tylko jeden punkt kratowy. 489. Jeśli prosta ma co najmniej dwa punkty kratowe, to ma ich nieskończenie wiele. 490. Na płaszczyźnie danych jest 5 punktów kratowych. Udowodnić, że środek co najmniej jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem kratowym. 491. Na odcinku łączącym punkty kratowe (a, b) i (c, d) leży dokładnie nwd(c a, d b) + 1 punktów kratowych. 492. Dwa wierzchołki kwadratu są wymierne. Wykazać, że pozostałe wierzchołki również są wymierne. 493. Podwojone pole każdego wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych jest liczbą naturalną. 494. Pole trójkąta o wierzchołkach w punktach kratowych (0, 0), (u n 1, u n ), (u n, u n+1 ), gdzie (u n ) jest ciągiem Fibonacciego, jest równe 1 2. 495. Ile punktów kratowych leży wewnątrz koła o promieniu 13/2 i środku w punkcie (0, 0)? 496. Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje na płaszczyźnie koło zawierające wewnątrz dokładnie n punktów kratowych. 497. Na okręgu x 2 + y 2 = 3 nie leży żaden punkt wymierny. 498. Na okręgu (x 2) 2 + (y 2) 2 = 4 leży dokładnie jeden punkt wymierny. 499. Ile punktów wymiernych leży na okręgu x 2 + (y 2) 2 = 3? 500. Ile punktów wymiernych leży na okręgu x 2 + y 2 = 1? Toruń, 14 lutego 2012 r. Przedstawione zadania wybrano z różnych książek i artykułów. Informacje o ich źródłach oraz rozwiązania podane są w serii książek Podróże po Imperium Liczb